5.2 解一元一次方程 第2课时（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学课件聚焦“利用移项解一元一次方程”，通过“群羊逐草”问题回顾合并同类项解法，结合“图书分发”情境引出含未知数项与常数项分居两边的新方程，衔接等式性质旧知，搭建从“ax=b”到“ax+b=cx+d”的学习支架。 其亮点在于融入《九章算术》“盈不足术”等数学文化，以问题驱动培养数学眼光，通过移项法则辨析与步骤拆解发展运算能力和推理意识，用“环保限制最大量”等实例引导用不同式子表示同一量，强化模型意识。学生能提升方程求解与建模能力，教师可依托完整流程与丰富实例优化教学。

解一元一次方程 第 2 节 第5章 第2课时 利用移项解一元一次方程 一元一次方程 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 2 3 理解移项的意义,掌握移项的方法.学会运用移项解“ax+b=cx+d”型的一元一次方程，培养学生的化归思想，提高学生的运算能力 能够根据实际问题列出一元一次方程，进一步体会方程模型的作用及应用价值，培养学生的模型意识. 通过分析实际问题中的数量关系,建立方程解决问题,进一步认识方程模型的重要性. 用移项的方法解一元一次方程. 重点 同一个量的两个不同的式子相等找出实际问题中的等量关系, 难点 重 难 点 知识回顾 我国古代数学名著《算法统宗》中，有一道“群羊逐草”的问题，大意是：牧童甲在草原上放羊，乙牵着一只羊来，并问甲：“你的羊群有100只吗？”甲答：“如果在这群羊里加上同样的一群羊，再加上一群的一半，一群的四分之一，再加上你的一只，就是100只.”问牧童甲赶着多少只羊？若设这群羊有只，则下列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 练一练 B 等量关系模型：各部分量的和＝ 总量 解：设这群羊有x只，由题意得 你会解这个方程吗？ 合并同类项 系数化为1 知识回顾 1.用合并同类项解一元一次方程的步骤： 第一步：合并同类项，即将等号同侧的含未知数的项、常数项分别合并，把方程转化为 ax=b(a≠0)的形式； 第二步：系数化为1，即在方程两边同时除以未知数的系数(或乘未知数系数的倒数)，将未知数的系数化为1，得到 x=(a≠0). 一元一次方程 解的形式x=(a≠0). 转化 解方程 知识回顾 2. 等式的性质是什么？ 等式的性质 1： 等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等. 等式的性质 2： 等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为 0 的数，结果仍相等. 3. 利用等式的性质解一元一次方程的步骤： （1）利用等式的性质 1，将方程的左边变形为只含未知数，右边只含常数项 （即 kx = b）的形式； （2）利用等式的性质 2，将方程逐步转化为 x = m（m 为常数）的形式. 创设情境 把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本;如果每人分4本,则还缺25本.这个班有多少学生? 问题分析 （1）图书分发有几种方式？ （3）如果设这个班有 x 名学生，如何表示图书总数？ 两种方式 方式1 每人分3本,则剩余20本 方式2 每人分4本,则还缺25本 未知量 班级学生数 图书总数 方式1 每人分3本,则剩余20本 方式2 每人分4本,则还缺25本 （3x + 20）本. （4x - 25）本. 它们之间有什么关系? (2)发放图书方式不同，图书总数变化吗？ 两种方式中的图书总数不变 3x + 20 = 4x－25 表示同一个量的两个不同的式子相等 创设情境 把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本;如果每人分4本,则还缺25本.这个班有多少学生? 解：设这个班有 x 名学生，由题意得： 这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子应相等，根据这一相等关系列得方程 3x + 20 = 4x－25 . (1) 怎样解这个方程? 它与上节课遇到的方程有何不同? 3x + 20 = 4x－25，这个方程不能直接合并同类项 新知讲授 探究点1 移项法则 思考 如何求出方程 3x + 20 = 4x－25的解？ 3x + 20 = 4x－25 利用等式性质1，两边同减去4x 两边都有常数项(20与-25). x=a 转化目标 两边都有含x的项(3x与4x) 转化方法 -x + 20 = －25 利用等式性质1，两边同减去20 -x = －45 3x + 20-4x = 4x－25-4x -x + 20 -20= －25-20 方程特征 利用等式性质1，两边同加（-4x-20） 3x + 20-4x-20 = 4x－25-4x-20 3x-4x = -25－20 转化方法 新知讲授 探究点1 移项法则 利用等式的性质解方程 思考 如何求出方程 3x + 20 = 4x－25的解？ 解： 3x + 20 = 4x－25 3x + 20-4x = －25 3x - 4x = -25 - 20. - x = -45 x = 45 等式两边减去4x 等式两边减 20，得 合并同类项，得 系数化为 1，得 这两项在用等式性质1变形后出现了怎样的变化? 左边的20变号后移到了右边 右边的4x变号后移到了左边 移 项 10 3x - 4x = -25 - 20 3x + 20 = 4x – 25 新知讲授 探究点1 移项法则 原方程： 变形后： 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. “移项”有“两变化”： （1）位置变化： 从方程的一边移到方程的另一边. （2）符号变化： 由正变负，由负变正. 把某项从等式的一边移到另一边时,这项有什么变化? 思考 移 项 注意：等式基本性质1是移项的依据 新知讲授 探究点1 移项法则 3x - 4x = -25 - 20 3x + 20 = 4x – 25 - x = -45 x = 45 合并同类项 系数化为 1 移项 原方程： 利用移项解一元一次方程的步骤. 解方程中“移项”起了什么作用？ 通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于 x = m 的形式. 讨 论 简化了解方程过程 12 新知讲授 探究点1 移项法则 概念辨析 下面的移项对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正? (1)从7+x=13,得到x=13+7 （ ） (2)从5x=4x+8,得到5x – 4x=8 （ ） (3)由5x＝－8＋x，得到5x＋x＝ －8（ ） 改:从7+x=13,得到 x=13–7 注意： 化简多项式交换两项位置时不改变项的符号； 解方程移项时必须改变项的符号． 改：由5x＝－8＋x，得到5x-x＝ －8 新知讲授 探究点2 用移法项解一元一次方程 讨 论 用移项法解方程： ，并说一说解方程的主要步骤 解： 方程左边的常数项移到方程右边 方程右边的含未知数项移到方程左边 确定要移的项 移 项 合并同类项 系数化为1 结 小 纳 归 新知讲授 探究点2 用移项解一元一次方程 3.用移项解方程的步骤及依据 ►移项(等式的性质1) 把含未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边 ►合并同类项(分配律) ►系数化为1(等式的性质2) 1.移项： 把等式一边的某项变号后移到另一边,叫作移项. 2.移项的目的： 把所有含有未知数的项移到方程的左边, 把所有常数项移到方程的右边, 使得一元一次方程更接近“x=a”的形式. 典例评析 探究点2 用移法项解一元一次方程 例 1 解下列方程： 解：移项，得 3x + 2x = 32 - 7 合并同类项，得 5x = 25 系数化为 1，得 x = 5 （1）3x + 7 = 32–2x； （2） 解：移项，得 合并同类项，得 系数化为 1，得 新知巩固 探究点1 用移项解一元一次方程 1. 解下列方程： 解：移项，得 （1）3x = 4x + 3； （2）6x - 8 = 4x； 3x - 4x = 3 合并同类项，得 - x = 3 系数化为 1，得 x = -3 解：移项，得 6x - 4x = 8 合并同类项，得 2x = 8 系数化为 1，得 x = 4 教材P124练习 （3）6y -7 = 4y - 5； （4）. 解：移项，得 6y–4y = -5 + 7 合并同类项，得 2y = 2 系数化为 1，得 y = 1 解:移项，得 合并同类项，得 系数化为 1，得 探究点3 用不同方法表示同一个量 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多 200 t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少 100 t. 新、旧工艺的废水排量之比为 2∶5，采用两种工艺的废水排量各是多少？ 新知讲授 讨 论 问题分析 问题中所求的未知数是什么？如何设未知数呢？ 未知数：旧工艺的废水排量 新工艺的废水排量 因为新、旧工艺的废水排量之比为 2∶5 所以 可设它们分别为 2x t 和 5x t 有比例条件时，一般用间接设法，将每份设为x 探究点3 用不同方法表示同一个量 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多 200 t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少 100 t. 新、旧工艺的废水排量之比为 2∶5，采用两种工艺的废水排量各是多少？ 新知讲授 讨 论 旧工艺废水排量 - 200= 环保限制的最大量 ① 新工艺废水排量 + 100 = 环保限制的最大量 ② 问题分析 新、旧工艺的废水排量与环保限制的最大量之间的关系 由环保限制的最大量的不同表示得等量关系 旧工艺废水排量 - 200 = 环保限制的最大量 =新工艺废水排量 + 100 探究点3 用不同方法表示同一个量 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多 200 t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少 100 t. 新、旧工艺的废水排量之比为 2∶5，采用两种工艺的废水排量各是多少？ 新知讲授 讨 论 问题解决 解：设采用新、旧工艺的废水排量分别为2x t 和 5x t. 移项，得 5x－2x＝100＋200. 系数化为 1，得 x＝100. 合并同类项，得 3x＝300. 所以 2x＝200， 5x＝500. 答：采用新、旧工艺的废水排量分别为 200 t 和 500 t. 由题意得 5x－200＝2x＋100. 典例评析 例2.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元.问共有多少人？这个物品的价格是多少？请解答上述问题. 问题分析 探究点3 用不同方法表示同一个量 出钱方式 每人出钱数 效果 方式1 方式2 设共有 x 人 8元 还盈余3元 7元 还差4元 人数 物品总价 x x 8x-3 7x+4 数量关系 每人出8元时出钱总数-3=物品总价 每人出7元时出钱总数-3=物品总价 同一个量用不同方法表示 典例评析 例2.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元.问共有多少人？这个物品的价格是多少？请解答上述问题. 解：设共有 x 人.根据题意，得： 8x-3=7x+4. 移项，得 8x-7x=4+3. 问题解决 探究点3 用不同方法表示同一个量 合并同类项，得 x=7. 所以物品的价格为 8×7- 3=53(元). 答：共有7人，物品的价格为53元. 新知巩固 探究点2 列方程解决用不同方法表示同一个量的问题 3. 李明出生时父亲 28 岁，现在父亲的年龄是李明年龄 的 3 倍，求现在李明的年龄. 解：设现在李明的年龄为 x 岁. 根据题意，得 28 + x ＝ 3x. 解得 x ＝ 14. 答：现在李明的年龄为 14 岁. 教材P124练习 设现在李明的年龄为 x 岁 问题分析 李明父亲现在的年龄 28 岁+从李明出生到现在的年数 28 + x 李明年龄 的 3 倍 3x 从时间变化看 从与李明年龄的关系看 问题解决 不同方法表示同一个量 新知讲授 探究点2 列方程解决用不同方法表示同一个量的问题 约 820 年，阿拉伯数学家花拉子米著有《代数学》（又称《还原与对消计算概要》），其中，“还原”指的是“移项”,“对消”隐含着移项后合并同类项 数学史话 《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，成书于东汉时期（约公元1世纪），系统总结了先秦至汉代的数学成就，标志着中国古代数学体系的形成。 我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法. 典例评析 例3 .当x=　　　　时,式子2x-1的值比式子5x+6的值小1.  －2 解：根据题意可得：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 例4.已知关于的方程的解与方程 的解相同，则　 　；若表示不大于的最大整数，那么　 　． 典例评析 -1 解： 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 把 代入得： 所以 新知巩固 2. 解根据本章引言中的问题列出的方程 1.2x + 1 = 0.8x + 3. 1.2x + 1 = 0.8x + 3 解：移项，得 1.2x – 0.8x = 3 - 1 合并同类项，得 0.4x = 2 系数化为 1，得 x = 5 教材P124 检测反馈 1.通过移项将下列方程变形,正确的是 (　　) A.由5x-7=2,得5x=2-7 B.由6x-3=x+4,得3-6x=4+x C.由8-x=x-5,得-x-x=-5-8 D.由x+9=3x-1,得3x-x=-1+9 C 2.解关于的方程时，下面的变形正确的是（ ） A． B． C． D． C 解：移项可知： 所以 检测反馈 3.若代数式与代数式的值互为相反数，则 ． 解：因为代数式与代数式的值互为相反数， 所以， 整理得：， 移项得： 解得：， 检测反馈 4.解下列一元一次方程: (1)7-2x=3-4x. (2)1.8t=30+0.3t. (3) x+1=3+x. (4) x + = x - . 解：移项 -2x+ 4x =3-7 2x = -4 x = -2 解：移项 1.8t- 0.3t =30 1.5t=30 t=20 解：移项 x-x=3-1 - x =2 -x =-4 解：移项 x- x =- - - x = -4 x = 2 检测反馈 5.天平的左边放2枚硬币和13克砝码,右边放6枚硬币和5克砝码,此时天平恰好平衡.每枚硬币的质量是多少克? 解：设硬币的质量为x克，由题意得： 2x+13=6x+5 2x- 6x =5-13 - 4x =-8 x =2 答：每枚硬币的质量是2克 6.一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的2倍，如果把个位上的数字与十位上的数字对调，得到的数比原数小36，求原来的两位数. 解：设原来的两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为2x. 根据题意，得10×2x+x-36=10x+2x， 即 20x+x-36=10x+2x. 移项，得 20x+x-10x-2x=36. 为何乘以10？ 检测反馈 拓展提升 2.明代数学家程大位所著的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银.七两分之多四两，九两分之少半斤.”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两.请问：所分的银子共有 两. (注:明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语) 解析：设有x人.依题意，得 7x+4=9x-8. 移项，得 7x-9x= -8-4. 合并同类项，得 -2x= - 12. 系数化为1，得 x=6. 所以所分的银子共有7x+4=42+4 =46(两). 46 真题感知 1.（2024秋•长沙期中）当 时，代数式与代数式的值相等． 3 解：根据题意可得：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 课堂小结 移项 概念 解形如“ax+b=cx+d”的方程的一般步骤 把原方程的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形称为移项。 移项的依据是等式的性质1. 移项 注意：移项一定要变符号 合并同类项 系数化为1 审题 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 找等量关系 设未知数 列方程 解方程 检验 写出答案 注意：1. 列一元一次方程解决实际问题的关键是审题，寻找等量关系. 课堂小结 2. 求出方程的解后要进行检验(检验的过程在草稿纸上进行)，既要检验所求出的解是不是方程的解，又要检验所求出的解是否符合实际意义. 各部分量的和=总量 同一个量的不同表示方式相等 课后练习 教材P124 4. 王芳和张华同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘 8 kg，张华平均每小时采摘 7 kg. 采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出 0.25 kg 给了张华，这时两人的樱桃一样多，她们采摘用了多少时间？ 解：设她们采摘用了x h. 根据题意，得 8x – 0.25 = 7x + 0.25. 解得 x = 0.5. 答：她们采摘用了 0.5 h. 课后练习 1. 解下列方程： （3）3x + 5 = 4x + 1； （4）9-3y = 5y + 5. 解：移项，得 3x－4x＝1－5. 系数化为 1，得 x＝4. 合并同类项，得 －x＝－4. 解：移项，得 －3y－5y＝5－9. 系数化为 1，得 y = 0.5. 合并同类项，得 － 8y＝－4. 习题 5.2 课本p130页 课后练习 4. 用方程解答下列问题： （1）x 的 5 倍与 2 的和等于 x 的 3倍与 4 的差，求 x； （2）y 与 -5 的积等于 y 与 5 的和，求 y； 解：根据题意，得 5x + 2 = 3x - 4. 解得 x = -3. 根据题意，得 -5y = y + 5. 解得 y = - . 习题 5.2 课本p130页 课后练习 6. 几个人共同种一批树苗，如果每人种 10 棵，则剩下 6 棵 树苗未种；如果每人种 12 棵，则缺 6 棵树苗. 求参加种 树的人数. 解：设参加种树的有 x 人.根据题意，得： 10x + 6 = 12x - 6. 解得 x = 6. 答：参加种树的有 6 人. 习题 5.2 课本p130页 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $