05 函数奇偶性、周期性、对称性 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数奇偶性、周期性、对称性综合应用，按定义判断、性质应用、参数求解、不等式解决等逻辑层次梳理8大核心考点，通过考点精讲、方法归纳、真题演练的教学流程，帮助学生构建知识网络，突破综合应用难点。 资料采用分层训练设计，涵盖选择、填空、解答等题型，结合数学思维中的推理意识和数学语言中的模型观念，如在周期性求函数值时引导学生通过周期性质推理建立计算模型，设置基础到综合的梯度练习，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生的应考能力。

培优专练+三年真题05函数奇偶、周期、对称性综合 【考点一】函数奇偶性的定义与判断 【考点五】函数周期性的应用 【考点二】函数奇偶性的应用 【考点六】由函数的周期性求函数值 【考点三】由奇偶性求参数 【考点七】判断函数的对称性 【考点四】由函数奇偶性解不等式 【考点八】函数对称性的应用 【题型一】函数奇偶性的定义与判断 1．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）设命题，，命题为定义在上的奇函数，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】设命题成立，，， 令，在时成立， 但是对于，不一定成立，所以； 设命题成立，即为定义在上的奇函数，则， 令得，所以； 所以是的必要不充分条件. 2．（2026·江苏南通·一模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据选项构造函数，利用判断A、B、D，根据奇函数的定义判断C. 【详解】对于A：令，则定义域为，因为， 所以不是奇函数，A错误； 对于B：令，则定义域为，因为， 所以不是奇函数，B错误； 对于C：令，则定义域为， 因为 ，即所以是奇函数，C正确； 对于D：令，则定义域为， 因为，所以不是奇函数，D错误； 故选：C. 3．（2026·安徽池州·二模）设函数的定义域为，，若的图象与x轴相交于点，则（   ） A． B． C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】D 【分析】通过令和，确定函数为一次函数，通过待定系数法确定解析式，再逐项判断即可. 【详解】令可得：， 再令，可得， 即函数为一次函数， 设，代入给定等式， 左边：， 右边： 对比系数得： 若，得，，与无交点，舍去； 若，得，即，验证满足原等式。 已知，即，得， 对于选项A：，错误； 对于选项B：，错误； 对于选项C：，显然不是奇函数，错误； 对于选项D，令，定义域为R， 满足，是奇函数，正确. 4.（多选）（2026·河南开封·二模）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据偶函数定义依次判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为且 ， 所以函数是偶函数，故A符合题意； 对于B，函数的定义域为， 因为定义域不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性，故B不符合题意； 对于C，函数的定义域为且， 所以函数是奇函数，故C不符合题意； 对于D，函数的定义域为且， 所以函数是偶函数，故D符合题意. 【题型二】函数奇偶性的应用 1．（2026·云南·模拟预测）已知是奇函数，当时，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】已知是奇函数，则，则， 因， 故． 2．（2026·浙江·三模）已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值. 【详解】由函数的值域为，得， 由是定义在上的奇函数，得， 由是定义在上的偶函数，得， 则，则， 所以， 而函数与的值域相同， 所以函数的最大值为8. 3．（2026·山东青岛·一模）设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则____． 【答案】/ 【分析】由题意结合函数奇偶性建立关于和的方程，进而求解的值即可. 【详解】由于函数是奇函数，函数为偶函数， 所以，    即，解得. 4．（2026·河北·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则____________． 【答案】 【分析】利用奇函数的性质转化，然后代入解析式，根据诱导公式化简求值. 【详解】因为是奇函数，， ， . 5.（多选）（2026·湖南长沙·三模）若函数为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（     ） A． B．函数对任意实数，恒有 C．若在值域为，则的范围为 D．， 【答案】ABD 【分析】由函数为奇函数，为偶函数联立方程，求出的解析式；对于A，B代入解析式即可验证；对于C，根据函数的单调性求出极大值、极小值点，同时结合函数的零点，得出函数的图象，根据函数图象即可求得的取值范围；对于D，求解的关系式，根据判断的正负，即可验证. 【详解】令，； 函数为奇函数，为偶函数， ，即，整理得. 对于A，令，则，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得； 令，得或； 当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增； 当时，取得极大值，即；当时，取得极小值，即. 令，则，解得或； 令，则，即，解得或； 如图所示： 在值域为，由图可得，故C错误； 对于D， ； ，，，则，即，故D正确. 【题型三】由奇偶性求参数 1．（2026·陕西西安·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】 为奇函数，，解得， 时，， ，符合题意， ． 2．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为偶函数，所以，， 所以，即， 所以且，故. 3．（2026·湖南长沙·三模）若定义在 上的函数为奇函数，则__ 【答案】 【详解】由题可知，，所以， 又，即，即对任意恒成立， 所以，所以 4.（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义求参数的值，然后依次检验是否为偶函数即可 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. 5.（多选）（2025·河北·一模）已知函数下列命题正确的是（    ） A．若是奇函数，则 B．若是奇函数，则 C．若是减函数，则的取值范围为 D．若是减函数，则的取值范围为 【答案】AC 【分析】根据奇函数的性质即可求解，根据单调性的性质即可求解CD. 【详解】当时，. 若是奇函数，则，解得， 当时，时，， 也满足奇函数，故A正确. 若是减函数，则，解得，C正确. 故选：AC 【题型四】由函数奇偶性解不等式 1．（2026·云南红河·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用奇函数性质解不等式即可. 【详解】由题意可知，当时，；当时，． 由奇函数的性质可得函数的图象如下： 由图象可得，不等式的解集为． 故选:B． 2．（2026·湖北荆州·一模）已知偶函数在上是增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数性质以及单调性可得，进而运算求解即可. 【详解】因为函数为偶函数，则不等式即为， 又因为函数在上是增函数，且，， 则，整理可得，解得或， 所以满足的x的取值范围是. 故选：B. 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数是偶函数，且当时，，则不等式的解集为___．（用区间表示） 【答案】 【分析】先利用一元二次不等式解法求得当时，不等式的解集，再利用偶函数性质求得当时不等式的解集，进而求得不等式的解集. 【详解】当时，， 则不等式可化为或， 解之得或，即， 又函数是偶函数，则当时， 由不等式可得，. 综上，不等式的解集为. 故答案为： . 4.（2025·江苏盐城·三模）已知函数（，且）． (1)讨论的奇偶性； (2)若，不等式恒成立，求t的取值范围． 【答案】(1) 当时，是R上的偶函数；当时，是R上的奇函数； 当且时，既不是奇函数也不是偶函数； (2) 【分析】（1）利用函数奇偶性定义，分类讨论即可； （2）确定函数的单调性，结合奇函数的性质求解不等式即可. 【详解】（1）函数（，且）的定义域为R，且 当时，，即恒成立， 所以，即，此时，定义域为R，， 所以是R上的奇函数； 当时，，即恒成立，所以，即， 此时，定义域为R，， 所以是R上的偶函数； 当且时，，此时既不是奇函数也不是偶函数； 综上，当时，是R上的偶函数；当时，是R上的奇函数； 当且时，既不是奇函数也不是偶函数； （2）函数中，由，得，而， 所以，则，由（1）知是R上的奇函数； 因为函数都是R上的增函数，则是R上的增函数， 不等式， 因此，则， 解，得或； 解，即，得.于是， 所以t的取值范围是. 【题型五】函数周期性的应用 1．（2026·江西·模拟预测）已知是定义在上周期为4的奇函数，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据周期性和奇偶性求解. 【详解】因为周期为4，所以， 令 ，得到 又因为是定义在上的奇函数，所以， 令，即， 所以，即，即. 2．（2026·吉林白山·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，若，，则（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性推导函数的周期，求出一个周期内各项的值，再计算50包含多少个完整周期和余下的项，最后求和. 【详解】是上奇函数，因此满足 ，且 ； 是上偶函数，因此满足 ，则关于直线对称. 由，换元得， 结合奇函数性质，得： 再替换为，得：， 因此是周期为. 已知，， 一个周期的和：. ，即50项包含6个完整周期， 剩余最后两项，， 所以. 3．（2025·重庆·二模）已知函数 满足 ，且 ，则 _____. 【答案】-10 【分析】由，推出函数的周期为求解. 【详解】由，得， 两式相加得，则， 所以函数的周期为， 设，则，， ，又，则，即， 所以，，，， 所以， ， 故答案为：-10 4．（2025·河北·二模）已知定义在上的函数的导函数为，为偶函数，且，则________． 【答案】 【分析】由为偶函数推出相关等式，两边求导得的对称中心，结合其对称轴推出周期，求出特殊点函数值，利用周期性计算从1到2025的和. 【详解】由为偶函数得， 则． 两边同时求导，得①． 所以的图象关于点对称，即， 由的图象关于点对称，得②． ①-②，得，所以， 又，所以， 即的周期为4，，， ． 故答案为． 【题型六】由函数的周期性求函数值 1．（2026·江西·三模）设是定义在上的奇函数，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据题意得，则利用周期性和奇函数性质求值. 【详解】由于， 所以是以4为周期的周期函数， 则. 2．（2026·河北唐山·模拟预测）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】利用偶函数性质得，得. 周期，，因此. ，且， 则 因此. 3．（2026·安徽安庆·模拟预测）设是周期为4的奇函数，当时，，则______． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性及周期性求解即可. 【详解】因为是周期为4的奇函数，所以， 又当时，，所以. 所以. 4.（2026·安徽·模拟预测）已知函数，的定义域为，为偶函数且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由为偶函数，得. 对作变量代换，得，因此，. 将代入上式，得， 结合，得， 进而，，即的最小正周期为； 由，可得的最小正周期也为. 对于选项A：由，令，得，故A错误. 对于选项B：由，令，得，故B正确. 对于选项C：由，令，得，故C正确. 对于选项D：由周期为，得，故D正确. 【题型七】判断函数的对称性 1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，， 则， 则的图象的对称中心是 2．（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得曲线关于某点对称 B．存在，使得曲线关于某直线对称 C．存在，使得曲线关于某点对称 D．存在，使得曲线关于某直线对称 【答案】D 【详解】由，得或， 则函数的定义域为 若曲线存在对称轴或对称中心，则对称轴或对称中心必在直线上. 因为， 当时，，所以此时关于直线对称. 又因为不可能恒等于某个常数， 所以不可能关于某个点对称. 3．（2026·全国·模拟预测）函数与的图象（    ） A．关于y轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】设点在的图象上，可求出点在函数图象上，分析两点的位置关系即可求解． 【详解】设点在的图象上，则， 又，说明点在的图象上， 点与点关于对称， 所以函数与的图象关于直线对称． 故选：B． 4．（2026·江苏·模拟预测）函数的对称中心坐标为______． 【答案】 【分析】根据的奇偶性求解. 【详解】由，解得 ， 所以的定义域为 ，关于原点对称， 又， 所以是奇函数，所以函数的对称中心的坐标为， 故答案为： 【题型八】函数对称性的应用 1．（2026·陕西咸阳·一模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件可得的值，再结合对称性可得的值，进而可得结果. 【详解】当时，，得. 再由，，所以. 故选：C. 2．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数关于对称，且在上单调递增， 所以函数关于对称，且在上单调递增， 若，则，得. 3．（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 【答案】 【详解】已知函数的图象关于点对称， 则对任意有，则 ， 化简得， ，解得， 若，则，与题设矛盾，舍去； 若，则，解得， ． 4．（2026·福建厦门·模拟预测）写出一个同时满足下列性质①②③的函数______. ①定义域为； ②； ③. 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意知图象关于点对称，再结合正比例函数构造即可； 【详解】由③得函数图象关于点对称， ，则可取，符合①②③. .（答案不唯一） 5．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知函数，且函数与的图象关于直线对称. (1)求函数的解析式； (2)若成立，求实数的取值范围； (3)若且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）设为图象上任意一点，则点关于对称的点为，据此可得答案； （2）由（1）可得，然后由对数函数单调性可得答案； （3）由，可得，，然后由双勾函数性质结合对数函数单调性可得答案. 【详解】（1）设为图象上任意一点，该点关于对称的点为， 因此在的图象上， 因此，即， 因此函数. （2）由，得，即， 函数在上单调递增， ，解得或. 故实数的取值范围为. （3）由，得，即，得， ，而，，即， 根据对勾函数的单调性可得在为减函数， 的值域为，的取值范围为， 故的取值范围为，即. 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 2．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 二、多选题 5．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 6．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数______. 【答案】0 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】是奇函数，则恒成立， 所以，解得 故答案为：0． 7．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 【答案】 【分析】根据偶函数的性质求解. 【详解】因为函数是偶函数，当时，， 所以，解得. 四、解答题 8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. (3) 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）略 （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 9．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】(1)不是； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【详解】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 10．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． (1)若当时，，求； (2)若是奇函数，，且，证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． 【答案】(1) (2)由题意证明如下： 在中，是奇函数，当时，． ∴，当时，， ∴ 在集合中， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴且，即，， ∵， ∴①当时，解得， ，， 此时， ②当时，解得， ，， 此时， ③当时，解得， ，， 此时， 综上，. (3)（i）由题意证明如下， 法一： 若，则存在，使得， 条件①：若，则， ∴，则， 取，则，此时， ∵，则，即， 但，相矛盾， ∴ 法二： 假设，则存在，使得， 从而，这导致， 但， ∵根据条件又有，矛盾， ∴假设不成立，. （ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下， 在集合中， 要证在上单调递增， 即需证，，都有， 即需证，，都有， ①先证明：当时，， 假设，使得， ∵当时，， ∴，使得， ∴， 而当时，， 否则，使得，，与矛盾， ∴， ∴， ∴， 由（3）（i）得，， 则， 由条件②：当时，， 则， 否则时，与矛盾， ∴若，使得，则，，（*） ∴，使得， 则， 令，， 此时，则，则， ∴， ∵， ∴易取，满足，使得， 根据（*）可得，此时，与矛盾， ∴当时，， ②证明：对，，都有， ∵，，都有， ∴， 对任意给定的，取，则 ， ∴对，，都有， ∴在上单调递增. 【分析】（1）求出，写出表达式，即可求出； （2）求出表达式，化简集合并得出表达式，利用得出与，对的三种情况进行分类讨论，即可证明结论； （3）（i）法一：假设，则存在，使得，取，求出，与矛盾，进而证明结论； 法二：假设，则存在，使得，取，求出，与时矛盾，进而证明结论； （ii）将证明转化为证，，都有，先证明：当时，，再证明对，，都有，进而证明出在上单调递增. 【详解】（1）由题意， 在中，，， 在中， ， ∴， 当时，，，解得， 当时，，解得， ∴， ∴. （2）略 （3）（i）略 （ii）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专练+三年真题05函数奇偶、周期、对称性综合 【考点一】函数奇偶性的定义与判断 【考点五】函数周期性的应用 【考点二】函数奇偶性的应用 【考点六】由函数的周期性求函数值 【考点三】由奇偶性求参数 【考点七】判断函数的对称性 【考点四】由函数奇偶性解不等式 【考点八】函数对称性的应用 【题型一】函数奇偶性的定义与判断 1．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）设命题，，命题为定义在上的奇函数，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（2026·江苏南通·一模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽池州·二模）设函数的定义域为，，若的图象与x轴相交于点，则（   ） A． B． C．是奇函数 D．是奇函数 4.（多选）（2026·河南开封·二模）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】函数奇偶性的应用 1．（2026·云南·模拟预测）已知是奇函数，当时，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 2．（2026·浙江·三模）已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．（2026·山东青岛·一模）设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则____． 4．（2026·河北·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则____________． 5.（多选）（2026·湖南长沙·三模）若函数为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（     ） A． B．函数对任意实数，恒有 C．若在值域为，则的范围为 D．， 【题型三】由奇偶性求参数 1．（2026·陕西西安·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南长沙·三模）若定义在 上的函数为奇函数，则__ 4.（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 5.（多选）（2025·河北·一模）已知函数下列命题正确的是（    ） A．若是奇函数，则 B．若是奇函数，则 C．若是减函数，则的取值范围为 D．若是减函数，则的取值范围为 【题型四】由函数奇偶性解不等式 1．（2026·云南红河·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北荆州·一模）已知偶函数在上是增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数是偶函数，且当时，，则不等式的解集为___．（用区间表示） 4.（2025·江苏盐城·三模）已知函数（，且）． (1)讨论的奇偶性； (2)若，不等式恒成立，求t的取值范围． 【题型五】函数周期性的应用 1．（2026·江西·模拟预测）已知是定义在上周期为4的奇函数，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2026·吉林白山·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，若，，则（   ） A． B． C．0 D．3 3．（2025·重庆·二模）已知函数 满足 ，且 ，则 _____. 4．（2025·河北·二模）已知定义在上的函数的导函数为，为偶函数，且，则________． 【题型六】由函数的周期性求函数值 1．（2026·江西·三模）设是定义在上的奇函数，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．（2026·河北唐山·模拟预测）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽安庆·模拟预测）设是周期为4的奇函数，当时，，则______． 4.（2026·安徽·模拟预测）已知函数，的定义域为，为偶函数且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型七】判断函数的对称性 1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得曲线关于某点对称 B．存在，使得曲线关于某直线对称 C．存在，使得曲线关于某点对称 D．存在，使得曲线关于某直线对称 3．（2026·全国·模拟预测）函数与的图象（    ） A．关于y轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 4．（2026·江苏·模拟预测）函数的对称中心坐标为______． 【题型八】函数对称性的应用 1．（2026·陕西咸阳·一模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 4．（2026·福建厦门·模拟预测）写出一个同时满足下列性质①②③的函数______. ①定义域为； ②； ③. 5．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知函数，且函数与的图象关于直线对称. (1)求函数的解析式； (2)若成立，求实数的取值范围； (3)若且，求的取值范围. 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 5．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 三、填空题 6．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数______. 7．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 四、解答题 8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 9．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 10．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． (1)若当时，，求； (2)若是奇函数，，且，证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． 1 学科网（北京）股份有限公司 $