高频专练04 二次函数综合（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，按线段周长、面积、角度、特殊三角形、特殊四边形题型系统编排，梯度递进 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段周长问题|4题|动点轨迹与最值计算|以二次函数为载体，从基础几何量到特殊图形递进| |面积问题|4题|图形面积公式与存在性探究|体现几何直观与运算能力的结合| |角度问题|4题|角相等与三角函数应用|强化推理意识与空间观念| |特殊三角形问题|4题|直角、等腰三角形判定|突出分类讨论思想| |特殊四边形|4题|平行四边形、菱形等存在性|综合考查模型意识与应用能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高频专练04二次函数综合 内容概览 三高频题型核心突破 知识点01二次函数综合 题型1线段周长问题 题型2面积问题 题型3角度问题 题型4特殊三角形问题 题型5特殊四边形 三综合演练实战攻坚 知识点01二次函数综合 题型1线段周长问题 1. 己知抛物线y=mr+1-3m)x-4m(m为常数，m>0)的顶点为D,与y轴交于点C. (1)当m=1时，求顶点D的坐标； (2)直线y=x与抛物线交于A,B两点（点B在y轴的右侧). ①若AB=BC,求m的值： ②设P为A,B两点间抛物线上的一个动点（含端点A,B),过点P作P四⊥AB,垂足为Q,若线段P四 长的最大值为5，求m的值. 2.在平面直角坐标系xO中，抛物线y=ar'-4ar+3a(a>0)与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧）， 与y轴交于C.若点P(x心)为直线BC上的动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q. (1)若a=1. ①求直线BC的表达式： ②若0<<3，直接写出线段P长度的最大值及此时的点P的坐标： (2)若m<x,<m+1,且线段PQ的长随着o的增大而增大，求的取值范围。 3.已知抛物线y=axr2+bx-3交x轴于点A(-l,0),B;交y轴于点C,将点C向右平移2个单位长度，得 到点D,点D在抛物线y=ax2+br-3上，点E为抛物线顶点. 1/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA B Bx D O E (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接BC,点M为线段BC上一动点，连接OM,作射线CD ①在射线CD上取一点F,使CF=CO,连接FM.当OM+FM的值最小时，求点M的坐标. ②点N是射线CD上一动点，且满足CN=CM,连接OM、BN,求OM+BN的最小值 4.已知二次函数y=r+bx(a≠0)的图象经过点(4,0)和(，3)，点P(:,y),Q(x,)是该二次函数图象 上+2=4 上的两个动点，满足0<x<2<x<4,且为2 (1)求该二次函数的表达式： (2)求，+2的值： (3)已知一条平行于y轴的直线过点P交Og于点M,一条平行于x轴的直线过点A(0,)交函数图象于B, C两点，且BC=3PM,求BC的最大值及此时对应的t值. 题型2面积问题 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=2x2+bx+c与x轴正半轴交于点A(m-l,0)和点B(m+l,0),抛 物线的顶点为点C,△ABC的面积为」 6.如图，抛物线y=x-4x-5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C在抛物线上且横坐标为 6 2/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Y (1)求点AB、C的坐标： (2)点D在抛物线上且与点C关于对称轴对称，连接AC、BC、CD,在抛物线上是否存在点P,使得 S心8，若存在，请求出点p的坐标，若不存在，请说明理由。 7.如图，二次函数y=a2-4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点4(-4,0). (1)求二次函数的解析式： (2)求抛物线的项点坐标： (3)在抛物线上存在点P,满足S4O=8,请直接写出点P的坐标， 8.已知平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+4的图象经过点(2,4)。 (1)用含a的代数式表示b: (2)当0≤x≤3时，二次函数y=ar2+bx+4的最小值为2a-2,求a的值： (3)将函数y=ax'+br+4(a>0)的图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新函数图 象顶点记为点P,点Q在该新函数图象上.当OP最小时，△PO的面积为4，直接写出点P和点Q的坐标 题型3角度问题 9.如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C. 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线及直线BC的解析式： (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴： (3)若P为抛物线上一点，当∠CAB=∠ACP时，求点P的横坐标. 10.定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么 我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”. 在平面直角坐标系xO中，一次函数y=2+2的图象与x轴，y轴分别交于4'B两点. 小 P O 图1 备用图 (1)如图1，若点P为线段AB的中点，二次函数y=ar+br+C(a≠0)的“顶点弦”为线段PB,且点P为 顶点，求该二次函数的解析式： (2)在(1)的条件下，若直线AB上方抛物线上有一点E,使∠BPE+∠BA0=45°，求点E的坐标； (3)点G在线段AB上，若抛物线F:y=ar+bx+c(4≠0)和抛物线F:y=ar2+b,x+c,(a,≠0)的“顶点 GA 弦”分别为GA和GB,点G为F和E的顶点，且a+2a,=0,求GB的值. 11,已知抛物线y=ax2+br+c(a,b,c为常数，a>0),与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)， 与y轴交于点C,点D为抛物线顶点. (1)若a=1,b=2,c=-3,求抛物线顶点D的坐标： 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知点P(-1,3),A(-5,0),连接PA,PB. ①当∠PAB=∠PBA时，PD=AB,求点B的坐标与抛物线的解析式； ②若点D在第三象限，且PD∥y轴，∠APD=2∠ADP:对于抛物线y=ar2+br+c,当2 ≤x≤m时，y 9 的最大值与最小值的差为8，求m的取值范围. 12.在平面直角坐标系中，抛物线y=axr2+bx+c与直线AB相交于点A(-6,0),B(0,6),交x轴正半轴于 点C(2,0)」 B 图1 图2 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PM⊥AB于点M,过点P作PW1y轴于点 N,求2W2PM+PN的最大值及此时点P的坐标： 3)如图2，点G是线段OB的中点，将原抛物线沿射线CB方向平移V0个单位长度，在平移后的抛物线上 存在点K,使得∠GAK=45°，请写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个的求解过程。 题型4特殊三角形问题 13.已知抛物线y=-2x2-4x+6与x轴交于点A和点B,点C为抛物线上的一动点，当△ABC为直角三角 形时，则点C的坐标为一 14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x-3与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C,E 为线段AC上一动点（不与点A、C重合）。P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于 点D,过点E作AC的垂线，与y轴交于点G,则PE+√2EG的最大值为 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 15.如图，抛物线y=x2+bx+c(b、c为常数)分别与x轴交于点A(-,0)、B(4,0),与y轴交于点C. P (1)求该抛物线的函数表达式： (2)点P是抛物线的顶点，连接CP,点Q是抛物线的对称轴l上的点，如果△CP9是以CP为腰的等腰三角 形，请你求出所有满足条件的点Q的坐标， 16.如图，抛物线y=ar2-2r+c(a,c是常数，且a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.并且 A,B两点的坐标分别是A1,0),B(-3.0),抛物线顶点为D. D B (1)求抛物线的解析式： (2)若E为线段BD上的一个动点，其横坐标为m,过点E作EF⊥x轴，垂足为点F,当为何值时，四边 形EFOC的面积最大？ (3)点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A'恰好也落在此抛物线 上，请直接写出点P的坐标. 6113 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型5特殊四边形 17.如图，点410，B20)和B02.兆物线：子-+c经过4点 (1)请计算：c= (2)抛物线I上是否存在点N,使A,B,V,E四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出N点的坐标， 若不存在，请说明理由. (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点D,使得EB平分∠AED？若存在，求出点D的坐标；若不存 在，说明理由. 18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A(-4,0)、点B(0,-8),直线AC与y轴交于 点C(O,4).P是抛物线上A、B两点之间的一点(P不与点A、B重合)，过点P作PD∥y轴，交直线 AC于点D,过点P作PE⊥AC于点E. (1)求抛物线所对应的函数表达式。 (2)若四边形PBCD为平行四边形，求点P的坐标. (3)求点E横坐标的最大值， 19.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar+bx+3(a≠0)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,连接 BC,OA=1,对称轴为直线x=2,点D为此抛物线的顶点. 7/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 X=2 x=2 D D ! C B 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)抛物线上C、D两点之间的距离是_： (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE,求△BCE面积的最大值： (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q,使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点 Q的坐标. 20.如图，抛物线y=ar2+bx+c交x轴于A(-2,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,4),D是抛物线的顶 点 D E B B 图(1) 图(2) 图(3) (1)求抛物线的表达式. (2)如图(1)，连接BD,E是BD的中点，过点E作直线EG⊥x轴，垂足为G,交抛物线于点F,连接 DF,求△DEF的面积. (3)连接AC,点H为线段AC上一动点，点J在x轴上，在AC右侧作平行四边形AHW ①当点J与点O重合时，请在图(2)中画出线段HⅢ，W,若四边形AHW为菱形，试判断点I在抛物线 的对称轴的左侧还是右侧，还是在抛物线的对称轴上，说明理由， ②如图(3)，当点H为AC的中点时，连接DI,DJ,求△DⅡ周长的最小值， 一、解答题 1.如图，抛物线y=a2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点. 8/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是线段BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D,设点P的横坐标为m, 当m为何值时，线段PD的长度最大？最大值是多少？ (3)在(2)的条件下，当线段PD的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点O,使得以P,D,Q为 顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由. 2.如图，抛物线y=a2+bx+3经过A(-山，0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C,D为直线BC上方抛物线上一 动点，且DE⊥BC于点E VA D B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，求线段DE长度的最大值； (3)如图2，设AB的中点为F,连接CD,CF,是否存在点D,使得LDCE=∠CFO?若存在，求点D的横 坐标；若不存在，请说明理由， 3.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y= +bx+c(b,c是常数)交x轴于点A,B,交y轴于点 2 3 0,2点A坐标为(-1,0)，点D为抛物线的顶点，点E为抛物线上一动点，且点E的横坐标为t. C0, 9/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (2)连接BC,若E在BC的上方，当∠ECB=2∠CBA时，求点E的坐标： (3)如图2，设△EAC的面积为S,点E在抛物线对称轴的右侧， ①求S与t之间的函数表达式： ②以点E为对称中心，构造正方形POMN,且MN在y轴上（点M在点N的下方），直接写出抛物线与正 方形POMN的边只有2个公共点时S的取值范围. 4.如图，抛物线y=x2+bx+c经过点B(3,0)、C(0,-6),与直线y=x-3交于B、D两点，点P是抛物线 上一动点，记点P的横坐标为t 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)当点P位于直线BD下方时，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标： (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H,若△AHP是等腰直角三角形，求点P的坐标. 5如图，在平面直角坐标系中，抛物线G:y=r-2x+1(k≤0)与抛物线G,:y=}+3x+1x≥0) 4 组成图象G,图象G与y轴交于点A,过点A作AB‖x轴交抛物线G于点B,点P是图象G上动点，设点 P的横坐标是m, 10/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (备用图) (1)求抛物线G的顶点坐标和线段AB的长； (2)当点P在抛物线G上，过点P作PO∥x轴，PO与抛物线G相交于点Q,当以A,B,P,Q为顶点的 四边形是平行四边形时，求的值： (3)若图象G位于P,A两点之间部分（包括P,A两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3，求m的取值范 围 6.抛物线y=-x2-x+c与x轴交于A(-4,0),B两点，与y轴交于点C(0,-4): V (图1) (图2) (1)求抛物线的解析式： (2)点P为线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线y=-x2-bx+C于点D,连接OD,BP, 当四边形ADBP的面积最大时，求点D的坐标： (3)如图2，若抛物线y=-x-br+C的顶点为E,过点E作EF∥y轴，交AC于点F,G是抛物线上的一点， 过点G作GH∥y轴，交AC于点H,当EG=FH时，求出点G的坐标， 7.如图，抛物线手r+c+4与销交于30：g两点与y销交于点C 11/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求抛物线解析式及B,C两点坐标： (2以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标： (3)该抛物线对称轴上是否存在点E,使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标：若不存在，请说明理 由. 8.综合与探究，已知抛物线y=a2+bx+4与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C,点0为坐 标原点，作直线BC」 VA B A B -10 4八 40 4八 备用图 (1)求该抛物线的解析式。 (2)在抛物线上有两个动点P,2,点P在第一象限，横坐标为m,过点P作x轴的垂线，垂足为N,交 BC于点M,点O的折是标为子.若AMCN的面积记作，△PW0的百氨记作5，当5-S+有 最大值时，求点P的坐标.（自行完成作图并解答） (3)把抛物线y=ax+br+4沿射线BC方向平移，平移后，新抛物线y'过点C,点E是新抛物线y对称轴 与x轴的交点，点F是新抛物线y对称轴上的动点，连接FC,FO.若FO平分∠CFE，请直接写出符合 条件的点F坐标.（自行完成作图并作答） 9.如图，在平面直角坐标系中，直线1与x轴交于点A(6,0),与y轴交于点B(0,-6),抛物线经过点A, B,且对称轴是直线x=1. 12/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求直线1的解析式： (2)求抛物线的解析式： (3)点P是直线1下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C,交直线I于点D,过点P作 PM⊥I,垂足为M.求PM的最大值及此时P点的坐标 10.在平面直角坐标系xO中，抛物线C:y=x2+bx+c经过点A(0,2),B(2,2),顶点为D;抛物线 C2:y=x2-2mx+m2-m+2(m≠1)，顶点为2. 图1 图2 (1)求抛物线C的表达式及顶点D的坐标； (2)如图1，连接AD,点E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点，点F是抛物线C,上一点，若四边形ADFE 是面积为12的平行四边形，求m的值： (3)如图2，连接BD,D0,点M是抛物线C对称轴左侧图像上的动点（不与点A重合），过点M作MN‖ DO交x轴于点N,连接BV,DN,求△BDW面积的最小值， 13/13函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高频专练04二次函数综合 内容概览 三高频题型核心突破 知识点01二次函数综合 题型1线段周长问题 题型2面积问题 题型3角度问题 题型4特殊三角形问题 题型5特殊四边形 三综合演练实战攻坚 高频题型核心突破 知识点01二次函数综合 题型1线段周长问题 1.己知抛物线y=mx2+(1-3m)x-4m(m为常数，m>0)的顶点为D,与y轴交于点C. (1)当m=1时，求顶点D的坐标：， (2)直线y=x与抛物线交于A,B两点（点B在y轴的右侧）. ①若AB=BC,求m的值： ②设P为A,B两点间抛物线上的一个动点（含端点A,B),过点P作P吧⊥AB,垂足为Q,若线段P四 长的最大值为5，求m的值， 【答案】(1)1，-5)： 2)@m=34 1:②m=4 【详解】(1)解：将m=1代入到y=mx2+(1-3m)x-4m中，得y=x2-2x-4, 配成顶点式得：y=(c-)2-5, 则顶点D的坐标为(1，-5)： (2)解：令x=0,可得y=-4m,则C点坐标为(0，-4m), 1176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据题意联立： y=x x=-1x=4 y=mr2+(0-3m)x-4m’解得： y=-1或者y=4 ,点B在y轴的右侧， B点坐标为(4,4)，A点坐标为(-山，-)， ①：B点坐标为(4,4)，A点坐标为(-1，-)，C点坐标为(0，-4m), ·AB=V4+1)2+(4+1)2=52,BC=V4-02+(4+4m)7 AB=BC, .V(4-0)2+(4+4m)2=52, 解得m=V34 4 1(负值舍去)： ②作PG∥AB,直线PG交x轴于G点，过P点作PO⊥AB于Q点， 当直线PG与抛物线y=mr'+1-3m)x-4m只有一个交点时，此时线段PO的值最大为5， 过G点作GD⊥AB于D点，如图， B A :直线AB的解析式为y=x, ∴.直线AB与x轴所夹锐角为45°，即∠B0G=45°， PQ⊥AB,GD⊥AB,PG∥AB, ∴四边形GDQP是矩形， .DG=PO=5 :在RIAGD0中，∠D0G=45°，∠GD0=90°， ∴.0G=V2DG=5V2, ·则直线PG相当于是将直线AB向右平移了5V2个单位得到的， 2176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴直线PG的解析式为：y=x-5V2」 y=x-5/2 联立y=m2+0-3m)x-4m' 可得：mx2-3mx-4m+5V2=0, :直线PG与抛物线y=mr+Q-3m)x-4m只有一个交点， ∴关于x的一元二次方程mx2-3mx-4m+52=0有两个相同的解， ∴.方程的△=(-3m)2-4×m×(-4m+5V2)=0, 4v2 解得m= 5 4v2 即m的值为： 5 2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=r-4ar+3a(a>0)与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧）， 与y轴交于C.若点P(x)为直线BC上的动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q. (1)若a=1. ①求直线BC的表达式： ②若0<，<3，直接写出线段P长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若m<,<m+1,且线段P2的长随着x的增大而增大，求m的取值范围. 【容奖】aO,=-X+3:@p0长度的最大值为、严侵2》： 20≤m≤2或m≥3 【详解】(1)①解：当a=1时，抛物线的表达式为y=x2-4x+3, 在y=x2-4x+3中，当y=0时，x2-4x+3=0, 解得=1，x=3 :点A在点B左侧， A1,0),B(3,0): 在y=x2-4x+3中，当x=0时，y=3, .C(0,3): 设直线BC的表达式为y=x+b(k≠O). 3176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3k+b=0 b=3 [k=-1 解得b=3· ∴直线BC的表达式为y=-x+3: ②解：：点P(,%)为直线BC上的动点，且0<<3， ∴由(1)可知点P(o,%)在线段BC上，且不与点B,点C重合， 如图所示， B 在y=-x+3中，当x=o时，y=-x+3, 在y=x2-4x+3中，当x=时，y=x02-4x0+3, P(,-x+3),(x2-4x+3, P0=(x+3)-(x2-4x+3 =-x0+3-x02+4x,-3 =-x02+3x0 -1<0,且0<x<3, 9 六当= 2,PQ长度有最大值，最大值为4， 此时-+3=3 2 t时P引 (2)解：在y=r2-4ax+3a(a>0)中，当y=0时，ar2-4ax+3a=0, ÷.(x2-4x+3)=0,即a(x-1(x-3)=0, 4176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x=1,x2=3, ,点A在点B左侧， A(1,0),B(3,0): 在y=x2-4x+3中，当x=0时，y=3a, .C(0,3a). 设直线BC的表达式为y=Px+q(p≠O), 3p+9=0 1q=3a p=-a 解得1g=3a' ∴.直线BC的表达式为y=-ar+3a； 在y=-ar+3a中，当x=o时，y=-a+3a, 在y=ax2-4ax+3a中，当x=xo时，y=ar,2-4ax0+3a, .P(xo,-a+3a）,x,a,2-4ax+3a） P=(-a+3a）-(a2-4a,+3aj =a,+3a-ax,2+4ax-3a =-axo"+3axo =ax(-3: 当<0时，-3<0，则(x,-3)>0, 0=叶-yak-=a, a>0, ∴，当，<0时，PQ随的增大而减小，不符合题意： 当0≤x≤3时，x-3≤0，则x(x,-3)≤0， 0=x6-明=6-到-+ a>0,即-a<0, “当0≤。≤2时，PQ随x,的增大而增大， 5176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：m<,<m+1,且线段P的长随着的增大而增大， m+1s3 2 m≥0 1 解得0≤m≤2： 当x>3时，-3>0，则x(-3)>0, 四=x-明化-到-a, a>0 ∴.当。>3时，P随的增大而增大， 又：m<x<m+1,且线段PQ的长随着的增大而增大， m≥3： 综上所述，m的取值范围是0≤m≤2或m≥3： 3.已知抛物线y=a2+bx-3交x轴于点A(-1,0),B:交y轴于点C,将点C向右平移2个单位长度，得 到点D,点D在抛物线y=ar+br-3上，点E为抛物线顶点. B D E (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标： (2)连接BC,点M为线段BC上一动点，连接OM,作射线CD ①在射线CD上取一点F,使CF=CO,连接FM.当OM+FM的值最小时，求点M的坐标. ②点N是射线CD上一动点，且满足CN=CM,连接OM、BN,求OM+BN的最小值. 【答案】(1)y=x2-2x-3,(1,-4) e@g-:5 【详解】(1)解：当x=0时，y=-3, 6/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴点C(0,-3) ,将点C向右平移2个单位长度，得到点D, “点D(2,-3) 把点A(-1,0),D(2,-3)代入y=ax2+bx-3得： a-b-3=0 a=1 4a+2b-3=-3解得：b=-2 ∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3, .y=x2-2x-3=(x-1)2-4. ∴顶点E的坐标为(，-4)： (2)解：①如图，连接OF,BF, A\O Bx M D F E C(0,-3),D(2,-3), CD1y轴，OC=3, .CF=C0=3, ∴点F(3,-3),0F=32+32=3V2, .OM+FM OF, ∴当点O,M,F三点共线时，OM+FM取得最小值，最小值为OF的长，即3V2, 对于y=x2-2x-3, 当y=0时，x=-1,x3=3, ∴点B(3,0), .OB=3,BF=3, ∴OB=OC=CF=BF, ∴.四边形BOCF为菱形， 7176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点M为OF的中点， :点M的华标引 ②如图，在射线CE上取点G,使CG=OC,连接GN,DE,BG B x N/D B(3,0),C(0,-3), .0B=OC=3, ∴、△BOC为等腰直角三角形， .∠0CB=45°， C(0,-3),E1,-4),D(2,-3). :CE=V0-1+(-3+4=2,DE=V(2-+(-3+4=2,CD=2, ..CE =DE,CE2 +DE2 CD2. :△CDE为等腰直角三角形， ∴∠DCE=45°， ∴∠OCM=∠GCN, CM=CN,CO=CG .aCOM≌CGW(SAS). ..OM =NG. .OM+BN=NG+BN≥BG, C(0,-3),D(2,-3), .CD1y轴，即∠0CD=90°， ∠BCD=∠0CD-∠0CB=90°-45°=45°， :BC=V0B2+0C2=V32+32=3V2,CG=C0=3, 8176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RtaBCG中，BG=VBC2+CG=V3+32=35, .OM+BN≥BG=3V3, 即OM+BN的最小值为3V3 4.己知二次函数y=ar2+bx(a≠0)的图象经过点(4,0)和(，3)，点P(3,片)，Q(3,)是该二次函数图象 4+2=4 上的两个动点，满足0<X<2<X<4,且元为 (1)求该二次函数的表达式： (2)求+x2的值： (3)已知一条平行于y轴的直线过点P交O?于点M,一条平行于x轴的直线过点A(0,)交函数图象于B, C两点，且BC=3PM,求BC的最大值及此时对应的t值. 【答案】(1)y=-x2+4x (2)4 (3)-5 【详解】(1)解：：二次函数y=ar2+bx(a≠0)的图象经过点(4,0)和(1,3)， 16a+4b=0 a+b=3· a=-1 解得1b=4’ ∴该二次函数的表达式为y=一x2+4x: (2)解：：点P(,乃)，(：乃)是该二次函数图象上的两个动点， .y=-x2+4x1,2=-x22+4x2: 学安4 -x2+4++4=4, X2 ∴.-x+4-2+4=4 +为=4： (3)解：设x=m,则x3=4-m 9176 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 、y=-m2+4m,2=-(4-m)2+4(4-m）=-m2+4m, .P(m,-m2+4m）,(4-m,-m2+4m）: 设直线O卫的表达式y=a(k≠0)， 则一m+4m=k(4-m）,解得k=m, “直线OQ的表达式y=mr, 在y=mx中，当x=m时，y=m2, :M(m,m2）, .PM=-m2+4m-1m2=-2m2+4m, .BC=3PM=-6m2+12m=-6(m-1)2+6, ·-6<0, ∴.当m=1时，BC有最大值，最大值为6， :BCx轴， ∴.点B和点C关于对称轴对称， ∴，点B和点C到对称轴的距离都为3， 4 二次函数的对称轴为直线2×可2， “点B的横坐标为2-3=-1（不妨设点B在点C的左侧）， 在y=-x2+4x中，当x=-1时，y=-(-1)+4×(-1)=-5, t=-5 题型2面积问题 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=2x2+bx+c与x轴正半轴交于点A(m-l,0)和点B(m+1,0),抛 物线的顶点为点C,△ABC的面积为 10/76 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】2 【详解】解：A(m-1,0),B(m+L,0), ,AB=(m+1)-(m-1)=2 ,抛物线与x轴交于A、B, y=2[x-(m-1][x-(m+0]=2(x-m2-1=2(x-m2-2, 即顶点C的坐标为(m,-2), ·△ABC的高为2=2， .SMBc=5×2×2=2」 2 6.如图，抛物线y=2-4x-5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C在抛物线上且横坐标为 6. D A八O B衣 (1)求点AB、C的坐标： (2)点D在抛物线上且与点C关于对称轴对称，连接AC、BC、CD,在抛物线上是否存在点P,使得 So5,若有在，请求出点p的坐标，若不存在，请说明理由。 【答案】()A(-l,0),B(5,0),C(6,7) 2)存在点P,使得点P满足要求，点P的坐标为(2+V23,14)或(2-V23,14)或(-1,0)或(5,0) 【详解】(1)解：令y=0,则x2-4x-5=0, 11/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x=-1或5， A(-1,0),B(5,0), 点C的横坐标为6， :.当x=6时，y=62-4×6-5=7, C(6,7）: (2)解：如图， BP)主 A(-1,0),B(5,0) ∴AB=6,抛物线的对称轴为x=2, :点D在抛物线上且与点C关于对称轴对称，C(6,7),对称轴为x=2, ∴.D(-2,7),点C到x轴的距离为7， .CD=8 41 41 ×2×B×=32×6x7=28, ×cD少-×8×。-=28，即l,-7=7. 当点P在CD上方时，y,-7=7,即x2-4x-5-7=7, 解得x=2+V23或2-√23， ∴(2+2314B(2-2314) 当点P在CD下方时，7-y,=7,即y。=0, .P(-1,0),P(5,0) 综上，存在点P,使得点P满足要求，点p的坐标为2+V23,14)或(2-V2314)或(-10)或(5,0). 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，二次函数中 12/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的面积问题，会运用分类讨论的思想解决数学问题，由坐标表示线段长度时，要考虑加绝对值符号. 7.如图，二次函数y=a2-4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A(-4,0) (1)求二次函数的解析式： (2)求抛物线的顶点坐标： (3)在抛物线上存在点P,满足S4oP=8,请直接写出点P的坐标. 【答案】(1)y=-x2-4x (2(-2,4) 3)(-2,4)或-2+22，-4)或(-2-22，-4） 【详解】(1)解：将点O(0,0),A(-4,0)代入y=ax2-4x+c得， c=0 a=-1 16a+16+c=0:解得1c=0: .二次函数的解析式为y=-x2-4x: (2)解：y=-x2-4x=-(x+2)2+4, 抛物线的顶点坐标为(-2,4)： (3)解：A(-4,0), .A0=4, 设点p到x轴的距离为h,则S.0=)×4h=8, 2 解得h=4, ①当点P在x轴上方时，-x2-4x=4, 解得x=-2, 点P的坐标为(-2,4)： ②当点P在x轴下方时，-x2-4x=-4, 解得x=-2+2W2,x2=-2-2V2 13/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点P的坐标为(-2+2W2,-4咸(-2-22,4： 综上所述，点P的坐标是(-2,4)或(-2+22，-4)咸(-2-2V2,4】 8.已知平面直角坐标系xOy中，二次函数y=a2+bx+4的图象经过点(2,4)， (1)用含a的代数式表示b: (2)当0≤x≤3时，二次函数y=ax2+br+4的最小值为2a-2,求a的值： (3)将函数y=ar2+bx+4(a>0)的图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新函数图 象顶点记为点P,点O在该新函数图象上.当OP最小时，△PO的面积为4，直接写出点P和点O的坐标， 【答案】(1)b=-2a: (2)a的值为-6或2： 1022 3P(-2,2)点Q(-1,5)或33 【详解】(1)解：把点(2,4)代入二次函数y=ax2+bx+4得， 4=4a+2b+4, .b=-2a; (2)解：由(1)得y=ax2-2ax+4, 对称轴为直线x=一 b=1, 2a 当a<0时，抛物线开口向下，当x=3时，y取得最小值， y=9a-6a+4=2a-2, .a=-6, 当a>0时，抛物线开口向上，当x=1时，y取得最小值，， .y=a-2a+4=2a-2, a=2, 综上a的值为6或2： (3)解：由y=ax2-2ax+4=a(-1-a+4得，顶点为(1，-a+4), :图象向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后， .顶点P为(1-a,-a+5), 0p2=(1-a-0+(-a+5-02=2(a-3)}+8, 14176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴当a=3时，OP2取得最小值，即OP取得最小值， 点P为(-2,2)时，0P最小， 设直线0P的解析式为y=a,把(-2,2)代入，得-2k=2, ∴k=-1, ∴直线OP为y=-x, 当a=3时，平移后的新函数为y=3(x+2}+2=3x2+12x+14, 设(x,3x2+12x+14),过点0作x轴的垂线，交0P于点H,则H(:,-x), :△PO0的面积为4， “2×lx0H=4, 1 ÷2×2x(6r2+12x+14+x)=4, 10 解得x=-1或x= 3 1022 ·点Q(-1,5)或33 题型3角度问题 9.如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C. 15/76 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线及直线BC的解析式： (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当∠CAB=∠ACP时，求点P的横坐标 【答案】(1)抛物线的解析式为y=-2x2+4x+6,直线BC的解析式为y=-2x+6: (2顶点坐标为4,8)，对称轴为直线x=1: 6 3)点p的横坐标为35 【详解】(1)解：抛物线y=ar2+br+6与x轴交于A(-1,0)、B(3,0), .设其解析式为y=a(x+l)(x-3). 抛物线与y轴交于点C,令x=0得y=-3a, 又此时y=6, .-3a=6, 解得：a=-2, ∴y=-2(x+1)(x-3)=-2x2+4x+6, ·点C的坐标为(0,6)， 设直线BC解析式为y=mr+n(m≠O)」 把B(3,0)、C(0,6),代入，得 [0=3m+n n=6 m=-2 解得，1n=6 ∴.直线BC的解析式为y=-2x+6」 (2)解：y=-2x2+4x+6=-2x-102+8。 ∴抛物线的顶点坐标为(A,8),对称轴为直线x=1. (3)解：A(-1,0)、B(3,0)、C(0,6 ∴.AB=4,OB=3,OC=6. 在Rt△BOC中，BC=VOB2+0C2=V32+62=3√5， 延长CP交x轴于点E, 16/76 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E .·∠CAB=∠ACP .AE=CE 设点E的坐标为(m,O), (m+1}+02=m2+62, 解得，m=3 2 35 点E的坐标为，0)， 设直线CE的解析式为y=px+g(p≠O), 直线CE过点C(0,6), …9=6 35 又.直线CE过点E(,0), 0=p 35 +6 解得：p=-35, :直线CE的解析式为y= 12 35 x+6, 点P在抛物线上， -2x2+4x+6=- 35+6 76 解得：x=0(为点C,舍去)或x= 35 6 :点p的横坐标为35 10.定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么 我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”. 17/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在平面直角坐标系xO中，一次函数y=2x+2的图象与x轴，y轴分别交于4'B两点. B ⊙ P 图1 备用图 (1)如图1，若点P为线段AB的中点，二次函数y=ax'+br+C(a≠0)的“顶点弦”为线段PB,且点P为 顶点，求该二次函数的解析式： (2)在(1)的条件下，若直线AB上方抛物线上有一点E,使∠BPE+∠BAO=45°，求点E的坐标； (3)点G在线段4B上，若抛物线F:y=4r+bx+c(a≠0)和抛物线B:y=a,r+b,x+c(a,≠0)的“顶点 GA 弦”分别为GA和GB,点G为E和F,的顶点，且a+2a,=0,求GB的值. 【答案】(1)y= x2+x+2 (2)E(2,5) a时 【详解】(1)解：：一次函数y=2+2的图象与x轴，y轴分别交于A”B两点， ∴令y=0:即2x+2=0,解得x=-4 令x=0,y=2: .A(-4,0),B(0,2), :点P为线段AB的中点， ..P -4+00+2 2,2即P(-2,1) :二次函数y=am2+br+c(a≠0)的“顶点弦”为线段PB,且点P为顶点， ∴.设二次函数解析式为y=a(x+2)+1, 1 将点B(0,2)代入，得4a+1=2,解得a=4: 18/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ∴.二次函数解析式为y=(x+2)+1=2+x+2: 4 (2)解：设直线PE与x轴交于F点，过点P作PH⊥x轴于点H, E 夕 A/FH O P(-2,1) OH=2,PH=1, :∠BPE+∠BAO=45°，∠APF=∠BPE, ∴.∠PFH=∠APF+∠BAO=∠BPE+∠BAO=45°， 又：∠PHF=90°， ∴.△PHF为等腰直角三角形， ∴.FH=PH=l, .OF =OH+FH=3 点F(-3,0) 设直线EF的解析式为y=a+b, 将点P(-2,1),F(-3,0)代入得： 「-2k+b=1 「k=1 -3k+b=0:解得6=3： ∴.直线EF的解析式为y=x+3, 令x+3= ++2,解得525=-2合去) E(2,5) 1 (3)解：设Gm,)m+2 2 y=a(x-m+m+2,y=a,(-m+5m+2, :A(4,0)在抛物线E上，B(0,2)在抛物线E上， ∴a(4-mf+m+2=00.am+号m+2=2@. 19/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4+2a,=0③， a(4-m}+m+2=0 “联立①②③，得到a,m+方m+2=2 ,解得 (舍去)， a1+2a2=0 %8 3m2=-4 82 G 33 如图，过点G作GK⊥x轴于点K, 珠 G A GKy轴， P GA AK 34)1 ·GBOK 8 2· 3 11.己知抛物线y=ar2+br+c(a,b,c为常数，a>0),与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)， 与y轴交于点C,点D为抛物线顶点 (1)若a=1,b=2,c=-3,求抛物线顶点D的坐标； (2已知点P(-1,3),A(-5,0),连接PA,PB. ①当∠PAB=∠PBA时，PD=AB,求点B的坐标与抛物线的解析式： ②若点D在第三象限，且PDv轴，PD=24DP,对于抛物线v=+bx十c:当2≤x≤m时， 9 的最大值与最小值的差为8，求m的取值范围。 【答案】(1)(-1，-4) a08B0:名+国-1s 2 【详解】(1)解：把a=1,b=2,c=-3代入y=ax2+br+c, 20/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 可得：y=x2+2x-3=(x+1)-4, ∴抛物线顶点D的坐标为(-1，-4)： (2)解：①如图所示， 0 B D :∠PAB=∠PBA .PA=PB, ∴点P在AB的垂直平分线上， :抛物线与x轴交于点A,B两点， ∴·A、B两点关于对称轴对称， ∴·点P在抛物线的对称轴上。 P(-1,3),A(-5,0), ∴.B(3,0) .AB=3-(-5)=8, PD=AB, PD=8, .D(-1,3-8),即D(-1,-5), 设抛物线解析式为y=a(x+1)-5, 把B(3,0)代入，得0=a×(3+1)-5, 5 解得a=16, =60+刂-5=x2+x-5 5 16 816 ②：PD‖y轴，点D为抛物线顶点， :点P(-山3)在抛物线的对称轴上， 如图所示，设对称轴交x轴于点E,取点P(L3)关于x轴的对称点F,则F(-山，-3)， 21/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .PA=AF,EF=3. ∴.∠APD=∠AFP=2∠ADP, E D A(-5,0) .EA=-1-（-5)=4, AF=VEA+EF2=4+3=5, ∠AFP=∠FAD+∠ADP=2∠ADP, ∴.∠FAD=∠ADP, ∴DF=AF=5, .D(-1,-3-5),即D(-1,-8) 设抛物线解析式为y=a(x+1)-8, 把A(-5,0)代入，得0=a×(-5+1)2-8, 解利0弓 抛物线解析式为y=+-8。 当x=时y -8 当2 m<-1时，则在=- 5 2取得最大值一8，X=m取得最小值 9 :y的最大值与最小值的差为 解得m=-1(不符合题意，舍去)： 当m三时。则在x=取得显大值草￥-1取得录小值g宫-（气）- 5 55 ∴m=-1符合题意； 22/76 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 31 -1+ 22 x=- 2和x=2时，对应的y值相等， 当-1<m≤2时，则在x= 马取用克大恤5：1收用段小血8空(。 -1<m≤2符合题意： 当m>2时，则在x=m取得最大值，x=-1取得最小值-8： 9 “y的最大值与最小值的差为8， +-8(-8)-0, 解得m=?(不符合题意，舍去)，%=立（不符合题意，合去)， 综上可知， m的取值范围是-1≤m 2. 12.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与直线4B相交于点A(-6,0),B(0,6),交x轴正半轴于 点C(2,0)」 B 图1 图2 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PM⊥AB于点M,过点P作PN上'轴于点 N,求2W2PM+PW的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点G是线段OB的中点，将原抛物线沿射线CB方向平移V0个单位长度，在平移后的抛物线上 存在点K,使得∠GAK=45°，请写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个的求解过程. 【答案】(1)y=- -26 23/76 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 49 755 2大值为程，P八8 3)-8+V217 3 或3-6 【详解】(1)解：由题意得：y=a(x+6)(x-2)=a(x2+4x-12), :抛物线过点B(0,6), .有：-12a=6, 1 .a=2 代入y=a+4-12)中，有y=+4-l12)=2-2x+6, 则抛物线的表达式为：y=弓2-2x+6: (2)解：过点P作PH∥y轴交AB于点H,则有∠HPN=90°， A B 设直线AB的解析式为：y=a+b, 代入A(-6,0),B(0,6),有： -6k+b=0 b=6 k=1 解得： b=6’ ∴.直线AB的解析式为：y=x+6, ,O4=QB=6,∠A0B=90°， .△AOB是等腰直角三角形， .∠AB0=45°， :PM⊥ABM,PN⊥y轴， ∴∠MPN=∠AB0=45°， 24/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠MPH=90°-45°=45°， :∠PMH=90° ∴.△PMH是等腰直角三角形， 则PH=√2PM, 设点P-2x+6 则点H(x,x+6) PN=-x' PH=yp-yH=- r-2x+6-(+6)=-3x, 则25nMw=2Pm-2r-x=-1x=-+9。 当x= 时.上式有录大位碧此时-2+6-2（引小6-西 “2PM+PN的最大恤为智.此时点P) 755 (3)解：如图，原抛物线沿射线CB方向平移V10个单位长度， :10=VP+3, 相当于抛物线先向左平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度， K 则新抛物线的表达武为：y=+-2(c+)+63=-3x+ 当点K在x轴下方时， 设直线AK交y轴于点H,过点H作HN⊥AG于点N,此时x>xA=-6, :G为OB中点，B(0,6),A(-6,0), .G(0,3) 在△4GH中，AG=V-6)}+(0-3)}=45=35, 25/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan∠AG0= OA6 0G32, 当∠GAK=45°时，△ANH为等腰直角三角形， 设HN=AW=2m, 则GN HN 2m=m, tan∠NGo2 ..GH=VGN2+HN2 =m2+(2m)=5m, 则AG=AN+GN=2m+m=3m, :AG=35, m=5: ..GH=5m=5, ∴.OH=GH-0G=5-3=2 .H(0,-2). 设直线AK的解析式为：y=kx+b, 代入A(-6,0),H(0,-2),有： -6k+b=0 b=-2 1 k=- 3 解得： b=-2 1 3-2, 六直线4状的解析式为：y= 联立直线AK和新抛物线： 1 y=-x-2 31 2-3x+ y=-2 13, 2 1 13 有：3x-2= x2-3x+ 2, x2+ěx17 =0 +3x-2 3x2+16x-51=0, 26/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △=162-4×3×(-51)=868 x=-16±2217--8±217 6 3, :-8-V21 <-6,舍去， x=-8+V217 3 -8+V217 即点K的横坐标为： 3 当点K'在x轴上方时，此时xx>x4=-6, 设直线AK'与y轴交于F, N G A C O K 在△0AH中，AH=VOAP+0m=V6+22=210, cos∠OHA=OH-2-V10 AH21010 当∠GAK'=45°时，∠K'AK=45°+45°=90°， HF= AH 20-20 cos∠OHAV10 10 .OF=HF-OH=20-2=18, 即F(0,18), 设直线AK'的解析式为：y=k2x+b2, 代入A(-6,0),F(0,18),有： -6k2+b2=0 b2=18 27/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k2=3 解得： b2=18 ∴直线AK'的解析式为：y=3x+18, 联立直线AK'和新抛物线： y=3x+18 13 =-，x2-3x*1 有：3+18=-3x+ 2 x2+6x+=0. x2+12x+23=0, (x+6)2=13, x=±V13-6, :-13-6<-6,舍去， .x=V13-6, 即点K的横坐标为：√3-6： -8+√217 综上，点K的横坐标为： 3 —或3-6 题型4特殊三角形问题 13.已知抛物线y=-2x2-4x+6与x轴交于点A和点B,点C为抛物线上的一动点，当△ABC为直角三角 形时，则点C的坐标为 -2+151 -2-151 【答案】 2 2 或 22 【详解】解：令y=0时，则有0=-2x2-4x+6,解得x=1,3=-3, 不妨令点A在点B的左侧， .A(-3,0),B(1,0) 设C-2r2-41+6). AC2=(-3-}+[0-(-2r2-41+6)=u+3+(2r2+41-6 28/76 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC2=(t-1+(-22-4+6-0=(t-1)}+(2r2+4t-6, AB2=(-3-1)2+(0-02=16, 当△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°时，根据勾股定理得：AC2+AB2=BC2, +32+(2r2+4-6+16=(t-+(2r2+4-6), 解得1=-3，此时点T与点A重合，故不符合题意： 当∠4BC=90°时，同理可得：（+3}+(2r2+41-6=16+(-1+(2r2+4-6, 解得：t=1,此时点T与点B重合，故不符合题意： 当∠4CB=90°时，同理可得：（+3+(2r+41-6°+t-1)}+(2r2+41-6°=16， 解得4=5=34=2+5，=2-5 2 -,4= 2 4=1,42=-3不符合题意， 1=2+下或25 2 2 2-43426 1 -+6= 2 当1=-2-5时，则-2r2-4+6=-2× 2k3 46= 1 2 2 -2+√51)(-2-V151 综上所述：当。4BC为直角三角形时，点c的坐标为 2 ’2或 2’2 14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x-3与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C,E 为线段AC上一动点（不与点A、C重合）。P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于 点D,过点E作AC的垂线，与y轴交于点G,则PE+V2EG的最大值为 D O/Bx 29/76 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 【答案】4 【详解】解：当x=0时，y=-3, 点C(0,-3)」 当y=0时，x2+2x-3=0, 解得：=-3，x2=1, .A(-3,0) 设直线4C的解析式为y=a+b(k≠0)， 把A(-3,0),C(0,-3)代入， 「-3k+b=0 [k=-1 得：1b=3 ，解得：b=-3 ∴直线AC的解析式为：y=-x-3 .OA=OC=3, ∴.∠OAC=∠OCA=45° 过点E作EK⊥y轴于点K, :EG⊥AC, ∴∠CGE=∠GCE=45」 ∴.∠KEG=∠KGE=45°」 .EG=2EK =20D. .2EG =20D 设P(m,m2+2m-3),则E(m,-m-3),D(-m,0), .PE=-m-3-（m2+2m-3=-m2-3m,0D=-m .∴PE+V2EG=PE+20D=-m2-3m-2m=-m2-5m=- 由题意有-3<m<0, 5 25 :当m=-2时，PE+2EG取最大值，最大值为 30/76 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G 15.如图，抛物线y=x2+bx+c(b、c为常数)分别与x轴交于点A(l,0)、B(4,0),与y轴交于点C. P (1)求该抛物线的函数表达式： (2)点P是抛物线的顶点，连接CP,点O是抛物线的对称轴I上的点，如果△CP№是以CP为腰的等腰三角 形，请你求出所有满足条件的点Q的坐标. 【答案】(1)y=x2-3x-4 3733w13-25 33V13+25 2点g的坐标为 4 2’ 或2 4 【详解】(1)解：分别将A(-1,0)、B(4,0)代入y=x2+bx+c中，得： 0=1-b+c 0=16+4b+c b=-3 解得c=4' .该抛物线的函数表达式为y=x2-3x-4, (2)解：令x=0,则y=-4, .点C的坐标为(0，-4) 3)225 y=x2-3x-4=x- 2-4 31/76 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 :点p的坐标为24) ①当CP=CQ时，点O位于点9位置，过点C作CD⊥I于点D,如图， B 则点的标为[4） .CP=CO, +2x9、7 5 .点Q的纵坐标为4 44 37) :点g的坐标为24月 ②当PC=PQ时，点位于点9和点Q位置，如图， DP=9 CD=3 4'∠CDP=90° CP=CD DP2 =313 , :点g,的纵坐标为313-25 4 点g的纵坐标为 3V13+25 4 33V13-25 3V13+25 点g,的坐标为 2’ 4 ,点的坐标为2 4 3W13+25 综上所述，点o的坐标为 333-253- 或2 4 16.如图，抛物线y=ar2-2x+c(a,c是常数，且a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.并且 A,B两点的坐标分别是A1,0),B(-3.0),抛物线顶点为D. 32/76 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B (1)求抛物线的解析式： (2)若E为线段BD上的一个动点，其横坐标为m,过点E作EF⊥x轴，垂足为点F,当m为何值时，四边 形EFOC的面积最大？ (3)点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转9O°后，点A的对应点A恰好也落在此抛物线 上，请直接写出点P的坐标. 【答案】(1)y=-x2-2x+3 9 21 3)(-1,1)或(-1，-2) 【详解】(1)解：把A(1,0),B(-3.0)代入y=a2-2x+c, [a-2+c=0 得9a+6+c=0' a=-1 解得c=3· y=-x2-2x+3: (2)解：y=-x2-2x+3=-(x+1)}+4, .顶点D(-1,4), D B 设BD所在直线解析式为y=c+b(k≠O) 33/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -k+b=4 把B(-3.0)D(-1,4)代入得 -3k+b=0? [k=2 解得1b=6’ ∴.BD所在直线解析式为y=2x+6, E在BD上， .E(m,2m+6),-3≤m≤-1. 当x=0时，y=0+0+3=3. C(0,3) 由题意可知，OC=3,OF=-m,EF=2m+6, .5-(Oc.EFoF-- 81 当m=- 4时，S最大值=16： (3)解：由y=-x2-2x+3=-(x+1+4知对称轴为x=-1, 当P点在x轴下方时，如图2，易知A'与B重合， B(A)/ :AP=AP,∠APA'=90°， ∴△APA'为等腰直角三角形， PO=A0=2, .P(-1,-2) 当P点在x轴上方时，如图，易知点A'与点C重合， 过点A'作AM⊥直线x=-1,垂足为M,则∠MPA'+∠MCP=90°， 34/76 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y D MhC(A) P ⊙ ∠APA=90° :∠MPC+∠APQ=90° .∠MCP=∠APQ. .AP=A'P, :.△MPC≌aQAP(AAS). ∴.PQ=MC=1. P(-1,), 综上所述，P点坐标为(-L,1)或(-1，-2) 题型5特殊四边形 1.知图，点L10,.B20和E02,揽验线y-+c经过4点 (1)请计算：c= (2)抛物线I上是否存在点N,使A,B,N,E四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出N点的坐标， 若不存在，请说明理由、 (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点D,使得EB平分∠AED？若存在，求出点D的坐标；若不存 在，说明理由。 7 【答案】)c=-4 2)N(3,2)或(1，-2) 35/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 【详解】(1)解：y= -+c经过A-1,0): 3 …4 1+c=0. (2)抛物线I上存在点N,使A,B,N,E四点构成的四边形是平行四边形，理由如下： 7 由(1)知c=4, 3 7 ,抛物线，解析式为y=x2-x- 4 4 设Nm子m-m 4 4又A(-1,0),B(2,0),E(0,2) 以NA,BE为对角线，则NA,BE的中点重合， m-1=2+0 .3 7 2m2-m-+0=0+2 4 4 解得m=3, ·N(3,2) 以NB,AE为对角线，则NB,AE的中点重合， m+2=-1+0 .3 /22-m一4=2 同时满足两个方程的m不存在， ∴这种情况不存在 以NE,AB为对角线，则NE,AB的中点重合， m+0=-1+2 3 7 m2-m- +2=0+0’ 4 解得，m=1, N(,-2), 综上所述，N坐标为(3,2)或(1，-2)； 36/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)抛物线在第一象限内的部分存在一点D,使得EB平分∠AED,理由如下： 作点A关于直线BE的对称点A',作直线A'E交第一象限的抛物线于D,如图： D :B(2,0),E(0,2) .:.OB=OE, .∠OBE=LOEB=45°， :A,A关于直线BE对称， ∠ABE=∠ABE=45°，AB=AB=3, .∠ABA=90°， (2,3) 设直线4E解析式为y=c+2,将A'(2,3)代入得： 2k+2=3, 1 解得火=2： 1 直线4E解析式为y=2x+2, 1 y= x+2 2 [x=1+V6[x=1-V6 由 7,得 32- 5+6或5-6（不在第一象限，舍去） y 4 y= 2 y= 2 2 18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A(-4,0)、点B(0,-8),直线AC与y轴交于 点C(O,4).P是抛物线上A、B两点之间的一点(P不与点A、B重合)，过点P作PD∥y轴，交直线 AC于点D,过点P作PE⊥AC于点E. 37/76 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线所对应的函数表达式. (2)若四边形PBCD为平行四边形，求点P的坐标. (3)求点E横坐标的最大值. 【答案】(1)y=x2+2x-8； 2)点P的坐标为(-3，-5)： ,17 318 【详解】(1)解：抛物线y=x2+bx+c经过点A(4,0)、点B(0,-8), 16-4b+c=0 c=-8 [b=2 解得： c=-8 .这条抛物线所对应的函数表达式为y=x2+2x-8； (2)解：设直线AC的解析式为：y=+1,点A(4,0),点C(0,-4)在直线AC上， 「-4k+t=0 t=4 k=-1 解得：t=4 直线AC所对应的函数表达式为：y=-x-4: :点P在抛物线y=x2+2x-8上， ∴设点P(m,m2+2m-8), :PD∥y轴， 38/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点D(m,-m-4). .PD=-m-4-(m2+2m-8）=-m2-3m+4, ,四边形PBCD是平行四边形， ∴.PD=BC,即-m2-3m+4=4, 解得：m=0,m2=-3, 点P不与点B重合， .m=-3, ·点P的坐标为(-3,5)： (3)解：点A(4,0),点C(0,-4), 0A=0C, .∠A0C=90°， .∠AC0=45°， PD∥y轴， .∠PDE=∠AC0=45°， :PE⊥AC于点E, .∠PED=90° .∠PDE=∠DPE=45°， 设点E的横坐标为n,如图，过点E作EF⊥PD于点F, y :△DPE是等腰直角三角形， :EF=)PD,即n-m=PD, 2 21 39/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=+0=+m-++, .-4<m<0、 .当m= 17 2时，最大，且n的最大值为g, 19.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar+br+3(a≠0)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,连接 BC,OA=1,对称轴为直线x=2,点D为此抛物线的顶点. x=2 x=2 D D C A B 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)抛物线上C、D两点之间的距离是_： (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE,求△BCE面积的最大值； (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q,使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点 O的坐标， 【路1+号3 、2V61 25 5 318 +V33 4)3, 或 2 或，或(3，-2） 【详解】(1)解：：OA=1, .A(-1,0) ,抛物线的对称轴为x=2, .B(5,0) 40176 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [0=a-b+3 将A(-1,0),85,0代入解析式，得0=25a+5b+3' 3 a=- 解得 12, b= ∴抛物线的解析式为y三一x+2 2x+3 (2)解：抛物线的解析式为y=-+ 12 x+3 5 5 当x=0时，y=3 当x=2时，y=2 , 2v6 5 (3)解：如图，过点E作EGLx轴于点G,交BC于点F,过点C作CH⊥EF于点H, x=2 D H G 设直线BC的解析式为y=a+b, 5k+b=0 把B5.0)C(0,3)代入，得16=3， 3 k=- 解得 5, b=3 .直线BC的解析式为y= 5+3, 41176 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.SARCE=SACEF+SABEF F-CH-F-mG =1EF.(CH+BG) 2 15 2 2 =引r-s到 3 2 <0 75 当I=2时，Sc有最大值为 (4)解：设P(2,y),(m,m). 由(1)知B5,0),由(2)可知C0,3), 如图，当BC为矩形的对角线时， X=2 D C O、、 :四边形BQCP是矩形， ∴.BC与PO互相平分，BC=PO, 5+02+m 22 :由中点坐标公式，得0+3_y+n” 22 m=3 解得y=3-n 42176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .Q(3,m）,P(2,3-n), :BC=P9,即Pg=BC2, .12+(3-2n)2=52+32 解得%=3V33 2 %，=3+ 2 33+33 2 如图，当BP为矩形的对角线时， YA X=2 P B 5+2_0+m 22 同理，由中点坐标公式得 0+y_3+n' 02 2 [m=7 解得y=n+3' .0(7,m),P(2,n+3), 同理，BP2=CQ 32+(n+3)}2=72+n-3)2, 解得110 3 0,9, 如图，当BQ为矩形的对角线时， 43176 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=2 D B A 5+m2+0 22 同理，由中点坐标公式得 0+ny+3, 2 2 [m=-3 解得： y=n-3' ∴(-3，m),P(2,n-3). 同理，BQ=CP2, 82+2=2+(n-6)}, 解得n=-2, 0(-3,-2), 3+V33 ,3-33 综上，点Q的坐标为 2 32 或0.9或(-3,2) 20.如图，抛物线y=a2+bx+c交x轴于A(-2,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,4),D是抛物线的顶 点. D A O G B B B 图(1) 图(2) 图(3) (1)求抛物线的表达式. (2)如图(1)，连接BD,E是BD的中点，过点E作直线EG⊥x轴，垂足为G,交抛物线于点F,连接 DF,求△DEF的面积. 44176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)连接AC,点H为线段AC上一动点，点J在x轴上，在AC右侧作平行四边形AHW ①当点J与点O重合时，请在图(2)中画出线段HⅢ，刀，若四边形AHW为菱形，试判断点I在抛物线 的对称轴的左侧还是右侧，还是在抛物线的对称轴上，说明理由. ②如图(3)，当点H为AC的中点时，连接DI,DJ,求△DI周长的最小值 1 【答案】()y=2+x+4 7 232 (3)①左侧，图形及理由见解析 ②5W2+5 【详解】(1)y=ax2+bx+c经过点A(-2,0),B(4,0)和C(0,4),可得 4a-2b+c=0 16a+4b+c=0 c=4 a=月 解得b=1 c=4 所以，抛物线的表达式为y=一 x2+x+4 2 (2)根羯题应可知，点0的坐标为》 如图所示，过点D作，箱的惠线，交x轴于点N,则点N的堡标为L0:N=3DN 2 因为DN⊥x轴，FG⊥r轴， 所以∠DNB=∠EGB=90° 又因为∠DBN=∠EBG, 所以△DBN∽△EBG. 45176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BN DN BD 2 所以BG-EG BE1· 所以NG=BN=，GE=DN=9 2, 4 所以点c的坐标为[？0】 5 所以点F的横坐标为2： 527 所以点F的坐标为28 ”áDEr中EF边上的高h= 所以EF=9 所以5a:F= 32· (3)①如图所示，点J与点O重合 D B主 根据题意可知y=一 +x+4的对称轴为x=1 设直线AC的解析式为y=ac+b(k≠0)， 因为直线AC经过点A,点C，可得 [-2k+b=0 b=4 [k=2 解得b=4 所以，直线AC的解析式为y=2x+4. 因为四边形AW为菱形， 所以AH=AW=HⅢ=2，HⅢ∥A. 因为点H为线段4C上一动点，可设点H的坐标为(n,2n+4),可得 AH2=(n+2)2+(2n+4),即 46176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2=(n+2)2+(2n+4)2 2W 解得八= -2,%= 5 25-2(舍去)· 所以点的坐标为 25-24 5 H 2√545 所以点的坐标为 5,5 2 2W5 因为 5 <1 25 所以5<1 所以点I在抛物线的对称轴的左侧 ②如图所示，作点关千轴的对水点D-到)，过点作的T行线E使得E:力 根据题意可知，DJ=DJ,AC=VAO2+OC2=2√5. B 因为点H为AC的中点， 所以M-号4c=5 因为四边形AHW为平行四边形， 所以AH=J=√5」 因为D'E=I,D'E∥JI, 所以四边形DEW为平行四边形。 所以DJ=EI,DE=W=V5. 所以DJ=EI. 根据题意可知，当点D,I,E共线时，D1+EI可以取得最小值，即DI+DJ可以取得最小值，最小值为 47176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE的长度. 根据题意可知，直线D'E可由直线AC平移得到，所以可设直线DE的解析式为y=2x+b. 因为直线D'E经过点D',可得 28-号 解得b-13 所以直线DE的解析式为少=2x- 2 所以可设点E的坐标为 2】 所以DE2=(m-1}+(2-2m)2,即 5=(m-1}2+(2-2m)月 解得m=2,m2=0(舍去). 所以点E的坠标为2-》 所以DE=52 所以△DⅡ周长的最小值=DE+Ⅱ=5V2+√5 综合演练·实战攻坚 一、解答题 1.如图，抛物线y=a2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式： (2)点P是线段BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D,设点P的横坐标为m, 48176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当m为何值时，线段PD的长度最大？最大值是多少？ (3)在(2)的条件下，当线段PD的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点O,使得以P,D,O为 顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 3 2)当m=2时，线段PD的长度最大，最大值是4 57 15+V77 6+77 或 4 【详解】(1)解：：抛物线y=a2+bx+c经过A(-,0),B(3,0),C(0,3)三点， a-b+c=0 a=-1 9a+3b+c=0,解得： b=2, c=3 c=3 ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3； (2)解：如图， B 设直线BC的解析式为y=c+b, 把点B(3,0),C(0,3)代入得： 3k+b=0 k=-1 b=3 解得： b=3 ∴直线BC的解析式为y=-x+3 :点P的横坐标为L,PD⊥x轴， ∴点Pm,-m2+2m+3,D(m,-m+3). .PD=(m2+2m+3）-(←m+3)=-m2+3m=- -1<0 49176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.当m= 2时，线段PD的长度最大，最大值是4 )解：自田得：点》 设抛物线的对称轴为直线， y=-x2+2x+3=-(x-1+4, ∴抛物线的对称轴为直线：x=1, “可设点(1，)， 当P0=PD=9 ,如园，过点P作PE1于点，划PE=号1片 在R△P0中.0=m-PE-图-- 当PO=PD= 时如圈，过点P作pE1V于点瓜，则PE=1 2 D B 在RAPEO中，0-m-Ps--周- 50176 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15+√77 点01,4 当DQ=PD-时，如图，过点D作pFL于点R则DF--1 yA B 6+W77 ÷点1,4 当D0=PD= 21 4时，如图，过点D作DFL1于点E,则DF= 2 F D 在RDrO中，0F-0-DF-9-四 当Pp=D0时，如图， 51176 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 此时点O在PD的垂直平分线上， 15,3 .点Q的纵坐标为42_21 2-8 15-V77 15+V77 16+V77 综上所述，点Q的坐标为 或1,4 1,4 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，等腰三 角形的定义，勾股定理等知识，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键 2.如图，抛物线y=a2+bx+3经过A(-1,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,D为直线BC上方抛物线上 动点，且DE⊥BC于点E O E 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，求线段DE长度的最大值： (3)如图2，设AB的中点为F,连接CD,CF,是否存在点D,使得∠DCE=∠CF0?若存在，求点D的横 坐标；若不存在，请说明理由、 4+3 【答案】)y=后x2+9 2 25 52176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 313 [a-b+3=0 【详解】(1)解：由题意，得16a+4b+3=0' 3 a=- 4 解得 9 b=- 4 腊物线的西数表达式为=子+子+3， 2解：关于y=++3,令x=0则y=3 32 44 .C(0,3) 设直线BC的解析式为y=a+h, 4k+h=0 则h=3 3 k=- 解得 4 h=3 一直线BC的解析式为y=- x+3. 4 如国1，过点D作DM1轴交C于M点，则M子+3， D 图1 0w(+3+ ,∠DME=∠OCB,∠DEM=∠BOC, :.△DEM∽△BOC, 53176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE OB DMBC' :0B=4,0C=3. .BC=5, 4 DE=DM, 5 0=+号=-2 5 、·二320对称轴二>多 12 六当1=2时，DE取最大值，最大值是5： (3)解：存在。 ,点F为AB的中点， OF=2tam∠Cr0-0C 3 2, OF 过点B作BG⊥BC,交CD的延长线于G点，过点G作GH⊥x轴，垂足为H,如图2， y D 父E B H 图2 .·∠DCE=∠CFO tan∠DcE=GB 2, BC .BG=10, :∠CBO+∠OCB=90°，∠CBO+∠GBH=90°， .∠OCB=∠GBH, .'∠BOC=∠GHB=90°. :△GBH∽△BCO, 54176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GH HB GB BC =2 BO OC GH=2B0=8,BH=20C=6. .G(10.8）, 设直线CG的解析式为y=a+b, 「b=3 10k+b=8' k= 解得了2 b'=3 1 直线cG的解析式为y=2x+3, y=2x+3 联立 y=- 3x2+ 4 x+3 解得x 3或x=0（舍去) 7 所以点D的横坐标为3： 3.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=- x2+br+c(b,c是常数)交x轴于点A,B,交y轴于点 c0,3 (2, 点A坐标为(-1,0)，点D为抛物线的顶点，点B为抛物线上一动点，且点E的横坐标为. A 图1 图2 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (2)连接BC,若E在BC的上方，当∠ECB=2∠CBA时，求点E的坐标； (3)如图2，设△EAC的面积为S,点E在抛物线对称轴的右侧， ①求S与t之间的函数表达式： 55176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②以点E为对称中心，构造正方形POMN,且MW在y轴上（点M在点N的下方），直接写出抛物线与正 方形PQMN的边只有2个公共点时S的取值范围. 1 3 【答案】四=2r+x+ (24,2) a0s-f+字>，@s9 4或s>5 【详解】(1)解：将点B,点C的坐标分别代入得： -2 2x(-H-b+c=0 b=1 解得： 3 2 2+x+3 1 ∴.该抛物线的解析式是y=一 2 (2)解：延长EC交x轴于F ,∠ECB=2∠CBA=∠CBA+∠CFB, ∴.∠CBA=∠CFB. OC⊥AB, ∴.OF=OB=3, .F(3,0), “直线心解析式为宁+是 1 56176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 联立抛物线符+-)r+ 1 22 2, 解得：x=0(舍)，女=1， ·点B的坐标为(12)： (3)解：①过E作EH∥y轴交直线AC于H “直线4C的解析式为y= 2 H=3+3+2-1 31 22 t2+ 222 2 s+小 即S=4+4> ②由题可得， *+引.0+2+别 i)当边PN经过点D(1,2), 正方形与抛物线有3个交点， 22 57176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：t=2+V3或t=2-3, .t>1, t=2+V3, ⅱ)当1<1<2+V3时，正方形与抛物线有2个交点： % M i)当点N与点C重合时，正方形与抛物线有3个交点， D CON A B M 0-+21+3=3 +22 解得：t=0(不合题意，舍去)或t=4, v)当t>4时正方形与抛物线有2个交点. v)当2+5<1<4时正方形与抛物线有4个交点 综上所述，正方形与抛物线有2个交点时，1<1<2+V5或1>4. 当1<t<2+V3或t>4,S随t的增大而增大 9+5V5 4二或s>5 【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的判定 与性质，二次函数的图像和性质，图形面积的计算方法，正方形的对称性，掌握相关知识是解决问题的关 键. 4.如图，抛物线y=x2+br+c经过点B(3,0)、C(0,-6),与直线y=x-3交于B、D两点，点P是抛物线 58176 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上一动点，记点P的横坐标为t, 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)当点P位于直线BD下方时，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H,若△AHP是等腰直角三角形，求点P的坐标. 【答案】(1)y=x2-x-6 2)△BDP的面积的最大值为8，P(1,-6) 3)(4,6)或(2，-4) 【详解】(1)解：~抛物线y=x2+bx+c经过点B(3,0)、C(0,-6), 9+3b-6=0 c=-6 [b=-1 解得c=6 .抛物线的解析式为y=x2-x-6, (2)解：·抛物线的解析式为y=x-x-6与直线y=x-3交于B、D两点. x-3=x2-x-6, 解得=-1,2=3 ∴把x=-1代入y=x-3,得y=4, ∴点D的坐标为（-山，-4)， 如图1，过点P作PE‖y轴，交BD于点E, 59176 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AOE才B D 则P(-t-6),E6,t-3), .PE=1-3-(t2-t-6)=-2+2t+3, ·点B的坐标是(3,0) ∴.SABDP=SADPE+SABPE -PE+E化) E() =2(-12+2t+3 =-2(t-1)+8, ∴.当t=1时，△BDP的面积的最大值为8， 此时P(1,-6). (3)解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H, d 轴于H, P 图2 :PH⊥x ∠PHA=90°， :△AHP是等腰直角三角形， .AH=PH, 60176 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(2)知P%,2-t-6), 点H的坐标为(，0)， 由(1)可知4(-2,0) ∴AH=t-(-2=t+2,PH=2-t-6, t+2=r2-t-6, t+2=2-1-6或+2=-(2-1-6) 即2-21-8=0或2-4=0， 当2-21-8=0时， 解得t=4或t=-2(舍去)， 此时P(4,6): 当t2-4=0时， 解得1=2或t=-2(舍去)， 此时P(2,-4), 综上，点P的坐标为(4,6)或(2，-4) 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线G:y=-x2-2x+1x≤0)与抛物线G,:y=- +3+10g≥o0) 组成图象G,图象G与y轴交于点A,过点A作AB‖x轴交抛物线G于点B,点P是图象G上动点，设点 P的横坐标是m. V (备用图) (1)求抛物线G的顶点坐标和线段AB的长： (2)当点P在抛物线G上，过点P作PQ∥x轴，PO与抛物线G相交于点Q,当以A,B,P,O为顶点的 四边形是平行四边形时，求的值； (3)若图象G位于P,A两点之间部分（包括P,A两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3，求m的取值范 围 【答案】(1)G顶点为(-山2)，AB=2 61/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)m的值是1或3 (3)m=-1-V3或2≤m≤4 【详解】(1)解：：抛物线G:y=-x2-2x+1=-(x+1)+2, ∴G顶点为(12) 令x=0,则y=1, 当y=1时，-x2-2x+1=1, 解得，X=-2,x2=0, B(-2,1, .AB=0-（-2)=2: (2)解：如图， ,抛物线G:y= +3x+1=-2+4 4 ∴.抛物线G的对称轴为直线x=2, .PQ∥x轴 ∴.点P与点Q关于直线x=2对称， .P0=2m-2. :以A,B,P，Q为顶点的四边形是平行四边形， :.AB=PO, 即2m-2=2,解得：m=1,m=3 m的值是1或3： (3)解：①当点P在抛物线G上时，即m≤0， :抛物线G的顶点为(-1,2)，4点坐标为(0，)， :图象G位于P,A两点之间部分（包括P,A两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3， :.最高点是抛物线G的顶点为（山，2），最低点纵坐标为-1， 62176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当y=1时，-x2-2x+1=-1,解得：x=-1-3，为=-1+V5(舍去) ∴m=-1-V5: ②当点P在抛物线G2上时，即m≥0 抛物线G2的顶点为(2,4)，A点坐标为(0,1)，4-1=3 :图象G位于P,A两点之间部分（包括P,A两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3， :最高点是抛物线G,的顶点为(2,4)，最低点纵坐标为1， 3 当y=1时，子+3x+1=1,解得：x=0:名=4 ∴.2≤m≤4 综上，m=-1-V5或2sm≤4. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和平行四边形的性质，绝对值的意义，以及解一元二次方程，解题 的关键是熟悉二次函数的性质 6.抛物线y=-x2-bx+c与x轴交于A(-4,0),B两点，与y轴交于点C(0,-4). (图1) (图2) (1)求抛物线的解析式： (2)点P为线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线y=-x-br+C于点D,连接OD,BP, 当四边形ADBP的面积最大时，求点D的坐标； (3)如图2，若抛物线y=-x2-br+c的顶点为E,过点E作EF∥y轴，交AC于点F,G是抛物线上的一点， 过点G作GH∥y轴，交AC于点H,当EG=FH时，求出点G的坐标. 【答案】(1)y=-x2-5x-4 2)D(-2,2) 间当EG:时.点G的坐标为)成引 63176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：抛物线y=-x2-bx+c与x轴交于A(4,0),与y轴交于点C(0,-4), c=-4 ∴把4(4,0)：C(0,-4)代入解析式得-16+4h+c=0 [b=5 解得1c=4 ∴抛物线的解析式为y=-x2-5x-4: (2)解：对于y=-x-5x-4,令y=0,得-x2-5x-4=0, 解得x=-1或x=-4, .B(-1,0), 设直线AC的解析式为y=x+b -4k+b=0 把A(-4,0)C(0,-4)代入解析式得1b=-4, [k=-1 解得b=4 .直线AC的解析式为y=-x-4」 设点P的坐标为(m,-m-4),则D(m,-m2-5m-4), 、.PD=-m2-5m-4-(-m-4)=-m2-4m 4B-DP--3n 1 ∴S四边形ADBP= -m=u+2+6, 3 <0 2 故四边形ADBP的面积有最大值， 当四边形ADBP的面积最大时，m=-2 D(-2,2): 3)解：对于y=-x-5x-4x+)+9 4 59 ∴抛物线y=-x-bx+c的顶点B的坐标为厂24， 对称轴为直线x=一2 当=，y=引4= GH∥y轴， 64176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当EG∥FH时，四边形EFHG是平行四边形，此时EG=FH, .设直线EG的解析式为y=-x+b, 59 9(+h. 将点E24)代入得42 1 解得6=一4， ·直线EG的解析式为y=-x-】 41 1 联立得-x2-5x-4=-x4 3 5 解得x=-2或x= 2 35 ∴点G的坐标为24 由抛物线的对称性， 35 75 当点G24关于对称轴直线x=-2的对称点G24)时，也符合题意， 5 如图，设GG,交直线x=-2于点Q,则G0=0G,存在EG=FH· H GH,∥F∥GH, FH_G2-1, ∴.FHQG ..FH =FH 当G防所点9的标为引名》 7.如图，抛物线y= 2+hc+4与x轴交于A机-3,0)，B两点，与y轴交于点C 3 65176 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求抛物线解析式及B,C两点坐标： (2以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标： (3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标：若不存在，请说明理 由. 【容案灯但搬物线解折式为=音r-号+4，BL0:c0,4) 2)D(-2,-4)或D(4,4)或D(4,4) 4. 【详解】(1)解：：抛物线y=一3+r+4与x轴交于A-3,0): (-j旷-0+4=0 解得：b=8 ∴抛物线解析式为y= 4r-8x 3 3+4, 当x=0时，y=4 .C(0,4) 当y=0时，0=-4x2_8 3x3x+4 解得：X1=-3,=1. .B(1,0) (2)A(-3,0),B(1,0),C(0,4). 66176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设D(mn), ,以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形 m+0-3+14+n0+0 当AB为对角线时，2 2’2 2 解得：m=-2,n=-4, .D(-2,-4) -3+01+m4+00+n 当4C为对角线时，2 -2’2-2 解得：m=-4,n=4 .D(-4,4) -3+m_0+10+4_0+n 当BC为对角线时，2=2,2=2 解得：m=4,n=4 .D(4,4) 综上所述，以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，D(-2,-4)或D(4,4)或D(4,4) (3)解：如图所示，作AG1LCE交于点G,F为AC的中点，连接GO,GF, '∠ACE=45o :.△AGC是等腰直角三角形， A,O,C,G在⊙F上， A(-3,0),C(0,4), ∠A0G=∠ACG=45°， G在y=-x上， 67176 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 段c-则6-++(-2或-】 7 解得：4=-2么=0（舍去） 77 :点G2'2 设直线CG的解析式为y=x+4 1 解得：k= 7 1 “直线CG的解析式y=7x+4 A(-3,0),B(1,0) 抛物线对称轴为直线x=31, 2 当x=-1时，7×(-1+42 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾 股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键 8.综合与探究，已知抛物线y=a2+bx+4与x轴交于点A(-l,0),B(4,0),与y轴交于点C,点O为坐 标原点，作直线BC B B -10 -10 4 备用图 (1)求该抛物线的解析式。 (2)在抛物线上有两个动点P,Q,点P在第一象限，横坐标为m,过点P作x轴的垂线，垂足为N,交 68176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 BC于点M'点Q的横坐标为m一2：若△MCV的面积记作S,△PM0的面积记作3，当s=S+S,有 最大值时，求点P的坐标.（自行完成作图并解答） 3)把抛物线y=ax2+bx+4沿射线BC方向平移，平移后，新抛物线y过点C,点E是新抛物线y对称轴 与x轴的交点，点F是新抛物线y对称轴上的动点，连接FC,FO.若FO平分∠CFE,请直接写出符合 条件的点F坐标.（自行完成作图并作答) 【答案】(1)y=-x2+3x+4 2)P(2,6) 58+V39 58-V39 3)22 或22 【详解】(1)解：：抛物线y=a2+bx+4经过点A(-1,0),B(4,0), a-b+4=0 ∴.16a+4b+4=0 a=-1 解得b=3· y=-x2+3x+4; (2)解：当x=0时，y=4, C(0,4), 设直线BC的解析式为y=kx+b, 4k+b=0 则b=4 [k=-1 解得16=4· .直线BC的解析式为y=-x+4, ,点P在第一象限，横坐标为m,过点P作x轴的垂线，垂足为N,交BC于点M,点Q的横坐标为 3 m- 2 .P(m,-m2+3m+4)(0<m<4),N(m,0）,M(m,-m+4),的纵坐标为 +fa引4am则e+6m- 69176 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 或 B A B -10N 4八 -10 N4主 六MN=-m+4'PM=-m2+3m+4-（-m+4)=-m2+4m,p-g=m- ..S=S+S2 =3MN.xx+iPM-(xr-xo) +纱m++)月 m+5m 5 5 =4m-2y+5, 5 40, ∴当m=2时，S有最大值， 此时-m2+3m+4=-22+3×2+4=6, ÷.P(2,6): (3)解：抛物线y=-x2+3x+4=- 25 2 沿射线BC方向平移，平移后，新抛物线y过点C ∴，相当于点C与点B是平移前后的对应点， 即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线)， 5241 x+2+4, 中新能物线的对将销为宜线=多(0小 ,FO平分∠CFE, ∴.∠EFO=∠CFO, :EF∥y轴， 70/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EFO=LCOF, ∴.∠CFO=LCOF, ..CF=CO, 5 设F2” C(0,4),0(0,0), +(4-n)2=4, 解得n=8±V39 2， 58+V3958-V39 的坐标为 2’2 或22 或 F E AO B 9.如图，在平面直角坐标系中，直线1与x轴交于点A(6,0),与y轴交于点B(0,-6),抛物线经过点A, B,且对称轴是直线x=1 B (1)求直线1的解析式： (2)求抛物线的解析式： (3)点P是直线I下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C,交直线I于点D,过点P作 71/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PM⊥I,垂足为M.求PM的最大值及此时P点的坐标. 【答案】(1)y=x-6 a--6 回py的最大值是，比时的P方垒标足-到) 9W2 【详解】(1)解：设直线l的解析式为y=mx+n(m≠0) 6m+n=0 把A,B两点的坐标代入解析式，得n=-6, m=1 解得： n=-69 直线1的解析式为y=x-6: (2)解：设抛物线的解析式为y=a(-h)+k(a≠0)， ,抛物线的对称轴为直线x=1, ∴.y=a(x-1)2+k [25a+k=0 把A,B两点坐标代入解析式，得a+k=-6· 1 a= 4 解得： 25’ k=- 4 物线的解析式为y=北-旷----6 (3)解：A(6,0）B(0,-6), ∴.04=0B=6」 ,在△AOB中∠AOB=90°， .∠0AB=∠OBA=450 PC⊥x轴，PM⊥I, ∴.∠PCA=∠PMD=90° 在Rt△ADC中，∠PCA=90°，∠OAB=45°， .∠ADC=45°， .∠PDM=∠ADC=45 72176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RtAPMD中，∠PMD=90°，∠PDM=45°， .sin450 PM PD .PM=PD 设点P的坐标为--6，则01-6 m=-6-小=- 1 <0 4 9 当1=3时，PD有最大值是4，此时PM最大， :PM=9pn-2kg92 2 248 当=3时，4 321 -t-6=2x 2 4 3-6=-21 2 4 》 9V2 21 六PM的最大值是8，此时的P点坐标是[3， 4 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识.掌 握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键 10.在平面直角坐标系x0y中，抛物线C:y=x2+bx+c经过点A(0,2),B(2,2),顶点为D:抛物线 C2:y=x2-2mx+m2-m+2(m≠1)，顶点为2. 图1 图2 (1)求抛物线C的表达式及顶点D的坐标： 73176 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图1，连接AD,点E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点，点F是抛物线C2上一点，若四边形ADFE 是面积为12的平行四边形，求m的值： 3)如图2，连接BD,DQ,点M是抛物线C对称轴左侧图像上的动点（不与点A重合），过点M作MNI‖ DO交x轴于点N,连接BV,DN,求△BDN面积的最小值. 【答案】(1)y=x2-2x+2,D(1,1) (2)m1=2,m2=9 a时 【详解】(1)解：抛物线y=x2+bx+c过点A(0,2),B(2,2) 「c=2 得4+2b+c=2 [b=-2 解得1c=2 .抛物线C1的表达式为y=x2-2x+2 顶点D(1,): (2)解：如图，连接DE,过点E作EG‖y轴，交AD延长线于点G,过点D作DH⊥EG,垂足为H,与 y轴交于H',设点E的横坐标为t, 设直线AD的表达式为y=c+b b=2 由题意知k+b=1 74176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [k=-1 解得1b=2 .直线AD的表达式为y=-x+2 E(t,t2-2t+2),G(6,2-t),EG=t2-t :ADFE的面积为12 .SADE06.SAO=SAGE-SADGEEG HD=6 HD=1, .EG=12 ∴.2-t=12 解得4=4,52=-3（舍） ∴.E(4,10) :点E先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点F F(5,9) 将F(5,9)代入y=x2-2mx+m2-m+2(m≠) 得m2-11m+18=0 解得m1=2,m2=9 (3)解：如图，过M作MP⊥x轴，垂足为P,过点D作DKIy轴，过点2作QKIx轴，与DK交于点 K,设M(h,h2-2h+2,h<1且h≠0，N(m,0) M PO y=x2-2mx+m2+2-m=(x-m)2+2-m ∴.抛物线C2的顶点(m,2-m) .DK=1-(2-m=m-1,K0=lm- ∴.DK=KQ,∠DQK=45° MN II DO.KOll NP 75176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易得∠MNP=∠DQK=45 ∴.∠NMP=45° ∴.MP=NP ∴.n-h=h2-2h+2 ∴.n=h2-h+2 当n :点N横坐标最小值为”=4，此时点V到直线BD距离最近，ABDN的面积最小 7√27N2 最近距离即边 D上的高，高为：4X2=8 17W2 :△BDN面积的最小值为S0wv=2X8 x2=7 8 76176