第二章 一元二次函数、方程和不等式（举一反三讲义·培优篇）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义通过十大压轴题型系统构建一元二次函数、方程和不等式的知识体系，按“概念应用-性质证明-综合问题”递进梳理，突出三个“二次”关系、基本不等式与最值问题等重难点内在联系，呈现清晰知识脉络。 讲义亮点在于练习设计结合生活情境，如购物、加油等实例培养用数学眼光观察现实世界，通过作差法比较大小、基本不等式证明等题型训练逻辑推理，培养数学思维。题型分层覆盖选择、填空、解答，帮助不同学生提升，教师可据此实施精准教学。

第二章 一元二次函数、方程和不等式全章十大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 作差法比较代数式的大小的应用 1．（25-26高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（    ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 【答案】C 【解题思路】设两次葡萄的单价分别为，分别计算出小齐和小港两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小，得到答案. 【解答过程】设两次葡萄的单价分别为， 则小齐两次购买葡萄的平均价格是， 小港两次购买葡萄的平均价格是， ， 故，小港两次购买葡萄的平均价格低. 故选：C. 2．（25-26高一上·重庆璧山·期中）在生活中大家都有到超市购物的情况，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈每次买大米的习惯有所不同.爸爸每次都买50块钱的，而妈妈则每次都买10斤.这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈各买了两次大米，两次大米的价格是不一样的，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则（    ）更合算. A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 【答案】A 【解题思路】由题意，先计算爸爸和妈妈两次买米的平均单价，再用作差法比较大小，即得解. 【解答过程】设第一次买的大米是元/斤，第二次买的大米是元/斤，依题意，， 则爸爸两次买的大米共斤，妈妈两次买的大米共用了元， 设爸爸两次买米的平均单价为元/斤，妈妈两次买米的平均单价为元/斤. 则，， 由，即， 所以爸爸买米的方式更合算. 故选：A. 3．（25-26高一上·广东梅州·期末）每次去加油站，甲选择加固定金额的油，乙选择加固定体积的油．在油价的波动情况下，哪种方式更经济呢？（    ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 【答案】A 【解题思路】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得. 【解答过程】设两次加油的油价分别为，（，且），乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为：，甲方案的平均油价为：， 因为， 所以，即甲方案更经济． 故选：A. 4．（25-26高一上·广东广州·期末）两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则___________种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解题思路】由题意依次将两种策略两次购买物品的平均价格表示出来，用作差法比较大小即可. 【解答过程】设甲策略每次买件物品，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数为元， 则甲策略两次购买物品的平均价格为，乙策略两次购买物品的平均价格为， 所以，即， 所以乙种购物策略比较经济. 故答案为：乙. 5．（25-26高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 【答案】(1) (2)变好了，理由见解析 【解题思路】（1）依题意得出不等关系，解不等式即可得出结果； （2）利用作差法计算比较出大小，可得结论. 【解答过程】（1）因为，所以， 解得， 所以这所住宅的窗洞口面积的范围为. （2）由题意得，， 原来的窗地面积比为，现在的窗地面积比为 则 . 因为，，所以.， 所以，即. 所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了. 题型2 由不等式的性质证明不等式 1．（25-26高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解题思路】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【解答过程】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【解答过程】证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 3．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【解答过程】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，求证：； （2）已知，求证：； （3）已知，求证：. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解题思路】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解. 【解答过程】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 5．（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【答案】(1)，证明见解析； (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由， ，,由即可得证. 【解答过程】（1），证明： 由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 根据（1）中的结论，可得， 同向不等式相加可得，①， 又由，同理可得， 则，② 综合①②，得. 题型3 条件等式求最值 1．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】从中解出，代入整理得到，利用基本不等式求解即可. 【解答过程】，，， ， ，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值为. 故选：C. 2．（2026·云南·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A．22 B．26 C．28 D．30 【答案】C 【解题思路】将变形为，然后利用基本不等式求得最小值. 【解答过程】由题得，因为，所以，同理， 将条件变形为， 则， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为28. 故选：C. 3．（25-26高二上·湖南·开学考试）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【解题思路】根据基本不等式求出和的取值范围，求出的最小值. 【解答过程】因为， 所以，当且仅当时等号成立， 又， 当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 4．（25-26高一上·江苏·期末）已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解题思路】由题设求得，从而将所求式化成，再根据基本不等式求解即可. 【解答过程】由题意，为正实数，且，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)8 (2)8 (3)． 【解题思路】（1）利用基本不等式得到，再采取换元法令解出的范围，从而得到的最大值。 （2）由题得到，则再化简使用基本不等式求解即可. （3）直接使用基本不等式得到，再结合求得，取得最小值． 【解答过程】（1）因为，，，当且仅当时取等号， 令，则，， 化为，所以，故， 当且仅当即时取等号，所以的最大值为8． （2）由得，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8； （3），，， ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值． 题型4 利用基本不等式证明不等式 1．（25-26高一上·四川德阳·阶段检测）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【解答过程】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 2．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知，且.求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）利用，对进行变形，再根据基本不等式求证即可； （2）先求的展开式，再利用进行变形，并根据基本不等式求得的取值范围，从而证得. 【解答过程】（1），且， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以得证. （2），且， . 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，即，当且仅当时，等号成立. 所以得证. 3．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）（1）已知，，，求证：； （2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解题思路】（1）将两两组合，利用基本不等式即可证明； （2）,利用基本不等式即可证明. 【解答过程】（1） ， 当且仅当时等号成立， 所以. （2）， 当且仅当时等号成立， 因为a，b，c为不全相等的正实数， 所以. 4．（25-26高一上·辽宁朝阳·开学考试）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析 【解题思路】（1）对括号内应用重要不等式证明即可； （2）应用基本不等式，取加法化简即可. 【解答过程】证明：（1）根据待证不等式结构选用 ， 当且仅当时等号成立，所以． （2）因为，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，因此． 5．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析 【解题思路】（1）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. （2）根据题设及基本不等式易得，，，将这三个式子相加即可求证. （3）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 【解答过程】（1）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. （2）由均为正实数，且， 则，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 则，当且仅当时等号成立. （3）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. 题型5 基本不等式的恒成立问题 1．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【解题思路】由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解． 【解答过程】由两个正实数满足， 即，， 所以， 当且仅当时等号成立， 又恒成立， 所以，解得． 故选：C． 2．（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知都是正数，且恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，进而得到实数的取值范围. 【解答过程】由都是正数，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为， 又由恒成立，所以. 故选：A. 3．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先对不等式进行变形，然后利用已知条件，将其转化为关于的函数，再通过均值不等式求函数的最值来确定实数的取值范围. 【解答过程】令，则代入得， 将代入原不等式，得， 两边同时除以，得， 把代入，得， 即， 由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，， 恒成立， 故实数的取值范围为. 故选：. 4．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【解题思路】根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式可得，再根据恒成立问题分析求解. 【解答过程】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 5．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 题型6 基本不等式的有解问题 1．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）设，，且不等式有解，则正实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用基本不等式，用表示式子的最小值，再令该最小值不大于9，求的取值范围即可. 【解答过程】，，， （当且仅当时取等号， 又有解，，解得：. 故选：C. 2．（25-26高一上·山东济南·期中）若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】基本不等式求出的最小值，转化为，解不等式即可， 【解答过程】因为正实数满足， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为4． 因为不等式有解，则，即， 即，解得或． 故选：D. 3．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用基本不等式进行代换，从而求出答案. 【解答过程】由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以，解得或， 故选：C. 4．（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可. 【解答过程】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得或， 所以的取值范围是． 故答案为：． 5．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）已知都是正数. (1)若，求的最大值； (2)若，且存在使不等式有解，求的取值范围； (3)若，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由，结合基本不等式可直接求得结果； （2）将问题转化为，由，结合基本不等式可求得结果； （3）根据，由基本不等式可求得结果. 【解答过程】（1）都是正数，， ， 当且仅当，结合，即，时取等号， 的最大值为. （2）都是正数， ， 当且仅当，结合，即，时取等号， ，解得：，即的取值范围为. （3），， ， 当且仅当且，即，时取等号， 的最小值为. 题型7 由一元二次不等式的解确定参数 1．（25-26高一上·江西南昌·期中）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意可得和1是方程的根，且，然后由根与系数的关系用表示出，，代入中化简后，再解不等式即可 【解答过程】因为关于的不等式的解集是， ∴和1是方程的根，且， ∴，得， ∴不等式转化为， 因为，∴，，得， ∴不等式的解集为. 故选：B. 2．（25-26高一·全国·寒假作业）已知关于x的不等式恰有四个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解． 【解答过程】不等式，可化为． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则． 综上可得，实数a的取值范围是或． 故选：C. 3．（25-26高一上·福建宁德·期中）关于的不等式的解集为，则（   ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】C 【解题思路】利用一元二次不等式的解集与系数的关系可判断A选项；分析可知、是关于的方程的两根，结合韦达定理可得出，利用一次不等式的解法可判断B选项；代入计算可判断C选项；利用一元二次不等式的解法可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，因为关于的不等式的解集为，则，A错； 对于B选项，由题意可知、是关于的方程的两根， 所以，即， 故不等式即为，即，解得， 所以不等式的解集为，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，不等式即为，即， 即，解得或， 故不等式的解集为，D错. 故选：C. 4．（25-26高一上·北京·阶段检测）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解题思路】分、和三种情况分析解不等式即可求解. 【解答过程】不等式， 解方程得或， 所以当时，原不等式解集为， 解集中恰有3个整数，则该3个整数为，所以； 当时，原不等式解集为，不符合； 当时，原不等式解集为，解集中恰有3个整数，则该3个整数为， 所以. 综上，满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解集与其对应的方程的根之间的关系，结合韦达定理计算即可求解； （2）原不等式可变形为，分类讨论：、、、，解出对应不等式的解集即可. 【解答过程】（1）由题意知，，即. 因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 有，解得, 此时不等式为，符合题意， 所以； （2）由（1）知，， 则不等式可变形为， 若，则，解得， 此时原不等式的解集为； 若，则方程的解为或， 当 即时，原不等式的解集为； 当 即时，原不等式的解集为； 当 即时，原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型8 三个“二次”关系的应用 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）二次方程的两根为2，，那么关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据，确定二次函数的图象开口方向，再由二次方程的两根为2，，写出不等式的解集. 【解答过程】因为二次方程的两根为2，， 又二次函数的图象开口向上， 所以不等式的解集为或 ， 故选：B. 2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据三个二次的关系，求解间的数量关系，代入函数，分析即可判断函数图象. 【解答过程】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和，且， 则，解得， 故函数的图象开口向下， 且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A. 3．（25-26高一上·浙江金华·阶段检测）已知不等式的解集是，则对函数，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用二次不等式的解集，求得a,b,c的关系，由此判断二次函数的图像与性质，从而判断出的大小关系. 【解答过程】由于二次不等式的解集为， 所以，是方程的两个实数根，即 即. 则，，其图像开口向上，且对称轴为 ， 所以 故选：A. 4．（25-26高一下·云南·阶段检测）已知二次函数的解集为. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，转化为是方程的两个实数根，结合根与系数的关系，以及，即可求解. （2）根据题意，转化为方程的两个负实数根，结合一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】（1）解：当时，函数， 因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根，可得， 则. （2）解：因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根， 又因为，即方程的两个负实数根， 则满足，解得且， 所以实数的取值范围为. 5．（25-26高一上·北京·期中）函数 (1)若，求的解集； (2)当恒成立时，求的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求的取值范围 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）把代入，结合二次不等式的求解方法可得答案； （2）讨论二次型函数的系数，结合判别式可得答案； （3）利用韦达定理及限制条件可得答案. 【解答过程】（1）当时，原不等式等价于，解得，所以的解集为. （2）当时，恒成立； 当时，恒成立，则有，解得， 当时，显然不恒成立. 综上，的取值范围是. （3）有两个实数根，所以，，解得或，， 因为，所以， 解得或， 综上可得或. 题型9 一元二次不等式恒成立问题 1．（25-26高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将问题转化为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【解答过程】由，且，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 2．（25-26高一上·河南郑州·期中）若一元二次不等式对一切实数都成立，则k的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合一元二次函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】由一元二次不等式对一切实数都成立，显然， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 3．（25-26高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【解题思路】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【解答过程】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C. 4．（25-26高一上·河南·期中）已知函数的图象与轴相交于点和，与轴相交于点. (1)求的解析式； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）把方程的根和已知点代入方程，解出各个系数； （2）参变分离，得到，根据恒成立问题，得到的最小值，利用基本不等式求出的最小值，即可得所求范围. 【解答过程】（1）由题意得， 解得， 所以； （2）由，整理可得 由条件知当时，恒成立. 因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为， 因为恒成立，所以， 即实数的取值范围是. 5．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； (2) (3) 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解法，对参数进行分类讨论，进而求出结果； （2）根据二次不等式恒成立的条件，进行参变分离，进而求出参数的取值范围； （3）根据任意恒成立的条件，对函数进行变形，对新参数进行讨论，求出函数最小值，列出不等式，进而求出结果. 【解答过程】（1）由题意可知，当时，，解得； 当时，令，即，解得或. 当时，，则，解得； 当时，，则，无解； 当时，即，则，解得， 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； （2）由题意得，即， 当时，可知，可得， 因为，所以， 即，不等式恒成立，等价于，恒成立； 可知时，，所以，即实数的取值范围为； （3）由题意得，即，化简得， 可知，不等式恒成立，等价于，不等式恒成立； 当时，不等式不成立，不符合题意； 当时，，不等式恒成立， 令，则在上单调递减， 即得恒成立，解得， 当时，，不等式恒成立， 在上单调递增，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 题型10 一元二次不等式有解问题 1．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解. 【解答过程】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是. 故选：B. 2．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）若，使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可转化为，使成立，求的最小值即可. 【解答过程】因为，使得不等式成立， 所以，使得不等式成立， 令，， 因为对称轴为，， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 3．（25-26高一上·江西吉安·期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】运用基本不等式求得的最小值，存在使成立，即，解不等式即可. 【解答过程】正实数满足，得 . 当且仅当且，即时，等号成立. 存在使不等式有解，即 ，可解得或，即. 故选：B. 4．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）当时，关于x的不等式有解，则的取值范围是___________. 【答案】 【解题思路】根据已知不等式有解得出有解，再应用基本不等式得出参数范围即可. 【解答过程】当时，关于x的不等式有解， 所以有解，所以， ， 当且仅当时取最小值6， 则的取值范围是. 故答案为：. 5．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． (2) 【解题思路】（1）先把二次不等式化为，再分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可． 【解答过程】（1）， 化简得，即， 若，即，上式可化为：，即，解得； 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：， ， ， ， 或， 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （2）不等式，即， ， 恒成立， ， 问题转化为：存在，使得成立， ， 设，令，则， （当且仅当，即时取等号）， ，当且仅当时取等号， 综上，的取值范围为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式全章十大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 作差法比较代数式的大小的应用 1．（25-26高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（    ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 2．（25-26高一上·重庆璧山·期中）在生活中大家都有到超市购物的情况，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈每次买大米的习惯有所不同.爸爸每次都买50块钱的，而妈妈则每次都买10斤.这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈各买了两次大米，两次大米的价格是不一样的，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则（    ）更合算. A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 3．（25-26高一上·广东梅州·期末）每次去加油站，甲选择加固定金额的油，乙选择加固定体积的油．在油价的波动情况下，哪种方式更经济呢？（    ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 4．（25-26高一上·广东广州·期末）两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则___________种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 5．（25-26高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 题型2 由不等式的性质证明不等式 1．（25-26高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 3．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，求证：； （2）已知，求证：； （3）已知，求证：. 5．（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 题型3 条件等式求最值 1．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·云南·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A．22 B．26 C．28 D．30 3．（25-26高二上·湖南·开学考试）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 4．（25-26高一上·江苏·期末）已知正实数满足，则的最小值为__________. 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 题型4 利用基本不等式证明不等式 1．（25-26高一上·四川德阳·阶段检测）已知，，，且，证明： (1)； (2). 2．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知，且.求证： (1)； (2). 3．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）（1）已知，，，求证：； （2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：. 4．（25-26高一上·辽宁朝阳·开学考试）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 5．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 题型5 基本不等式的恒成立问题 1．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知都是正数，且恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 5．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 题型6 基本不等式的有解问题 1．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）设，，且不等式有解，则正实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东济南·期中）若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是___________． 5．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）已知都是正数. (1)若，求的最大值； (2)若，且存在使不等式有解，求的取值范围； (3)若，且，求的最小值. 题型7 由一元二次不等式的解确定参数 1．（25-26高一上·江西南昌·期中）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一·全国·寒假作业）已知关于x的不等式恰有四个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高一上·福建宁德·期中）关于的不等式的解集为，则（   ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 4．（25-26高一上·北京·阶段检测）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为___________． 5．（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 题型8 三个“二次”关系的应用 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）二次方程的两根为2，，那么关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江金华·阶段检测）已知不等式的解集是，则对函数，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·云南·阶段检测）已知二次函数的解集为. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 5．（25-26高一上·北京·期中）函数 (1)若，求的解集； (2)当恒成立时，求的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求的取值范围 题型9 一元二次不等式恒成立问题 1．（25-26高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河南郑州·期中）若一元二次不等式对一切实数都成立，则k的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 4．（25-26高一上·河南·期中）已知函数的图象与轴相交于点和，与轴相交于点. (1)求的解析式； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 5．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型10 一元二次不等式有解问题 1．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）若，使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江西吉安·期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）当时，关于x的不等式有解，则的取值范围是___________. 5．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $