专题1.5 空间向量的应用（一）：用空间向量研究直线、平面的位置关系（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量研究直线、平面位置关系，系统梳理点的位置向量、直线方向向量、平面法向量等基础概念，递进至线线、线面、面面平行与垂直的向量证明，再到综合应用及探索性问题，构建完整学习支架。 资料以10大题型（含例题与变式）为核心，结合各地期末真题，通过求法向量、证明线面平行等实例，培养数学眼光（空间观念）、数学思维（推理能力）、数学语言（向量表达），课中辅助教师系统授课，课后助力学生强化练习、查漏补缺。

专题1.5 空间向量的应用（一）：用空间向量研究直线、平面的位置关系（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 求平面的法向量】 2 【题型2 求直线的方向向量（空间中）】 2 【题型3 利用空间向量证明线线平行】 4 【题型4 利用空间向量证明线面平行】 5 【题型5 利用空间向量证明面面平行】 6 【题型6 利用空间向量证明线线垂直】 8 【题型7 利用空间向量证明线面垂直】 10 【题型8 利用空间向量证明面面垂直】 11 【题型9 平行、垂直综合的向量证明】 13 【题型10 空间中位置关系的探索性问题】 15 考点1 空间中点、直线和平面的向量表示 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间中直线的向量表示式 直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3．平面的法向量定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【题型1 求平面的法向量】 【例1】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期末）已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ） A． B． C． D． 【题型2 求直线的方向向量（空间中）】 【例2】（25-26高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·全国·课后作业）若在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【变式2-3】（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 考点2 空间中直线、平面的平行 知识点2 用空间向量研究直线、平面的平行关系 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【题型3 利用空间向量证明线线平行】 【例3】（25-26高二上·河南·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【变式3-1】（25-26高二上·广东清远·期中）已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·全国·课后作业）长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【变式3-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：. 【题型4 利用空间向量证明线面平行】 【例4】（25-26高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，棱长为a，M，N分别为和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．MN在平面内 【变式4-1】（25-26高二上·四川遂宁·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，E，F分别为，的中点，，，若平面，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，，AD＝2，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且.证明：平面.    【变式4-3】（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【题型5 利用空间向量证明面面平行】 【例5】（25-26高二上·陕西宝鸡·期末）平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，则平面与平面的关系是（    ） A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直 【变式5-1】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【变式5-2】（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面； (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【变式5-3】（25-26高二·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 考点3 空间中直线、平面的垂直 知识点3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【题型6 利用空间向量证明线线垂直】 【例6】（25-26高二下·湖南长沙·开学考试）如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式6-1】（25-26高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 【变式6-3】（25-26高二上·广西来宾·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点. (1)求证：； (2)求的长. 【题型7 利用空间向量证明线面垂直】 【例7】（25-26高二上·山东日照·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（    ） A． B．10 C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·浙江温州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．    【变式7-3】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在长方体中，，是的中点，是棱上一点． (1)若是的中点，求证：平面； (2)若平面，求的长． 【题型8 利用空间向量证明面面垂直】 【例8】（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，， ，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【变式8-1】（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【变式8-2】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为． (1)求棱的长； (2)证明：平面平面． 【变式8-3】（25-26高二下·全国·单元测试）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证： (1)； (2)平面平面. 【题型9 平行、垂直综合的向量证明】 【例9】（2026·山东菏泽·一模）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：① 平面；②平面 平面；③；④平面平面，正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-1】（25-26高二上·河南·阶段练习）如图，在正方体中，分别为的中点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．∥平面 D．∥平面 【变式9-2】（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：平面. 【变式9-3】（25-26高二·全国·寒假作业）在底面是矩形的四棱锥中，底面，点分别是的中点，. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【题型10 空间中位置关系的探索性问题】 【例10】（25-26高三·全国·一轮复习）如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【变式10-1】（25-26高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【变式10-2】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且. (1)当时，证明：直线平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【变式10-3】（25-26高二上·安徽六安·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 空间向量的应用（一）：用空间向量研究直线、平面的位置关系（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 求平面的法向量】 2 【题型2 求直线的方向向量（空间中）】 3 【题型3 利用空间向量证明线线平行】 6 【题型4 利用空间向量证明线面平行】 8 【题型5 利用空间向量证明面面平行】 11 【题型6 利用空间向量证明线线垂直】 16 【题型7 利用空间向量证明线面垂直】 21 【题型8 利用空间向量证明面面垂直】 25 【题型9 平行、垂直综合的向量证明】 30 【题型10 空间中位置关系的探索性问题】 34 考点1 空间中点、直线和平面的向量表示 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间中直线的向量表示式 直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3．平面的法向量定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【题型1 求平面的法向量】 【例1】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【解答过程】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用待定系数法，设出法向量，取平面中两个不共线向量，根据向量点积建立方程，可得答案. 【解答过程】由已知得，．设， 则即令，则，，所以． 故选：A. 【变式1-2】（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出平面的一个法向量，与所给选项对比，坐标成比例的即为平面的一个法向量. 【解答过程】因为，，， 所以， ， 设平面ABC的法向量， 则，令，则， 因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例， 故平面ABC的一个法向量是. 故选：B. 【变式1-3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期末）已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设平面的法向量为，根据法向量的定义可得出，利用赋值法可得出平面的一个法向量的坐标. 【解答过程】设平面的法向量为，由题意可得，， 则，取，可得， 故选：B. 【题型2 求直线的方向向量（空间中）】 【例2】（25-26高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【解答过程】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高二上·全国·课后作业）若在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据向量的坐标运算可得，再根据方向向量的定义即可得出结果. 【解答过程】因为，由共线向量可知与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量， 又，所以是直线l的一个方向向量. 故选：B. 【变式2-2】（25-26高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【解答过程】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B. 【变式2-3】（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据几何图形和向量基本定理以及方向向量的定义进行求解即可. 【解答过程】根据题意可得，. 所以直线的一个方向向量为. 故选：D. 考点2 空间中直线、平面的平行 知识点2 用空间向量研究直线、平面的平行关系 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【题型3 利用空间向量证明线线平行】 【例3】（25-26高二上·河南·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【解题思路】利用给定的坐标，求出向量的坐标，再借助共线向量判断得解. 【解答过程】由，，，， 得，，则，即， 而，显然向量不共线，即点不在直线上， 所以直线与平行． 故选：B. 【变式3-1】（25-26高二上·广东清远·期中）已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据法向量定义，把转化为，可得的值. 【解答过程】设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 又因为，所以， 存在一个非零实数，使得， 即，有，解得. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高二上·全国·课后作业）长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】建立空间直角坐标系，由向量共线坐标运算即可求证. 【解答过程】如图所示，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，，，则得下列各点的坐标： ，，，，，. 由即，可得：， 由，即，可得：． ，，． 又与不共线，． 【变式3-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：. 【答案】证明见解析 【解题思路】建立空间直角坐标系，得到，即可求证. 【解答过程】依题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，，，分别是棱，，，的中点，． 所以，，，． 所以，， 则，而点直线，所以． 【题型4 利用空间向量证明线面平行】 【例4】（25-26高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，棱长为a，M，N分别为和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．MN在平面内 【答案】B 【解题思路】以点为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的一个法向量，利用向量数量积的坐标运算可得线面平行． 【解答过程】以点为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 又因为平面，则为平面的一个法向量， 可得，可知， 且平面，所以MN与平面的位置关系是平行. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二上·四川遂宁·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，E，F分别为，的中点，，，若平面，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果． 【解答过程】以为坐标原点，正方向为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则,0, ,0,,,,,, ， 所以，，，， 设平面的法向量， 则，令，得，，所以； 由可得是的中点，， 由可得， 所以， 因为平面，所以，解得． 故选：C. 【变式4-2】（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，，AD＝2，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且.证明：平面.    【答案】证明见解析 【解题思路】以为原点建系，设，计算的坐标，求出平面的一个法向量，证明即可. 【解答过程】因，则以为原点，所在直线为轴、轴，以垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因AD⊥平面BCD，则轴， 设，， 因M是AD的中点，P是BM的中点，则，， 因，则，则， 则， 又平面的一个法向量为，则，即， 又平面，则平面. 【变式4-3】（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直即可求出法向量； （2）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可得证. 【解答过程】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以平面的法向量为； （2），则， 故， 因为， 所以， 又平面， 所以平面. 【题型5 利用空间向量证明面面平行】 【例5】（25-26高二上·陕西宝鸡·期末）平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，则平面与平面的关系是（    ） A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直 【答案】D 【解题思路】由题意可得，即可得到平面与平面的关系. 【解答过程】因为平面的一个法向量是，平面的一个法向量是， 所以， 所以平面与平面相互垂直， 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； （2）证明也是平面MNP的一个法向量即可. 【解答过程】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，．    由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． （2）证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 【变式5-2】（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面； (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在. 【解题思路】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直与平面的法向量时 平面，求的值即可. 【解答过程】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时，平面. 【变式5-3】（25-26高二·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【解答过程】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 考点3 空间中直线、平面的垂直 知识点3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【题型6 利用空间向量证明线线垂直】 【例6】（25-26高二下·湖南长沙·开学考试）如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解题思路】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【解答过程】在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线的端点为， 对于A，，直线的方向向量，    ，显然，直线与不垂直，A不是； 对于B，由选项A知，直线的方向向量，，    则,显然，直线与不垂直，B不是； 对于C，由选项A知，直线的方向向量，，    则,显然，，C是； 对于D，由选项A知，直线的方向向量，，    则,显然，直线与不垂直，D不是. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，设，应用空间向量的数量积计算判断各个选项． 【解答过程】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 【答案】证明见解析 【解题思路】建立空间直角坐标系，用向量的方法判断两条直线的垂直关系可得. 【解答过程】由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 所以，，，，则，． 因为， 所以，即． 【变式6-3】（25-26高二上·广西来宾·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点. (1)求证：； (2)求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，结合，即可证得； （2）由（1）知，结合向量模的计算公式，即可求解. 【解答过程】（1）证明：因为四棱锥的底面为直角梯形， ，，且底面，所以两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，且为的中点， 可得，则， 所以， 又因为，所以，即. （2）由（1）知：，可得， 所以的长为. 【题型7 利用空间向量证明线面垂直】 【例7】（25-26高二上·山东日照·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（    ） A． B．10 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据直线与平面垂直的空间向量表示可得答案. 【解答过程】若直线平面，则， 即，解得. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高二上·浙江温州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意可以建立空间直角坐标系，根据线面垂直，则直线的方向向量和平面的法向量互相平行即可求得比例关系. 【解答过程】因为平面，底面是矩形，在处建立空间直角坐标系如图所示：    设，则，所以 ， 设平面的法向量为， 则，即，令，得， 所以法向量为， 设，因为， 因为平面，则，所以，解得， 则 . 故选：B. 【变式7-2】（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．    【答案】证明见解析 【解题思路】以为原点，建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量的坐标，可得与平面的法向量共线，则得直线平面． 【解答过程】由题意知，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则，， ， 设平面的一个法向量为， 则即， 令，则， 所以，故直线平面． 【变式7-3】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在长方体中，，是的中点，是棱上一点． (1)若是的中点，求证：平面； (2)若平面，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）如图建系，求出相关点的坐标，由，推得，，即可由线线垂直推出平面； （2）设的长为求出平面的法向量为，由平面可得即可求得. 【解答过程】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，               由题设可得：，，，， ，，， ∴，，,            由， ， 可得，，                  又∵，平面MNC，∴平面； （2）设的长为则，点 ，进而得，          设平面的法向量为，因， 则，取得，          ∵，且平面， ∴，即 ，      解得，即的长为． 【题型8 利用空间向量证明面面垂直】 【例8】（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，， ，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】第（1）问先建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量数量积为零证明线线垂直； 第（2）问取中点构造向量，证明该向量与平面内两条相交直线垂直，从而得到线面垂直，再推出面面垂直. 【解答过程】（1）证明：取的中点，连接， 因为平面底面，为等边三角形， 所以底面． 以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则，． 所以，，，． 所以，． 因为， 所以，所以． （2）取的中点，连接， 则． 因为，， 所以， 所以，即． 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 【变式8-1】（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【解题思路】（1）以为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可； （2）证明两平面的法向量垂直即可. 【解答过程】（1）因为平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. （2）设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为，所以， 所以平面平面. 【变式8-2】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为． (1)求棱的长； (2)证明：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据正四棱柱，可得平面，设，结合线面关系确定四棱锥的体积表达式求解，即可得所求； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，根据法向量的关系证明结论即可. 【解答过程】（1）因为正四棱柱，所以平面， 且四边形为直角梯形，设， 所以， 解得，即； （2）以点为原点，直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系， 由题意可得， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则； 设平面的法向量为， 则，令，则； 因为， 所以平面平面． 【变式8-3】（25-26高二下·全国·单元测试）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，求出，再由，即可证明； （2）求出平面和平面的法向量，由，即可证明. 【解答过程】(1)取的中点为，连接， 因为， 所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面， 又因为四棱锥的底面是直角梯形， 所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，， 所以，， 所以，即. (2)，，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可以求得面的一个法向量； 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可以求得面的一个法向量， 又因为， 所以，所以平面平面. 【题型9 平行、垂直综合的向量证明】 【例9】（2026·山东菏泽·一模）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：① 平面；②平面 平面；③；④平面平面，正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据题意，以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】 以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设正八面体的边长为,则 所以，, 设面的法向量为，则，解得，取，即 又，所以， 面，即 面，①正确； 因为，所以 ， 又，面，面，则面， 由，平面，所以平面 平面，②正确； 因为，则，所以，③正确； 易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 因为，所以平面平面，④正确； 故选：D. 【变式9-1】（25-26高二上·河南·阶段练习）如图，在正方体中，分别为的中点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．∥平面 D．∥平面 【答案】C 【解题思路】以为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合法向量对选项逐一判断即可. 【解答过程】    以为正交基底建立空间直角坐标系，设， 则. 所以，. 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 因为，所以与不平行，所以与平面不垂直，错误； 因为，所以与不平行，所以与平面不垂直，B错误； 因为，且线在面外，所以 平面，C正确； 因为，所以与平面不平行，D错误. 故选：C. 【变式9-2】（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）通过建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标公式计算即得证； （2）先求出平面的法向量，由和平面即可推得平面. 【解答过程】（1）    如图建立空间直角坐标系， 则， 则，           由，     可得，得证. （2）设平面的法向量为，因，    则，令，可得，                因，故得，         又平面，所以，平面. 【变式9-3】（25-26高二·全国·寒假作业）在底面是矩形的四棱锥中，底面，点分别是的中点，. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量表示可得； （2）利用空间向量表示，再结合面面垂直的判定定理可证明. 【解答过程】（1）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.点分别是的中点，，. ，即. 又平面平面，所以平面. （2）证明：由（1）可知，， 因为， 所以，即. 又，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 【题型10 空间中位置关系的探索性问题】 【例10】（25-26高三·全国·一轮复习）如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法判断位置关系； （2）设，求出点的坐标，求出平面的一个法向量，利用向量法建立方程求解. 【解答过程】（1）设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面． （2）设存在点N，使平面， 设，，则， ， 所以． 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 由， 得，令，则， 由平面，得． 所以，解得． 所以当时，平面． 【变式10-1】（25-26高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【解题思路】（1）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到，再由中位线的性质得到，然后由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立如图所示坐标系，平面的法向量，利用解出即可； 【解答过程】（1）    取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2）    作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， ， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以， 所以存在点N，使得平面ADM，. 【变式10-2】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且. (1)当时，证明：直线平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，即可得到，从而得证； （2）求出面与面的法向量，由已知条件得出这两个平面的法向量垂直，结合求出实数的值，即可得解. 【解答过程】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下空间直角坐标系， 则、、、，， 所以，，则，故，即， 又平面，平面，因此平面； （2）由（1）知、、、、， 设平面的一个法向量为，，， 由，可得，取，则， 设平面的一个法向量为，，， 由，可得，取，则， 当平面平面时，则. 所以，整理可得，，解得. 所以存在，使平面平面. 【变式10-3】（25-26高二上·安徽六安·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【解题思路】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可. 【解答过程】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $