第二章 锐角的正弦、余弦、正切 单元测试卷 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

**基本信息** 湘教版九年级上册锐角三角函数单元卷，通过基础计算、情境应用及综合探究，覆盖正弦余弦正切定义、解直角三角形等核心知识，适配单元复习，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题|锐角三角函数定义、坡度计算、网格中三角函数值|第7题考查正切函数值不变性，体现推理意识；第11题港珠澳大桥测量情境，具时代性| |填空题|4题|特殊角三角函数值、树高测量计算|第14题结合参考数据求树高，培养数据意识| |解答题|7题|三角函数式计算、解直角三角形应用|第22题养殖场位置计算，综合方位角与三角函数，发展模型观念；第23题行程问题，体现应用意识|

2026-2027湘教版数学九年级上册第二章 锐角的正弦、余弦、正切单元测试卷 一．选择题。 1．计算的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．如图，某河堤横断面迎水坡的坡度为，则坡角（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，．若，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则的长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．13 5．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，的三个顶点都在正方形网格格点上，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 7．在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定 8．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，若米，则树高为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 9.如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在菱形中，，，，则的值是(    ) A． B．2 C． D． 11．如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　   　）米． A．160 B． C．200 D． 12．如图，在中，，点P从点C出发，沿折线匀速运动，连接．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 二．填空题。 13.在中，，，，则 ． 14．如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为 （结果精确到．参考数据：，）． 15．已知在中，，那么 ． 16．如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为.已知，，那么这辆汽车速度是 .（参考数据：，） 3． 解答题 17．（1）计算：． （2）计算： 18.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且a＝3，c＝5，求sinA和sinB的值． 19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A＝，求BC的长和tan∠B的值． 20．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，． 求：（1）AC的值 （2）sinC的值． 21.如图，在中，，若，． (1)求的长． (2)若是斜边上的中线，求的值． 22.人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A,B养殖场捕捞海产品,经测量,A在灯塔C的南偏西方向,B在灯塔C的南偏东方向,且在A的正东方向,米. (1)求B养殖场与灯塔C的距离(结果保留根号)； (2)甲组完成捕捞后,乙组还未完成捕捞,甲组决定前往B处协助捕捞,若甲组航行的平均速度为600米/每分钟,请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？(参考数据：,) 23．今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马．如图，妈妈位于游客中心的正北方向的处，其中．明明位于游客中心的西北方向的处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们在游客中心的北偏西方向的点处相遇． (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从处到处的距离．（参考数据：，，，，，结果保留一位小数） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027湘教版数学九年级上册第二章 锐角的正弦、余弦、正切单元测试卷答案 一．选择题。 1．计算的值为（    ） A．1 B． C． D． 【详解】解：，故选：C． 2．如图，某河堤横断面迎水坡的坡度为，则坡角（    ） A． B． C． D． 【详解】根据题意可知， ∴．故选A． 3．如图，在中，．若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵，， ∴在中，，故选：D． 4．如图，在中，，，，则的长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．13 【详解】解：在中， ∵，， ∴． ∴ ． 故选：A． 5．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】∵，，， ∴， ∴， 故选B． 6．如图，的三个顶点都在正方形网格格点上，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【详解】解：由题意得 ， ； 故选：C． 7．在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定 解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角的正切函数值不会随着边长的扩大而变化， 故选：． 8．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，若米，则树高为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 解：过点B作于点C， 在中， ． 故选B． 9.如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选C． 10．如图，在菱形中，，，，则的值是(    ) A． B．2 C． D． 解：设菱形边长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 11．如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　   　）米． A．160 B． C．200 D． 解：过点作，垂足为， ∵是的一个外角，，， ∴， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴该主塔的高度是米， 故选：D． 12．如图，在中，，点P从点C出发，沿折线匀速运动，连接．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 解：由图象可得当点P在起点C时，， 当点P与点B重合时最长为，此时， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故选：B． 二．填空题。 13.在中，，，，则 ． 解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为： ． 14．如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为 （结果精确到．参考数据：，）． 解：由题意得， ∴在中，， 故答案为：． 15．已知在中，，那么 ． 解：如图，在中，过点C作交于点D，    ， ， 设，则， ，即， 在中，， ， 故答案为：． 16．如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为.已知，，那么这辆汽车速度是 .（参考数据：，） 解：如图，过点A作于点D， 根据题意，得，，， ∴，， 解得， ∵汽车从处行驶到处所用的时间为， ∴， 故答案为：30． 3． 解答题 17．（1）计算：． 解： ． （2）计算： 解：原式 18.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且a＝3，c＝5，求sinA和sinB的值． 解：在Rt△ABC中 ∵a＝3，c＝5，∠C＝90° ∴b2＝52﹣32＝16 ∴b＝4 ∴sinA＝＝ sinB＝＝ 19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A＝，求BC的长和tan∠B的值． 解：∵sin∠A＝＝，AB＝15 ∴BC＝9 ∴AC＝＝12 ∴tan∠B＝＝ 20．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，． 求：（1）AC的值 （2）sinC的值． 解：（1）在中，， ∴， ∴， ∴； （2）在中，． 21.如图，在中，，若，． (1)求的长． (2)若是斜边上的中线，求的值． （1）解：∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵是斜边上的中线， ∴， 设，则， ∵， 即， 解得：， ∴， ∴． 22.人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A,B养殖场捕捞海产品,经测量,A在灯塔C的南偏西方向,B在灯塔C的南偏东方向,且在A的正东方向,米. (1)求B养殖场与灯塔C的距离(结果保留根号)； (2)甲组完成捕捞后,乙组还未完成捕捞,甲组决定前往B处协助捕捞,若甲组航行的平均速度为600米/每分钟,请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？(参考数据：,) 解析：(1)如图,过点C作于点D, 根据题意得：,, ∴,, ∴米, ∴米, 即B养殖场与灯塔C的距离为米； (2)米, ∴米, ∴甲组到达B处所需时间为分钟分钟, ∴甲组能在9分钟内到达B处. 23．今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马．如图，妈妈位于游客中心的正北方向的处，其中．明明位于游客中心的西北方向的处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们在游客中心的北偏西方向的点处相遇． (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从处到处的距离．（参考数据：，，，，，结果保留一位小数） （1）解：根据题意可知：， ∴， ， 答：妈妈步行的速度为； （2）解：如图，过点C作交延长线于点E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 过点D作于点F，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：明明从C处到D处的距离约为． 学科网（北京）股份有限公司 $