第05讲 二次函数、方程与不等式 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦二次函数、方程与不等式核心知识，系统梳理三者关系，通过判别式、图像与解集对应构建基础，结合二次三式联动及恒成立问题，形成从概念到7大应用题型的完整学习支架。 资料以7易错辨析精准突破认知误区，7典例精讲融合数形结合培养数学眼光，标准化解题步骤强化数学思维，助力教师课中系统授课，学生课后通过分层练习查漏补缺，提升逻辑推理与问题解决能力。

第05讲 二次函数、方程与不等式 （核心知识+7易错辨析+7典例精讲+课后作业） 【题型一】一元二次不等式求解 【题型五】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【题型二】由一元二次不等式的解确定参数 【题型六】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【题型三】一元二次方程根的分布问题 【题型七】一元二次不等式在某区间上有解问题 【题型四】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【知识点01】二次函数与一元二次方程，不等式的解的对应关系 方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式的解集 {x|x<x1或x>x2} R 【知识点02】二次三式联动关系 1. 一元二次方程的根 二次函数图像与轴交点横坐标； 2. 二次不等式大于0解集 函数图像在轴上方的范围； 3. 二次不等式小于0解集 函数图像在轴下方的范围。 【知识点03】全域恒成立 1. 在上恒成立 2. 在上恒成立 注意：含参数题型需额外讨论的一次函数情况。 易错点1：含参式子默认二次型，遗漏分类讨论 错误认知：只要含项就是二次函数、二次不等式。 正确结论：参数未知时，必须分（一次型）和（二次型）讨论，绝大多数漏解失分源于此。 易错点2：负系数不等式求解不变号 错误认知：直接套用开口向上的解集规律求解的不等式。 正确结论：二次项系数为负，必须先化正、翻转不等号，再结合图像判断区间。 易错点3：滥用韦达定理，忽略判别式前提 错误认知：任意二次方程均可使用根与系数关系。 正确结论：韦达定理仅在、方程有实数根时成立，无实根不可使用。 易错点4：重根、无根解集混淆 错误认知：时，解集为全体实数。 正确结论：重根处函数值为0，大于0解集需剔除重根；时，开口向上恒正、开口向下恒负。 易错点5：恒成立只判判别式，忽略开口方向 错误认知：式子恒大于0只需。 正确结论：恒成立需要开口方向+判别式双重条件，缺一不可。 易错点6：区间开闭符号混乱 错误认知：不等式解集统一写开区间。 正确结论：含等号取闭区间，不含等号取开区间。 易错点7：二次函数单调性记忆错误 错误认知：开口向上全程递增，开口向下全程递减。 正确结论：单调性以对称轴为分界，左右区间单调性相反。 【题型一】一元二次不等式求解 【典例1-1】（25-26高一下·河南·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26高一上·浙江台州·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______． 【典例1-3】（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）（1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式：． 【变式1-1】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·海南儋州·期中）不等式的解集为______. 【变式1-3】（25-26高一下·山东潍坊·期中）设函数. (1)若，解关于x的不等式； (2)求不等式的解集 【题型二】由一元二次不等式的解确定参数 【典例2-1】（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知，关于x的不等式的解集恰为，则a=______，b=______. 【变式2-2】（多选）（25-26高一上·云南曲靖·期中）若关于x的不等式在区间上恰有1个整数解，则m可取（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数 (1)求不等式的解集； (2)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围. 【题型三】一元二次方程根的分布问题 【典例3-1】（25-26高一上·北京延庆·期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·上海宝山·期中）若方程有两个正根，则实数的取值范围是__________. 【变式3-2】若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（    ） A．0 B． C．1 D． 【变式3-3】（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数. (1)若关于的方程一个根大于0，一个根小于0，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围. 【题型四】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【典例4-1】（25-26高一上·山东德州·阶段检测）若关于的方程组有唯一的一组解，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 【变式4-1】（多选）（25-26高一上·河北唐山·期中）关于的一元二次不等式的解集为或，则（   ） A．且 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【变式4-2】已知不等式的解集是，求a，c的值. 【变式4-3】已知，设集合，若，求的取值范围. 【题型五】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【典例5-1】（25-26高一上·湖南长沙·期末）关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·云南大理·阶段检测）已知关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是________． 【变式5-2】（多选）（25-26高一上·山东临沂·期中）“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件有（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·湖南株洲·期中）已知函数． (1)若，求不等式的解集 (2)若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【题型六】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【典例6-1】（25-26高一上·湖北随州·期中）若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数，若不等式在上恒成立，则满足条件的一组的值为___________．（写出一组即可） 【变式6-2】（多选）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）若对于任意，不等式恒成立，则实数的值可能是（） A．2 B．4 C． D．5 【变式6-3】（25-26高一上·福建福州·期中）已知，. (1)若，求不等式的解集； (2)，恒成立，求实数的取值范围. 【题型七】一元二次不等式在某区间上有解问题 【典例7-1】（25-26高一上·吉林·期中）若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）当时，关于x的不等式有解的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为_______. 【变式7-3】已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围. 1. 核心体系逻辑 本讲围绕「二次方程、二次函数、二次不等式」三位一体展开，方程求根、函数看图、不等式求区间，数形结合是贯穿所有题型的核心解题思想。 2. 标准化解题步骤 二次不等式求解：化正系数 → 算判别式 → 求方程根 → 图像定区间；含参数问题必先分类讨论，杜绝默认二次型。 3. 必背核心公式 判别式： 韦达定理： 对称轴公式： 4. 高频解题口诀 开口向上两边大、中间小；开口向下两边小、中间大；恒成立看开口、判式；含参题型先判零。 5. 考场失分避雷指南 不遗漏参数讨论、不负数系数不变号、不无条件用韦达、不写错区间开闭、不混淆单调区间边界，依托图像解题可规避绝大多数错误。 一、单选题 1．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 二、多选题 4．（25-26高一上·江西·期中）若不等式对任意恒成立，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 三、填空题 6．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）若不等式解集为，则不等式的解集为______． 7．（25-26高一下·云南文山·期末）对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 四、解答题 8．（25-26高一上·山东滨州·期末）已知二次函数. (1)若不等式的解集为，求a和b的值； (2)若且，解关于x的不等式. 9．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数. (1)若的解集为，求不等式的解集； (2)若且在上恒成立，求实数的取值范围. 10．（25-26高一上·天津南开·阶段检测）设二次函数． (1)若关于的方程有两个不相等的实数根，且两根都大于等于且小于等于2，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有一个根小于1，另一个根大于1且小于2，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 二次函数、方程与不等式 （核心知识+7易错辨析+7典例精讲+课后作业） 【题型一】一元二次不等式求解 【题型五】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【题型二】由一元二次不等式的解确定参数 【题型六】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【题型三】一元二次方程根的分布问题 【题型七】一元二次不等式在某区间上有解问题 【题型四】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【知识点01】二次函数与一元二次方程，不等式的解的对应关系 方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式的解集 {x|x<x1或x>x2} R 【知识点02】二次三式联动关系 1. 一元二次方程的根 二次函数图像与轴交点横坐标； 2. 二次不等式大于0解集 函数图像在轴上方的范围； 3. 二次不等式小于0解集 函数图像在轴下方的范围。 【知识点03】全域恒成立 1. 在上恒成立 2. 在上恒成立 注意：含参数题型需额外讨论的一次函数情况。 易错点1：含参式子默认二次型，遗漏分类讨论 错误认知：只要含项就是二次函数、二次不等式。 正确结论：参数未知时，必须分（一次型）和（二次型）讨论，绝大多数漏解失分源于此。 易错点2：负系数不等式求解不变号 错误认知：直接套用开口向上的解集规律求解的不等式。 正确结论：二次项系数为负，必须先化正、翻转不等号，再结合图像判断区间。 易错点3：滥用韦达定理，忽略判别式前提 错误认知：任意二次方程均可使用根与系数关系。 正确结论：韦达定理仅在、方程有实数根时成立，无实根不可使用。 易错点4：重根、无根解集混淆 错误认知：时，解集为全体实数。 正确结论：重根处函数值为0，大于0解集需剔除重根；时，开口向上恒正、开口向下恒负。 易错点5：恒成立只判判别式，忽略开口方向 错误认知：式子恒大于0只需。 正确结论：恒成立需要开口方向+判别式双重条件，缺一不可。 易错点6：区间开闭符号混乱 错误认知：不等式解集统一写开区间。 正确结论：含等号取闭区间，不含等号取开区间。 易错点7：二次函数单调性记忆错误 错误认知：开口向上全程递增，开口向下全程递减。 正确结论：单调性以对称轴为分界，左右区间单调性相反。 【题型一】一元二次不等式求解 【典例1-1】（25-26高一下·河南·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 【典例1-2】（25-26高一上·浙江台州·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据一次不等式的解集，判断参数的正负和关系，进而判断一元二次函数的零点，求出一元二次不等式的解集. 【详解】由不等式的解集为，可知且， 可知的零点为或，且图像开口向下， 所以的解集为，即. 故答案为：. 【典例1-3】（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）（1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）将不等式二次项系数化正后直接求解即可； （2）因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】（1）因， 故原不等式的解集为． （2）由不等式，得， 又因为，所以原不等式等价于， 当时，，此时不等式无解； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【变式1-1】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】对进行分类讨论即可求解 【详解】当时，不等式即为，此时不等式的解集为，故D正确； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为，故B正确 当时，不等式即为，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，故C正确. 综上所述，不等式的解集可能为BCD，不可能为A. 故选：A 【变式1-2】（25-26高一上·海南儋州·期中）不等式的解集为______. 【答案】或 【分析】直接利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为即，所以或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或 【变式1-3】（25-26高一下·山东潍坊·期中）设函数. (1)若，解关于x的不等式； (2)求不等式的解集 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）把函数解析式代入不等式，原不等式转化为，由，得到不等式解集为； （2）分=0， 0，0，三种情况去讨论. 其中，对于0，再对2个根进行大小比较讨论. 【详解】（1）当时，函数化简为,代入不等式， 得，得，得原不等式转化为， 由分母不为0，得，所以得， 所以，所以， 得不等式解集为； （2）， 当=0，即时，，则的解集为， 当0，方程的两个根为 当0，即时，二次项系数，抛物线开口向上，且， 不等式的解集为. 当0，即， 当时，，不等式化为， 解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【题型二】由一元二次不等式的解确定参数 【典例2-1】（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】关于x的不等式的解集为， 当时，即a＝2时，不等式即，显然不成立，满足条件； 当时，应满足且，解得． 综上知，实数a的取值范围是． 【变式2-1】（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知，关于x的不等式的解集恰为，则a=______，b=______. 【答案】 0 2 【分析】根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系求解即可. 【详解】，一元二次函数图象的对称轴为直线. 若，则，当时，解得，当时，无解，不符合题意. 若，的解集恰为， 即的解集恰为， 所以，解得，. 若，不等式的解集不可能是. 综上，，. 故答案为：0；2 【变式2-2】（多选）（25-26高一上·云南曲靖·期中）若关于x的不等式在区间上恰有1个整数解，则m可取（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】首先求解不等式，再根据题意，结合端点值列不等式，即可求解. 【详解】，对应方程的根分别为和， 当，即时，不等式的解集为， 由题意可知，得， 当时，即，不等式的解集为 ，在区间上不存在整数解，故不成立， 综上可知，满足条件的的取值范围是， 选项中满足条件的是和. 故选：BC 【变式2-3】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数 (1)求不等式的解集； (2)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分五类进行讨论； （2）根据第（1）的结论列出不等式即可得出答案. 【详解】（1）当时，， 此时方程的两根为， 不等式的解集为或； 当时，不等式变为，此时不等式的解集为； 当时，，则恒成立， 所以不等式的解集为； 当时， ，不等式即为， 所以不等式的解集为； 当时，， 此时方程的两根为， 不等式的解集为； 综上所述，当时， 不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为； 当时， 不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）由（1）可知，当时，不等式含有无穷多个整数解，不满足题意； 当时，解集为，不等式的解集为，不满足题意； 当时， 不等式的解集只含一个整数解，不满足题意； 当时，函数，故抛物线的对称轴为且开口向上， 要想不等式的解集中恰有三个整数解，这三个整数解只能是，并且和不是不等式的解， 所以有，解得， 因此，实数的取值范围是. 【题型三】一元二次方程根的分布问题 【典例3-1】（25-26高一上·北京延庆·期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，借助韦达定理列出不等式求解即得. 【详解】由关于的方程有一个正根和一个负根，得该方程为一元二次方程， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 【变式3-1】（25-26高一上·上海宝山·期中）若方程有两个正根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列式求解. 【详解】由方程有两个正根，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式3-2】若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】BC 【分析】原不等式可化为，根据一次函数和二次函数的图象可知和为原不等式的两个整数解，由此列不等式组求的范围即可. 【详解】可化为， 因为关于的不等式的解集中恰有两个整数， 由一次函数和二次函数的图象可知和为不等式的解集中的两个整数，    所以解得， 故选：BC 【变式3-3】（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数. (1)若关于的方程一个根大于0，一个根小于0，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得函数图象与轴交点的纵坐标即可. （2）直接根据二次函数根的分布进行求解即可. 【详解】（1）因为方程一个根大于0，一个根小于0， 所以， 所以， 故 （2）因为方程有两个大于的不等实根， 所以， 解得：. 【题型四】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【典例4-1】（25-26高一上·山东德州·阶段检测）若关于的方程组有唯一的一组解，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】将方程组消去，得到关于的一元二次方程，根据解的个数有求参数值. 【详解】，消去，得， 因为方程组只有一组解，所以只有一个解， 所以，解得． 故选：C 【变式4-1】（多选）（25-26高一上·河北唐山·期中）关于的一元二次不等式的解集为或，则（   ） A．且 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由题意可知，由韦达定理可得，由此即可判断出ABD选项，由二次函数 的性质可得，结合即可判断出C选项. 【详解】因为一元二次不等式的解集为或 所以，且一元二次方程的解，， 由韦达定理有， 所以且，A正确； 不等式等价于 解得或，B错误. 因为函数 ，二次函数开口向上，对称轴， 所以函数在上单调递增，且, 所以，即，C正确； 不等式等价于， 所以不等式的解集为，D正确. 故选：ACD. 【变式4-2】已知不等式的解集是，求a，c的值. 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解与二次方程的根之间关系，由韦达定理即可求解. 【详解】由于不等式的解集是，所以和是的两个根，由韦达定理可得且，解得， 【变式4-3】已知，设集合，若，求的取值范围. 【答案】. 【分析】由题意可得不等式有解，分别讨论，，，，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以不等式有解； 即有解， 当时，不成立，所以不符合题意； 当时，，解集为，符合题意； 当即或时，有解，符合题意； 当时，若不等式有解，则， 解得：或， 综上所述：的取值范围为. 【题型五】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【典例5-1】（25-26高一上·湖南长沙·期末）关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析不等式恒成立需满足的条件，再计算求解． 【详解】不等式对恒成立，需满足对应函数开口向上，且判别式小于零： 开口向上，满足条件； ，解得， 的取值范围是，故A正确． 故选：A． 【变式5-1】（25-26高一上·云南大理·阶段检测）已知关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】对分两种情况讨论不等式的类型，然后利用二次函数根的判别式求解. 【详解】当时，不等式可化为对一切实数都成立，符合题意； 当时，因为不等式对一切实数都成立， 所以，解得， 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-2】（多选）（25-26高一上·山东临沂·期中）“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先求出“关于x的不等式对恒成立”的的范围，分别讨论和两种情况，当时，对恒成立，则有，计算得到的范围，再由题目要求选出所求的集合的真子集即可. 【详解】， 当时，转化为，不等式对恒成立， 当时，对恒成立， 则有，解得， 综上可知，不等式对恒成立，的范围的集合为， “关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件 须是集合的真子集，故选项A和C正确. 故选：AC. 【变式5-3】（25-26高一上·湖南株洲·期中）已知函数． (1)若，求不等式的解集 (2)若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把代入，求解一元二次不等式. （2）利用一元二次型不等式恒成立，按分类讨论求解. 【详解】（1）当时，不等式，解得， 所以原不等式的解集为. （2）不等式对一切恒成立， 当时，恒成立，因此； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 【题型六】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【典例6-1】（25-26高一上·湖北随州·期中）若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先不等式看成关于的不等式，再根据定义域，列式求解. 【详解】不等式整理为关于的一元一次不等式，恒成立， ，，得或， 所以的取值范围是. 故选：A 【变式6-1】（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数，若不等式在上恒成立，则满足条件的一组的值为___________．（写出一组即可） 【答案】（答案不唯一）． 【分析】不妨设，根据一元二次不等式的求解方法，可知必须是的子集，据此写出一例即可． 【详解】因为该一元二次不等式有解，所以，不妨设， 的解集为，又在上恒成立， 则必须是的子集，所以且， 例如，． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式6-2】（多选）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）若对于任意，不等式恒成立，则实数的值可能是（） A．2 B．4 C． D．5 【答案】BCD 【分析】根据一元二次不等式的解集与的关系即可求解． 【详解】由得，解得， 故不等式对于任意恒成立， 则且，进而得 故均符合， 故选：BCD 【变式6-3】（25-26高一上·福建福州·期中）已知，. (1)若，求不等式的解集； (2)，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； (2) 【分析】（1）将不等式进行因式分解，分情况讨论可得不等式的解集； （2）构造函数，分情况讨论二次函数的最值情况，即可解决不等式恒成立问题. 【详解】（1）由不等式，可得，即， 当时， （i）当时，即，； （ii）当时不等式的解集为， （iii）当时，，， 综上可得： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； （2）化简得： 令， 当时，在不恒成立 当时，为二次函数，对称轴为， （i）当时，二次函数开口向上，此时，则，解得：； （ii）当时，二次函数开口向下 且，此时无解； 综上，得的取值范围为：. 【题型七】一元二次不等式在某区间上有解问题 【典例7-1】（25-26高一上·吉林·期中）若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由给定不等式分离参数，利用基本不等式求出最小值，再利用存在性问题的解决方法求出范围. 【详解】当时，不等式， 由不等式在区间有解，得不等式在上有解. 而，当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 所以a的取值范围是. 故选：B 【变式7-1】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）当时，关于x的不等式有解的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】参变分离得到，换元，利用基本不等式求出，从而得到答案. 【详解】，， 关于x的不等式有解，故即可， 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故充要条件为. 故选：B 【变式7-2】（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【分析】只需求函数在上的最大值，即可得答案. 【详解】由题意，在上有解， ∴在上有解， 即，其中， 在中，， 对称轴， ∵，二次函数开口向上， ∴函数在单调递减，在上单调递增， ∴函数在上取最大值，， ∴， 故答案为：. 【变式7-3】已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得的值； （2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式在区间上有解列不等式，求得的取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，的解集是或， 所以，解得. （2）时，在有解， 即在有解， 因为的开口向上，对称轴， ①即，时，函数取得最小值，即， ∴. ②即时，当取得最小值，此时， 解得. ③当即时，当时取得最小值，此时， 解得， 综上，或. 所以的范围为. 1. 核心体系逻辑 本讲围绕「二次方程、二次函数、二次不等式」三位一体展开，方程求根、函数看图、不等式求区间，数形结合是贯穿所有题型的核心解题思想。 2. 标准化解题步骤 二次不等式求解：化正系数 → 算判别式 → 求方程根 → 图像定区间；含参数问题必先分类讨论，杜绝默认二次型。 3. 必背核心公式 判别式： 韦达定理： 对称轴公式： 4. 高频解题口诀 开口向上两边大、中间小；开口向下两边小、中间大；恒成立看开口、判式；含参题型先判零。 5. 考场失分避雷指南 不遗漏参数讨论、不负数系数不变号、不无条件用韦达、不写错区间开闭、不混淆单调区间边界，依托图像解题可规避绝大多数错误。 一、单选题 1．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】的解为或5， 故不等式的解集为或 2．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由的解集为， 得和是方程的两个实数根， 所以， 所以等价于，即， 其充要条件为或. 所以和均是的既不充分也不必要条件； 或是的必要不充分条件； 或是的一个充分不必要条件. 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 二、多选题 4．（25-26高一上·江西·期中）若不等式对任意恒成立，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合和两种情况讨论不等式恒成立问题，即可列式求解. 【详解】当，即时，不等式为，不恒成立； 当时，由，解得． 综上所述，. 故选：AC 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合二次函数的性质即可判断． 【详解】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． 三、填空题 6．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）若不等式解集为，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】先由不等式的解集可得，进而可将所求不等式化为，从而可得不等式解集. 【详解】由二次不等式 的解集为. 所以方程的两个根为，且，因此， 即，代入所求不等式 ， 得，因为，所以不等式化为， 即，解得 或 . 因此所求不等式的解集为. 7．（25-26高一下·云南文山·期末）对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式得到，再利用一元二次不等式在上恒成立得，从而可得实数的取值范围. 【详解】已知正实数满足，所以，当且仅当时，取得最大值9. 因为一元二次不等式在上恒成立， 所以，即，解得. 所以. 四、解答题 8．（25-26高一上·山东滨州·期末）已知二次函数. (1)若不等式的解集为，求a和b的值； (2)若且，解关于x的不等式. 【答案】(1)； (2)当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）根据给定的解集，利用一元二次不等式的解集规律，结合韦达定理求解. （2）把代入，按分类求解含参不等式. 【详解】（1）不等式的解集为， 则，且是方程的两个实根，于是， 所以. （2）当且时，不等式，则， 当时，，解得或； 当时，，不等式恒成立，； 当时，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 9．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数. (1)若的解集为，求不等式的解集； (2)若且在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式的解集，结合一元二次方程根与系数的关系列式求出，再代入求解不等式. （2）求出的关系，再由表示并利用一元二次不等式恒成立列式求解. 【详解】（1）不等式，由不等式的解集为， 得且的两根为，则，解得， 不等式为，即，即， 解得，所以不等式的解集为. （2）由，得，将代入， 得对任意的恒成立， （i）当，即时，不等式变为恒成立，满足题意； （ii）当，即时，则，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 10．（25-26高一上·天津南开·阶段检测）设二次函数． (1)若关于的方程有两个不相等的实数根，且两根都大于等于且小于等于2，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有一个根小于1，另一个根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助二次函数图像得到求解即可； （2）借助的图象与轴交点横坐标一个小于1，另一个大于1且小于2，得到求解即可. 【详解】（1）令，由题意可知： 的图象与轴有两个交点，且交点位于之间，包括端点， 所以即 解得：， 即实数的取值范围是 （2）由得： 令，由题意可得： 的图象与轴交点横坐标一个小于1，另一个大于1且小于2， 所以即，解得， 即实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $