高频专练03 实际问题与二次函数（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，通过7类典型题型构建从几何到生活场景的建模体系，强化数学眼光与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形问题|4题|矩形/三角形面积最值|静态几何量与二次函数关系| |图形运动问题|4题|动点面积/路径分析|动态变量构建分段函数模型| |拱桥问题|4题|隧道/防护栏截面|抛物线顶点与对称性应用| |销售问题|4题|利润/销量关系|经济量之间二次函数建模| |投球问题|4题|运动轨迹高度与距离|物理运动的二次函数表达| |喷水问题|4题|水流高度与射程|对称抛物线的实际应用| |增长率问题|4题|销量/产值变化|平均变化率的二次函数模型|

高频专练03 实际问题与二次函数 高频题型·核心突破 知识点01 实际问题与二次函数 题型1 图形问题 题型2图形运动问题 题型3拱桥问题 题型4 销售问题 题型5 投球问题 题型6 喷水问题 题型7 增长率问题 综合演练·实战攻坚 高频题型·核心突破 知识点01 实际问题与二次函数 题型1 图形问题 1．小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若，，则杯子的高的长为 _____． 【答案】 11 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 2．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 【答案】 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大． 3．如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． (1)求与之间的函数解析式； (2)当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 【答案】(1)； (2)当时，面积取最大值为 【详解】（1）解：根据已知条件，与墙平行的边长为， 则垂直于墙的边长为：， ∴． （2）解：∵， ∴当时，面积取最大值为． 4．学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为S平方米，车棚的宽度为x米，求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)S是否总随x的增大而增大，请说明理由． 【答案】(1)， (2)S不总是随x的增大而增大，当时，S随x的增大而增大；当时，S随x的增大而减小 【详解】（1）解：设车棚宽度为， ∵铝合金材料总长36米，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）， ∴， ∴． 由， 解得：． ∴S与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是． （2）解：S不总随x的增大而增大，理由如下： 由（1）得：， ∵的对称轴为直线，且， ∴S不总是随x的增大而增大，当时，S随x的增大而增大；当时，S随x的增大而减小． 题型2图形运动问题 5．在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： （1）当时，； （2）的最大面积为； （3）t只有一个值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：由题意可知：，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则， 当时，此时点M在边上， ∴， ∴，故（1）正确； 当时，过点M作于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 当时，的面积为最大，最大值为； 当时，过点M作于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴， 当时，的面积为最大，最大值为；故（2）错误； 当时，解得：（负根舍去），符合， 当时，解得：（负根舍去）， ∵， ∴，符合题意； ∴t有两个值满足的面积为，故（3）错误； 综上所述：正确的结论只有一个． 6．如图，中，，，，动点M从点A出发，以的速度沿边匀速运动；同时动点N从点B出发，以的速度沿边匀速运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：①当时，， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ②根据题意得，，， ∴， ∵， ∴的面积 ∵ ∴抛物线开口向下， ∴当时，面积的最大值为，故②错误； ③∵的面积 ∴当的面积为时， 解得， ∴t有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 综上所述，正确结论的个数是2． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，三角形面积，动点问题，解题的关键是正确表示出三角形面积． 7．如图，在中，，且．设直线截此三角形所得阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为________．    【答案】 【详解】解：如下图所示， ，且， ， 又轴， ， ， ， ．    故答案为： ． 8．如图，在边长为的正方形中，点沿边从点开始沿向点以的速度移动，同时，点沿边从点开始沿向点以的速度移动．点出发时间为，的面积为． (1)分别求出点在边上的与的函数关系式． (2)当时，求的面积． (3)当的面积为正方形面积的时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：当点在边上时，， ； 当点在边上时，， ∴． ∴与的函数关系式为 （2）解：当时，点在边上， ∴， 的面积为． （3）解：正方形的面积为， 当的面积为正方形面积的时，即， ①当时，，解得（不合题意，舍去）， ②当时，，解得， 综上所述，当．面积为正方形面积的时，的值为3． 题型3拱桥问题 9．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 【答案】 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ， ∴水面宽度为米． 10．某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段护栏需要间距加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部（如图），求其中防护栏支柱的长度． 【答案】防护栏支柱的长度为． 【详解】解：以防护栏的最高点为原点，以的中垂线为轴，建立如图所示坐标系，由题意可知：点坐标为， 设抛物线的解析式为：，将点坐标代入得： ， 抛物线的解析式为：， 由题意可得点的横坐标为， 点的纵坐标为：， ， 防护栏支柱的长度为． 11．河南某高速公路隧道截面轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽米，高米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔米（中心线宽度不计）．若宽米，高米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过，理由：如图，由题意得： （米） ∴点的横坐标为， 把代入，得， ， ∴能安全通过． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，即， 设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）略 12．在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 【答案】(1)； (2)大棚最高处到地面的距离为米； (3)共需要（根）竹竿． 【详解】（1）解：由题意知点坐标为，点B坐标为 将、坐标代入得： 解得：； （2）解： 当时，有最大值，即大棚最高处到地面的距离为米； （3）解：当时， 解得， ∵， ∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米）， 又∵大棚的长为160米， ∴需要搭建支架部分的土地面积为（平方米） ∴共需要（根）竹竿． 题型4 销售问题 13．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)当销售单价为34元时.厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元． 【详解】（1）解：由题意，单件利润：元，销售量， ， 结合实际意义，销售量， 即，； 单价高于成本，自变量取值范围：． 函数关系式：． （2）解：对于二次函数，，，， 对称轴：， 在取值范围内，将代入利润函数： ， 当销售单价为元时，每月获得最大利润，最大利润为万元． 14．某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为元，经市场预测，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个． (1)商店若准备获得利润元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ (2)商店若要获得最大利润，则每个定价增加多少元？获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)每个定价为元，应进货个 (2)每个定价增加元时可获得最大利润，可获得的最大利润是元 【详解】（1）解：设每个定价增加元， ∵每个进价为元，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个，准备获得利润元， ∴， 解得：，， ∵要使进货量较少， ∴每个定价为（元），应进货（个）． 答：每个定价为元，应进货个． （2）解：设每个定价增加元，获得利润为元， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 答：每个定价增加元时，可获得最大利润，最大利润是元． 15．某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． (1)基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元，每年的销售总收入为万元． ①求y关于t的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． (2)该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育．设改良培育后的价格为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 【答案】(1)①；② (2)年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和 【详解】（1）解：①由题意得，销售量为（万棵）， ∴每年的销售总收入； ②由题意得， 整理得， 解得， ， ∵， ∴； （2）解：由题意，需满足成立， 即成立， 令， 设，则， ∵， ∴， 即时，有最大值， ∴， 即年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和． 16．某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… (1)直接写出y与t之间的函数解析式； (2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 【答案】(1)（，为整数）； (2)；第50天的日利润最大，最大日利润为4900元； (3)51天． 【详解】（1）解：∵销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系， ∴设y与的一次函数关系式为：， 将，代入得， ， 解得，， ∴； （2）解：根据题意得，， 当时， ， 当时， ， ∴， 当时， ， ∵， ∴当时，W随t的增大而增大，当时，W随t的增大而减小， 时，． 当时， ， ∵， ∴W随t的增大而减小， 时，． ∵， ∴第50天日利润最大，且最大日利润为4900元； （3）解：当时，， 令， ∴， ∴，， ∴符合题意； 当时，， 令， ∴， ∴时，符合题意， ∴当时，日利润不低于4000元， ∴共有：（天）． 题型5 投球问题 17．2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 【答案】 【详解】解：由题意可得：点的横坐标为， 设这条抛物线的表达式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴． 18．斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为，第二次反弹后的最大高度为．第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板处，且离地高度，若，．则第一次反弹抛物线图象与它的二次项系数的比值为_____________；_____________． 【答案】 【详解】解：，， ，， 设第一次反弹后的抛物线解析式为， 抛物线过原点， ， 解得：，即； 每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致）， 两个抛物线的是相同的， 设二次反弹后的抛物线解析式为， ，， ， 抛物线过，两点， ， 解得：， ． 19．为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分． 【答案】(1)； (2)小明此次练习能得满分． 理由：由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为， 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）略． 20．中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 【答案】(1) (2)足球第二次落地点到点的距离为米 (3) 【详解】（1）解：当时，依题意得， 设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）令，则， 解得（舍去）， ∴足球第一次落地点距点的距离为米， 如图， ∵弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半， ∴过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点， ， ∴令，则， 解得， 则， ， ∴足球第二次落地点到点的距离为米； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为， ∵抛物线过， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 又∵抛物线开口向下， ，即， ． 若球落在区域内（含点）， ，， 点，点， 当时，，解得， 当时，，解得， ． 题型6 喷水问题 21．如图为喷泉某一截面的水流可看作关于轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∵水流是关于轴对称的两条抛物线， ∴点A，B关于y轴对称， ∴点， ∴． 22．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 23．如图1为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高高度为．水柱落地处离池中心的水平距离为．小刚以柱形喷水装置与地面交点O为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，柱形喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．水柱喷出的高度与水平距离之间的函数关系如图2． (1)求表示该抛物线的函数表达式； (2)若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 由题意得，该抛物线经过点，则， 解得， ∴该抛物线函数表达式为． （2）解：在中，当时，． 答：柱形喷水装置的高度为． 24．消防事关千万家，我国水罐消防车是指车上除了装备消防水泵、器材，还设有较大容量的贮水罐及水枪、水炮等，可将水和消防人员输送到火场独立进行扑救火灾．一次消防车演练时，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是：，水从距离地面的管道口点喷出，点正下方为车与地面接触点，水流形状如图所示． (1)已知该消防车在距车水平方向处水流达到最高，最高点离地面，求该二次函数的解析式及的长． (2)若消防车停在与建筑有宽的绿化带旁时，此时水流恰能扑灭多高楼层的火势？ 【答案】(1)， (2)此时水流恰能扑灭高度为楼层的火势 【详解】（1）解∶已知二次函数的顶点坐标为，写出该函数的顶点式为 将代入解析式，得 ， ∴， ∴． 答：二次函数的解析式为，的长为； （2）消防车与建筑间隔宽的绿化带，因此水流到达建筑位置对应的水平距离，将代入二次函数解析式： ∴此时水流恰能扑灭高度为楼层的火势． 题型7 增长率问题 25．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 26．某种商品的价格是元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，则关于的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得y=2（1-x）2， 所以y与x之间的函数解析式为y=2（1-x）2． 故选：B. 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，注意掌握根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． 27．某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为，则该工厂第一季度的产值y关于x的函数解析式为_________． 【答案】 【详解】解：∵一月份的产值为200万元，平均每月增长率为x， ∴二月份的产值为200×(1+x)，三月份的产值为200×(1+x)×(1+x)=200(1+x)2， ∴y=200+200×(1+x)+ 200×(1+x)2=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键． 28．某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 综合演练·实战攻坚 一、选择题 1．若小球飞行的高度与水平距离、飞行时间的函数关系式分别为，，则v的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 两个函数关系式描述同一小球的运动， ∴ 最大高度相等， 从得最大高度， 从得最大高度， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图①，在四边形中，，，，，点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C，点Q同时从点C出发沿以的速度匀速运动至点B，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，的面积为，图②是点P，Q运动时，y随时间x变化的函数图象，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】B 【详解】解：理解题意，观察图①和图②，当点P运动到点A时，运动时间为2秒， ∵点Q同时从点C出发沿以的速度匀速运动至点B， ∴， ∵的面积为， ∴， 故C选项不符合题意； 观察图①和图②，当点P运动到点D时，运动时间为秒， ∵点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C， 则， 故A选项不符合题意； 观察图①和图②，当点P运动到点D时，运动时间为秒， ∵点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C， 则， 故B选项符合题意； 当时， 则 ∴， 在秒时，则， ∴， 令，则， 整理得， 解得，（舍去） 综上：当时，或， 故D选项不符合题意， 故选：B． 二、解答题 3．某商品的进价为每件40元，市场调查反映：商品现在的售价为每件60元，每星期可以卖出300件，如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件．商场决定在不亏本的前提下降价销售． (1)若每件商品降价元销售，直接写出该商品每星期的销售利润（单位：元）与之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围； (2)若每星期的销售利润为5720元，求该商品的实际售价； (3)如何定价才能使销售利润最大？ 【答案】(1) (2)53元 (3)定价为每件57.5元时销售利润最大 【详解】（1）解：由题意，， 由题意，，即； （2）解：当时， 解得或（舍去）， （元）， 答：该商品的实际售价为元； （3）∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当，即实际售价为元时，利润最大． 答：定价为每件57.5元时销售利润最大． 4．如图，在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，等腰直角三角形的底边长40厘米，要使截得的矩形的边在上，顶点D，G分别在边，上．设的长为x厘米，矩形的面积为y平方厘米． (1)试写出y关于x的函数解析式以及x的取值范围； (2)当x为何值时，所截得的矩形面积最大，并求出最大值． 【答案】(1) (2)当x为10时，所截得的矩形面积最大，最大面积为200平方厘米 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴厘米， ∴厘米， ∵长40厘米， ∴厘米， ∴， 由题意得：， 解得：， ∴y关于x的函数解析式为：； （2）解：∵， ∴二次函数有最大值， ∴时，y有最大值． 答：当x为10时，所截得的矩形面积最大，最大面积为200平方厘米． 5．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)①每件应降价10元；②当降价1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为； （2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得： 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件 则 ， ， ∴当时，w有最大值，最大值为3310， ∴当售价为34元/件，即降价元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 6．综合与实践 “爱临汾，赢未来”已成为每个临汾人的情感共识和行动指南．为了扎实推进健康临汾建设，全力打造干净整洁、文明和谐的市容环境，城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水．认真读取下表中的信息，完成下列相应任务． 信息1 如图1：一洒水车正为绿化带浇水，洒水车沿着平行于公路方向行驶． 信息2 如图2： ①洒水车的喷水口H，离地竖直高度米． ②把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象． ③把绿化带横截面抽象为矩形，其竖直高度米，水平宽度米． ④下边缘抛物线y，是由上边缘抛物线y，向左平移得到，上边缘抛物线y，最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米． 问题解决 任务1 确定浇灌方式 （1）求上边缘抛物线的函数关系式，并求出喷出水的最大射程． （2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标． 任务2 提倡有效浇灌 （3）当时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【答案】（1），喷出水的最大射程为；（2）；（3）不能，理由见解析 【详解】（1）解：如图1，由题意得是外边缘抛物线的顶点， 设函数解析式为， 又∵抛物线过点， ， ， ∴外边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， ， ∴喷出水的最大射程为； （2）解：设：向左平移h个单位长度得到， 则， 把代入得， 解得：（舍去），． ， ； （3）答：不能浇灌到整个绿化带． 理由如下： ，， ， ∴点F的横坐标为6． 把时代入， 所以不能浇灌到整个绿化带． 7．如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 【答案】(1)方案一，；方案二，；方案三， (2)方案一，；方案二；方案三， (3) 【详解】（1）解：分情况讨论： 选择方案一： 由题意得，; 选择方案二： 由题意得，; 选择方案三： 由对称性可知点与点关于轴对称，，， 又桥洞与水面的最大距离是，， ． （2）解：分情况讨论： 选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为． （3）解：选择方案三中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为． 8．如图，一块矩形场地的长为，宽为．现将这块地划分成四块，分别种植： A．郁金香      B．月季      C．菊花       D．玉兰花 (1)求这块场地中种植月季的面积关于场地的长的函数表达式，并求出自变量的取值范围． (2)当是多少时，种植月季的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)；自变量的取值范围是； (2)当时，种植月季的面积最大，最大面积为 【详解】（1）解：由题可得：场地的宽度为：， ∴， 当时，即， 解得：，， ∴函数与x轴的交点坐标为：和，自变量的取值范围为：； （2）解：由（1）知，， ∴当时，种植月季的面积最大，最大面积为． 9．“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． (1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点 ． ①求抛物线的解析式； ②竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． (2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点 处到达最高点．若点经过点正上方处，求出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 【答案】(1)① ② (2) 【详解】（1）解：①， 为顶点， 则抛物线， ∵过点 代入得： ， ∴， 抛物线解析式为； ②解：抛物线经过点时， ， ， 抛物线经过点时，， ， 当时，点落在上． （2）解：顶点， 抛物线解析式为， 抛物线过点， ， ， ，且抛物线过， ， ， 当时， ， ， 点在点正上方处． 10．某城市建设调研小组发现，广州部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题确定目标 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象与图形表示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规范整理 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求： 公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内． 垂直安全间隙要求： 车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据采集 棚顶最高点到地面距离为4米，棚顶与立柱交点到地面距离为2米，、两点水平距离为12米． 已知车身长约8米，公交车车厢最高点距地面约米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： (1)如图2，以地面为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式： (2)如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； (3)如图4，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题． 【答案】(1) (2)解：当时，， 解得或（舍去） ∵，且， ∴该公交车能够完全停入遮阳棚正下方； (3)钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题 【详解】（1）解：根据题意得，，抛物线顶点坐标为， 假设抛物线解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：略； （3）解：设的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患， 当时，， 解得， ∵， ∴不存在遮挡不足问题 ∴钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高频专练3实际问题与二次函数 内容概览 三高频题型核心突破 知识点01实际问题与二次函数 题型1图形问题 题型2图形运动问题 题型3拱桥问题 题型4销售问题 题型5投球问题 题型6喷水问题 题型7增长率问题 三综合演练实战攻坚 知识点01实际问题与二次函数 题型1图形问题 1,小明以二次函数y=2x2-4x+8的图象为灵感为“2017北京·房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子， 如图为杯子设计稿，若AB=4,DE=3,则杯子的高CE的长为 2.如图所示，是一个长16m、宽m的矩形花园，根据需要将它的长缩短m、宽增加m,要想使修改后 的花园面积达到最大，则x= m. 1/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，用60m长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛 场的面积为y(m),且与墙平行的边长为x(m). (1)求y与x之间的函数解析式： (2)当边长x(m)为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值. 4.学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙 长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽 的通道（通道不用铝合金材料）· E B (1)设自行车车棚的面积为S平方米，车棚的宽度AB为x米，求S与x之间的函数关系式，并直接写出 自变量x的取值范围； (2)S是否总随x的增大而增大，请说明理由. 题型2图形运动问题 5.在△ABC中，AB=AC=6cm,∠B=30°.动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AC向终 点C运动；动点N同时从点B出发，以lcm/s的速度沿边BC向终点C运动.规定其中一个动点到达终 点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为s,当t=2s时，点M,N的位置如图所示.有下 列结论： (1)当t=4s时，BN=CM: (2)△BMN的最大面积为4cm2; 8 (3)t只有一个值满足ABMN的面积为gcm 其中，正确结论的个数是() 2/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M B A.0 B.1 C.2 D.3 6.如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm,动点M从点A出发，以lcm/s的速度沿边AB匀 速运动：同时动点N从点B出发，以2Cms的速度沿边BC匀速运动.当其中一个动点到达终点时，另 一个动点也随之停止运动.设运动的时间为s.有下列结论： ①当t=2时，BM=BN: ②当0≤t≤4时，aBMN的最大面积为l2cm2: ③t有两个不同的值满足△BMN的面积为8cm 其中，正确结论的个数是() AM B A.0 B.1 C.2 D.3 7.如图，在Rt△AOB中，AB⊥OB,且AB=OB=3.设直线x=1(0<1<3)截此三角形所得阴影部分的面 积为S,则$与t之间的函数关系式为. B 8.如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，点P沿边AD从点A开始沿A-D-C向点C以2cm/s的速度移 动，同时，点2沿边AB从点A开始沿A-B向点B以Icm/s的速度移动.点P出发时间为x(x>0)s, △PAQ的面积为ycm2. 3/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)分别求出点P在边4D,CD上的y与x的函数关系式. 3 (2)当x=2时，求△PAQ的面积. 3 (3)当△PAQ的面积为正方形ABCD面积的g时，求x的值. 题型3拱桥问题 9.如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度6m时，水深3m,当水面上升lm时，水面宽度为 m m- 10.某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱， 防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，求其中防护栏支柱AB的长度 B B 0.5 A A2A3A40.4 11,河南某高速公路隧道截面轮廓可近似看作是抛物线的一部分.若隧道底部宽12米，高8米，按照如图 所示的方式建立平面直角坐标系. 甲 车 车 O 12 (1)求抛物线的函数解析式： (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆项部在竖直方向上与隧道的空隙不少于05米，当两辆车在隧 道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）.若宽3米，高3.5 米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由. 4/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟.付峰同学家建有一个长为160米的 蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一 面，面向正南)，另一端固定在离地面高3米的墙体B处(B处为厚实土墙)，现对其横截面建立如 图2所示的平面直角坐标系，已知大棚上某处离地面的高度)（米）与其离墙体A的水平距离x 1 (米)之间的关系满足y=一 x+br+c,现测得A,B两墙体之间的水平距离为12米。 12 图1 图2 (1)直接写出b,C的值： (2)求大棚的最高处到地面的距离： 25 (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为12米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支 架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 题型4销售问题 13.某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y(万件)与销 售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100 (1)写出每月的利润L(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式： (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 14.某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个： 定价每增加1元，销售量将减少10个. (1)商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ (2)商店若要获得最大利润，则每个定价增加多少元？获得的最大利润是多少？ 15.某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵 (1)基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少01万棵，设每棵定价 提高到1元(30<1≤50)，每年的销售总收入为y万元. ①求y关于t的函数关系式： ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求t的值. (2)该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育.设改良培育后的价格为x元(30<x≤50)，该 5/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4800 基地投入 万元作为培育费用.问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售 收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 16.某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品 t+501≤t<60) 每天的销售价格x(元/件)与时间，（第，天）满足关系式：x= 110(60≤t≤100) ②该商品的日销售量y(件)与时间t(第t天)满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t(第t天) 2 10 20 日销售量y(件) 119 118 110 100 (1)直接写出y与t之间的函数解析式： (2)设销售该商品的日利润为"（元)，请直接写出"与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪 天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果. 题型5投球问题 17.2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队.金华队在第83分钟时一记大力抽 射，扳平比分，最终点球以6：5战胜温州队，获得冠军.如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米 处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网.这条抛物线的表达式 为 Ay(m) B 曲1.2米 14米 (m) 24米 18.斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后 一致)，第一次反弹后的最大高度为h,第二次反弹后的最大高度为.第二次反弹后，小球越过最 高点落在垂直于地面的挡板c处，且离地高度BC 3A,若OB=90dm'OA=2AB·则第一次反弹 抛物线图象h与它的二次项系数。的比值为 h2- h 6/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (dm) h /hziC\ B x(dm) 19.为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物 线的一部分.如图，在某次练习中，小明投掷时出手点P距水平地面的高度OP为1.8米，实心球到达 最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地点为M,以O为原点， OM所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系. y/m 3m O←-4mx M x/m (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10米为满分，请通过计算判断该次练习小 明同学能否得满分. 20.中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练.如图，在某次训练中，足 球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，划出一条漂亮的抛物 线，足球在距O点4米的B处达到最高点，最高点C距地面的高度为k米，球在D点落地后又一次弹 起落在点E处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的 半 E (1)当k=3时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式： (2)在(1)的条件下，求足球第二次落地点E到点O的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点D的左右分别取点G,H,且OG=6,OH=9,若第一次球落在GH区域内（包括点 G,H),求k的取值范围。 题型6喷水问题 21,如图为喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度y(m)与距水管 7114 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的水平距高侧]之间满足=号+x+c>0.则6的长为()） V M A.2m B.4m C.6m D.8m 22.某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的 一部分.按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y(m)与水平距 离x(Cm)的关系可以表示为y=0.1x2+6x,则这条鱼此次射出的水流的最大高度是() A.9cm B.30cm C.90cm D.360 cm 3.如图1为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置OA，使喷 出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为lm处达到最高高度为3.2m,水柱落地处离池中心的水平 距离为3.小刚以柱形喷水装置OA与地面交点O为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，柱形 喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.水柱喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函 数关系如图2. Ay(m) 0 x(m) 图1 图2 (1)求表示该抛物线的函数表达式； (2)若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度、 24,消防事关千万家，我国水罐消防车是指车上除了装备消防水泵、器材，还设有较大容量的贮水罐及水 枪、水炮等，可将水和消防人员输送到火场独立进行扑救火灾.一次消防车演练时，水流喷出的高度 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是：y=-x+mr+n(x>0),水从距离地面的管道口点A喷出， 点A正下方为车与地面接触点O,水流形状如图所示 81 08x (1)已知该消防车在距车水平方向8m处水流达到最高，最高点离地面8lm,求该二次函数的解析式及 OA的长. (2)若消防车停在与建筑有6m宽的绿化带旁时，此时水流恰能扑灭多高楼层的火势？ 题型7增长率问题 25,为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个， 设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x,那么y与x的函数关系是() A.y=a(1+x)}2 B.y=a(1-x) c.y=(1+x)2+a D.y=x2+a 26.某种商品的价格是2元，准备进行两次降价.如果每次降价的百分率都是x,经过两次降价后的价格 y(单位：元)随每次降价的百分率x的变化而变化，则y关于x的函数解析式是() A.y=2(x+1)月 B.y=2(1-x)}2 C.y=(x+1)月 D.y=(x-1)2 27.某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为(x>0),则该工厂第一季度的产值y关于 ×的函数解析式为 28.某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率 为x,求十月份医用防护服的产量y(万件)与x之间的函数表达式. 一、选择题 1.若小球飞行的高度（回）与水平距离x(回)小、飞行时间()的函数关系式分别为=(x-+3, 9/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=4-灯后测的做为() A.2V5 B.3V2 c.3v6 D.4v5 2.如图O,在四边形ABCD中，∠B=90°，ADBC,AB=4cm,BC=6cm,点P从点B出发沿 B→A→D→C以2cms的速度匀速运动至点C,点Q同时从点C出发沿C→B以lcm/s的速度匀速运 动至点B,规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为x(S),△BPQ的 面积为'(cm),图②是点P,Q运动时，y随时间x变化的函数图象，则下列说法正确的是() Ay/cm m R 023.5 6 图① 图② A.AD=2 B.CD=5 C.m=6 D.当y=5时，x=3.5 二、解答题 3.某商品的进价为每件40元，市场调查反映：商品现在的售价为每件60元，每星期可以卖出300件，如 调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件，商场决定在不亏本的前提下降价销售。 (1)若每件商品降价x元销售，直接写出该商品每星期的销售利润'（单位：元）与x之间的函数关系 式，并确定自变量x的取值范围： (2)若每星期的销售利润为5720元，求该商品的实际售价： (3)如何定价才能使销售利润最大？ 4.如图，在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，等腰直角三角形ABC的底边BC长40厘米，要 使截得的矩形DEFG的边EF在BC上，顶点D,G分别在边AB,AC上.设DE的长为x厘米，矩形 DEFG的面积为y平方厘米. D 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)试写出y关于x的函数解析式以及x的取值范围； (2)当x为何值时，所截得的矩形面积最大，并求出最大值. 5.2026年央视春晚在浙江义乌鸟设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红， 成为春晚热销品 (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件.求该电商平 台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率. (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式.线下市场调查发现， 当售价为35元/件时，日销量为80件，售价每降低1元，日销量可增加10件， ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销.为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降 价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件.当每件 降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润 6.综合与实践 “爱临汾，赢未来”已成为每个临汾人的情感共识和行动指南.为了扎实推进健康临汾建设，全力打 造干净整洁、文明和谐的市容环境，城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水.认真读取 下表中的信息，完成下列相应任务 合 如图1：一洒水车正为绿化带浇 息 水，洒水车沿着平行于公路方向行 1 驶. 如图2： 喷水口 ①洒水车的喷水口H,离地竖直高 上边缘 度OH=h=1.5米. ②把洒水车喷出水的上、下边缘抽 象为平面直角坐标系中两条抛物线 图1 信 的部分图象， y个 息 ③把绿化带横截面抽象为矩形 h+0.5 2 A y 2 DEFG,其竖直高度EF=0.5米， y2 G 水平宽度DE=3米」 BD EC ④下边缘抛物线y,是由上边缘抛 物线y,向左平移得到，上边缘抛 图2 物线y,最高点A离喷水口的水平 距离为2米，高出喷水口0.5米. 11/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 问题解决 (1)求上边缘抛物线的函数关系式，并 任 求出喷出水的最大射程OC, 务 确定浇灌方式 1 (2)求下边缘抛物线2与x轴交点B的坐 标. 任 (3)当BD=lm时，判断洒水车行驶时喷 务 提倡有效浇灌 出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理 2 由 7.如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为10m，桥洞与水面的最大 距离是5m.经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图). VA B x A 10m 方案一 方案二 方案三 (1)你选择的方案是（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是一 (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式： (3)因降暴雨水位上升1m,此时水面宽为多少？ 8.如图，一块矩形场地的长为40m,宽为30m.现将这块地划分成四块，分别种植： A.郁金香B.月季C.菊花 D.玉兰花 不不单位：m A B D 40 (1)求这块场地中种植月季的面积y(m)关于B场地的长x(m)的函数表达式，并求出自变量x的取值范 围 (2)当x是多少时，种植月季的面积最大？最大面积是多少？ 9.“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量 和方式计算得分，嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为x轴， 1dm为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点P的运动路径可看作抛物线 12/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=a(x-h)2+k的一部分，点P从点M(m,n)处出手(m>2),矩形ABCD为壶，OA=20dm, AB=5dm,BC=1dm. y/dm y/dm Q M p ADx/dm 4D x/dm 图1 图2 )如图1，a=-1 一20，若点M为抛物线的顶点，m=6:且抛物线经过点N(16,9)· ①求抛物线的解析式： ②竖直提高点P的出手位置（点M),使点P落在BC上（不含边界），求n的取值范围， (2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点Q(m+4,n+)处到达最高点，若点P经过点B正上 方2dm处，求出点P在点C正上方的距离（用含m的式子表示）. 10.某城市建设调研小组发现，广州部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题. 为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构.以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解 决问题. 发现问 题确定 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 目标 公交车停靠示意图如图3所示 (忽略公交车车顶的实际弧度、 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物 空调装置等微小起伏，假设车厢 线的一部分如图2所示 顶部在车辆全长范围内是完全平 坦且水平的.) 模型抽 象与图 珠 形表示 棚顶最高点 遮阳棚立柱C B P B 遮阳棚顶棚横截面 777 7777777777777777777777777777大 图3 图2 13/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装 车身完全覆盖要求： 钢架AB(AB为线段)加固，且在棚顶 公交车需完全停入遮阳棚下方， 与钢架AB之间安装一根垂直钢架CD( 即车辆整体（包括车厢最高点） C在棚顶，D在AB上，CD⊥x轴). 均位于遮阳棚的横向覆盖范围 条件与 内 规范整 垂直安全间隙要求： 理 车厢最高点与棚顶之间需保持一 定的安全间隙，以避免因车辆振 x 动、风载或路面不平等因素发生 图4 碰撞 已知车身长约8米，公交车车厢 棚顶最高点B到地面距离为4米，棚项 实测数 最高点距地面约2.38米，车身宽 与立柱交点A到地面距离为2米，A、 据采集 度与站台停靠都匹配，不考虑宽 B两点水平距离为12米. 度影响。 问题解决： (1)如图2，以地面为x轴，过点A的竖直直线为'轴建立平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式： (2)如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； 4 (3)如图4，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于。米.请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或 遮挡不足的问题. 14/14