第05讲 空间直线与平面 单元复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学沪教版必修第三册

本讲义系统梳理空间直线与平面核心知识，从平面基本性质（三大公理及推论）出发，延伸至空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质，构建平行、垂直、距离转化链，形成完整知识支架。 通过8个易错辨析突破认知误区，9类典例（如共面证明、线面垂直）结合变式训练，培养空间观念与推理能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言表达空间关系的能力。

第05讲 空间直线与平面单元复习+小测 （核心知识+8易错辨析+9典例精讲） 【题型一】平面基本性质（公理综合应用·共面证明） 【题型六】平面与平面平行（面面平行证明重难点） 【题型二】空间直线与直线位置关系（异面直线判定+角度） 【题型七】二面角求解 【题型三】直线与平面位置关系（线面平行证明） 【题型八】平面与平面垂直（证明压轴题型） 【题型四】直线与平面位置关系（线面垂直证明） 【题型九】异面直线距离 【题型五】求线面角 【知识点01】平面及其基本性质 1. 平面基本特征 平面具有无限延展性、无厚度、平整性，立体图形仅为局部示意，不可凭图形直观判定位置关系。 2. 平面三大公理（解题依据） 公理1（线在面内判定）：若一条直线上两点在平面内，则整条直线在平面内。 符号： 用途：判定直线在平面内、证明点共面。 公理2（确定平面公理）：不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面。 用途：确定平面、证明多点共面、平面唯一性判定。 公理3（平面交线公理）：两不重合平面有一个公共点，则两平面有且仅有一条过该点的公共直线。 符号： 用途：证明点共线、找平面交线。 3. 公理2三大推论 （1）一条直线与直线外一点，确定唯一平面； （2）两条相交直线，确定唯一平面； （3）两条平行直线，确定唯一平面。 【知识点02】空间直线与直线的位置关系 1. 三类位置关系 （1）相交直线：共面、有且仅有一个公共点； （2）平行直线：共面、无公共点； （3）异面直线：不共面、无公共点、既不平行也不相交。 2. 异面直线所成角 定义：空间任意一点平移两异面直线，取相交直线所成锐角或直角为异面直线所成角。 取值范围： 3. 异面直线距离 公垂线：与两异面直线同时垂直且相交的唯一直线； 异面直线距离：公垂线段的长度，为两异面直线上任意两点连线的最小值。 万能向量公式： （为两点连线向量，为两直线方向向量） 【知识点03】直线与平面的位置关系 1. 三类基础关系 （1）直线在平面内：有无数公共点，； （2）直线与平面平行：无公共点，； （3）直线与平面相交：有且仅有一个公共点（含线面垂直）。 2. 线面平行判定与性质 判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行。 符号： 性质定理：线面平行，过直线的平面与已知平面相交，则直线平行于交线。 符号： 3. 线面垂直判定与性质 判定定理：直线垂直于平面内两条相交直线，则线面垂直。 符号： 性质定理：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 【知识点04】平面与平面的位置关系 1. 两类基础关系 （1）面面平行：无公共点，； （2）面面相交：有一条公共交线，（特殊：面面垂直）。 2. 面面平行判定与性质 判定定理：一个平面内两条相交直线分别平行于另一平面，则面面平行。 符号： 性质定理：两平行平面与第三个平面相交，交线平行。 符号： 3. 二面角核心知识 定义：由一条棱出发的两个半平面组成的空间图形，平面角三要素：共顶点、垂直棱、分属两面。 取值范围：；为直二面角。 求解步骤：作角、证角、计算、作答。 4. 面面垂直判定与性质 判定定理：一个平面经过另一平面的一条垂线，则面面垂直。 符号： 性质定理：面面垂直，一个平面内垂直于交线的直线垂直另一平面。 符号： 【知识点05】空间位置转化核心体系 平行链：线线平行 线面平行 面面平行 垂直链：线线垂直 线面垂直 面面垂直 距离链：异面直线距离 线面距离 点面距离 易错点1：平面公理误用 误区：三点一定共面、两直线确定一个平面。 正解：不共线三点确定唯一平面；只有相交、平行直线可确定平面，异面直线不共面。 易错点2：异面直线概念误区 误区：无公共点的空间直线为平行直线。 正解：无公共点分两种：共面为平行，不共面为异面。 易错点3：线面平行判定漏洞 误区：直线平行于平面内一条直线，即线面平行。 正解：必须满足直线在平面外，若直线在平面内，不满足平行定义。 易错点4：面面平行判定漏洞 误区：平面内两条平行直线平行于另一平面，可证面面平行。 正解：必须是两条相交直线，平行直线无法判定面面平行。 易错点5：二面角作图不规范 误区：两面内任意垂线均可作为二面角平面角。 正解：必须同时满足共顶点、垂直棱、分属两面三要素。 易错点6：面面垂直性质滥用 误区：面面垂直，平面内所有直线垂直另一平面。 正解：仅垂直于交线的直线垂直另一平面。 易错点7：异面直线距离误区 误区：两直线垂直即为公垂线、任意连线为距离。 正解：公垂线必须垂直且相交，仅公垂线段长度为异面直线最短距离。 易错点8：垂直无传递性 误区：。 正解：面面垂直无传递性，两平面可平行、相交、垂直。 【题型一】平面基本性质（公理综合应用·共面证明） 【典例1-1】如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四点E，F，G，H共面. 【答案】证明见解析； 【分析】证明即可证明结论. 【详解】证明：因为E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点， 所以， 所以， 所以四点E，F，G，H共面. 【变式1-1】如图所示，在正方体中，分别是和的中点，求证：四边形为平面图形． 【答案】见解析 【分析】证明线线平行，从而得到四点共面，则四边形为平面图形. 【详解】证明：连接EF，，． 由E，F分别是AB，的中点，可得． 由正方体的性质知，，所以四边形是平行四边形， 所以，则，故E，C，，F四点共面． 则四边形为平面图形. 【变式1-2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．证明：E，F，D，B四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】连接EF，BD，，证明即可 【详解】如图， 连接EF，BD，． ∵EF是的中位线， ∴． ∵与平行且相等， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴E，F，D，B四点共面． 【变式1-3】如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面； （2）结合面面位置关系可得证. 【详解】（1） 连接、，， 由，分别为，中点，则， 又，，则， ， 、、、四点共面. （2） 由，， 易知， 又，分别为，中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线、不平行， 设它们交点为，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即、必相交且交点在直线上． 【题型二】空间直线与直线位置关系（异面直线判定+角度） 【典例2-1】已知是空间四边形（、、、不共面），求证：直线、是异面直线． 【答案】 假设直线、不是异面直线，即、共面， 则、、、也共面， 显然这与条件矛盾， 因此假设不成立， 即直线、是异面直线． 【分析】利用反证法假设两直线不是异面直线，可得、、、共面，可知假设错误. 【详解】略 【变式2-1】如图，已知正方体． (1)哪些棱所在直线与直线是异面直线？（直接写答案） (2)直线和的夹角是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据异面直线的定义即可得解； （2）根据，可得即为异面直线和所成的角，进而可得出答案. 【详解】（1）由异面直线的定义可得， 与直线是异面直线的棱有； （2）因为， 所以即为异面直线和所成的角， 而， 所以直线和的夹角是. 【变式2-2】（24-25高二上·上海静安·阶段检测）如图， 在正方体，E为棱的中点. (1)利用异面直线判定定理证明：直线AB，为异面直线； (2)求异面直线，所成角的大小. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据异面直线的判断定理，即可证明； （2）首先根据平行关系，构造异面直线所成的角，再求解. 【详解】（1）证明：平面，平面， 且，所以是异面直线. （2）因为，所以或其补角是异面直线，所成角， 连结， 因为平面，平面，所以， 设，由点是的中点，所以， 所以，, 所以异面直线，所成角的大小为. 【变式2-3】在正方体中，、分别是棱、的中点.      (1)求证：、、、四点共面； (2)求证：直线与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，根据已知推得，，进而得出； （2）结合已知，根据异面直线的定义，即可得出证明. 【详解】（1）    如图，连接， 因为、分别是棱、的中点， 所以，. 由已知可得，，且， 所以，四边形为平行四边形， 所以，， 所以，， 所以，、、、四点共面. （2）因为平面，平面， 平面，但是， 根据异面直线的定义可得，直线与是异面直线. 【题型三】直线与平面位置关系（线面平行证明） 【典例3-1】在正方体中，、分别为棱、的中点．求证：平面． 【答案】 连接交于，连接， 、分别为、的中点， ，． ，，为的中点， ，， 四边形为平行四边形， ． 又平面，平面， 平面 【分析】由中位线得到，，进而得到四边形为平行四边形，，由线面平行判定得到平面. 【详解】略 【变式3-1】如图，在正方体中，点为棱的中点．    求证：平面． 【答案】 正方体中，四边形是正方形， 连接交于，则为中点， 连接OE，由为中点，得：OE为三角形的中位线， 所以，又平面，平面，所以平面． 【分析】连接交于，则为中点，连接OE，易知OE为三角形的中位线，应用线面平行的判定证结论. 【详解】略 【变式3-2】如图，正方体中，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明：连接， 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先说明或其补角即为异面直线与所成角，进而可得出答案. 【详解】（1）略 （2）因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又， 所以或其补角即为异面直线与所成角平面角， 因为，所以， 即异面直线与所成角的大小为． 【变式3-3】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，长方体中，，，，点P为的中点.. (1)求证：直线∥平面PAC； (2)求异面直线PO与AB所成角的大小. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据中位线可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）分析可知异面直线PO与AB所成角的大小即为（或其补角），结合长度关系运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：分别为的中点，则∥， 且平面PAC，平面PAC，所以直线∥平面PAC. （2）连接， 由（1）可知∥， 则异面直线PO与AB所成角的大小即为（或其补角）， 由题意可知：， 则，即，可得， 所以异面直线PO与AB所成角的大小为. 【题型四】直线与平面位置关系（线面垂直证明） 【典例4-1】如图，已知、两点分别是正方形边、的中点，交于点，垂直于所在平面．求证：⊥平面． 【答案】证明见解析． 【详解】试题分析：连接交于点，由，是正方形边、的中点，得到⊥，再根据平面，得到⊥，即可利用线面垂直的判定定理，证得⊥平面． 试题解析：证明：如图，连接交于点， ∵，是正方形边、的中点，⊥， ∴⊥， 又∵平面，平面， ∴⊥， ∵，平面 ∴⊥平面． 考点：直线与平面垂直的判定与证明． 【变式4-1】如图，已知是正三角形，都垂直于平面，且是的中点，求证： （1）平面； （2）平面. 【答案】(1)证明：取AB的中点M,连FM,MC， ∵ F、M分别是BE、BA的中点， ∴ FM∥EA, FM＝EA， ∵ EA、CD都垂直于平面ABC， ∴ CD∥EA∴ CD∥FM又 DC＝a，∴ FM＝DC ∴ 四边形FMCD是平行四边形，∴ FD∥MC， ∴ FD∥平面ABC． （2）证明：∵M是AB的中点，△ABC是正三角形， ∴CM⊥AB，又CM⊥AE，AB∩AE＝A， ∴CM⊥面EAB，CM⊥AF，FD⊥AF， ∵F是BE的中点, EA＝AB， ∴AF⊥EB， ∴AF⊥平面EDB． 【变式4-2】正方体ABCD-A1B1C1D1中.求证: （1）A1C1//平面ACB1； （2）BD1⊥平面AB1C 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，只要证出即可； （2）根据题意可证得由线面垂直的判定定理即得证． 【详解】（1）如图所示： 连接，由正方体的结构特征可知，，且，所以四边形为平行四边形，即有，而平面，平面，故平面． （2）因为平面，平面，所以，由四边形为正方形可知，， 而，所以平面，又平面∴．同理可证，，而，故平面． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理的应用，以及三垂线定理的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于基础题． 【变式4-3】（25-26高二上·上海·单元测试）如图，底面ABCD是正方形，平面ABCD，.    (1)求异面直线PC与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)若点E、F分别是棱AD和PC的中点，求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据异面直线的定义求得或其补角是异面直线PC与AB所成角，从而在直角三角形中求解余弦值即可求解； （2）取中点M，连接，根据线线，线面的垂直关系的转化，即可证明线面垂直. 【详解】（1）由题意得，所以或其补角是异面直线PC与AB所成角， 因为底面是正方形，所以， 因为平面ABCD，底面，所以， 又且都在面内，所以平面，又平面，所以， 因为，所以， 又，，   故在中，，所以， 即异面直线PC与AB所成角为. （2）取中点M，连接，    又点E、F分别是棱AD和PC的中点，则，，，， 所以，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，底面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，且点是的中点，所以， 且，平面， 所以平面，又，所以平面. 【题型五】求线面角 【典例5-1】如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，则直线与对角面所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点O，证明直线与平面所成的角是，由得直线与平面所成的角等于，在直角三角形中求得此角大小． 【详解】由E，F分别是的中点得．连接，交于点O， 平面，平面，则，又正方形中， ，平面， 所以平面，所以直线与平面所成的角是， 即直线与平面所成的角等于 平面，，， ，直角三角形中， 故选：A． 【变式5-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）线段的长度等于它在平面上投影长的2倍，则所在直线与平面所成角的大小为_____. 【答案】 【分析】根据题意利用锐角三角函数结合线面角的定义求解即可. 【详解】设线段的长度为，其在平面内的射影的长度为. 由题意，. 在直角三角形中，， 因此，线段所在直线与平面所成的角为. 故答案为：. 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）在正方体中，体对角线与平面所成角的正切值是_________. 【答案】 【分析】连接，由平面，得到为与平面所成角，在直角中，即可求解. 【详解】设正方体的棱长为1，连接， 在正方体中，可得平面， 所以体对角线与平面所成角，即为， 在直角中，，所以, 所以体对角线与平面所成角的正切值是. 故答案为：. 【变式5-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知点为平面外一点. (1)若为边长为1的等边三角形，，求直线与平面所成角： (2)若直线､和平面所成角的大小之比为，而它们的长度之比为.分别求斜线段､和平面所成角的大小. 【答案】(1) (2) ， 【分析】（1）由过作平面，连接，由线面角的定义即可求解； （2）连接，确定为直线与平面所成角，再由线面角的定义即可求解. 【详解】（1） 过作平面，连接， 故为直线与平面所成角， 由于，为公共边， 又平面，且平面， 故， 所以由勾股定理可知： 故为的外心， 又因为为等边三角形，故为的重心， 故， 由于平面，且平面，故， 故，而为锐角，故， （2） 连接，故为直线与平面所成角， 由于直线､和平面所成角的大小之比为 故， 又， 且， 故， 即， 又因为，故 故， 因此， . 【题型六】平面与平面平行（面面平行证明重难点） 【典例6-1】如图，正方体，判断平面与平面的位置关系并简述理由． 【答案】平面平面，理由见解析 【分析】利用两个平行平面判定定理，先证明线平行平面，再说明这两条线相交于一点. 【详解】解：平面平面，理由如下： ∵，平面，平面， ∴平面， 同理平面，又， ∴平面平面． 【变式6-1】如图，直线相交于点O，，求证：平面ABC//平面. 【答案】证明见解析 【解析】利用全等三角形的性质以及平行线的判定定理可得，从而由线面平行的判定定理可得平面，同理可证AB//平面，进而由面面平行的判定定理可得结论. 【详解】与相于点O,. 又. . 又平面，平面. 平面.同理可证AB//平面. 又平面ABC，平面ABC，， ∴平面平面. 【点睛】本题主要考查线面平行的判断、面面平行的判断，解答过程中一定要注意线面平行的判定定理与面面平行的判定定理的应用条件，本题属于中档题. 【变式6-2】如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】连接，由三角形中位线定理可得，再由正方形的性质可证得，则，利用线面平行的判定定理可证得平面，同理可证得平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论. 【详解】证明：如图，连接． 因为，分别是，的中点，所以． 因为∥，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． 同理可证平面． 又因为，，平面， 所以平面平面． 【变式6-3】如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 【答案】(1) 连接交于，连接． 因为为正方体，底面为正方形， 对角线、交于点，所以为的中点， 又因为为的中点，在中，是的中位线， 则， 又平面，平面， 所以平面； (2) 上的中点即满足平面平面． 因为为的中点，为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 由（1）知平面， 又因为，平面， 所以平面平面． 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理，可得证明； （2）上的中点即满足平面平面．由平行四边形的性质和线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理，可得结论． 【题型七】二面角求解 【典例7-1】在正方体中，二面角的正切值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，可得是二面角的平面角，设正方体的棱长为2，求解即可. 【详解】取的中点，连接， 由正方体，可得， 所以，所以是二面角的平面角， 设正方体的棱长为2，可得，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 故答案为：D 【变式7-1】（24-25高二上·上海宝山·阶段检测）在正方体中，二面角的平面角大小为__________. 【答案】 【分析】通过分析图形找到二面角的平面角，求角的余弦值，确定角的大小. 【详解】 如图，取中点，连接， 由题意得，、、为等边三角形， ∴，， ∴为二面角的平面角. 设等边三角形边长为2，则， ∴， ∴. 故答案为：. 【变式7-2】（25-26高二上·上海·期末）在正四面体中，和为侧面上互异的两点，则直线与平面所成角的最大值为______． 【答案】 【分析】由题意得可将问题转化为求侧面与底面的二面角，根据正四面体的性质与二面角的定义即可求解. 【详解】在正四面体中，侧面与底面的二面角，即为直线与平面所成角的最大值， 设正四面体棱长为2，取中点，此时应与重合， 设侧面与底面的二面角为， 因为，所以， 过向底面作垂线，易得垂足落在上， 因为棱长为2，则，进而， 故，则. 【变式7-3】（25-26高三·上海·一轮复习）如图，在四面体ABCD中，已知，，且．试作出二面角的平面角，并求它的度数． 【答案】 【分析】依据题意作出二面角的平面角，再利用等边三角形的性质求解角度即可. 【详解】如图，取中点，连结，， 因为在四面体中， , 所以， 所以是二面角的平面角， 因为在四面体中，， ，，是中点， 所以， 所以是等边三角形，所以, 所以二面角的大小为. 【题型八】平面与平面垂直（证明压轴题型） 【典例8-1】如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC. 【答案】证明见解析 【分析】证明PC⊥BD，AC⊥BD，结合面面垂直的判定证明即可. 【详解】∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD. ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC. ∵BD⊂平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC. 【变式8-1】如图，已知空间四边形ABCD中，，，E是AB的中点，求证：平面CDE⊥平面ABC．    【答案】证明见解析． 【分析】先证明平面，再由面面垂直的判定定理得证． 【详解】因为，，E是AB的中点， 所以，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面 平面． 【变式8-2】如图，在正方体中，求证：平面平面． 【答案】 在正方体中， 可得平面， 因为平面， 所以， 又，且， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面 【分析】证出平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明. 【变式8-3】如图，已知是正三角形，直角梯形ACDE所在平面垂直于平面ABC，且，，，，F是BE的中点. (1)求证：平面ABC； (2)求证：平面平面BDE. 【答案】(1)取中点，连接，如图所示； 则且. 因为，所以， 又，所以四边形是平行四边形，于是. 因为平面，平面， 所以平面. (2)因为直角梯形所在平面垂直于平面，， 所以平面，所以， 因为，所以. 因为，是的中点，所以，且. 又是正三角形，， 所以，， 所以，从而，   又平面，平面，且， 所以平面.   因为平面， 所以平面平面. 【分析】（1）由题意可知，取中点构建平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证明； （2）由面面垂直的性质定理可得平面，即可得，再根据以及勾股定理，即可证明平面，再根据面面垂直的判定定理便可得出证明. 【题型九】异面直线距离 【典例9-1】（24-25高二·上海·随堂练习）已知正方体的棱长为a，则异面直线与公垂线是________． 【答案】 【分析】由公垂线的定义求解． 【详解】因为分别与、垂直，， 故是与的公垂线， 故答案为： 【变式9-1】在四面体中，若，则异面直线与的距离为__________． 【答案】 【分析】分别取AB，CD的中点E，F，连接CE，DE，AF，BF，EF，证得EF为异面直线AB和CD的公垂线求解. 【详解】如图所示： 分别取AB，CD的中点E，F，连接CE，DE，AF，BF，EF， 因为， 所以， 又因为E为中点， 所以，同理， 所以EF为异面直线AB和CD的公垂线， 所以， 故答案为： 【变式9-2】如图，在长方体中，，，．求异面直线和距离． 【答案】5cm． 【分析】由长方体性质及异面直线距离的定义，确定异面直线和的公垂线，从而求解得距离. 【详解】连接交于点M，交于点，连接， 由长方体的性质，得是的中点，是的中点． 在矩形中，可得， ∵平面，平面， ∴，∴，同理， ∴就是异面直线和的距离． ∵， ∴异面直线和的距离是． 【变式9-3】如图，在棱长为10的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，求点P到直线的距离的最小值． 【答案】 【分析】依题意找出异面直线与的公垂线，公垂线段的长度即为所求. 【详解】如图，取的中点F，连接EF，，作于点M， 过点M作 交于点P，作于点N， 由题意可知，E，F分别为BC，的中点，所以 ， 而平面，平面，所以 平面， 所以点P到直线的距离的最小值即为异面直线与公垂线的长度． 由于，，且，则四边形为矩形，所以PN⊥MP， 又因为， ，所以PN⊥，又 ,平面 所以PN⊥平面，从而． 所以PN即为异面直线与公垂线． 因为正方体的棱长为10，所以 ， 在 中， ， ， 所以，即点P到的距离的最小值为， 综上，点P到的距离的最小值为. 一、平面基本性质（三大公理·必背依据） 公理1（线在面内）：两点在面内 ⇒ 整条直线在面内 公理2（定平面）：不共线三点确定唯一平面 推论：直线+线外一点、两相交直线、两平行直线 均可唯一确定平面 公理3（交线公理）：两面共点 ⇒ 必有唯一公共交线 速记：点共线用公理3，点线共面用公理1/2 二、空间线线位置关系（3类） 相交（共面1交点）、平行（共面无交点）、异面（不共面、无交点、不平行） 1. 异面直线所成角 平移取锐角/直角，范围： 2. 异面直线距离 定义：唯一公垂线段长度（同时垂直且相交），为两线最短距离 向量万能公式： 说明：为两点连线向量，为两直线方向向量 三、线面平行与垂直（核心定理） 1. 线面平行 判定（外推内）： 性质（内推交）： 2. 线面垂直 判定（垂两交）： 性质：同垂一面的两直线平行 四、面面平行（必考证明） 判定：一面内两条相交直线平行另一面 ⇒ 面面平行 性质：两面平行，同截第三面 ⇒ 交线平行 推论：面面平行 ⇒ 面内任意直线平行于另一平面 五、二面角（计算核心） 平面角三要素：共顶点、垂直棱、分属两面 取值范围：； 为直二面角（面面垂直） 解题步骤：作角 → 证合规 → 计算 → 作答 六、面面垂直（压轴考点） 判定（线面垂 ⇒ 面面垂）： 性质（面面垂 ⇒ 线面垂）： 致命易错：面面垂直无传递性；仅垂直交线的直线才垂直另一平面 七、单元万能转化链条（解题总纲） 平行链：线线平行 线面平行 面面平行 垂直链：线线垂直 线面垂直 面面垂直 距离链：异面直线距离 线面距离 点面距离 八、考场极简避坑口诀 平行必找相交线，垂直必盯公共线； 二面角度守三垂，异面距离唯公垂； 立体不凭肉眼判，定理公式定乾坤。 一、填空题 1．（24-25高二·上海·随堂练习）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是________． 【答案】 【分析】证明平面，从而将异面直线与距离转换成点到平面的距离，接着证明平面即可结合正方体性质得所求距离为. 【详解】连接，因为平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离就是直线到平面的距离， 又平面，所以异面直线与距离就是点到平面的距离， 由正方体性质可知，平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面， 所以由正方体性质点到平面的距离为， 即异面直线与距离为. 故答案为：. 2．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知二面角且，A到平面的距离为，A到l的距离为4，则此二面角的大小为________． 【答案】/ 【分析】根据二面角的定义，结合勾股定理进行求解即可. 【详解】 作于点O，平面于点B，连接， ∵于点B，，， 又，且两直线在平面内 ，平面， 平面，∴，∴∠AOB即为二面角的平面角， 易知，，，， 因为二面角的平面角的范围是，∴， 即二面角的大小为． 故答案为： 3．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的大小为______（用反三角函数表示）. 【答案】 【分析】由正方体的性质找到异面直线所成的角，在直角三角形中求解正切值即可. 【详解】由题意可得，所以异面直线与所成角等于， 连接，平面，平面，所以， 设正方体的棱长为，则， 所以在直角三角形中，，所以. 故答案为： 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且，．则直线FH与EG的交点一定在直线________上（注：不能填“FH”“EG”）    【答案】 【分析】先证明直线与直线交于，再证明过点即可. 【详解】由题意与直线不平行，但共面，∴设，则平面，平面. ∵平面平面，，∴直线共点. 故答案为：. 5．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知正方体边长为2，点为底面ABCD所在平面内的任意一点，则异面直线与AP所成角的最小值为______. 【答案】 【分析】由题意线线角的最小值为相关的线面角，从而求出答案. 【详解】异面直线与AP所成角的最小值为直线与平面所成的角， 由平面，故斜线在平面上的投影为， 故即为斜线与平面所成的角，， 故异面直线与AP所成角的最小值为. 6．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，正方体棱长为2，E、F分别为、的中点，P是底面上一点.若平面BEF，则直线AP与底面所成角的正切值的取值范围是______. 【答案】 【分析】作出辅助线，证明出平面平面，因为平面，所以点，求出各边长，得到等腰直角三角形斜边上的高为，得到，设与平面成角为，求出.. 【详解】如图，取的中点的中点，连接， 由正方体分别为的中点，易知， 且，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面平面， 所以平面，因为分别为的中点， 由中位线性质可得，同理可知， 所以，又因为平面平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为是底面上一点，且平面，所以点， 正方体棱长为2，由分别为的中点， 故，， 故等腰直角三角形斜边上的高为， 故的最小值为， 当重合或重合时，取得最大值1， 则的长度的取值范围为，设与平面成角为， 在正方体中，易知平面，且为垂足， 所以. 故答案为：. 7．（24-25高二上·上海·阶段检测）已知三个平面、、，任意两个平面所成的锐二面角的大小都是，则锐角的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用特殊情况来说明两平面所成角的最大角和最小角，从而可得任意角时的范围. 【详解】作出一个正方体，如图：    有平面平面，平面平面，平面平面， 这样满足三个平面、、，任意两个平面所成的二面角的大小都是， 当三个平面重合时，也满足三个平面、、，任意两个平面所成的二面角的大小都是， 由于两个平面所成的二面角的大小没有钝角，通过以上两种情况， 能说明任意两个平面所成角相等时的最小角是0，最大角是， 但是如果三个平面、、，任意两个平面所成的锐二面角的大小都是，那么锐角的取值范围是. 故答案为：. 8．（25-26高二上·上海·期中）线段在平面的一侧，它的两个端点、到平面的距离分别为14cm和2cm，则此线段中点到平面的距离为___________． 【答案】8 【分析】利用直线和平面垂直的性质定理，得到中点到平面的距离为以2和14为上下底的直角梯形的中位线的长度，从而得到所求. 【详解】中点到平面的距离为以2和14为上下底的直角梯形的中位线的长度， 即，故线段中点到平面的距离为8. 故答案为：8. 9．（23-24高二上·上海浦东新·期中）四面体中，，，、分别为、的中点，并且异面直线与所成的角为，则线段的长为_____________. 【答案】或 【分析】取中点，连接，，即可得到为异面直线与所成的角（或补角），再由余弦定理计算可得. 【详解】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 又因为异面直线与所成的角为， 所以或， 当时，由余弦定理， 所以； 当时，由余弦定理， 所以； 综上可得或. 故答案为：或 10．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，则AP与CQ的位置关系是______．    【答案】相交 【分析】连接，利于中位线性质可证得得共面，再利用反证法假设，可证得矛盾，从而可得与相交. 【详解】如图，    连接，P是的中点，Q是的中点，所以是的中位线， 故，而在正方体中中，， 所以四边形是平行四边形， 故，所以，得共面， 故与共面， 假设,由，可得四边形是平行四边形， 则，即，这与是的中位线矛盾， 故与相交. 故答案为：相交. 11．（25-26高二上·上海·期中）正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论： （1）直线AM与是相交直线；（2）直线AM与BN是平行直线； （3）直线BN与是异面直线；（4）直线AM与是异面直线. 其中正确的结论为____________.（把你认为正确结论的序号都写上） 【答案】（3）（4） 【详解】对于（1）：因为与为异面直线，可知四点不共面， 所以直线AM与是异面直线，故（1）错误； 对于（2）：因为与为异面直线，可知四点不共面， 所以直线AM与是异面直线，故（2）错误； 对于（3）：直线BN与是异面直线，故（3）正确； 对于（4）：因为与为异面直线，可知四点不共面， 所以直线AM与是异面直线，故（4）正确. 12．（25-26高二上·上海·期末）图1所示为文件边角夹，其由两个全等的，直角边长为4厘米的等腰直角三角形塑料板（不考虑厚度）通过贴片耦合而成．图2展示了文件边角夹的工作原理，在使用文件边角夹时，通过按压使三角形塑料板绕着其中位线顺时针旋转，直至与三角形塑料板所在平面平行时无法转动．若要让边角夹按压后能够夹起总厚度为1.2厘米的一沓纸张，则边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角的最小值为______．（结果精确到） 【答案】 【分析】由题知直角顶点到中位线的距离为，再结合纸张的厚度与二面角的平面角为的关系求解即可. 【详解】因为等腰直角三角形的直角边长为4cm， 所以斜边上的高为cm， 因为中位线平行于斜边， 所以直角顶点到中位线的距离为， 设边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角为， 则纸张的厚度为，即， 因为边角夹按压后能够夹起总厚度为1.2厘米的一沓纸张， 所以，解得， 所以，所求二面角的平面角至少为. 二、单选题 13．（24-25高二上·上海·期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据空间中点和线的位置关系，即可求解. 【详解】对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误， 对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确， 对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误， 对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外 ，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确 故选：B 14．从空间一点向二面角分别作垂线为垂足.若，则该二面角的平面角的大小为（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用点P与二面角的位置关系分析、推理判断作答. 【详解】依题意，点P不平面和平面内，当点P在二面角内时，如图， 令直线平面，连，因，则， 因此，直线平面，有，则是二面角的平面角， 四边形中，，，则有； 当点P在二面角外时，如图，同理可得是二面角的平面角， 令，在与中，，则， 所以二面角的平面角的大小为或. 故选：C 15．（25-26高二上·上海·期中）已知正方体中，，，分别是棱，，的中点，是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于选项A，利用异面直线的判断定理可知选项A正确；对于选项B，当与重合时，有，从而判断出选项B的正误；对于选项C，当与重合时，有与相交，从而判断出选项C的正误；对于选项D，取中点，连交于，利用，可得到与相交，从而判断出选项D的正误. 【详解】对于选项A，面，面，面，所以直线与异面； 对于选项B，当与重合时，因为，又，，分别是棱，，的中点，所以，所以，选项B错误； 对于选项C，连接，在正方体中，易得且，所以与相交，即当与重合时，与相交，选项C错误； 对于选项D，取中点，连交于，连，因为且，所以且，故当与重合时，与相交，选项D错误. 故选：A. 16．（24-25高二下·上海·开学考试）如图，正方体中，是侧面上的动点，且平面，为的中点．记与平面所成角为，与所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，，连接，根据已知得到点是线段上的动点，构造出，分别求出，比较后可得结论. 【详解】设平面与直线交于点，连接，易知为的中点， 分别取的中点，，连接， ∵平面平面， ∴平面．同理可得平面， ∵平面， ∴平面平面，结合平面， 可得直线平面，即点是线段上的动点． 由直线与平面所成角为，运动点并加以观察， 可得当与（或重合时，与平面所成角等于， 此时所成角达到最小值，满足； 当与中点重合时，与平面所成角达到最大值， 满足，所以与平面所成角的正切取值范围是． 由直线与所成的角为，因为， 所以与所成的角即为与所成的角，运动点并加以观察， 可得当与（或）重合时，与所成的角等于， 此时所成角达到最小值， 满足，可得，所以， 当与中点重合时，与所成的角达到最大值，满足， 因为，，又，所以． 故选：D． 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·期中）如图，棱长为2的正方体中，分别是的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角表示） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行. （2）根据线线平行，找出异面直线所成的角，在三角形中，利用余弦定理求角的余弦. 【详解】（1）如图：连接，. 因为为正方体，所以. 又，、分别是、的中点，所以， 所以，平面，平面，所以平面. （2）如图：连接、 因为，所以即为异面直线与所成的角，设为. 在中，，，. 所以 . 所以异面直线与所成的角为：. 18．（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点. (1)求异面直线与所成角的大小. (2)求证:点在直线上； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）判断出异面直线与所成角并计算出角的大小. （2）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. 【详解】（1）根据正方体的性质可知 是异面直线与所成的角或其补角 分别是的中点 是等腰直角三角形 即异面直线与所成角的大小为 （2），平面 平面 平面 平面 平面平面 即 点在直线上 19．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，等腰直角三角形中，，为中点，分别为边上的动点，且，将三角形沿折起，使点折至点的位置，二面角大小为，连接． (1)求证：平面； (2)若点为中点，求异面直线与所成的角的大小； (3)试判断直线与平面所成的角的大小是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，． 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证. （2）连接，由二面角的定义可得，再利用异面直线所成角的定义求解. （3）作于点，由线面平行的性质求出点到平面的距离，再利用线面角的意义列式求出最大值即可. 【详解】（1）由，得，则， 因此，而平面， 所以平面. （2）连接，由点为中点，，得是的中点，而为中点， 则，是异面直线与所成的角或其补角， 由（1）得是二面角的平面角，，令， 则是正三角形，，由（1）得，于是， 而，在等腰中，，则， 所以异面直线与所成的角的大小为. （3）作于点，由平面，平面，得， 而平面，则平面， 又平面，平面，于是平面， 点到平面距离等于点到平面距离， 设，直线与平面所成的角为， 则， 而，因此，令， 则，当且仅当时取等号， 因此，，又为锐角，则， 所以直线与平面所成的角的大小存在最大值，最大值为. 20．（25-26高二上·上海·阶段检测）某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）.凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足： ①凳子高度为30cm；            ②点都在地面上； ③三根细钢管相交处的节点与凳面三角形重心的连线垂直于凳面和地面； (1)若凳面是边长为20cm的正三角形，三根凳脚与地面所成的角均为，确定节点分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）； (2)若凳面是顶角为的等腰三角形，腰长为24cm，节点分细钢管上下两段之比为，确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm） 【答案】(1)0.63 (2)60.8cm，36.1cm，60.8cm 【分析】（1）设的重心为，连接，根据就是与平面所成的角，建立与的等量关系，解之即可； （2）设，的重心为，求出，分别在，，中求出、、，再根据比例关系求出所求即可 【详解】（1）设的重心为，连接， 由题意可得，， 设细钢管上下两段之比为， 已知凳子高度为30、则， 节点与凳面三角形重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行 就是与平面所成的角，亦即， ， ， 解得， 即节点分细钢管上下两段的比值约为0.63； （2）设，， 设的重心为， 则， 由节点分细钢管上下两段之比为，可知， 设过点、、的细钢管分别为、、， 则， ， 对应于、、三点的三根细钢管长度分别为，和. 21．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图所示，点是平面外一点，平面，点是线段的中点. (1)求证:平面 (2)问：是否存在线段上的一点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)若，二面角为，求的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，点为的中点，证明见解析； (3). 【分析】（1）构造辅助线，通过线线平行证明线面平行. （2）由线面平行得到线线平行，通过构造辅助线得到面面平行，从而证明线面平行. （3）通过构造辅助线找到二面角的平面角，利用角度得到各边之间的关系，结合二倍角公式即可得到结果. 【详解】（1） 如图，取中点，连接， ∵分别是的中点，∴. ∵平面，平面，平面平面， ∴. ∵，∴, ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. （2）存在，点为的中点.证明如下： 如图，取的中点，连接. ∵分别是的中点，∴. ∵平面，平面，∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面，∴平面平面， ∵平面，∴平面. （3） 如图，过点作平面，垂足为，过点作，垂足分别为，连接. ∵平面，平面，平面，∴，. ∵，，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴，故为二面角的平面角，即. 设， 在中，由得，，∴. 在中，由得，， 在中，， ∴，同理得，即 ∴，即的余弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 空间直线与平面单元复习+小测 （核心知识+8易错辨析+9典例精讲） 【题型一】平面基本性质（公理综合应用·共面证明） 【题型六】平面与平面平行（面面平行证明重难点） 【题型二】空间直线与直线位置关系（异面直线判定+角度） 【题型七】二面角求解 【题型三】直线与平面位置关系（线面平行证明） 【题型八】平面与平面垂直（证明压轴题型） 【题型四】直线与平面位置关系（线面垂直证明） 【题型九】异面直线距离 【题型五】求线面角 【知识点01】平面及其基本性质 1. 平面基本特征 平面具有无限延展性、无厚度、平整性，立体图形仅为局部示意，不可凭图形直观判定位置关系。 2. 平面三大公理（解题依据） 公理1（线在面内判定）：若一条直线上两点在平面内，则整条直线在平面内。 符号： 用途：判定直线在平面内、证明点共面。 公理2（确定平面公理）：不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面。 用途：确定平面、证明多点共面、平面唯一性判定。 公理3（平面交线公理）：两不重合平面有一个公共点，则两平面有且仅有一条过该点的公共直线。 符号： 用途：证明点共线、找平面交线。 3. 公理2三大推论 （1）一条直线与直线外一点，确定唯一平面； （2）两条相交直线，确定唯一平面； （3）两条平行直线，确定唯一平面。 【知识点02】空间直线与直线的位置关系 1. 三类位置关系 （1）相交直线：共面、有且仅有一个公共点； （2）平行直线：共面、无公共点； （3）异面直线：不共面、无公共点、既不平行也不相交。 2. 异面直线所成角 定义：空间任意一点平移两异面直线，取相交直线所成锐角或直角为异面直线所成角。 取值范围： 3. 异面直线距离 公垂线：与两异面直线同时垂直且相交的唯一直线； 异面直线距离：公垂线段的长度，为两异面直线上任意两点连线的最小值。 万能向量公式： （为两点连线向量，为两直线方向向量） 【知识点03】直线与平面的位置关系 1. 三类基础关系 （1）直线在平面内：有无数公共点，； （2）直线与平面平行：无公共点，； （3）直线与平面相交：有且仅有一个公共点（含线面垂直）。 2. 线面平行判定与性质 判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行。 符号： 性质定理：线面平行，过直线的平面与已知平面相交，则直线平行于交线。 符号： 3. 线面垂直判定与性质 判定定理：直线垂直于平面内两条相交直线，则线面垂直。 符号： 性质定理：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 【知识点04】平面与平面的位置关系 1. 两类基础关系 （1）面面平行：无公共点，； （2）面面相交：有一条公共交线，（特殊：面面垂直）。 2. 面面平行判定与性质 判定定理：一个平面内两条相交直线分别平行于另一平面，则面面平行。 符号： 性质定理：两平行平面与第三个平面相交，交线平行。 符号： 3. 二面角核心知识 定义：由一条棱出发的两个半平面组成的空间图形，平面角三要素：共顶点、垂直棱、分属两面。 取值范围：；为直二面角。 求解步骤：作角、证角、计算、作答。 4. 面面垂直判定与性质 判定定理：一个平面经过另一平面的一条垂线，则面面垂直。 符号： 性质定理：面面垂直，一个平面内垂直于交线的直线垂直另一平面。 符号： 【知识点05】空间位置转化核心体系 平行链：线线平行 线面平行 面面平行 垂直链：线线垂直 线面垂直 面面垂直 距离链：异面直线距离 线面距离 点面距离 易错点1：平面公理误用 误区：三点一定共面、两直线确定一个平面。 正解：不共线三点确定唯一平面；只有相交、平行直线可确定平面，异面直线不共面。 易错点2：异面直线概念误区 误区：无公共点的空间直线为平行直线。 正解：无公共点分两种：共面为平行，不共面为异面。 易错点3：线面平行判定漏洞 误区：直线平行于平面内一条直线，即线面平行。 正解：必须满足直线在平面外，若直线在平面内，不满足平行定义。 易错点4：面面平行判定漏洞 误区：平面内两条平行直线平行于另一平面，可证面面平行。 正解：必须是两条相交直线，平行直线无法判定面面平行。 易错点5：二面角作图不规范 误区：两面内任意垂线均可作为二面角平面角。 正解：必须同时满足共顶点、垂直棱、分属两面三要素。 易错点6：面面垂直性质滥用 误区：面面垂直，平面内所有直线垂直另一平面。 正解：仅垂直于交线的直线垂直另一平面。 易错点7：异面直线距离误区 误区：两直线垂直即为公垂线、任意连线为距离。 正解：公垂线必须垂直且相交，仅公垂线段长度为异面直线最短距离。 易错点8：垂直无传递性 误区：。 正解：面面垂直无传递性，两平面可平行、相交、垂直。 【题型一】平面基本性质（公理综合应用·共面证明） 【典例1-1】如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四点E，F，G，H共面. 【变式1-1】如图所示，在正方体中，分别是和的中点，求证：四边形为平面图形． 【变式1-2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．证明：E，F，D，B四点共面． 【变式1-3】如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【题型二】空间直线与直线位置关系（异面直线判定+角度） 【典例2-1】已知是空间四边形（、、、不共面），求证：直线、是异面直线． 【变式2-1】如图，已知正方体． (1)哪些棱所在直线与直线是异面直线？（直接写答案） (2)直线和的夹角是多少？ 【变式2-2】（24-25高二上·上海静安·阶段检测）如图， 在正方体，E为棱的中点. (1)利用异面直线判定定理证明：直线AB，为异面直线； (2)求异面直线，所成角的大小. 【变式2-3】在正方体中，、分别是棱、的中点.      (1)求证：、、、四点共面； (2)求证：直线与是异面直线. 【题型三】直线与平面位置关系（线面平行证明） 【典例3-1】在正方体中，、分别为棱、的中点．求证：平面． 【变式3-1】如图，在正方体中，点为棱的中点．    求证：平面． 【变式3-2】如图，正方体中，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【变式3-3】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，长方体中，，，，点P为的中点.. (1)求证：直线∥平面PAC； (2)求异面直线PO与AB所成角的大小. 【题型四】直线与平面位置关系（线面垂直证明） 【典例4-1】如图，已知、两点分别是正方形边、的中点，交于点，垂直于所在平面．求证：⊥平面． 【变式4-1】如图，已知是正三角形，都垂直于平面，且是的中点，求证： （1）平面； （2）平面. 【变式4-2】正方体ABCD-A1B1C1D1中.求证: （1）A1C1//平面ACB1； （2）BD1⊥平面AB1C 【变式4-3】（25-26高二上·上海·单元测试）如图，底面ABCD是正方形，平面ABCD，.    (1)求异面直线PC与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)若点E、F分别是棱AD和PC的中点，求证：平面. 【题型五】求线面角 【典例5-1】如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，则直线与对角面所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）线段的长度等于它在平面上投影长的2倍，则所在直线与平面所成角的大小为_____. 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）在正方体中，体对角线与平面所成角的正切值是_________. 【变式5-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知点为平面外一点. (1)若为边长为1的等边三角形，，求直线与平面所成角： (2)若直线､和平面所成角的大小之比为，而它们的长度之比为.分别求斜线段､和平面所成角的大小. 【题型六】平面与平面平行（面面平行证明重难点） 【典例6-1】如图，正方体，判断平面与平面的位置关系并简述理由． 【变式6-1】如图，直线相交于点O，，求证：平面ABC//平面. 【变式6-2】如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 【变式6-3】如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 【题型七】二面角求解 【典例7-1】在正方体中，二面角的正切值为（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·上海宝山·阶段检测）在正方体中，二面角的平面角大小为__________. 【变式7-2】（25-26高二上·上海·期末）在正四面体中，和为侧面上互异的两点，则直线与平面所成角的最大值为______． 【变式7-3】（25-26高三·上海·一轮复习）如图，在四面体ABCD中，已知，，且．试作出二面角的平面角，并求它的度数． 【题型八】平面与平面垂直（证明压轴题型） 【典例8-1】如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC. 【变式8-1】如图，已知空间四边形ABCD中，，，E是AB的中点，求证：平面CDE⊥平面ABC．    【变式8-2】如图，在正方体中，求证：平面平面． 【变式8-3】如图，已知是正三角形，直角梯形ACDE所在平面垂直于平面ABC，且，，，，F是BE的中点. (1)求证：平面ABC； (2)求证：平面平面BDE. 【题型九】异面直线距离 【典例9-1】（24-25高二·上海·随堂练习）已知正方体的棱长为a，则异面直线与公垂线是________． 【变式9-1】在四面体中，若，则异面直线与的距离为__________． 【变式9-2】如图，在长方体中，，，．求异面直线和距离． 【变式9-3】如图，在棱长为10的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，求点P到直线的距离的最小值． 一、平面基本性质（三大公理·必背依据） 公理1（线在面内）：两点在面内 ⇒ 整条直线在面内 公理2（定平面）：不共线三点确定唯一平面 推论：直线+线外一点、两相交直线、两平行直线 均可唯一确定平面 公理3（交线公理）：两面共点 ⇒ 必有唯一公共交线 速记：点共线用公理3，点线共面用公理1/2 二、空间线线位置关系（3类） 相交（共面1交点）、平行（共面无交点）、异面（不共面、无交点、不平行） 1. 异面直线所成角 平移取锐角/直角，范围： 2. 异面直线距离 定义：唯一公垂线段长度（同时垂直且相交），为两线最短距离 向量万能公式： 说明：为两点连线向量，为两直线方向向量 三、线面平行与垂直（核心定理） 1. 线面平行 判定（外推内）： 性质（内推交）： 2. 线面垂直 判定（垂两交）： 性质：同垂一面的两直线平行 四、面面平行（必考证明） 判定：一面内两条相交直线平行另一面 ⇒ 面面平行 性质：两面平行，同截第三面 ⇒ 交线平行 推论：面面平行 ⇒ 面内任意直线平行于另一平面 五、二面角（计算核心） 平面角三要素：共顶点、垂直棱、分属两面 取值范围：； 为直二面角（面面垂直） 解题步骤：作角 → 证合规 → 计算 → 作答 六、面面垂直（压轴考点） 判定（线面垂 ⇒ 面面垂）： 性质（面面垂 ⇒ 线面垂）： 致命易错：面面垂直无传递性；仅垂直交线的直线才垂直另一平面 七、单元万能转化链条（解题总纲） 平行链：线线平行 线面平行 面面平行 垂直链：线线垂直 线面垂直 面面垂直 距离链：异面直线距离 线面距离 点面距离 八、考场极简避坑口诀 平行必找相交线，垂直必盯公共线； 二面角度守三垂，异面距离唯公垂； 立体不凭肉眼判，定理公式定乾坤。 一、填空题 1．（24-25高二·上海·随堂练习）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是________． 2．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知二面角且，A到平面的距离为，A到l的距离为4，则此二面角的大小为________． 3．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的大小为______（用反三角函数表示）. 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且，．则直线FH与EG的交点一定在直线________上（注：不能填“FH”“EG”）    5．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知正方体边长为2，点为底面ABCD所在平面内的任意一点，则异面直线与AP所成角的最小值为______. 6．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，正方体棱长为2，E、F分别为、的中点，P是底面上一点.若平面BEF，则直线AP与底面所成角的正切值的取值范围是______. 7．（24-25高二上·上海·阶段检测）已知三个平面、、，任意两个平面所成的锐二面角的大小都是，则锐角的取值范围是______． 8．（25-26高二上·上海·期中）线段在平面的一侧，它的两个端点、到平面的距离分别为14cm和2cm，则此线段中点到平面的距离为___________． 9．（23-24高二上·上海浦东新·期中）四面体中，，，、分别为、的中点，并且异面直线与所成的角为，则线段的长为_____________. 10．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，则AP与CQ的位置关系是______．    11．（25-26高二上·上海·期中）正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论： （1）直线AM与是相交直线；（2）直线AM与BN是平行直线； （3）直线BN与是异面直线；（4）直线AM与是异面直线. 其中正确的结论为____________.（把你认为正确结论的序号都写上） 12．（25-26高二上·上海·期末）图1所示为文件边角夹，其由两个全等的，直角边长为4厘米的等腰直角三角形塑料板（不考虑厚度）通过贴片耦合而成．图2展示了文件边角夹的工作原理，在使用文件边角夹时，通过按压使三角形塑料板绕着其中位线顺时针旋转，直至与三角形塑料板所在平面平行时无法转动．若要让边角夹按压后能够夹起总厚度为1.2厘米的一沓纸张，则边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角的最小值为______．（结果精确到） 二、单选题 13．（24-25高二上·上海·期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．从空间一点向二面角分别作垂线为垂足.若，则该二面角的平面角的大小为（    ） A． B． C．或 D．不确定 15．（25-26高二上·上海·期中）已知正方体中，，，分别是棱，，的中点，是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二下·上海·开学考试）如图，正方体中，是侧面上的动点，且平面，为的中点．记与平面所成角为，与所成角为，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·期中）如图，棱长为2的正方体中，分别是的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角表示） 18．（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点. (1)求异面直线与所成角的大小. (2)求证:点在直线上； 19．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，等腰直角三角形中，，为中点，分别为边上的动点，且，将三角形沿折起，使点折至点的位置，二面角大小为，连接． (1)求证：平面； (2)若点为中点，求异面直线与所成的角的大小； (3)试判断直线与平面所成的角的大小是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 20．（25-26高二上·上海·阶段检测）某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）.凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足： ①凳子高度为30cm；            ②点都在地面上； ③三根细钢管相交处的节点与凳面三角形重心的连线垂直于凳面和地面； (1)若凳面是边长为20cm的正三角形，三根凳脚与地面所成的角均为，确定节点分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）； (2)若凳面是顶角为的等腰三角形，腰长为24cm，节点分细钢管上下两段之比为，确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm） 21．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图所示，点是平面外一点，平面，点是线段的中点. (1)求证:平面 (2)问：是否存在线段上的一点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)若，二面角为，求的余弦值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $