第一章 集合与常用逻辑用语（举一反三单元自测·培优卷）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为人教A版高一数学第一章“集合与常用逻辑用语”单元复习培优卷，19题覆盖单选、多选、填空、解答，通过基础概念与综合应用结合，考查抽象能力、推理能力及模型意识，精准衡量学生知识掌握情况。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合概念（第1题）、命题否定（第2题）、充分必要条件（第5题）|基础巩固，聚焦核心概念辨析| |多选|3/18|集合表示（第9题）、命题否定与真假（第10题）|多角度考查，体现思维严谨性| |填空|3/15|充分条件参数范围（第12题）、容斥原理应用（第14题暑期档电影情境）|结合时代热点，考查知识迁移| |解答|5/77|描述法表示集合（第15题）、集合运算与条件关系（第19题）|分层设计，从基础表述到综合逻辑推理|

第一章 集合与常用逻辑用语（举一反三单元自测·培优卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【答案】C 【解题思路】利用集合元素的确定性，逐项判断可判断每个选项的正误. 【解答过程】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的， 故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的， 所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意； 对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意； 对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的， 故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意. 故选：C. 2．（5分）（25-26高一上·山西忻州·期末）设命题：，，则的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【解答过程】根据特称量词命题的否定为全称量词命题， 命题：，的否定是，. 故选：B. 3．（5分）（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 【答案】C 【解题思路】根据全称量词命题的定义即可知选项B不合题意，再判断出ACD选项中命题的真假即可得出结论. 【解答过程】A选项，素数2不是奇数，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，A选项错误； B选项，“，使”是存在量词命题，B选项错误； C选项，矩形的对角互补，都有外接圆，“矩形都有外接圆” 既是全称量词命题又是真命题，C选项正确； D选项，负整数没有平方根，“都有平方根” 是全称量词命题，但是假命题，D选项错误； 故选：C. 4．（5分）（2026高一·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【解题思路】由题意可得，，，即可得答案. 【解答过程】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A. 5．（5分）（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知p：，q：，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据两个集合间的关系即可求解. 【解答过程】由可得， 由于为真子集， 故p是q的必要不充分条件， 故选：B. 6．（5分）（25-26高一上·河南洛阳·期末）全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合图象可知阴影部分表示的集合为，根据交集和补集的运算即可得出结果. 【解答过程】由集合，，得， 由图象可知阴影部分表示的集合为， 所以 . 故选：C. 7．（5分）（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系分析求解. 【解答过程】因为则 (1)若，则，解得； (2)若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故选： C. 8．（5分）（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对集合是否为空集进行分类讨论，解不等式可求得实数的取值范围. 【解答过程】由集合可得或； 当时，可知，即可得，符合题意； 当时，可知，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【解题思路】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【解答过程】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 10．（6分）（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．命题“”的否定是“” C．“设，且，则且”是假命题 D．设，则“或”是“”的充要条件 【答案】ACD 【解题思路】利用充分性和必要性的定义即可判断选项AD；利用命题的否定即可判断选项B；利用赋值法即可判断选项C. 【解答过程】对选项A：，则，解得或， 所以时，不能得到，而时，一定有， 故“”是“”的必要不充分条件，选项A正确； 对选项B：“”的否定是“”， 选项B错误； 对选项C：取则，不满足且，命题为假命题，选项C正确； 对选项D：则或；或时，则有， 所以“或”是“”的充要条件，选项D正确. 故选：ACD. 11．（6分）（25-26高一上·江西赣州·期中）设集合，，则（   ） A．当时， B．当时，有4个元素 C．当时， D． 【答案】ABD 【解题思路】根据交集和并集运算判断AB，举反例判断C，结合元素的互异性和子集关系，分类讨论判断不成立，即可判断D. 【解答过程】A选项：当时，，，所以，正确； B选项：当时，或即， 当时，，，，有4个元素； 当时，，，，有4个元素；正确； C选项：由A选项可知当时，，， ，符合，但是不满足，错误； D选项：当时，，则，， 根据集合中元素满足互异性，得到，所以， 当时，，，不满足； 当即时，，，不满足； 当，即或（舍去），即时，，，不满足； 当，即或（舍去），即时，，，不满足； 综上，不存在，使得，所以，正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·江西·阶段检测）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】由题意可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】因为“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）设，若集合，则___________. 【答案】 【解题思路】根据集合相等确定的值，再求的值. 【解答过程】因为，根据集合元素的互异性，可知，，，， 若，则，解得，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 若，由，解得，经检验，符合题意. 所以 . 故答案为：. 14．（5分）（25-26高一上·安徽芜湖·期中）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年暑期档票房前三名.高一（1）班共有30名同学，有17人观看了《南京照相馆》，有11人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有5人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的有___________人. 【答案】7 【解题思路】用集合的观点，通过画出相应的图，根据已知人数关系列方程求解同时观看的人数，进而可求只观看了《长安的荔枝》的人数. 【解答过程】不妨将观看了《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 根据题意，画出相应的图，在相应的位置填上数字， 则，解得， 因此有4人同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》， 所以只观看了《长安的荔枝》的有人. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用描述法来表示集合； （2）利用描述法来表示集合； （3）利用描述法来表示集合； 【解答过程】（1）被5除余3的正整数组成的集合是. （2）正偶数组成的集合是. （3）函数的图象上所有的点组成的集合是. 16．（15分）（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据两个集合相等得出一元二次方程有两个实数根代入联立方程组解出检验即可； （2）由，分与讨论分析即可. 【解答过程】（1）若，则和是方程的两个实数根， 所以， 解得，代入中得：， 解得：或，满足， 所以. （2）当时，，满足， 当且时，或， 当时，，                         当时，，                          故的取值构成的集合为. 17．（15分）（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知命题p：，命题q：. (1)若命题为假命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p和均为真命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）命题为假命题，则命题为真命题，即，计算即可求解； （2）计算当为真命题时实数a的取值范围，结合（1）可得当命题p和均为真命题时实数a的取值范围. 【解答过程】（1）若命题为假命题，则命题为真命题， 即， 当时，， 所以,解得， 所以命题为假命题，实数a的取值范围为； （2）若为真命题，则命题为假命题， 即，解得， 由（1）可知，当命题为真命题时，实数a的取值范围为， 所以当命题p和均为真命题时，实数a的取值范围为. 18．（17分）（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)实数的取值范围为. 【解题思路】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）根据所选条件可得出，分、两种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 19．（17分）（2026高一上·福建厦门·专题练习）设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）先求出集合A，再应用补集及交集定义计算求解； （2）根据必要不充分条件得出集合间关系列式计算求解； （3）应用特称命题为真分和列式计算求解参数. 【解答过程】（1）当时，，所以， 所以； （2）， “”是“”的必要而不充分条件， 是的真子集， ，解得， 即实数的取值范围为； （3）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语（举一反三单元自测·培优卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 2．（5分）（25-26高一上·山西忻州·期末）设命题：，，则的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（5分）（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 4．（5分）（2026高一·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 5．（5分）（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知p：，q：，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（5分）（25-26高一上·河南洛阳·期末）全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 10．（6分）（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．命题“”的否定是“” C．“设，且，则且”是假命题 D．设，则“或”是“”的充要条件 11．（6分）（25-26高一上·江西赣州·期中）设集合，，则（   ） A．当时， B．当时，有4个元素 C．当时， D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·江西·阶段检测）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是___________． 13．（5分）（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）设，若集合，则___________. 14．（5分）（25-26高一上·安徽芜湖·期中）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年暑期档票房前三名.高一（1）班共有30名同学，有17人观看了《南京照相馆》，有11人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有5人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的有___________人. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 16．（15分）（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 17．（15分）（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知命题p：，命题q：. (1)若命题为假命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p和均为真命题，求实数a的取值范围. 18．（17分）（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 19．（17分）（2026高一上·福建厦门·专题练习）设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $