第06讲 柱体（知识详解+9例精讲+课后作业）2026-2027学年新高二暑假预习讲义（沪教版必修第三册）

第06讲 柱体（知识详解+9例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：多面体 知识点02：棱柱与圆柱 知识点03：祖暅原理 知识点04：柱体的体积 知识点05：柱体的表面积 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：棱柱的结构特征和分类 题型02：正棱柱及其有关计算 题型03：棱柱的展开图及最短距离问题 题型04：判断正方体的截面形状 题型05：棱柱及其有关计算 题型06：圆柱的结构特征辨析 题型07：柱体体积的有关计算 题型08：棱柱表面积的有关计算 题型09：圆柱表面积的有关计算 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】多面体 多面体的定义及其相关概念 空间几何体 分类 定义 图形及表示 相关概念 多面体 由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； 面：构成多面体表面的各三角形或平面多边形； 棱：相邻面的公共边； 顶点：棱与棱的交点； 【例1】判断下列几何体是否为多面体，并说明理由。 （1）正方体 （2）圆柱 （3）五棱锥 （4）球体 【知识点02】棱柱与圆柱 1.棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱； 否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 2、圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 【例2】已知四棱柱，底面是边长为4的正方形，侧棱，且底面，判断该棱柱类型，并求所有侧棱总长度。 【知识点03】祖暅原理 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等； 【说明】1、祖暅原理； （1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”； （2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等； 【例3】有两个几何体，长方体与斜三棱柱，两几何体高度均为8，夹在同一组平行平面之间，任意平行于底面的平面截取两几何体，截面面积恒为15，判断两个几何体的体积关系并说明理由。 【知识点04】柱体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， V圆柱＝πr2h(r为底面半径) 【例4】某斜三棱柱底面为直角三角形，两条直角边长分别为3和4，棱柱的垂直高为7，求该斜三棱柱的体积。 【知识点05】柱体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和；所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 【例5】已知直四棱柱底面为边长3的正方形，棱柱高为6，求该直四棱柱的表面积。 【题型01】棱柱的结构特征和分类 【典例1-1】（25-26高二上·上海·期末）下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 【变式1-1】（25-26高二上·上海·单元测试）下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱中至少有两个面平行 【变式1-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）给出下列命题： ①平行六面体是斜四棱柱； ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱. 其中正确的是个数是______________. 【变式1-3】观察和思考图中的多面体:这些多面体各有什么特点？根据这些多面体的不同点和共同点能否再进一步分类？ 【题型02】正棱柱及其有关计算 【典例2-1】（25-26高二上·上海·期中）“几何体是正四棱柱”是“几何体是长方体”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期中）已知正方体的棱长为1，则正方体的体对角线长为______. 【变式2-2】（24-25高二·上海·课堂例题）若正方体的棱长为a，则正方体的对角线长为________；对角面面积为________． 【变式2-3】已知正四棱柱的底面边长为，高为3，则此正四棱柱的对角线长为______. 【题型03】棱柱的展开图及最短距离问题 【典例3-1】如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为3，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（    ）. A．6 B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·上海闵行·期末）如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点，则的最小值为______． 【变式3-3】（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在长方体中，，，，P为上的一个动点，求的最小值． 【题型04】判断正方体的截面形状 【典例4-1】（24-25高二下·上海嘉定·期末）平面截正方体所得的截面不可能是（   ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【变式4-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【变式4-2】（25-26高二上·上海·单元测试）在正方体中，P、Q、R分别是棱BC、、的中点，过P、Q、R三点的平面与正方体表面的交线围成的封闭图形的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式4-3】（24-25高二·上海·课堂例题）在正方体中，若点E、F分别是、的中点，则四边形是（    ） A．平行四边形； B．矩形； C．菱形； D．正方形． 【题型05】棱柱及其有关计算 【典例5-1】（24-25高二上·上海黄浦·期末）在长方体中，若，则此长方体的中心到顶点的距离为______. 【变式5-1】长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别为12，6，8，则长方体的体对角线长为______． 【变式5-2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知斜三棱柱底面为正三角形，边长为，若顶点在底面的射影恰为底面中心，且，求三棱柱的高． 【变式5-3】已知正方体的棱长为，、分别是，的中点，在上且满足，过、、三点作正方体的截面，并计算该截面的周长. 【题型06】圆柱的结构特征辨析 【典例6-1】（25-26高二·上海·暑假作业）下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【变式6-1】（24-25高一下·河北·期中）如图，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．椭圆 D．梯形 【变式6-2】圆柱的母线与圆柱的旋转轴的位置关系是___________. 【变式6-3】（24-25高二·上海·暑假作业）证明： (1)过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的截面都是全等的矩形； (2)任一平行于圆柱底面的平面与圆柱形成的截面都是与底面全等的圆. 【题型07】柱体体积的有关计算 【典例7-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）圆柱底面直径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的，则体积变为原来的（   ） A．0.5倍 B．1倍 C．2倍 D．4倍 【变式7-1】（24-25高二·上海·课堂例题）设正四棱柱的一条对角线长为3，它的四个侧面与两个底面的面积之和是16，则它的体积是（    ） A．4 B．8 C． D．4或 【变式7-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知圆柱底面圆的半径为1，母线长为4，则该圆柱的体积为______． 【变式7-3】（24-25高二上·上海·随堂练习）一座底是长方形、屋顶是正三棱柱的仓库，尺寸如图标注（单位：米），求这座仓库的容积（墙厚略去不计）．    【题型08】棱柱表面积的有关计算 【典例8-1】如图，将一个棱长为的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（    ）    A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·上海黄浦·阶段检测）将一个棱长为a的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了______. 【变式8-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知长方体的长、宽、高的和为384，的长为366，则该长方体的表面积为___________. 【变式8-3】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知如图，在直三棱柱中，，.    (1)求该直三棱柱的侧面积和体积； (2)求直线与所成的角. 【题型09】圆柱表面积的有关计算 【典例9-1】（24-25高二·上海·课堂例题）以长为8cm，宽为6cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的一个底面面积为（    ） A．； B．； C．或 D．． 【变式9-1】（25-26高二上·上海·期末）将边长为1的正方形绕一条边旋转一周后，所得几何体的侧面积为______. 【变式9-2】（25-26高二上·上海静安·期末）已知圆柱的底面半径为3，高为4，则该圆柱的侧面积为________． 【变式9-3】（25-26高二上·上海普陀·期末）如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，为的中点. (1)求圆柱的侧面积与表面积； (2)求二面角的大小. 知识点01几何体分类（柱体归属） 空间几何体分为多面体和旋转体两大类，是柱体判定的基础： （1）多面体：全部由平面多边形围成，无曲面。本章核心：棱柱（三棱柱、四棱柱、正棱柱等）。 （2）旋转体：由平面图形旋转而成，含曲面。本章核心：圆柱。 核心判定口诀：有曲面非多面体，全平面为多面体。 知识点02棱柱与圆柱核心概念与性质 （1）棱柱核心性质 定义特征：两底面平行且全等，侧面均为四边形，相邻侧棱互相平行。 分类：侧棱垂直底面为直棱柱，侧棱倾斜为斜棱柱；底面为正多边形的直棱柱为正棱柱。 通用性质：所有侧棱平行且相等，两底面始终全等。 （2）圆柱核心性质 由矩形绕一边旋转一周形成，上下底面为全等圆形，母线平行且等于圆柱的高，侧面为光滑曲面。 知识点03祖暅原理（柱体体积理论依据） 原文：幂势既同，则积不容异。 通俗定义：夹在两个平行平面间的两个几何体，若高度相等，且任意等高截面面积恒相等，则两个几何体体积相等。 核心结论：同底、等高的一切柱体（棱柱、圆柱）体积相等，与几何体倾斜角度、形状无关。 知识点04 柱体核心公式（微软标准公式） （1）体积公式 通用柱体体积（棱柱、圆柱通用）： 圆柱专属体积： 备注：为柱体两底面的垂直高度，斜棱柱体积与侧棱长无关。 （2）表面积公式 柱体通用表面积： 直棱柱侧面积： 圆柱侧面积与表面积： 知识点05易错点小结 ① 混淆区分：棱柱是多面体，圆柱是旋转体，不可混淆归类； ② 斜棱柱易错点：体积计算只看垂直高，不看侧棱长度； ③ 表面积易错点：无盖柱体需减去一个底面面积，不可直接套用通用公式； ④ 祖暅原理必备条件：等高、任意截面面积相等，缺一不可。 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·阶段检测）“有相邻两个侧面是矩形的棱柱”是“棱柱是直棱柱”的______条件. 2．正方体的棱长为1，则对角线的长为______. 3．（25-26高二上·上海浦东新·期中）一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是_____. 4．（25-26高二上·上海黄浦·期末）若圆柱的底面半径与高均为3，则其侧面积为____________. 5．（24-25高二·上海·课堂例题）一个长方体的长、宽、高分别为1、2、4，若一个正方体的体积和该长方体体积相等，则这个正方体的表面积为________． 6．已知长方体的对角线的长是，且直线在长方体上经过点的三个面上的投影长分别为、、，则此长方体的体积是____________. 7．（25-26高二上·上海·期中）已知棱长为2的正方体，棱的中点为，从点沿着正方体表面到点的最短路径的长度为__________． 8．（25-26高三上·上海·阶段检测）如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的表面积为________．    9.如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于__________. 10．（24-25高二下·上海宝山·阶段检测）将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图左）；将这六个部分接于一个边长为的正六边形边上（如图），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是_______．    11．（25-26高二上·上海·期中）如图，长方体中，，，，点M为线段上的动点，则线段的最小值为________.    12．（25-26高二上·上海·期中）要给1000个相同规格的螺杆镀锌（表面涂上一层锌），螺杆的尺寸如图所示（图中单位：毫米），螺杆下部是实心的正六棱柱，上部是实心的圆柱．如果电镀这批螺杆每平方米要用锌0.11千克，则需要用锌的总量为______克．（精确到0.1）    二、单选题 13．（24-25高二上·上海·期中）以下命题中真命题的是（   ）. A．所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D．各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱 14．（24-25高二上·上海·阶段检测）下图有一个正方体纸盆的平面展开图，则以下图形中，可能是展开前的正方体的是（   ）.    A．   B．   C．    D．   15．（24-25高二下·上海宝山·阶段检测）如图，一个高为2的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，直三棱柱中，，，，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断：①直三棱柱侧面积是；②直三棱柱体积是；③的最小值为，其中错误的个数是（    ） A．0； B．1； C．2； D．3． 三、解答题 17．（25-26高二上·上海浦东新·期中）一张矩形纸片的规格为：30cm×20cm，把它作为一个圆柱的侧面，求卷成的圆柱的体积.（精确到，为保证精度，在计算器使用过程中不对值进行四舍五入） 18．如图，设圆柱有一个内接棱柱（即棱柱的侧棱都是圆柱的母线，棱柱的两个底面分别在圆柱的两个底面内）．已知圆柱的体积是，棱柱的底面是边长为2的正三角形．求棱柱的体积． 19.（24-25高二·上海·课堂例题）直三棱柱底面各边的比为，侧棱长为，全面积为，求底面各边之长． 20．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知三棱柱棱长均为1. (1)若平面，求三棱柱的表面积； (2)若，求证：平面平面 21．（25-26高二上·上海·期中）上海市实验学校的小明同学根据他的创新特需课题所需，设计了某零件并委托网络商家3D打印.零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱，如图所示（图中单位：cm）.    (1)已知3D打印材料的密度为1.3，求打印一个这样的零件需要多少克材料？（四舍五入到整数克，不计其他损耗） (2)小明委托打印了5个该型零件，再对零件的表面（包含底面）喷漆油漆，若预计每平方厘米要用漆0.12g（已计入可能的损耗），求小明需要购买每罐300克的喷漆共多少罐？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 柱体（知识详解+9例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：多面体 知识点02：棱柱与圆柱 知识点03：祖暅原理 知识点04：柱体的体积 知识点05：柱体的表面积 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：棱柱的结构特征和分类 题型02：正棱柱及其有关计算 题型03：棱柱的展开图及最短距离问题 题型04：判断正方体的截面形状 题型05：棱柱及其有关计算 题型06：圆柱的结构特征辨析 题型07：柱体体积的有关计算 题型08：棱柱表面积的有关计算 题型09：圆柱表面积的有关计算 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】多面体 多面体的定义及其相关概念 空间几何体 分类 定义 图形及表示 相关概念 多面体 由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； 面：构成多面体表面的各三角形或平面多边形； 棱：相邻面的公共边； 顶点：棱与棱的交点； 【例1】判断下列几何体是否为多面体，并说明理由。 （1）正方体 （2）圆柱 （3）五棱锥 （4）球体 解：（1）正方体由6个正方形平面围成，无曲面，是多面体； （2）圆柱侧面为曲面，包含曲面结构，不是多面体； （3）五棱锥由底面五边形和5个三角形平面围成，无曲面，是多面体； （4）球体整体为曲面，无平面多边形，不是多面体。 【知识点02】棱柱与圆柱 1.棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱； 否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 2、圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 【例2】已知四棱柱，底面是边长为4的正方形，侧棱，且底面，判断该棱柱类型，并求所有侧棱总长度。 解：底面，且底面为正方形（正四边形） 该几何体为正四棱柱 四棱柱有4条相等的侧棱，侧棱总长： 答：该棱柱为正四棱柱，侧棱总长度为24。 【知识点03】祖暅原理 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等； 【说明】1、祖暅原理； （1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”； （2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等； 【例3】有两个几何体，长方体与斜三棱柱，两几何体高度均为8，夹在同一组平行平面之间，任意平行于底面的平面截取两几何体，截面面积恒为15，判断两个几何体的体积关系并说明理由。 解：根据祖暅原理判定条件： 1. 长方体与斜三棱柱等高，均为8，夹在相同的两个平行平面之间； 2. 任意平行截面截得的面积恒相等（均为15）； 满足“幂势既同，则积不容异”，因此长方体体积 = 斜三棱柱体积。 【知识点04】柱体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， V圆柱＝πr2h(r为底面半径) 【例4】某斜三棱柱底面为直角三角形，两条直角边长分别为3和4，棱柱的垂直高为7，求该斜三棱柱的体积。 解：第一步：计算底面直角三角形面积 第二步：代入柱体体积公式计算体积 答：该斜三棱柱的体积为42。 【知识点05】柱体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和；所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 【例5】已知直四棱柱底面为边长3的正方形，棱柱高为6，求该直四棱柱的表面积。 解：第一步：计算单个底面面积与双底面积 第二步：计算底面周长与侧面积 第三步：计算总表面积 答：该直四棱柱的表面积为90。 【题型01】棱柱的结构特征和分类 【典例1-1】（25-26高二上·上海·期末）下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 【答案】D 【分析】根据正四棱柱的定义及举反例判断即可. 【详解】对于A、B：上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱． 如图四棱柱， 满足平面平面，平面平面，底面是正方形，且四边形、为矩形， 但是平面不垂直平面，故A、B错误； 对于C：底面是菱形（不是正方形）的直四棱柱，满足每个侧面都是全等矩形，但是不是正四棱柱，故C错误； 对于D：底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面，故是正四棱柱，故D正确． 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·上海·单元测试）下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱中至少有两个面平行 【答案】D 【分析】根据棱柱的定义依次判断选项即可. 【详解】对选项A：由棱柱的定义知：棱柱的侧面是平行四边形，不一定是矩形，故A错误； 对选项B：由棱柱的定义知：棱柱的侧棱相等，故B错误； 对选项C：如图所示，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但不是棱柱，故C错误； 对选项D：由棱柱的定义可知：棱柱的上下底面一定平行， 所以至少有两个面互相平行，故D正确. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）给出下列命题： ①平行六面体是斜四棱柱； ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱. 其中正确的是个数是______________. 【答案】 【分析】根据棱柱的几何特征逐项判断即可. 【详解】对于①，平行六面体可以是斜棱柱，也可以是直棱柱，①错； 对于②，有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱，②对； 对于③，各侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体， 如直四棱柱，底面是菱形，底面边长和高相等，但该四棱柱不为正方体，③错； 对于④，有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱，如下图所示： 该几何体不是棱柱，④错. 故答案为：. 【变式1-3】观察和思考图中的多面体:这些多面体各有什么特点？根据这些多面体的不同点和共同点能否再进一步分类？ 【答案】共同特点：都有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行； 分类：按底面边数可分为三棱柱（1）、四棱柱（2）（4）、五棱柱（5）、六棱柱（3） 或按侧棱与底面关系分为直棱柱（1）（2）（3）和斜棱柱（4）（5）. 【题型02】正棱柱及其有关计算 【典例2-1】（25-26高二上·上海·期中）“几何体是正四棱柱”是“几何体是长方体”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据正四棱柱，长方体的结构特征及充分、必要条件关系判断. 【详解】若几何体是正四棱柱，则该几何体是长方体，即几何体是正四棱柱能推出几何体是长方体， 而几何体是长方体不能推出几何体是正四棱柱， 故“几何体是正四棱柱”是“几何体是长方体”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期中）已知正方体的棱长为1，则正方体的体对角线长为______. 【答案】 【分析】由正方体体对角线公式即可求解 【详解】因为正方体的棱长为1， 所以体对角线长为， 故答案为： 【变式2-2】（24-25高二·上海·课堂例题）若正方体的棱长为a，则正方体的对角线长为________；对角面面积为________． 【答案】 【分析】由正方体的几何性质求解相应问题． 【详解】如图： 正方体的对角线长为：， 对角面面积为：， 故答案为： 【变式2-3】已知正四棱柱的底面边长为，高为3，则此正四棱柱的对角线长为______. 【答案】5 【分析】求出底面正方形对角线长，由勾股定理计算四棱柱的对角线长（需证明垂直）． 【详解】如图正四棱柱中，底面是正方形，与底面垂直，则与底面上的直线垂直， 由已知，又，所以． 故答案为：5. 【题型03】棱柱的展开图及最短距离问题 【典例3-1】如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为3，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（    ）. A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】将正三棱柱侧面展开，转化为两点之间的距离求解. 【详解】将正三棱柱沿展开两次，得下图： 最短路线即为大矩形的对角线的长，为. 故选：B 【变式3-1】（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】展开可能走过的长方体平面，由两点之间线段最短求出各个最短距离比较即可求解. 【详解】第一种情况:把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是和 则所走的最短线段是； 第二种情况:把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 第三种情况:把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 三种情况比较而言，第二种情况最短. 故选：A. 【变式3-2】（25-26高二上·上海闵行·期末）如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内，根据平面上两点间线段最短可求得答案. 【详解】 将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内， 如图，连接交于，则的最小值为此时的， ， 的最小值为. 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在长方体中，，，，P为上的一个动点，求的最小值． 【答案】 【分析】将半平面沿翻折到且平面与平面位于同一平面，连接EC与交于点P，此时即为的最小值，再利用余弦定理求出即可； 【详解】如图． 将半平面沿翻折到且平面与平面位于同一平面， 如图：连接与交于点P，此时EC即为的最小值， 因为，，， 所以，，， 所以， 所以， 所以． 故答案为：. 【题型04】判断正方体的截面形状 【典例4-1】（24-25高二下·上海嘉定·期末）平面截正方体所得的截面不可能是（   ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】通过分析平面去截正方体时，平面与正方体各面相交的情况，来判断可能得到的截面形状，从而确定不可能出现的截面形状. 【详解】当平面与正方体的三个面相交时，可以得到三角形截面； 当平面与正方体的四个面相交时，能够得到四边形截面； 当平面与正方体的五个面相交时，会形成五边形截面； 当平面与正方体的六个面都相交时，就得到六边形截面； 由于正方体只有六个面，所以平面与其六个面相交最多得六边形，不可能得到七边形或多于七边的图形. 故选：. 【变式4-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【分析】应用平面的基本性质画出截面图，即可得. 【详解】延长，交的延长线于， 连接，交于， 延长，交的延长线于， 连接，交于， 最后依次连接， 所得截面，即为所求. 故选：B 【变式4-2】（25-26高二上·上海·单元测试）在正方体中，P、Q、R分别是棱BC、、的中点，过P、Q、R三点的平面与正方体表面的交线围成的封闭图形的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】利用平面的性质作出过P、Q、R三点的截面，从而可判断其形状. 【详解】如图，延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 因为P、Q、R分别是棱BC、、的中点，所以为的中点， 延长交的延长线于点，延长交的延长线于点， 则， 连接交于点，交于点, 连接，则六边形为过P、Q、R三点的平面与正方体表面的交线围成的封闭图形. 故选：D 【变式4-3】（24-25高二·上海·课堂例题）在正方体中，若点E、F分别是、的中点，则四边形是（    ） A．平行四边形； B．矩形； C．菱形； D．正方形． 【答案】C 【分析】取棱的中点，连接， 可得四边形为平行四边形， 进而得四边形为平行四边形， 得，则四边形为平行四边形，又得，则四边形是菱形，而，所以菱形不是正方形. 【详解】取棱的中点，连接，如下图所示： 由正方体的性质，可知侧面为正方形， 又分别为棱的中点， 所以， 从而四边形为平行四边形，所以， 又分别为棱，的中点，且侧面为正方形， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 从而四边形为平行四边形. 设正方体的棱长为，可知， 所以四边形是菱形. 连接，因为E、F分别是、的中点， 所以， 而， 所以菱形不是正方形. 故选：C. 【题型05】棱柱及其有关计算 【典例5-1】（24-25高二上·上海黄浦·期末）在长方体中，若，则此长方体的中心到顶点的距离为______. 【答案】2 【分析】根据长方体中心到顶点的距离为体对角线的一半，结合已知即可求结果. 【详解】由长方体中心到顶点的距离为体对角线的一半，而体对角线长为， 所以此长方体的中心到顶点的距离为2. 故答案为：2 【变式5-1】长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别为12，6，8，则长方体的体对角线长为______． 【答案】 【分析】由长方体的三个面的面积求出同一点出发的三条棱长，根据长方体的结构特征即可求出结果. 【详解】 设长方体从顶点B出发的三条棱长分别为，且，，，则，，， 所以长方体中线段的长等于. 故答案为： 【变式5-2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知斜三棱柱底面为正三角形，边长为，若顶点在底面的射影恰为底面中心，且，求三棱柱的高． 【答案】 【分析】根据等边三角形重心的性质和勾股定理即可求解. 【详解】如图，设O为底面中心，连接并延长，交于点， 因为顶点在底面的射影恰为底面中心， 所以平面， 所以， 因为为正三角形， 所以为的重心， 所以为边上的中线， 因为, 所以， 所以, 在中，， 即三棱柱的高为. 【变式5-3】已知正方体的棱长为，、分别是，的中点，在上且满足，过、、三点作正方体的截面，并计算该截面的周长. 【答案】 【分析】延长MP交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交 的延长线于F，连接NF交，连接MH，则五边形为过三点的平面截正方体所得的截面，通过相似三角形及勾股定理计算依次求得各边长即可求得结果. 【详解】延长MP交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交 的延长线于F，连接NF交，连接MH，则五边形为过三点的平面截正方体所得的截面. 由已知可得，，得， 则，得，则， ，则，， ， 截面五边形的周长为.    【题型06】圆柱的结构特征辨析 【典例6-1】（25-26高二·上海·暑假作业）下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【答案】D 【分析】根据母线的性质判断A，通过举反例判断B、C，通过圆柱的概念即可判断D. 【详解】对于A，根据圆柱的定义和性质，圆柱的母线与底面垂直，A错误； 对于B，当两个截面与底面不平行时，截得的平面不是一个圆柱体，B错误； 对于C，直线绕定直线旋转有也可能形成一个锥面，C错误； 对于D，以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱，D正确. 故选：D 【变式6-1】（24-25高一下·河北·期中）如图，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．椭圆 D．梯形 【答案】B 【分析】根据题意，结合圆柱的几何结构特征，即可作出判断，得到答案. 【详解】如图所示，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时， 可得分别为圆柱的母线，所以且， 又因为圆柱的母线与底面垂直，且在底面内，所以， 所以截面为矩形. 故选：B. 【变式6-2】圆柱的母线与圆柱的旋转轴的位置关系是___________. 【答案】平行 【分析】根据圆柱母线的定义进行判断即可. 【详解】因为无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线， 所以圆柱的母线与圆柱的旋转轴的位置关系是平行， 故答案为：平行 【变式6-3】（24-25高二·上海·暑假作业）证明： (1)过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的截面都是全等的矩形； (2)任一平行于圆柱底面的平面与圆柱形成的截面都是与底面全等的圆. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据圆柱的几何特征，研究截面关系从而得证； 【详解】（1）设过圆柱的轴的任一平面与圆柱相截所形成的截面为， 且都是底面圆的直径，如图11-1-4（1）所示. 因为圆柱的底面平行，所以由两个平面平行的性质定理，. 又因为，所以是平行四边形.由垂直于底面， 知垂直于底面，因此.所以是矩形， 其一组对边的长是底面的直径，另一组对边的长是圆柱的高，它们都是完全确定的， 即这些截面互相都全等. （2）任作一个平行于底面并与圆柱相交的平面， 把平面截圆柱侧面所形成的封闭曲线记为， 设是上的任意一点，如图11-1-4（2）所示. 由圆柱的形成过程，知圆柱侧面上任意一点到圆柱的轴的距离都等于圆柱的底面半径， 所以到点的距离必等于底面半径，从而所围出的截面是一个与底面全等的圆. 【题型07】柱体体积的有关计算 【典例7-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）圆柱底面直径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的，则体积变为原来的（   ） A．0.5倍 B．1倍 C．2倍 D．4倍 【答案】C 【分析】利用圆柱的体积公式，直接计算求解即可. 【详解】设原来的圆柱体积为，底面半径为，高为，变化后的圆柱的体积为， 则，=，所以体积变为原来的2倍. 故选：C 【变式7-1】（24-25高二·上海·课堂例题）设正四棱柱的一条对角线长为3，它的四个侧面与两个底面的面积之和是16，则它的体积是（    ） A．4 B．8 C． D．4或 【答案】D 【分析】设正四棱柱的底面边长为，高为，根据已知列出方程求解即可. 【详解】设正四棱柱的底面边长为，高为， 则①，即②， ①②得，，即或， 当时，解得，体积， 当时，解得，体积， 故选：D 【变式7-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知圆柱底面圆的半径为1，母线长为4，则该圆柱的体积为______． 【答案】 【分析】根据圆柱的体积公式求得正确答案. 【详解】依题意，圆柱的体积为. 故答案为： 【变式7-3】（24-25高二上·上海·随堂练习）一座底是长方形、屋顶是正三棱柱的仓库，尺寸如图标注（单位：米），求这座仓库的容积（墙厚略去不计）．    【答案】立方米． 【分析】根据三棱柱和长方体的体积公式求解即可. 【详解】下部长方体的体积（立方米）， 上部正三棱柱的体积（立方米）， 仓库的容积（立方米）． 故答案为：立方米． 【题型08】棱柱表面积的有关计算 【典例8-1】如图，将一个棱长为的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知正方体表面积为，切割后小正方体的边长为，从而得到个全等的小正方体的表面积，由此可得到答案. 【详解】由题意可知正方体的表面积为， ∴小正方体的棱长为 ， ∴小正方体的表面积为：. ∴27个全等的小正方体的表面积为， ∴表面积增加了． 故选:B． 【变式8-1】（24-25高二上·上海黄浦·阶段检测）将一个棱长为a的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了______. 【答案】 【分析】求出正方体的表面积，然后求出一个小正方体的表面积，即可得到结论． 【详解】由题意可知正方体的表面积为， 小正方体的棱长为， 小正方体的表面积为， 64个全等的小正方体的表面积为， 表面积增加了 故答案为： 【变式8-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知长方体的长、宽、高的和为384，的长为366，则该长方体的表面积为___________. 【答案】 【分析】由题意得到和两个等式，将两边同时平方并将代入得到，即为长方体表面积. 【详解】如图，，， ， ∴， ∴， 该长方体的表面积为：13500 故答案为：13500 【变式8-3】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知如图，在直三棱柱中，，.    (1)求该直三棱柱的侧面积和体积； (2)求直线与所成的角. 【答案】(1)侧面积为；体积为 (2) 【分析】（1）利用柱体表面积和体积公式计算可得结果； （2）由异面直线夹角求法可求得其大小. 【详解】（1）根据题意可得， 所以该直三棱柱的侧面积为； 该直三棱柱的体积为； （2）根据题意可将直三棱柱补全成如图所示的正方体：    易知，且三角形为等边三角形， 直线与所成的角与直线与所成的角相等，为 即可得直线与所成的角为. 【题型09】圆柱表面积的有关计算 【典例9-1】（24-25高二·上海·课堂例题）以长为8cm，宽为6cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的一个底面面积为（    ） A．； B．； C．或 D．． 【答案】C 【分析】分别以长所在的直线旋转和以宽所在的直线旋转两种情况求解即可 【详解】若以长为8cm的一边为轴旋转，则圆柱的底面半径为6cm， 所以圆柱的一个底面面积为， 若以宽为6cm的一边为轴旋转，则圆柱的底面半径为8cm， 所以圆柱的一个底面面积为， 故选：C 【变式9-1】（25-26高二上·上海·期末）将边长为1的正方形绕一条边旋转一周后，所得几何体的侧面积为______. 【答案】 【分析】边长为1的正方形绕其一边旋转一周，得到的几何体为圆柱，计算圆柱侧面积即可. 【详解】边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为的圆、高为1的圆柱， 其侧面展开图为长为，宽为1，所以所得几何体的侧面积为. 故答案为：. 【变式9-2】（25-26高二上·上海静安·期末）已知圆柱的底面半径为3，高为4，则该圆柱的侧面积为________． 【答案】 【分析】根据圆柱的展开图和侧面积公式计算即可. 【详解】因为圆柱的侧面展开图为矩形，宽为圆柱的高，长为圆柱底面圆的周长， 所以该圆柱的侧面积为. 故答案为：. 【变式9-3】（25-26高二上·上海普陀·期末）如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，为的中点. (1)求圆柱的侧面积与表面积； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)侧面积为，表面积为； (2). 【分析】（1）由题可得圆柱底面半径及高，据此可得答案； （2）由题可得为二面角的平面角，据此可得答案. 【详解】（1）设圆柱底面圆半径为，高为. 因，，则，为外接圆直径， 即圆柱底面圆直径为，从而底面圆半径为. 又由题可得圆柱高为，则圆柱侧面积为：， 表面积为：； （2）由题可得，平面，又平面，则. 又，平面，，则平面. 因平面，则.又因， 则为二面角的平面角， 因为平面，平面，则， 从而， 即. 知识点01几何体分类（柱体归属） 空间几何体分为多面体和旋转体两大类，是柱体判定的基础： （1）多面体：全部由平面多边形围成，无曲面。本章核心：棱柱（三棱柱、四棱柱、正棱柱等）。 （2）旋转体：由平面图形旋转而成，含曲面。本章核心：圆柱。 核心判定口诀：有曲面非多面体，全平面为多面体。 知识点02棱柱与圆柱核心概念与性质 （1）棱柱核心性质 定义特征：两底面平行且全等，侧面均为四边形，相邻侧棱互相平行。 分类：侧棱垂直底面为直棱柱，侧棱倾斜为斜棱柱；底面为正多边形的直棱柱为正棱柱。 通用性质：所有侧棱平行且相等，两底面始终全等。 （2）圆柱核心性质 由矩形绕一边旋转一周形成，上下底面为全等圆形，母线平行且等于圆柱的高，侧面为光滑曲面。 知识点03祖暅原理（柱体体积理论依据） 原文：幂势既同，则积不容异。 通俗定义：夹在两个平行平面间的两个几何体，若高度相等，且任意等高截面面积恒相等，则两个几何体体积相等。 核心结论：同底、等高的一切柱体（棱柱、圆柱）体积相等，与几何体倾斜角度、形状无关。 知识点04 柱体核心公式（微软标准公式） （1）体积公式 通用柱体体积（棱柱、圆柱通用）： 圆柱专属体积： 备注：为柱体两底面的垂直高度，斜棱柱体积与侧棱长无关。 （2）表面积公式 柱体通用表面积： 直棱柱侧面积： 圆柱侧面积与表面积： 知识点05易错点小结 ① 混淆区分：棱柱是多面体，圆柱是旋转体，不可混淆归类； ② 斜棱柱易错点：体积计算只看垂直高，不看侧棱长度； ③ 表面积易错点：无盖柱体需减去一个底面面积，不可直接套用通用公式； ④ 祖暅原理必备条件：等高、任意截面面积相等，缺一不可。 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·阶段检测）“有相邻两个侧面是矩形的棱柱”是“棱柱是直棱柱”的______条件. 【答案】充要 【分析】利用棱柱的结构特征和充分，必要条件的定义进行求解 【详解】若棱柱有相邻两个侧面是矩形，则两侧面的交线必定垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，满足充分性； 若棱柱为直棱柱，则棱柱有相邻两个侧面是矩形，满足必要性； 故“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的充要条件， 故答案为：充要. 2．正方体的棱长为1，则对角线的长为______. 【答案】 【分析】利用正方体的图象特征即可求解 【详解】因为正方体的棱长为1， 所以对角线， 故答案为： 3．（25-26高二上·上海浦东新·期中）一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是_____. 【答案】16 【分析】利用正四棱柱的性质进行计算即可. 【详解】因为一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是. 故答案为：16 4．（25-26高二上·上海黄浦·期末）若圆柱的底面半径与高均为3，则其侧面积为____________. 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】因为圆柱的底面半径与高均为3，所以圆柱的侧面积. 故答案为：. 5．（24-25高二·上海·课堂例题）一个长方体的长、宽、高分别为1、2、4，若一个正方体的体积和该长方体体积相等，则这个正方体的表面积为________． 【答案】24 【分析】本题根据正方体的体积和该长方体体积相等得出正方体的边长，从而求出正方体的表面积. 【详解】根据题意得，正方体的体积，所以正方体的边长为， 所以正方体的表面积为. 故答案为：24. 6．已知长方体的对角线的长是，且直线在长方体上经过点的三个面上的投影长分别为、、，则此长方体的体积是____________. 【答案】 【分析】设长方体的长、宽、高分别为，进而根据体对角线与面对角线的关系求解即可. 【详解】解：设长方体的长、宽、高分别为，    则长方体的体对角线的长满足， 直线在长方体上经过点的三个面上的投影分别为三个面的对角线， 所以，在面上的投影长为； 在面上的投影长为； 在面上的投影长为； 所以，，，，即，，， 所以长方体的体积满足：，即 故答案为： 7．（25-26高二上·上海·期中）已知棱长为2的正方体，棱的中点为，从点沿着正方体表面到点的最短路径的长度为__________． 【答案】 【分析】把两个平面展开到同一平面内，利用两点之间线段最短进行求解即可. 【详解】 将面与面展开到同一平面内，连接，如图： 因为正方体的棱长为2，所以； 将面与面展开到同一平面内，连接，如图： 此时； 因为，所以从点沿着正方体表面到点的最短路径的长度为. 故答案为：. 8．（25-26高三上·上海·阶段检测）如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的表面积为________．    【答案】 【分析】求出正四棱柱的侧棱长和底面边长后即可求表面积. 【详解】因为四边形为正方形，，故， 而，故，故， 故正四棱柱的表面积为. 故答案为：. 9.如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于__________. 【答案】6 【分析】根据平面的性质作出截面六边形，然后可计算出周长． 【详解】作（实际上）交于，延长交延长线于．连接交于点，可证分别是的中点，同理取中点，连接，六边形即为截面，该六边形为正六边形，由正方体棱长为易得正六边形边长为1，周长为6. 故答案为：6. 10．（24-25高二下·上海宝山·阶段检测）将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图左）；将这六个部分接于一个边长为的正六边形边上（如图），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是_______．    【答案】256 【分析】折成多面体以后，将其补形为正方体，其体积是正方体的一半，计算即可. 【详解】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②， 所求多面体体积为正方体的一半，又由已知可得正方体的棱长为8， 故.    故答案为：256. 11．（25-26高二上·上海·期中）如图，长方体中，，，，点M为线段上的动点，则线段的最小值为________.    【答案】 【分析】连接，将矩形绕旋转到与矩形在同一平面，连接与交于点时，即为的最小值，进而求解即可. 【详解】连接，将矩形绕旋转到与矩形在同一平面，如下图，    连接与交于点时，即为的最小值， 由题意，，则， 所以. 故答案为：. 12．（25-26高二上·上海·期中）要给1000个相同规格的螺杆镀锌（表面涂上一层锌），螺杆的尺寸如图所示（图中单位：毫米），螺杆下部是实心的正六棱柱，上部是实心的圆柱．如果电镀这批螺杆每平方米要用锌0.11千克，则需要用锌的总量为______克．（精确到0.1）    【答案】 【分析】借助圆柱与棱柱的表面积公式计算可得表面积，即可得解. 【详解】此零件的表面积为 平方毫米. 则1000个零件的表面积为平方毫米. 故需锌的质量为克. 故答案为：. 二、单选题 13．（24-25高二上·上海·期中）以下命题中真命题的是（   ）. A．所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D．各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱 【答案】B 【分析】利用长方体、直棱柱、正四棱柱的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，直棱柱的侧面都是矩形，但不一定是长方体， 如直三棱柱，故A不正确， 对于B，有两个相邻侧面是矩形，则利用线面垂直的判定定理证明出侧棱垂直于底面，则该四棱柱是直棱柱，故B正确， 对于C，斜四棱柱可以满足侧棱垂直底面两条棱，但不是直棱柱，故C不正确； 对于D，底面是菱形的直棱柱，满足底面四条边相等，各侧面都是全等的矩形， 但不是正四棱柱，故D不正确. 故选：B. 14．（24-25高二上·上海·阶段检测）下图有一个正方体纸盆的平面展开图，则以下图形中，可能是展开前的正方体的是（   ）.    A．   B．   C．    D．   【答案】C 【分析】由各个面图像相对位置来排出错误选项. 【详解】A选项：直线和长方形在直观图中一定没有交点，故错误； B和D选项由展开图得到的直线和黑色三角没有交点，而直观图由交点，故错误； 故C选项符合题意. 故选：C. 15．（24-25高二下·上海宝山·阶段检测）如图，一个高为2的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何体的体积关系，化归转化，即可求解. 【详解】设该长方体的底面矩形的长为，宽为，又高为2， 所以根据题意可得水的体积为： ， 解得：. 故选：D. 16．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，直三棱柱中，，，，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断：①直三棱柱侧面积是；②直三棱柱体积是；③的最小值为，其中错误的个数是（    ） A．0； B．1； C．2； D．3． 【答案】B 【分析】本题根据直三棱柱的性质可求出其侧面积和体积，再将空间中的动点问题转化为平面问题，即可判断出结论. 【详解】因为直三棱柱的侧面积等于底面周长与高之积，所以直三棱柱的侧面积，故①正确； 直三棱柱的体积，故②错误； 如图，将平面与平面展开在同一平面，则的最小值为线段的长度，即，故③正确， 综上，错误的个数为1个. 故选：B. 三、解答题 17．（25-26高二上·上海浦东新·期中）一张矩形纸片的规格为：30cm×20cm，把它作为一个圆柱的侧面，求卷成的圆柱的体积.（精确到，为保证精度，在计算器使用过程中不对值进行四舍五入） 【答案】或 【分析】分别讨论以30cm边为底面周长，20cm边为高和以20cm边为底面周长，30cm边为高两种情况，求得底面圆半径，代入体积公式，即可得答案. 【详解】若以30cm边为底面周长，20cm边为高时， 底面圆半径， 则体积； 若以20cm边为底面周长，30cm边为高时， 底面圆半径， 则体积. 18．如图，设圆柱有一个内接棱柱（即棱柱的侧棱都是圆柱的母线，棱柱的两个底面分别在圆柱的两个底面内）．已知圆柱的体积是，棱柱的底面是边长为2的正三角形．求棱柱的体积． 【答案】 【分析】借助棱柱的底面是边长为2的正三角形可得圆柱底面半径，结合圆柱体积可得圆柱的高，再利棱柱体积公式计算即可得解. 【详解】由棱柱的底面是边长为2的正三角形，则圆柱底面半径， 设圆柱的高为，则有，即， 故棱柱的体积为. 19.（24-25高二·上海·课堂例题）直三棱柱底面各边的比为，侧棱长为，全面积为，求底面各边之长． 【答案】 【分析】设底面三边长分别为，利用余弦定理求得底面三角形的最大内角的余弦值，从而得正弦值，再根据全面积公式即可求解. 【详解】设底面三边长分别为， 则， 设长为的边所对的三角形内角为，则， 所以， 所有， 所有，即， 解得（舍去负值）， 所以底面三边长分别为. 20．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知三棱柱棱长均为1. (1)若平面，求三棱柱的表面积； (2)若，求证：平面平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意判断三棱柱是正三棱柱，再根据底面正三角形和侧面正方形的面积和，求解棱柱表面积即可； （2）作出辅助线，结合题干和勾股定理可得线面垂直，再根据面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）平面，三棱柱为正三棱柱，且侧面均为正方形， 则 （2）如图所示，取中点，连接， 因为 所以， 因为 所以，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. 21．（25-26高二上·上海·期中）上海市实验学校的小明同学根据他的创新特需课题所需，设计了某零件并委托网络商家3D打印.零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱，如图所示（图中单位：cm）.    (1)已知3D打印材料的密度为1.3，求打印一个这样的零件需要多少克材料？（四舍五入到整数克，不计其他损耗） (2)小明委托打印了5个该型零件，再对零件的表面（包含底面）喷漆油漆，若预计每平方厘米要用漆0.12g（已计入可能的损耗），求小明需要购买每罐300克的喷漆共多少罐？ 【答案】(1)克； (2)2罐. 【分析】（1）利用圆柱与棱柱的体积公式求出零件的体积，借助材料的密度求出材料的质量. （2）利用圆柱与棱柱的表面积公式求出零件的表面积，即可得解. 【详解】（1）圆柱部分体积为， 正四棱柱部分体积为，因此零件的体积为， 而该3D打印材料的密度为1.3， 所以打印一件这样的零件需要克材料. 答：需要847克材料. （2）此零件的表面积为（）， 则需要购买每罐300克的喷漆共，显然，所以需要两罐. 答：需要2罐. 1 学科网（北京）股份有限公司 $