5.2 解一元一次方程 第1课时（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学课件聚焦“利用合并同类项解一元一次方程”，通过复习等式性质与同类项概念搭建支架，以“三年购买计算机”等实际问题导入，衔接“ax+bx=c”类型方程的解法，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以“总量=各部分量的和”为主线，结合足球皮块、数列求和等实例，培养学生用数学眼光发现等量关系的能力。通过“合并同类项-系数化为1”步骤归纳和分层练习，强化运算能力与推理意识，助力学生掌握化归思想，也为教师提供系统教学流程与丰富素材。

解一元一次方程 第 2 节 第5章 第1课时 利用合并同类项解一元一次方程 一元一次方程 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 2 3 会利用合并同类项的方法解运用合并同类项解形如ax+bx=c类型的一元一次方程，体会等式变形中的化归思想. 通过使学生经历利用合并同类项解一元一次方程的过程，体会合并同类项这一步骤的合理性和必然性，提高学生的运算能力. 经历运用方程解决实际问题的过程,体会方程是刻画现实世界的有效数学模型 用合并同类项的方法解一元一次方程. 重点 能够通过自主分析,找出实际问题中的等量关系. 难点 重 难 点 知识回顾 1.根据等式的性质填空: (1)如果x－7=5,则x=　　　　;  (2)如果x=6,则5x－5=　　　　.  12 25 等式的性质 等式的性质1 等式的两边加（或减）同一个数（或式），结果仍相等. 等式的性质2 等式的两边乘同一个数或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等. 练一练 等式的性质3 如果a=b,那么 b = a 等式的性质3 如果a=b，b=c，那么 a= c. 解一元一次方程的依据 2.利用等式的性质解下列方程： （2）10x＝4x－3. （1）－ －2＝7 解：方程两边同时加上2得：－ ＝9 方程两边同时乘以－3得： ＝9 解：方程两边同时减去4x得： 6x ＝－3 方程两边同时除以6得： ＝－0.5 利用等式性质可以解较简单的方程 3.解下列方程 (1) 7x+ x－3 = 12  (2) －3x+7x+0.5x =8 知识回顾 什么是同类项，如何合并同类项？ 练一练 1.含有相同的 并且相同字母的 也相同的项，叫做同类项； 2.合并同类项时，把各同类项的 相加减，字母和字母的指数 _. 含未知数的项是同类项，解方程需要如何处理呢？ 字母 指 数 系 数 不 变 用合并同类项进行化简： 7x+ x= ________； 2. －3x+7x+0.5x = ________； 3.y + 5y－ 2y =________； x 4.5x 4y （1） x－3 = 12  （2）－4.5x =8 合并同类项 ——今天开始学习其他解方程的方法 新知讲授 探究点1 利用合并同类项解简单的一元一次方程 讨 论 某校三年共购买计算机 140 台，去年购买的数量是前年的 2 倍，今年购买的数量又是去年的 2 倍. 前年这所学校购买了多少台计算机？ 问题分析 则去年购买 ____ 台，今年购买 台. （1）等量关系 前年购买计算机的数量+去年购买计算机的数量+今年购买计算机的数量=总购买量 各部分的和=总量 这是一个基本的相等关系 （2）设前年购买计算机x台，完成下列填空 2x 4x 根据登录关系列得方程： . x + 2x + 4x ＝ 140 （3）方程解的一般形式是什么？ x = a 如何转化？ 新知讲授 探究点1 利用合并同类项解简单的一元一次方程 讨 论 某校三年共购买计算机 140 台，去年购买的数量是前年的 2 倍，今年购买的数量又是去年的 2 倍. 前年这所学校购买了多少台计算机？ 解答问题 x + 2x + 4x ＝ 140 解：设前年购买计算机x台，有题意得： (1+2+4)x ＝ 140 7x ＝ 140 把含有 x 的项合并同类项 根据等式性质2，方程两边同时除以7 x ＝ 20 解方程，就是把方程变形， 转化为 x = a（a 为常数）的形式. 合并同类项 系数化为 1 新知讲授 探究点1 利用合并同类项解简单的一元一次方程 讨 论 某校三年共购买计算机 140 台，去年购买的数量是前年的 2 倍，今年购买的数量又是去年的 2 倍. 前年这所学校购买了多少台计算机？ 解答问题 x + 2x + 4x ＝ 140 解：设前年购买计算机x台，有题意得： (1+2+4)x ＝ 140 7x ＝ 140 x ＝ 20 合并同类项 系数化为 1 检验： 把x =20代入方程 x +2x + 4x =140的左右两边： 左边=20+2×20+4×20=140，右边=140 因为左边=右边 所以x =20是方程 x +2x + 4x =140的解 答：前年这所学校购买了 20 台计算机 新知讲授 探究点1 利用合并同类项解简单的一元一次方程 以上解方程中“合并同类项”起了什么作用?每一步的根据是什么? 思 考 解方程中“合并”起了化简作用，把含有未知数的项合并为一项，从而达到把方程转化为ax = b的形式，其中a，b是常数且a≠0 合并同类项的作用 转换的根据 分配律 合并同类项 系数化为1 等式的性质2 新知讲授 探究点1 利用合并同类项解简单的一元一次方程 归 纳 第一步：合并同类项，即将等号同侧的含未知数的项、常数项分别合并，把方程转化为 ax=b(a≠0)的形式； 第二步：系数化为1，即在方程两边同时除以未知数的系数(或乘未知数系数的倒数)，将未知数的系数化为1，得到 x=(a≠0). 用合并同类项解方程的步骤 注意：当a为分数，系数化为1时，可以将方程两边同时乘a的倒数 典例评析 探究点1 利用合并同类项解简单的一元一次方程 例1:解下列方程： （1） ； （2）7x － 2.5x + 3x － 1.5x = －15×4 － 6×3 解：合并同类项，得 系数化为 1，得 ： x = 4 解：合并同类项，得 6x = －78 系数化为 1，得： x = －13 根据等式的性质解一元一次方程时，得到的 x = m，就是方程的解. 今后，检验环节通常可以省略. 教材P120 温馨提示 随堂练习 探究点1 利用合并同类项解简单的一元一次方程 教材P121练习 1. 解下列方程： 解：合并同类项，得 系数化为1，得 3x = 9 x = 3 解：合并同类项，得 系数化为1，得 （1）5x － 2x = 9； （2）； （3）－3x + 0.5x = 10； 解：合并同类项，得 －2.5x = 10 系数化为 1，得 x = －4 （4）7x － 4.5x = 2.5×3–5. 解：合并同类项，得 系数化为 1，得 2.5x = 2.5 x = 1 新知讲授 探究点2 根据“总量=各部分量的和”列方程解决问题 有一列数－3，9，－27，81，－243，···，其中第 n 个数是 (－3)n (n＞1)，如果这列数中某三个相邻数的和是 －1701，那么这三个数各是多少？ 讨 论 问题分析 从符号和绝对值两方面观察发现： 相邻两数的特点 。 后面的数是它前面的数与 －3 的乘积 某三个相邻数可以表示为： 、 、 ； x －3x 9x 相等关系式： 三个相邻数的和= －1701 可列方程： x － 3x + 9x = －1701. 总量=各部分量的和 有一列数－3，9，－27，81，－243，···，其中第 n 个数是 (－3)n (n＞1)，如果这列数中某三个相邻数的和是 －1701，那么这三个数各是多少？ 讨 论 新知讲授 探究点2 根据“总量=各部分量的和”列方程解决问题 问题解答 解：设所求三个数中的第 1 个数是 x，则后两个数分别是 －3x，9x. 由题意得: x － 3x + 9x = －1701. 合并同类项，得 : 7x = －1701. 系数化为 1，得: x = －243. 所以 －3x = 729， 9x = －2187. 答：这三个数是 －243，729，－2187. 未知数求出后还要记得计算出其余未知量 典例评析 探究点2 根据“总量=各部分量的和”列方程解决问题 例3:足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑、白皮块数目的比为3∶5，一个足球表面一共有32个皮块,黑色皮块和白色皮块各有多少个? 当题目中出现比例时,一般可通过间接设元,设其中的每一份为x，然后用含x的代数式表示各部分数量,由等量关系可列方程 问题分析 相等关系： 已知黑、白皮块数目比为3∶5，按比例： 设黑色皮块有 个, 白色皮块有 个 3x 5x 可列方程 . 3x+ 5x=32 黑色皮块数+白色皮块数=32 典例评析 探究点2 根据“总量=各部分量的和”列方程解决问题 例3:足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑、白皮块数目的比为3∶5，一个足球表面一共有32个皮块,黑色皮块和白色皮块各有多少个? 解：设黑色皮块3x个,白色皮块有5x个，由题意可得： 3x+ 5x=32 合并同类项：8x=32 系数化为1 ：x=4 黑色皮块：3x= 3 ×4 =12(个) 白色皮块：5x= 5 ×4 =20(个) 问题解答 答：黑色皮块有12个，白色皮块有20个 列方程解应用题，最后要写 “答” 新知讲授 探究点2 根据“总量=各部分量的和”列方程解决问题 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤: 审 审题 找 找相等关系 设 设未知数 列 列方程 解 解方程 检 检验所得结果 答 确定答案 归 纳 随堂练习 探究点2 根据“总量=各部分量的和”列方程解决问题 2. 某工厂的产值连续增长，2022 年是 2021 年的 1.5 倍，2023 年是 2022 年的 2 倍，这三年的总产值为 550 万元. 2021 年的产值是多少万元？ 解：设 2021 年的产值是 x 万元.根据题意，得 ： x + 1.5x + 2×1.5x = 550. 合并同类项：5.5x=550 系数化为1得：x = 100. 答：2021 年的产值是 100 万元. 教材P121练习 新知巩固 3.某洗衣机厂今年计划生产 Ⅰ 型、Ⅱ 型、Ⅲ 型洗衣机共 25500 台，其中 Ⅰ 型、Ⅱ 型、Ⅲ 型三种洗衣机的数量之比为 1∶2∶14. 洗衣机厂计划生产这三种洗衣机各多少台？ 解：设计划生产 Ⅰ 型洗衣机 x 台，则计划生产 Ⅱ 型洗衣机 2x 台，Ⅲ 型洗衣机 14x 台.根据题意，得： x + 2x + 14x ＝ 25500. 合并同类项得：17x=25500 系数化为1得： x = 1500. 所以 2x ＝ 3000，14x ＝ 21000. 答：洗衣机厂计划生产 Ⅰ 型、Ⅱ 型、Ⅲ 型洗衣机各 1500 台、3000 台、21000 台. 教材P121 检测反馈 1.方程 7x－2x =6－3×（－3）的解是 (　　) A.5　　　　　　　B.－2 C.3 D.4 2.方程8x－5x=10的解是 (　　) A.3 B.2 C. D.5 3.某中学七年级(5)班共有学生56人,该班男生的人数是女生人数的2倍少1人.设该班有女生x人,可列方程为　　　　　　　　.  C C 3x－1=56 1.下列方程合并同类项正确的是 ( ) A. 由 3x－x＝－1＋3，得 2x ＝4 B. 由 2x＋x＝－7－4，得 3x ＝－3 C. 由 15－2＝－2x＋ x，得 3＝x D. 由 6x－2－4x＋2＝0，得 2x＝0 D 检测反馈 2.方程 7x－2x =6－3×（－3）的解是 (　　) A.5　　　B.－2 C.3 D.4 C 3. 若b＝－2时，ab＋4a＝12，则a的值为(　) A. －12 B. －6 C C. 6 D. 12 4. 解下列方程： 解：合并同类项，得 系数化为1，得 解：合并同类项，得 去绝对值，得 系数化为1，得 x=15 x=60 （1） （2） 检测反馈 5.解方程：150 (x－3) ＋110 (3－x) － 21 (x－3) ＝38. 解：合并同类项，得： (150－110－21)(x－3)＝38， 整理，得：19(x－3)＝38， 系数化为1，得：x－3＝2， 移项，得：x＝5. 检测反馈 看成一个整体 1．请欣赏一首诗： 太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼； 一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中； 剩下十五围着我，鸭有多少请算清． 解：设共有x只鸭子，有题意可得： x＝15 x － x － x ＝15 拓展提升 合并同类项，得： 系数化为1得： x=60 答：鸭子有60只 2. 若2(x－y)－3(x－y)－(x－y)＝4，则x－y的值是(　　) 拓展提升 3.甲、乙、丙三人的年龄之比是2∶3∶4，他们的年龄之和为45岁，则乙的年龄是 岁. 15　 等比设参 A. －1 B. －2 B 整体思想 4. 若关于x的方程3x＋6x＝－3与2kx＋3k＝1的解相同，则k的值为 . 　 C. 2 D. 4 解：设甲、乙、丙三人的年龄分别为2x，3x，4x，则： 2x+3x+4x=45 方程的解x=－ 真题感知 1. (2026•九江期末)已知4－a与2－a互为相反数，那么a＝ . 3　 2. (2026•如皋市期末)若x＝2是方程mx＋3nx－10＝0的解，则m＋3n的值等于 . 5　 3.（2024·南通经开区期末）若三个连续偶数的和是24，则它们的积是 . 解：设中间的一个偶数为 x ，则第一个偶数为 x －2，第三个偶数为 x ＋2，则： x －2＋ x ＋ x ＋2＝24， 解得 x ＝8，∴这三个偶数为6，8，10， 所以它们的积是： 6×8×10＝480. 480　 4.（2024·福州鼓楼区期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意如下：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地.求此人第三天走的路程. 真题感知 解：设此人第三天走的路程为 x 里，则其他五天走的路程分别为 4 x 里，2 x 里， x 里， x 里， x 里， 依题意，得：4 x ＋2 x ＋ x ＋ x ＋ x ＋ x ＝378， 解得 x ＝48. 答：此人第三天走的路程是48里. 课堂小结 （1）合并同类项：把等号同侧的含未知数的项、 常数项分别合并，把方程转化为 ax = b（ a ≠ 0，a，b 为常数）的形式； （2）系数化为 1：利用等式的性质 2，在方程两边 除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知 数的系数化为 1，得到 x = . 实际问题 一元一次方程 设未知数　　　 用方程解决实际问题的过程 列方程 解方程 作 答 用合并同类项解方程的步骤 课后练习 1. 解下列方程： （1）x + 3x = －16； （2）16y － 2.5y － 7.5y = 5； 4x=－16 解：合并同类项，得 系数化为1，得 x = －4 6y=5 解：合并同类项，得 系数化为1，得 x = 习题 5.2 课本p130页 课后练习 5. 用一根 60 m 长的绳子围出一个长方形，使它的长是宽 的 1.5 倍.长方形的长和宽各应是多少米？ 解：设宽是 x m，则长是1.5x m.根据题意，得： 2x + 2×1.5x = 60. 解得 x = 12. 所以 1.5x = 18. 答：长是 18 m，宽是 12 m. 习题 5.2 课本p130页 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $