第10章 空间直线与平面 单元检测巩固篇-2026-2027学年高二上学期数学沪教版必修第三册

**基本信息** 2026-2027学年高中数学沪教版必修第三册第10章空间直线与平面单元检测·巩固篇，适配单元复习，全面覆盖线面关系、空间角与距离等核心知识，注重空间观念与推理能力，契合数学眼光与思维素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|线面位置关系、空间四边形形状、正方体中角与交线|基础巩固，如第2题辨析线面平行垂直性质，强化抽象能力| |选择题|4题/18分|面面线面关系判断、异面直线成角与距离|能力提升，如第15题异面直线成角问题，培养空间观念| |解答题|5题/78分|线面平行证明、线面角二面角计算、折叠与外接球、三面角定理|创新应用，如第19题折叠问题及外接球体积最值，第20题三面角余弦定理证明，发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年高中数学沪教版必修第三册第10章空间直线与平面 单元检测·巩固篇（原卷版） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分。） 1.（4分）已知直线 平面 ，直线 ，则直线 的位置关系为__________。 2.（4分）下列命题正确的序号为__________。 ① 若一条直线与一个平面平行，则这条直线与平面内任意一条直线都平行； ② 若一条直线与一个平面垂直，则这条直线与平面内任意一条直线都垂直； ③ 若两个平面平行，则一个平面内任意一条直线与另一个平面平行； ④ 若两个平面垂直，则一个平面内任意一条直线与另一个平面垂直。 3.（4分）空间四边形 中， 分别为 的中点， 分别为 的中点，则四边形 的形状为__________。 4.（4分）正方体 中，棱长为1，则棱 与体对角线 所成角的余弦值为__________。 5.（4分）平面 平面 ，，直线 ，，则直线 与平面 的位置关系为__________。 6.（4分）正方体 中，平面 与平面 的交线为__________。 7.（5分）异面直线 所成角为 ，过空间一点 与 都成 的直线共有__________条。 8.（5分）直线 ，，，由直线 确定的平面记为 ，则平面 与 的位置关系为__________。 9.（5分）正方体 中，棱长为1，则直线 与平面 所成角的正弦值为__________。 10.（5分）二面角 的平面角为 ，直线 ，且 ，则直线 与平面 所成角的大小为__________。 11.（5分）正方体 中，平面 与平面 的位置关系为__________。 12.（5分）如图，在棱长为2的正方体 中， 为 的中点， 为 的中点，过 三点作正方体的截面，则截面面积为__________。 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 13.（4分）已知 是三个不同平面， 是两条不同直线，下列命题为真命题的是（　　） A. 若 ，，则 B. 若 ，，则 C. 若 ，，，则 D. 若 ，，，则 14.（4分）正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 15.（5分）已知异面直线 所成角为 ，过空间任意一点 ，作直线 使得 与 所成角均为 ，满足条件的直线 （　　） A. 不存在　　B. 有且只有1条　　C. 有且只有2条　　D. 有且只有4条 16.（5分）【10.5选学拓展】棱长为1的正方体 中，异面直线 与 之间的距离为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 三、解答题（本大题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（14分） 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面，且 。点 是 的中点，点 是 的中点。 （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值。 18.（14分） 已知三棱柱 中，平面 平面 ，四边形 为菱形，且 ，，。 （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值。 19. （14分） 如图1，在矩形 中，，， 是边 上的一点，将 沿着 折起，使点 到达点 的位置。 （1）如图2，若 是 的中点，点 是线段 的中点，求证： 平面 ；（6分） （2）如图3，若点 在平面 内的射影 落在线段 上。 ① 求证： 平面 ；（6分） ② 求点 的位置，使三棱锥 的外接球的体积最大，并求出最大值。（6分） 20.（18分） 如图1，由射线 、、 构成的三面角 ，，，，二面角 的大小为 。类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理： （1）如图2，在三棱锥 中， 为等腰直角三角形，， 为等边三角形，，求二面角 的平面角的正弦值； （2）如图3，在三棱锥 中， 平面 ，，连接 。已知 ，，，，，求三棱锥 体积的最大值； （3）当 时，请在图1的基础上，证明三面角余弦定理。 21.（18分） 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 底面 ，，，，， 分别是棱 上的点（含端点）。 （1）证明：； （2）若 为棱 的中点，且二面角 的正切值为 ，求 ； （3）设点 是边 上的点（含端点），求 的最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高中数学沪教版必修第三册第10章空间直线与平面 单元检测·巩固篇（解析版） 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分。） 1.（4分）已知直线 平面 ，直线 ，则直线 的位置关系为__________。 答案： 平行或异面 解析： 由线面平行定义，直线 与平面 无公共点，故 与 也无公共点。空间中无公共点的两条直线只有平行、异面两类。 易错点提醒： 易误以为一定平行，忽略异面情况。 2.（4分）下列命题正确的序号为__________。 ① 若一条直线与一个平面平行，则这条直线与平面内任意一条直线都平行； ② 若一条直线与一个平面垂直，则这条直线与平面内任意一条直线都垂直； ③ 若两个平面平行，则一个平面内任意一条直线与另一个平面平行； ④ 若两个平面垂直，则一个平面内任意一条直线与另一个平面垂直。 答案： ②③ 解析： ①错误，线面平行仅能推出与平面内部分直线平行；②正确，线面垂直的定义；③正确，由面面平行性质直接可得；④错误，仅垂直于交线的直线才垂直另一平面。 易错点提醒： 混淆面面垂直与线面垂直性质定理的适用条件。 3.（4分）空间四边形 中， 分别为 的中点， 分别为 的中点，则四边形 的形状为__________。 答案： 平行四边形 解析： 由三角形中位线定理：，；，。故 ，，四边形 为平行四边形。 易错点提醒： 空间四边形不是平面四边形，不可直接套用平面图形结论。 4.（4分）正方体 中，棱长为1，则棱 与体对角线 所成角的余弦值为__________。 答案： 解析： 设正方体棱长为1，，。 易错点提醒： 异面直线所成角取锐角或直角，余弦值需加绝对值。 5.（4分）平面 平面 ，，直线 ，，则直线 与平面 的位置关系为__________。 答案： 垂直 解析： 由面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，直接得 。 易错点提醒： 忽略“直线在平面内、垂直于交线”两个前提条件。 6.（4分）正方体 中，平面 与平面 的交线为__________。 答案： 直线 （其中 为底面中心， 为上底面中心） 解析： 平面 与平面 的公共点为底面中心 和上底面中心 。由公理3，两平面的交线为过两公共点的直线 。 易错点提醒： 两平面平行时无交线，相交时才有唯一公共直线。 7.（5分）异面直线 所成角为 ，过空间一点 与 都成 的直线共有__________条。 答案： 3 解析： 将异面直线 平移至点 ，转化为过点 的两条相交直线，它们所成角为 和 。 · 角的平分线方向有1条； · 角的两侧各有1条，共2条。 合计3条。 易错点提醒： 混淆不同角度对应的直线条数，注意 与 的区分。 8.（5分）直线 ，，，由直线 确定的平面记为 ，则平面 与 的位置关系为__________。 答案： 平行 解析： 由面面平行判定定理：平面内两条相交直线均平行于另一平面，则两平面平行。 易错点提醒： 若两直线平行，无法判定面面平行，必须强调相交。 9.（5分）正方体 中，棱长为1，则直线 与平面 所成角的正弦值为__________。 答案： 解析： 设底面中心为 ，连接 。在正方体中， 平面 ，故 为直线 与平面 所成角。 易错点提醒： 误判直线与平面平行，混淆线面角的找法，需先找垂线再找射影。 10.（5分）二面角 的平面角为 ，直线 ，且 ，则直线 与平面 所成角的大小为__________。 答案： 解析： 过 上一点作平面 的垂线，线面角 满足： 故 。 易错点提醒： 线面角为锐角，不能直接取 。 11.（5分）正方体 中，平面 与平面 的位置关系为__________。 答案： 平行 解析： ，，平面 内两条相交直线分别平行于平面 内的两条相交直线，故两平面平行。 易错点提醒： 仅凭视觉交叉误判为垂直。 12. （5分）如图，在棱长为2的正方体 中， 为 的中点， 为 的中点，过 三点作正方体的截面，则截面面积为__________。 答案： 解析： 正方体棱长为2。过 、、 三点作截面，截面为等腰梯形。 · 在底面 中，，，连接 ，则 ，且 。 · 截面与上底面的交线过 且平行于 （因为截面与平行平面 和 的交线平行）。设截面与 交于 ，与 交于 ，则 ，且 。 · 截面为等腰梯形 ，下底 ，上底 。 求梯形的高：取 中点 ， 中点 ，连接 。则 为梯形的高，且 在正方体内部。计算可得 。 截面面积： 所以截面面积为 。 易错点提醒： ① 截面形状的确定需找出截面与正方体各面的交线；② 截面为等腰梯形，上底和下底分别由三点确定；③ 梯形高的计算需结合空间几何关系，注意 的长度不是正方体棱长。 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 13.（4分）已知 是三个不同平面， 是两条不同直线，下列命题为真命题的是（　　） A. 若 ，，则 B. 若 ，，则 C. 若 ，，，则 D. 若 ，，，则 答案： D 解析： A错误：，，则 或 ，不能确定。 B错误：垂直于同一平面的两个平面可以相交（如正方体相邻两个侧面都垂直于底面，但彼此相交）。 C错误：两个平行平面内的两条直线可能平行，也可能异面。 D正确：，，又 ，由线面垂直定义可得 。 易错点提醒： 忽略直线在平面内的特殊情况，混淆面面垂直/平行推论。 14.（4分）正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A.   B.   C.   D. 答案： D 解析： 设正方体棱长为2，建立空间直角坐标系，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴。 设异面直线所成角为 ，则： 所以异面直线 与 所成角的余弦值为 。 易错点提醒： 异面直线夹角需取向量夹角的锐角，余弦值加绝对值；计算向量模长时注意各项平方和。 15.（5分）已知异面直线 所成角为 ，过空间任意一点 ，作直线 使得 与 所成角均为 ，满足条件的直线 （　　） A. 不存在  B. 有且只有1条  C. 有且只有2条  D. 有且只有4条 答案： C 解析： 将异面直线 平移至点 ，转化为过点 的两条相交直线，它们所成角为 和 。 · 对于 夹角：其角平分线与两直线成 。因为 ，在角平分线两侧各可作1条直线与两直线成 ，共2条。 · 对于 夹角：其角平分线与两直线成 。因为 ，该方向不存在满足条件的直线。 综上，满足条件的直线共有2条。 易错点提醒： 分两组对角分别判断，不要混淆夹角与角平分线的关系。 16.（5分）【10.5选学拓展】棱长为1的正方体 中，异面直线 与 之间的距离为（　　） A.   B.   C.   D. 答案： A 解析： 建立空间直角坐标系，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴。 直线 的方向向量： 直线 的方向向量： 两直线上任意两点连接向量： 公垂线方向向量： 异面直线距离公式： 所以异面直线 与 之间的距离为 。 易错点提醒： 异面直线距离向量公式中，连接向量取两直线上任意两点之间的向量即可；叉乘计算时注意行列式符号。10.5为选学内容，本题为轻度拓展，符合巩固篇压轴定位。 三、解答题（本大题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17. （14分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面，且 。点 是 的中点，点 是 的中点。 （1）求证： 平面 ；（6分） （2）求直线 与平面 所成角的正弦值。（8分） 答案： （1）证明见解析；（2）。 解析： 设底面边长 ，建立空间直角坐标系，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴。 各点坐标： （1） 为 中点，； 为 中点，。 .........（2分） 平面 的法向量为 。 .........（2分） 所以 平面 。 .........（2分） （2）设平面 的法向量为 。 由法向量垂直于平面内两条相交直线： 取 ，则 ，，得 。 .........（3分） 直线 的方向向量为 。 直线 与平面 所成角的正弦值为： .........（5分） 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 。 易错点提醒： ① 建立坐标系时注意 底面， 决定了 的 坐标与 相等；② 线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦值的绝对值。 18. （14分）已知三棱柱 中，平面 平面 ，四边形 为菱形，且 ，，。 （1）求证： 平面 ；（7分） （2）求二面角 的余弦值。（7分） 答案： （1）证明见解析；（2）。 解析： （1）四边形 为菱形，，故 为等边三角形，。 .........（2分） 取 中点 ，连接 。在等边三角形 中，。 由平面 平面 ，交线为 ，且 平面 ，故 平面 。 .........（2分） ，即 。又 ，故 平面 。 .........（2分） 所以 。 在菱形中，对角线互相垂直，。 又 ，故 平面 。 .........（1分） （2）建立空间直角坐标系，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 方向为 轴。 由菱形边长2，，可得 。 平面 的法向量为 ，由 ，，： 取 。 .........（2分） 平面 的法向量为 ，由 ，，： 取 。 .........（2分） 二面角 的余弦值： .........（3分） 所以二面角 的余弦值为 。 易错点提醒： ① 菱形中 推出 为等边三角形；② 面面垂直性质定理是证明线面垂直的关键；③ 二面角余弦值取法向量夹角余弦值的绝对值，注意正负号判断。 19. （14分）如图1，在矩形 中，，， 是边 上的一点，将 沿着 折起，使点 到达点 的位置。 （1）如图2，若 是 的中点，点 是线段 的中点，求证： 平面 ；（4分） （2）如图3，若点 在平面 内的射影 落在线段 上。 ① 求证： 平面 ；（5分） ② 求点 的位置，使三棱锥 的外接球的体积最大，并求出最大值。（5分） 答案： （1）证明见解析；（2）①证明见解析；②当 为 的中点时，外接球体积最大，最大值为 。 解析： （1）证明： 取 的中点 ，连接 、。 .........（1分） 在 中， 为 的中点， 为 的中点，故 ，且 。 .........（1分） 在矩形 中，，且 为 的中点，故 ，且 。 .........（1分） 所以 ，且 ，四边形 为平行四边形。 故 。又 平面 ， 平面 ，所以 平面 。 .........（1分） 易错点提醒： 构造平行四边形是证明线面平行的常用方法，关键是找到平面内与目标直线平行的直线。 （2）① 证明： 折叠前，在矩形 中，。翻折后， 仍在平面 内， 平面 ，故 。 .........（2分） 由题意，点 在平面 内的射影为 ，故 平面 。又 平面 ，所以 。 .........（2分） 因为 平面 ， 平面 ，且 ，由线面垂直判定定理， 平面 。 .........（1分） 易错点提醒： 线面垂直判定需满足直线垂直于平面内的两条相交直线。 （2）② 解： 设 ，则 ，。 .........（1分） 由①知 平面 ，所以 为直角三角形。 三棱锥 中，，， 和 均为直角三角形。 外接球半径 与 的关系为 ，化简得 。 .........（2分） 当 时， 取最大值1，此时 。 .........（1分） 外接球体积 。 .........（1分） 答：当 为 的中点时，三棱锥 的外接球体积最大，最大值为 。 易错点提醒： 外接球半径最大值的求解需明确变量范围，注意定义域对最值的影响。 20. （18分）如图1，由射线 、、 构成的三面角 ，，，，二面角 的大小为 。类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理： （1）如图2，在三棱锥 中， 为等腰直角三角形，， 为等边三角形，，求二面角 的平面角的正弦值；（6分） （2）如图3，在三棱锥 中， 平面 ，，连接 ，，，，，，求三棱锥 体积的最大值；（6分） （3）当 时，请在图1的基础上，证明三面角余弦定理。（6分） 答案： （1）；（2）；（3）证明见解析。 解析： （1）求二面角 的平面角的正弦值： 由 为等腰直角三角形，，可得 。 .........（1分） 由 为等边三角形，可得 。 .........（1分） 在三面角 中，以 为棱，，由三面角余弦定理： .........（2分） 代入数值： .........（1分） 所以：.........（1分） 故二面角 的平面角的正弦值为 。 （2）求三棱锥 体积的最大值： 设 ，则 （）。 .........（1分） 在 中，，，： .........（1分） 由 平面 ，，根据三垂线定理，。 .........（1分） 在 中，，且 ： .........（1分） 在 中： ........（1分） 底面 的面积： .........（0.5分） 三棱锥体积： .........（0.5分） 当 时， 取最大值9，所以： .........（1分） 故三棱锥 体积的最大值为 。 （3）证明三面角余弦定理： 设 ，建立空间直角坐标系。以 为原点， 为 轴正方向， 在 平面内。 .........（2分） 设 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ， 与 在垂直于 方向上的投影夹角为 。则： .........（2分） 由向量数量积： .........（1分） 由于二面角 的平面角 等于 与 在垂直于 方向上的投影夹角 ，即 。 .........（1分） 代入得： .........（1分） 易错点提醒： ① 三面角余弦定理中 的对应关系需正确识别；② 二面角范围 ，余弦值可正可负；③ 证明中坐标系的选取需使计算简化。 21. （18分）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 底面 ，，，，， 分别是棱 上的点（含端点）。 （1）证明：；（6分） （2）若 为棱 的中点，且二面角 的正切值为 ，求 ；（6分） （3）设点 是边 上的点（含端点），求 的最小值。（6分） 答案： （1）证明见解析；（2）；（3）。 解析： 建立空间直角坐标系，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴。 底面平行四边形中，，，，可得： .........（2分） （1）设 （）， 在 上，设 ，。 计算 与 的点积为0，可证 。 .........（6分） （2）当 为 中点时，，。 由二面角 的正切值为 ，利用法向量法可建立方程，解得 。 .........（6分） （3）设 在 上，，，求 的最小值，转化为空间几何最值问题，可得最小值为 。 .........（6分） 易错点提醒： ① 建立坐标系时需准确计算底面平行四边形各点坐标；② 二面角逆向求参时，法向量夹角与二面角的关系需注意锐角/钝角判断；③ 空间最值问题可用坐标法将目标函数转化为单变量函数求最值。 学科网（北京）股份有限公司 $