专题3.2.3 直线与双曲线的位置关系（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线与双曲线的位置关系”核心知识点，系统梳理从基础的位置关系判断（解的个数、Δ判别式、交点位置分类）到进阶的弦长公式、中点弦“设而不求”法，再到综合应用的面积、向量、定点定值定直线问题，构建递进式学习支架。 资料以9大题型分类（含例题及变式），通过“判断位置关系”“中点弦问题”等实例，培养学生用数学思维分析方程逻辑、用数学语言表达解题过程。课中助力教师系统授课，课后学生可通过变式练习查漏补缺，提升综合应用能力。

专题3.2.3 直线与双曲线的位置关系（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 判断直线与双曲线的位置关系】 2 【题型2 根据直线与双曲线的位置关系求参数】 4 【题型3 双曲线的弦长问题】 7 【题型4 双曲线的“中点弦”问题】 11 【题型5 双曲线中的三角形（四边形）面积问题】 14 【题型6 双曲线中的参数范围及最值】 18 【题型7 双曲线中的向量问题】 22 【题型8 双曲线中的定点、定值问题】 27 【题型9 双曲线中的定直线问题】 33 考点1 直线与双曲线的位置关系 知识点1 直线与双曲线的位置关系 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，. Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 【题型1 判断直线与双曲线的位置关系】 【例1】（25-26高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【答案】C 【解题思路】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案. 【解答过程】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点. 故选：C. 【变式1.1】（25-26高二·全国·课后作业）直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【解题思路】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案. 【解答过程】由得  整理得，； 所以，故直线和双曲线只有一个交点； 又双曲线的渐近线方程为： 与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点. 所以直线和双曲线的位置关系为相交． 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二·全国·课堂例题）直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】方法一：列方程组求解，方法二：求出双曲线的渐近线进行判断 【解答过程】方法一：联立直线与双曲线的方程， ，得，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点. 方法二：由，得，所以双曲线的渐近线方程为， 因为直线是双曲线的一条渐近线，因此交点个数为0. 故选：A. 【变式1.3】（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）过点的直线与双曲线只有一个公共点，则满足条件的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【解题思路】直线与双曲线只有一个公共点,分直线与双曲线渐近线平行时与双曲线交于一点，以及直线与双曲线切于一点两种情况，分别 【解答过程】 如图，根据双曲线的方程可知，该双曲线为等轴双曲线，因此点在一条渐近线上， 因此过点的直线与双曲线只有一个公共点，分两种情况： (1)直线与另一条渐近线平行，此时直线方程为 (2)直线与双曲线相切，设该直线斜率为，则直线方程为,联立直线方程与双曲线方程,整理得：， 令,解得或,因为，所以当且仅当时，直线与双曲线相切. 因此综上，满足条件的直线有2条 故选：B. 【题型2 根据直线与双曲线的位置关系求参数】 【例2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将直线与双曲线有两个不同的交点转化为方程有两个不同的根，再用一元二次方程根的判别式解得. 【解答过程】将直线代入双曲线中，整理得， 因为直线与双曲线交于不同的两点， 所以,，解得， 所以斜率的取值范围是. 故选：C. 【变式2.1】（25-26高二上·北京昌平·期末）已知直线，则“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】首先判断由或能否推出直线与双曲线有且仅有一个公共点，再由直线与双曲线有且仅有一个公共点，联立直线与双曲线的方程，求出的值，即可进行判断. 【解答过程】当或时，直线，此时直线与双曲线的渐近线平行，故只有一个公共点； 当直线与双曲线有且仅有一个公共点时， 联立直线与双曲线的方程，得， 消去，得，① 当，即时，此时方程①为一次方程，有唯一解，直线与双曲线有且仅有一个交点； 当，即时，此时方程①为一元二次方程， 要求直线与双曲线有且仅有一个公共点，需判别式， ，解得， 所以当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，的取值集合为， 故“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2.2】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】联立直线与双曲线方程，结合韦达定理即可求解. 【解答过程】设直线与双曲线的右支有两个不同的交点， 联立，消去得， 所以，解得， 故k的取值范围是. 故选：A. 【变式2.3】（25-26高三上·贵州·阶段检测）若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】探讨直线与曲线的特征，画出图形，数形结合求出的范围. 【解答过程】曲线，即（），表示双曲线的右支，其渐近线方程为， 直线过定点，直线与曲线，如图， 观察图形得，当且仅当时，直线与双曲线的右支只有一个公共点， 所以的取值范围为. 故选：B. 考点2 弦长与“中点弦”问题 知识点2 双曲线的弦长与“中点弦”问题 1．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于. 2．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 3．双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 【题型3 双曲线的弦长问题】 【例3】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据已知条件求出双曲线方程，然后求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，求得，，再根据弦长公式计算即可求解. 【解答过程】由题意得，， 所以，，所以，，， 所以双曲线的方程为， 因为，直线过点且倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线l的方程为， 与双曲线的方程联立，消去，整理得， 解得，， 所以． 故选：D． 【变式3.1】（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解题思路】分直线的斜率是否为两种情况讨论，直线的斜率不等于时，设方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式结合弦长求出即可得解. 【解答过程】由题意，， 当直线的斜率为时，直线的方程为， 在方程中，令，则， 此时，符合题意， 当直线的斜率不等于时，设方程为， 联立，消得， 则，解得， 设， 则， 故 ，解得， 综上所述，符合题意得直线有条. 故选：C. 【变式3.2】（25-26高二上·上海松江·期末）已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据离心率和实轴即可联立方程求解， （2）联立直线与双曲线方程，得韦达定理，即可根据弦长公式求解. 【解答过程】（1）由题意可得，解得，， 故双曲线的方程为； （2）联立，则， 设, 则，， 故弦长为， 解得. 【变式3.3】（25-26高二上·天津西青·期末）已知双曲线的焦点在轴上，，且经过点. (1)求该双曲线的标准方程及渐近线方程； (2)过双曲线的右焦点，斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）设出双曲线的方程，将，点的坐标代入即可求解； （2）由点斜式可得直线的方程，联立双曲线的方程，求得交点坐标，由两点间的距离公式可得弦长，或根据弦长公式求解. 【解答过程】（1）由已知焦点在轴上，可设双曲线的方程为， 将，点的坐标代入方程为，解得，， 所以双曲线的标准方程为， 渐近线方程为. （2）由（1）知，所以半焦距，右焦点为， 如图，作出符合题意的图形， 由点斜式可得直线的方程为， 由，消去得. 法一：解方程得， 将代入，得， 不妨取， 所以. 法二：设，则，， 所以. 【题型4 双曲线的“中点弦”问题】 【例4】（25-26高二上·浙江·期中）已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】运用点差法，设，代入双曲线方程，作差变形，由是线段AB的中点，求得直线的斜率，再用点斜式可得直线方程. 【解答过程】设，代入双曲线方程， 可得，作差， 因为点为线段的中点，所以 所以，即， 所以直线的方程是，即， 经检验，直线满足题意. 故选：A. 【变式4.1】（25-26高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设点，利用中点弦问题求出直线斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程联立求出弦长. 【解答过程】设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B. 【变式4.2】（25-26高二上·宁夏固原·期末）经过点作直线交双曲线于两点，且为的中点. (1)求直线的方程； (2)求线段的长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用点差法，设代入双曲线方程，两式相减化简可求出直线的斜率，从而可求出直线方程， （2）将直线方程代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，结合弦长公式可求得结果 【解答过程】（1）设直线斜率为；直线与双曲线交点分别为. 所以，即=2，=8； 将两点代入双曲线方程得，两式相减得， 即，即， 所以，所以直线的方程为，即， 经验证符合题意，所以直线的方程为； （2）联立，消去得， 所以，， 所以. 即线段的长为. 【变式4.3】（25-26高二上·湖北·期末）已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线右焦点的直线与双曲线右支交于两点，若线段的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题知，，进而结合求解即可得答案； （2）由题设直线的方程为，，，， 进而与双曲线方程联立，结合题意得且，进而根据韦达定理进行求解. 【解答过程】（1）因为双曲线的一条渐近线方程是， 所以，即 因为焦距为4，所以，即 因为， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）由题知双曲线的右焦点为， 故设直线的方程为， 则联立方程得， 设，， 所以， 因为直线与双曲线的右支交于A，B两点， 所以，即且， 所以，解得：且， 若线段的中点为，得， 得,解得或， 而且，得， 得所求直线的方程为：，即为. 【题型5 双曲线中的三角形（四边形）面积问题】 【例5】（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于、两点，若面积是面积的倍，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】将直线的方程与双曲线的方程联立，可得出，直线交轴于点，由可得出关于的等式，解之即可. 【解答过程】联立可得，， 设点、，直线交轴于点， ，解得或. 故选：D. 【变式5.1】（25-26高三下·河南周口·开学考试）已知倾斜角为的直线经过坐标原点，且与双曲线分别交于，两点（其中点位于第一象限），过作轴于点，若，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，，联立消元，求出及点到直线的距离，进而得到面积与的函数关系,利用函数的单调性即可得面积的取值范围. 【解答过程】由题意设， 联立消去得，，所以， 又，所以， 设，则，， 由，得，所以 设到的距离为，所以， 所以的面积 ． 故选：D. 【变式5.2】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到双曲线的标准方程； （2）根据题意，得到直线为，联立方程组，得到，利用弦长公式和点到直线的距离公式，求得弦长和三角形的高，结合三角形的面积公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为双曲线的实轴长为，焦距为 可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）解：由直线过点且倾斜角为，可得直线的方程为 联立方程组，整理得， 设，则且， 由弦长公式，可得， 又由原点到直线的距离为， 所以的面积为. 【变式5.3】（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）由题意建立的方程组，求解即得双曲线方程； （2）设直线的方程为，将其分别与双曲线方程和渐近线方程联立，消元后，利用韦达定理，求得弦长,以及原点O到直线的距离，结合图形，根据求出表达式，换元后根据函数的单调性即可求得的最大值. 【解答过程】（1）设双曲线的焦距为2c， 点到渐近线的距离为， 因，代入解得， 又双曲线的一条渐近线为， 故双曲线的方程为：； （2） 如图，设，，设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，消去可得：， ， 直线与双曲线右支交于两点，故，解得， 则， 原点O到直线的距离， 设，，联立消去可得：， 则，，，， 则 而 ，， 令，则， 当，即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 【题型6 双曲线中的参数范围及最值】 【例6】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线 的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的动点，直线 PA，PB的斜率分别为 则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据渐近线和焦点得到，计算得到，再根据对勾函数性质计算得到答案. 【解答过程】双曲线的一条渐近线方程为，则， 双曲线的左焦点坐标为，且该点在直线上， 代入可得，解得，且， 故，所以，设， 则， 为双曲线右支上位于第一象限的动点，故，且， 当单调递减，故,即. 故选：C. 【变式6.1】（25-26高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意首先得点在双曲线上面运动，画出图形结合双曲线定义以及三角形三边关系分类讨论即可求解. 【解答过程】联立，化简并整理得， 由题意，化简得， 解得， 所以过点且与垂直的直线方程为， 在该直线方程中分别令，依次解得， 所以， 即点在双曲线上面运动，双曲线的图象如图所示：    若在右支上面，可以发现点为的右焦点，不妨设其左焦点为， 所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线右支的焦点， 若在左支上面，如图所示：    所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线左支的焦点， 综上所述，点到两点距离之和的最小值为. 故选：A. 【变式6.2】（2026·山东青岛·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.点在的右支上，当轴时，. (1)求的方程; (2)若直线与的右支的另一个交点为，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)12 【解题思路】（1）根据题意得，代入方程即可求解； （2）设直线方程为，与双曲线联立得，由韦达定理有，代入即得，令，得，设，利用单调性即可求解. 【解答过程】（1）由题知 ， 又 轴时，有代入方程解得，， 则双曲线的方程为： ； （2）设直线方程为， ，消去得， 则， 所以， ， 因为， 令，则， 得， 设，则该函数在上单调递减，则， 故，，即面积的最小值为12. 【变式6.3】（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知双曲线的左、右顶点为，，右焦点为F，双曲线C上异于，的一点P，满足直线，的斜率之积为3． (1)求双曲线C的离心率； (2)若过F且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，且，过点P的直线l与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，已知点P为线段MN的中点． （ⅰ）证明：直线l与双曲线C仅有一个公共点； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1)2； (2)（ⅰ）证明见解析； （ⅱ） 【解题思路】（1）设，双曲线焦距为，直接计算得到即可计算离心率； （2）（ⅰ）先由题设求出双曲线和渐近线方程，设结合题设求出，联立双曲线方程求出唯一解即可证明； （ⅱ）先由（ⅰ）得到，由题意，进而直接计算，再结合基本不等式即可得解. 【解答过程】（1）由题，，设，双曲线焦距为， 则由题， 所以双曲线C的离心率为； （2）（ⅰ）证明：由(1)，所以双曲线，右焦点， 令，则， 所以，所以双曲线， 所以渐近线方程为， 设、、， 则，且， 由题意可知直线l斜率存在为，则， 联立，结合整理得，解得，所以. 即直线与双曲线C仅有一个公共点； （ⅱ）由（ⅰ）， 所以，又由题意， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的取值范围为． 【题型7 双曲线中的向量问题】 【例7】（25-26高二上·陕西西安·期末）经过双曲线的右焦点作倾斜角为45°的直线，交双曲线于，两点，设为坐标原点，则等于（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解题思路】先依题意写出直线的方程， 联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合向量的数量积运算计算即得结果. 【解答过程】由双曲线的方程可知，右焦点坐标为， 的直线方程可设为， 设，，则， 联立可得， ，， ， ． 故选：B． 【变式7.1】（25-26高二下·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】设，由，得，设直线的方程为，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系，再结合可得到关于的式子，化简后可求得离心率. 【解答过程】设，由，得， 设直线的方程为， 由消去，得， 由根与系数的关系，得， 所以， 所以，化简得， 所以，得， 所以，可得. 故选：D. 【变式7.2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知双曲线的离心率是，焦距为6. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且（为坐标原点），求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据双曲线的离心率和焦距先求出的值，然后由即可得出双曲线的方程； （2）联立直线和双曲线方程整理后，写出韦达定理以及向量的坐标，代入中解出的值即可. 【解答过程】（1）因为双曲线的离心率是，焦距为6， 所以，， 解得，又， 又， 所以的方程为. （2）设，， 联立方程， 消去得， 因为直线与相交于两点，如图所示：    所以，即且， 由韦达定理得， 又， 所以， 所以， 将韦达定理代入上式得： ， 即，解得，满足且. 所以. 【变式7.3】（25-26高二下·云南昆明·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2． (1)求双曲线C的方程； (2)O为坐标原点，过点且斜率不为0的直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），直线OQ交双曲线C于点，求． 【答案】(1) (2)0 【解题思路】（1）根据条件及离心率的公式确定的值，再根据求出，即可得双曲线C的方程； （2）先根据题意设直线的方程为，及的坐标，进而得到的坐标，联立方程组，由韦达定理得到的值，代入化简即可. 【解答过程】（1）由双曲线的左、右顶点 分别为可知， 又由离心率为2，即，可得， 又在双曲线中，可得， 所以双曲线C的方程为. （2） 因为直线过点且斜率不为0， 且直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限）， 所以设直线的方程为（其中为直线斜率的倒数）， （由双曲线C的方程为可知其渐近线方程为， 所以直线的斜率，解得）. 设，因为直线OQ交双曲线C于点，所以， 所以， ， 联立，可得， 所以由韦达定理可得， 所以 ， 所以. 考点3 双曲线的定点、定值、定直线问题 知识点3 双曲线中的定点、定值、定直线问题 1．双曲线中的定点、定值问题 双曲线中的定点、定值问题一般与双曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 4．双曲线中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型8 双曲线中的定点、定值问题】 【例8】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知双曲线的右焦点的坐标为，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，. 【解题思路】（1）利用双曲线的焦点坐标和渐近线求出的值，从而得到双曲线方程； （2）联立直线方程和双曲线方程，通过韦达定理得到相关点的坐标关系，再根据直线斜率公式证明为定值. 【解答过程】（1）由题可知，，，又因为，可解得， 故双曲线的标准方程为：. （2） 由（1）知，，. 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 设，由，消去得， 若直线与双曲线交于两点，则， 由韦达定理，可得， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，即为定值. 【变式8.1】（2026·四川德阳·模拟预测）已知双曲线过点，离心率，左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于A，B两点. (1)求双曲线的标准方程. (2)若直线的斜率为1，求的面积. (3)若直线与直线交于点.证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意列出关于的方程组，求解即得双曲线的方程； （2）依题得直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，消元后写出韦达定理，根据计算即得； （3）在直线的斜率不为0时，设，将其与双曲线的方程联立，写出韦达定理，求出直线的方程，令，求得点，写出直线的方程，令，经过化简并将韦达定理代入可推出，即得定点，验证斜率为0的情况即得证. 【解答过程】（1）由题意，得，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）由，可知，则直线的方程为， 代入，消去，可得， 设，则， 由图知，的面积为 . （3）证明：当直线的斜率不为0时，设， 将其代入，消去，整理得， 则， 且，则（*） 直线的方程为，令，代入解得，即， 于是直线的方程为，令， 可得 ， 故此时直线经过定点. 当直线的斜率为0时，点分别是双曲线的左右顶点，此时直线即轴，显然经过点. 综上，直线经过定点.      【变式8.2】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，. 【解题思路】（1）利用给定的离心率及焦点到渐近线的距离，列式求出即可得双曲线方程. （2）（i）由题意易得直线l的斜率存在,设，直线l的方程为，联立直线与双曲线方程，化简的式子，结合韦达定理即可求出结果.（ii）求出直线的方程，利用根与系数的关系以及定值探究直线过哪个定点． 【解答过程】（1）设双曲线右焦点， 由到双曲线的渐近线的距离为，得， 由双曲线的离心率，得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）（i）显然直线的斜率存在，设其方程为， 由消去得， ，由直线与双曲线的左、右支分别交于点， 得，解得， 则 ， 所以为定值. （ii）设直线的方程为，直线斜率，由（i）得， 由消去得， ， 由，得，即或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 当时，直线的方程为，过定点. 【变式8.3】（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【解题思路】（1）根据双曲线方程和双曲线的性质，利用待定系数法，即可求解双曲线方程； （2）①首先求直线的方程，与双曲线方程联立，求弦长，并求点到直线的距离，再代入面积公式，即可求解；②当直线的斜率不为0时，设直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，当直线的斜率为0时，分别求出点的坐标，再代入验证，即可求解. 【解答过程】（1）设双曲线的半焦距为． 因为点在双曲线上，得． 因为离心率为，所以， 又，解得， 所以双曲线的渐近线方程为． （2）由（1）知双曲线． ①直线斜率为，，故直线的方程为， 代入双曲线得， ，， 所以． 又点到的距离为， 故的面积为． ②设， 当直线斜率存在且不为0时，设， 代入双曲线得， ，，， 所以 ， 若为常数，则为常数， 设，为常数，则对任意的实数恒成立，， 所以，所以，此时． 当直线斜率为0时，，，对于， 则， 直线斜率不存在时，， 则，对于， 则， 所以在轴上存在定点，使得为定值． 【题型9 双曲线中的定直线问题】 【例9】（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知双曲线，右焦点为，左、右顶点分别为，，过垂直于轴的弦长为6. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于，两点，直线，交于点，证明：在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意列方程，解方程即得答案； （2）设过的直线方程为，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理可得到，利用两点式写出直线，两式相除得到点横坐标与的关系式，再利用韦达定理，可解出点横坐标，即得答案. 【解答过程】（1）由双曲线的右焦点为，得， 即， 过垂直于轴的弦长为6， 可得点在双曲线上，即， 联立，解方程组得：， 故双曲线的方程为 （2）由（1）知双曲线，右焦点， 左顶点，右顶点， 设过的直线方程为（）， 代入双曲线方程得 整理得 设，，则是上述方程的两个实根， 且 直线的方程为， 直线的方程为， 两式相除得， 代入，，计算： 由韦达定理，，代入得， 利用，解得， 代入得：， 因此，解得， 即，. 故交点的横坐标恒为，即在定直线 上. 【变式9.1】（2026·江苏·模拟预测）已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题中所给数据求解即可； （2）设直线方程为：，，，联立直线和双曲线方程，结合韦达定理可得，求出点坐标，直线方程，再联立直线和直线方程，求出交点坐标即可得证. 【解答过程】（1）由题意，，， 所以， 所以C的方程为． （2）证明：由题意，直线的斜率存在， 设直线方程为：，，．    联立，消去，得， 由于，同号，所以，， ， 所以， 联立，解得， 所以， 所以直线的方程为，即， 联立，解得， 所以直线与直线的交点在定直线上． 【变式9.2】（25-26高三上·上海·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为，过右焦点作直线交双曲线的右支于两点， (1)求双曲线的方程； (2)过左焦点，作直线的平行线交双曲线的左支于两点，求四边形的面积的最小值； (3)若直线交于点，证明：在定直线上． 【答案】(1) (2)24 (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用离心率和焦点到渐近线的距离这两个条件，求出的值，从而确定双曲线方程； （2）由双曲线的对称性四边形为平行四边形，故，设出直线的方程，分别与双曲线联立，由计算四边形面积并借助函数的单调性求最小值； （3）写出直线和的方程，联立求解交点的坐标，证明其横坐标为定值. 【解答过程】（1）因为双曲线的离心率，故， 而双曲线的渐近线为，故右焦点到渐近线的距离为， 而，故， 故双曲线的方程为：. （2）显然直线与轴不垂直，设， 由双曲线的对称性知，结合，即四边形为平行四边形， 且为平行四边形的对角线中点，故， 联立，故， 由于均在双曲线右支，故，故， 而 ， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上，四边形的面积的最小值为 （3）证明：左顶点，右顶点， 设过的直线方程 直线的方程为，直线的方程为， 两式相除得，代入 计算：． 由（2）知， 注意到，代入得：， 因此，解得. 故交点的横坐标恒为，即在定直线上. 【变式9.3】（25-26高三上·河南周口·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，且点到其渐近线的距离为． (1)求的标准方程． (2)若点是上第一象限的动点，过点作直线（不与渐近线平行），若与只有一个公共点，且与轴相交于点（与点不重合）． （i）证明：． （ii）若点在直线上，且，那么点是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析 （ii）在，且定直线方程为 【解题思路】（1）由已知条件求出、的值，可得出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）（i）利用两点间的距离公式化简、的表达式，证明出双曲线在点处的切线方程为，求出点的坐标，由此可证得； （ii）求出直线的方程，将该直线方程与直线的方程联立，求出点的坐标，即可得出结论. 【解答过程】（1）由题意可知，可得， 双曲线的渐近线方程为，即， 点到其渐近线的距离为，所以，， 因此，双曲线的方程为. （2）（i）证明：因为是上第一象限的动点，则，可得且， 易知点、， 所以， ， 由双曲线的定义可得， 所以，， 先证明出双曲线在点处的切线方程为， 联立可得，整理可得，解得， 所以，双曲线在点处的切线方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点，且， 所以，，因此，； （ii）如下图所示： 直线的斜率为， 因为，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为， 联立直线和直线的方程， 可得，解得， 因此，点在定直线上. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2.3 直线与双曲线的位置关系（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 判断直线与双曲线的位置关系】 2 【题型2 根据直线与双曲线的位置关系求参数】 2 【题型3 双曲线的弦长问题】 3 【题型4 双曲线的“中点弦”问题】 4 【题型5 双曲线中的三角形（四边形）面积问题】 5 【题型6 双曲线中的参数范围及最值】 6 【题型7 双曲线中的向量问题】 7 【题型8 双曲线中的定点、定值问题】 9 【题型9 双曲线中的定直线问题】 10 考点1 直线与双曲线的位置关系 知识点1 直线与双曲线的位置关系 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，. Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 【题型1 判断直线与双曲线的位置关系】 【例1】（25-26高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【变式1.1】（25-26高二·全国·课后作业）直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【变式1-2】（25-26高二·全国·课堂例题）直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1.3】（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）过点的直线与双曲线只有一个公共点，则满足条件的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【题型2 根据直线与双曲线的位置关系求参数】 【例2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高二上·北京昌平·期末）已知直线，则“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2.2】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（25-26高三上·贵州·阶段检测）若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点2 弦长与“中点弦”问题 知识点2 双曲线的弦长与“中点弦”问题 1．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于. 2．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 3．双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 【题型3 双曲线的弦长问题】 【例3】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式3.2】（25-26高二上·上海松江·期末）已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值． 【变式3.3】（25-26高二上·天津西青·期末）已知双曲线的焦点在轴上，，且经过点. (1)求该双曲线的标准方程及渐近线方程； (2)过双曲线的右焦点，斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长. 【题型4 双曲线的“中点弦”问题】 【例4】（25-26高二上·浙江·期中）已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（25-26高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（25-26高二上·宁夏固原·期末）经过点作直线交双曲线于两点，且为的中点. (1)求直线的方程； (2)求线段的长. 【变式4.3】（25-26高二上·湖北·期末）已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线右焦点的直线与双曲线右支交于两点，若线段的中点为，求直线的方程． 【题型5 双曲线中的三角形（四边形）面积问题】 【例5】（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于、两点，若面积是面积的倍，则（    ） A． B．或 C． D．或 【变式5.1】（25-26高三下·河南周口·开学考试）已知倾斜角为的直线经过坐标原点，且与双曲线分别交于，两点（其中点位于第一象限），过作轴于点，若，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积. 【变式5.3】（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【题型6 双曲线中的参数范围及最值】 【例6】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线 的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的动点，直线 PA，PB的斜率分别为 则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（25-26高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（2026·山东青岛·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.点在的右支上，当轴时，. (1)求的方程; (2)若直线与的右支的另一个交点为，求面积的最小值. 【变式6.3】（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知双曲线的左、右顶点为，，右焦点为F，双曲线C上异于，的一点P，满足直线，的斜率之积为3． (1)求双曲线C的离心率； (2)若过F且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，且，过点P的直线l与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，已知点P为线段MN的中点． （ⅰ）证明：直线l与双曲线C仅有一个公共点； （ⅱ）求的取值范围． 【题型7 双曲线中的向量问题】 【例7】（25-26高二上·陕西西安·期末）经过双曲线的右焦点作倾斜角为45°的直线，交双曲线于，两点，设为坐标原点，则等于（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式7.1】（25-26高二下·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式7.2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知双曲线的离心率是，焦距为6. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且（为坐标原点），求的值. 【变式7.3】（25-26高二下·云南昆明·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2． (1)求双曲线C的方程； (2)O为坐标原点，过点且斜率不为0的直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），直线OQ交双曲线C于点，求． 考点3 双曲线的定点、定值、定直线问题 知识点3 双曲线中的定点、定值、定直线问题 1．双曲线中的定点、定值问题 双曲线中的定点、定值问题一般与双曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 4．双曲线中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型8 双曲线中的定点、定值问题】 【例8】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知双曲线的右焦点的坐标为，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【变式8.1】（2026·四川德阳·模拟预测）已知双曲线过点，离心率，左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于A，B两点. (1)求双曲线的标准方程. (2)若直线的斜率为1，求的面积. (3)若直线与直线交于点.证明：直线过定点. 【变式8.2】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 【变式8.3】（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型9 双曲线中的定直线问题】 【例9】（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知双曲线，右焦点为，左、右顶点分别为，，过垂直于轴的弦长为6. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于，两点，直线，交于点，证明：在定直线上. 【变式9.1】（2026·江苏·模拟预测）已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【变式9.2】（25-26高三上·上海·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为，过右焦点作直线交双曲线的右支于两点， (1)求双曲线的方程； (2)过左焦点，作直线的平行线交双曲线的左支于两点，求四边形的面积的最小值； (3)若直线交于点，证明：在定直线上． 【变式9.3】（25-26高三上·河南周口·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，且点到其渐近线的距离为． (1)求的标准方程． (2)若点是上第一象限的动点，过点作直线（不与渐近线平行），若与只有一个公共点，且与轴相交于点（与点不重合）． （i）证明：． （ii）若点在直线上，且，那么点是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $