高中数学单元测试——第一章集合与常用逻辑用语（较易版01）

**基本信息** 高中数学集合与常用逻辑用语单元复习卷（较易版），通过基础题与综合题梯度设计，强化抽象能力与推理意识，适配单元知识巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合符号、空集、命题否定、集合运算|基础巩固，考查集合概念与逻辑用语辨析| |多选题|3/18|描述法集合、充要条件、集合应用（职工上班人数）|能力提升，体现实际情境中的推理意识| |填空题|3/15|元素与集合关系、韦恩图、参数取值|情境应用，强化数学符号表达| |解答题|5/77|方程解集、命题参数范围、集合新定义|创新应用，衔接数学抽象与逻辑推理核心素养|

高中数学单元测试 —— 第一章 集合与常用逻辑用语（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列集合符号运用不正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（本题5分）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（    ） A．任意一个有理数，它的平方不是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 4．（本题5分）已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是    （    ） A．6 B．7 C．14 D．15 6．（本题5分）已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 8．（本题5分）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 10．（本题6分）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件 11．（本题6分）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是10，8，6．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 12．（本题5分）已知，则实数_______. 13．（本题5分）已知全集 ，集合 或，那么阴影部分表示的集合为___________.    14．（本题5分）已知命题，使为真命题，则实数m的取值集合为B，若为非空集合，且是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______． 四、解答题 15．（本题13分）已知方程． (1)若方程的解集为，求实数a，b满足的关系式； (2)若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a，b的值 16．（本题15分）已知命题：，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A. (1)求集合A； (2)设集合，且，求实数m的取值范围. 17．（本题15分）已知集合， (1)当时，求; (2)若，求实数的取值范围. 18．（本题17分）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 19．（本题17分）已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章 集合与常用逻辑用语（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列集合符号运用不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系，结合各数集的定义来判断各选项中集合符号的运用是否正确. 【详解】A选项，集合中的元素和都是自然数，所以集合是自然数集的子集，即，A选项集合符号运用正确； B选项，对于方程，在实数范围内，，则，方程无解，所以集合是空集，空集是集合的子集， B选项集合符号运用正确； ​C选项， 是一个无限不循环小数，是无理数，不是整数，所以不属于整数集，即，C选项集合符号运用不正确； ​D选项，分数属于有理数，所以属于有理数集，即，D选项集合符号运用正确. 故选：C. 2．（本题5分）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 3．（本题5分）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（    ） A．任意一个有理数，它的平方不是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 【答案】B 【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”为存在量词命题， 该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”， 故选：B. 4．（本题5分）已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 5．（本题5分）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是    （    ） A．6 B．7 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据真子集的个数公式即可求解. 【详解】由题意可得，故集合A的所有真子集的个数为. 故选：B. 6．（本题5分）已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的运算，求出，再结合条件，即可求解. 【详解】因为，则，又，则. 7．（本题5分）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】A 【分析】利用判断命题的真假，举出实例，得到为真命题. 【详解】 由，得是真命题，是假命题； 命题，时，，， 故满足，为真命题. 故选：A. 8．（本题5分）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 二、多选题 9．（本题6分）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【答案】ACD 【分析】根据描述法的特点逐项分析即可. 【详解】对A，奇数集可以表示为，故A正确； 对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误； 对C，表示大于2的全体实数，故C正确； 对D，不等式的解集表示为，故D正确. 故选：ACD. 10．（本题6分）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件 【答案】BD 【分析】根据充分条件、必要条件与充要条件的定义逐项判断，即可得出结果. 【详解】选项A，当时，，但是，故必要性不成立，所以A错误； 选项B，当时，一定成立，故充分性成立，当时，，故必要性不成立，所以B正确； 选项C，当时，，所以充分性不成立，所以C错误； 选项D，当时，， 即，所以，充分性成立， 当时，，必要性成立，所以D正确． 故选：BD. 11．（本题6分）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是10，8，6．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】ABC 【分析】将问题转化为Venn图问题，然后结合题意确定这三天都开车上班职工人数至多人数，即可得答案. 【详解】解：如图所示：   表示周一上班开车的人数，表示周二上班开车的人数， 表示周三上班开车的人数，表示三天上班开车的人数， 由题意可得表示周三上班开车的人数， 由题意则有， 所以， 从而得， 当时，取最大值. 即三天都开车上班的职工人数至多为人. 故选：ABC. 三、填空题 12．（本题5分）已知，则实数_______. 【答案】 【分析】讨论、，结合集合元素的互异性确定参数a的值. 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性，排除； 若，则，可得或（舍）， 所以，此时. 故答案为： 13．（本题5分）已知全集 ，集合 或，那么阴影部分表示的集合为___________.    【答案】 【分析】由韦恩图得阴影部分为，即可求解. 【详解】由题意，得， 由韦恩图得阴影部分为， 故答案为： 14．（本题5分）已知命题，使为真命题，则实数m的取值集合为B，若为非空集合，且是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出集合B，再利用充分不必要条件转化为是的真子集，利用集合关系解题即可. 【详解】由题意，可知关于x的方程无实数根， 所以，解得，即， 因为为非空集合，所以，即， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，即，所以． 故答案为：． 四、解答题 15．（本题13分）已知方程． (1)若方程的解集为，求实数a，b满足的关系式； (2)若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a，b的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式小于0可得； （2）由韦达定理可解. 【详解】（1）若方程的解集为，则方程无实数解， 所以，即实数a，b满足 （2）由题意可知1，3是方程的两根， 由韦达定理有，即 16．（本题15分）已知命题：，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A. (1)求集合A； (2)设集合，且，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解可得结果； （2）根据子集关系列式，解不等式组可得结果. 【详解】（1）命题p为真命题时，则，得， ∴. （2）由（1）知，， ∵，∴，解得. 17．（本题15分）已知集合， (1)当时，求; (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1);;或; (2)或， 【分析】（1）利用交、并、补运算的定义求解即可；（2）分别讨论和不为空集两种情况，结合集合关系求解即可. 【详解】（1）当时，, 所以;; 由于或;或; 所以或; （2）由于或;因为， 当,则,解得：,此时满足， 当不为空集时，要使，则，或，解得：或， 综上：实数的取值范围为或， 18．（本题17分）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断即得. （2）写出符合题意的必要不充分条件. （3）利用充要条件的定义推理得证. 【详解】（1）由，得，即， 由两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，知不能推出， 所以是的必要非充分条件. （2）的必要不充分条件有： ①， 显然两个三角形全等，其对应角相等，而有两组对应角相等的两个三角形相似，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ②， 显然两个三角形全等，其面积相等，而面积相等的两个三角形图形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ③， 显然两个三角形全等，其对应边相等，对应角相等，而一组对应边及据对角相等的两个三角形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件. （3）必要性：若为等边三角形，即， 显然，因此； 充分性：若， 则， 于是，即，因此是等边三角形， 所以“是等边三角形”的充要条件是“”. 19．（本题17分）已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)67. 【分析】（1）根据给定的定义，直接计算即得集合. （2）根据给定的定义求出集合，再利用集合相等求出. （3）设集合，求出对应的集合，再由建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）集合，则， ， 所以. （2）集合，，则集合中元素为： 显然，由，得，解得， 此时，所以. （3）设满足题意，其中， 则， 则，又，则， 由，由容斥原理，得， 中最小的元素为0，最大的元素为，， 因此，即，解得， 事实上当时满足题意， 理由如下：设，， 则，， 由，得，解得， 因此m的最小值为34，即当时，中元素最多，时满足题意， 所以的最大值是67. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $