高中数学单元测试——第四章指数函数与对数函数（适中版01）

**基本信息** 本卷为高中数学指数函数与对数函数单元复习卷，以基础巩固与能力提升为核心，通过分层设问与真实情境应用，全面考查运算能力、函数性质及数学建模，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|指数对数运算（题1）、函数定义（题4）、单调性（题7）|聚焦概念辨析，夯实数学抽象基础| |多选题|3/18|运算正误判断（题9）、命题否定（题10A）、反函数（题11A）|强化逻辑推理，培养批判性思维| |填空题|3/15|函数值域（题13）、方程实根区间（题14）|考查数学眼光，提升问题转化能力| |解答题|5/77|实际问题建模（题16食品生产、题18污染物处理）、“成功函数”探究（题17）|通过真实情境与创新概念，发展数学建模与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第四章 指数函数与对数函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2．（本题5分）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数幂的运算性质可化简得出所求代数式的值. 【详解】由题意得. 故选：A. 3．（本题5分）若，则（    ） A．－16 B．－15 C．－14 D．－13 【答案】B 【分析】根据对数运算性质直接计算即可. 【详解】由，所以， 又，所以. 故选：B 4．（本题5分）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 5．（本题5分）已知关于x的不等式的解集为，函数（且）为指数函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由不等式的解集为，可得，再由为指数函数可得，代入运算可得解. 【详解】因为不等式的解集为，所以，即， 又为指数函数，，所以，，且， . 故选：A. 6．（本题5分）已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先求得图象的定点，得到，再由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数，令，可得，所以图象的定点， 又由函数的图象过函数图象的定点， 可得，即，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 7．（本题5分）函数，若，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数单调性，结合对数函数单调性确定分段函数单增，再利用函数的单调性解不等式. 【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增， 则函数在上单调递减，因此函数在上单调递增， 当时，，， 函数在上单调递增，而函数在处连续，因此在上单调递增， 由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 8．（本题5分）已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分、讨论，分别根据没有零点，结合指数函数与对数函数的性质求出的范围，再求交集可得答案． 【详解】因为， 时，， 若无解，则或； 时，， 若无解，则， 因为函数在上没有零点， 所以． 故选：D． 二、多选题 9．（本题6分）以下运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据对数的运算法则来进行判断，根据可以判断ABC，通过可以判断D选项 【详解】根据对数的运算，从而判断A，C都错误，，从而判断B错误，，从而判断D正确. 故选：ABC 10．（本题6分）下列说法正确的有（ ） A．“，使得”的否定是“，均有” B．二分法求方程在区间内的实根，下一个有根区间是 C．函数的最小值为 D．若对数有意义，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A，利用存在量词命题的否定；对于B，设，求出，，可得，根据二分法得到在内有零点，求出，得到，即在内有零点，从而得解；对于C，令，则，利用对勾函数的单调性得解；对于D，由对数有意义得到计算得解. 【详解】对于A，由存在量词命题的否定知：“，使得”的否定为“，均有”，A正确； 对于B，设，，， ，即在内有零点， 故方程在区间内有实根， ， ，即在内有零点， 故方程在区间内有实根，故B正确； 对于C，令，则， 由对勾函数单调性知：在上单调递增，， 无最小值，C错误； 对于D，若对数有意义，则，解得：， 故实数的取值范围为，D正确. 故选：ABD. 11．（本题6分）已知函数，，.则下列说法正确的是（   ） A．函数与函数互为反函数 B．函数在区间内有零点 C．若，，均为正实数，且满足，则 D．若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，，则 【答案】ABD 【分析】根据反函数的定义、零点存在定理、函数的图像等知识逐项判断即可. 【详解】对于A： 因为，所以与互为反函数，A正确； 对于B： 令，即， 当时，；当时，， 根据零点存在定理，则函数在区间内有零点，B正确； 已知函数，，，画出图像为： 如图符合题意，而，所以C错误； 对于D： 令，则，令，则. 因为函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，， 所以①，②，假设，则. 将其代入①式中得，与②式相同，所以D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）求值:_____ 【答案】5 【分析】根据对数的运算公式即可求解. 【详解】原式. 故答案为：5 13．（本题5分）已知函数，，则此函数的值域为__________ 【答案】 【分析】令，由的单调性求解. 【详解】令，因为，所以， 因为函数在单调递减，且时，；时，， 所以函数的值域为， 故答案为：. 14．（本题5分）已知函数，若方程的一个实根在区间上，则的所有可能取值形成的集合为_____. 【答案】 【分析】根据方程的根可得符合，利用函数的图象，结合零点存在性定理即可求解. 【详解】①由方程，解得：，因为，故； ②由于方程即方程，分别作出左右两边函数的图象， 由于， 结合图象上可得出：方程在区间内有一个实根. 故方程在区间内有且仅有一个实根.此时， 下面证明：方程在区间内有一个实根， 令函数，在区间内有一个零点， 因为时，，故函数在区间是增函数， 又，，即， 由零点存在性定理知，函数在区间内仅有一个零点， 即方程在区间内有且仅有一个实根， 此时，k的所有可能取值形成的集合为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）求满足下列条件的各式的值： (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用指数运算计算得解. （2）利用对数换底公式及指数式与对数式的互化关系计算得解. 【详解】（1）由，，得， 所以. （2）由，得， 所以. 16．（本题15分）一食品生产厂第年生产某食品的年产量y（单位：吨）满足关系式.已知该厂第2年比第1年多生产了8.75吨该食品. (1)求m的值； (2)若该厂第年生产该食品的年产量比第年增加的量不低于12.5吨，求整数n的最小值. 【答案】(1) (2)4. 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）由题意可得，代入，结合指数函数的性质求解即可. 【详解】（1）由题意可得， 即， 解得； （2）由题意可得， 即， 代入, 得， 所以，，， 因为为单调递增函数， 且，， 所以，， 所以整数n的最小值为4. 17．（本题15分）已知函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域为，那么就称函数为“成功函数”. (1)判断函数是否为“成功函数”； (2)函数（，且）是“成功函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数不是“成功函数” (2) 【分析】（1）根据的单调性即可判断是否是“成功函数”；（2）根据复合函数同增异减，可得：为增函数，得到由两个根，转化为根的分布，得到不等关系，求出实数的取值范围. 【详解】（1）不是单调函数， 函数不是“成功函数” （2）由题意，函数（，且）是“成功函数”，且复合函数单调性满足同增异减，可得函数在其定义域内为增函数， 且在上的值域为， 则，即， 所以方程必有两个不相等的实数根. 又由，即， 令，当时，关于的方程有两个不相等的正实数根，可得，解得； 当时，关于的方程在上有两个不相等的正实数根， 所以，无解； 所以. 18．（本题17分）近年来，赣州市坚定走生态优先､绿色发展之路，获评生态环境领域激励表扬城市.某校数学建模小组开展“保护环境，从我做起”研究活动，发现某类污染物处理时间（单位：天）与污染物排放量（单位：吨）之间满足关系式（其中均为常数），且当时，；当时，. (1)求的值； (2)若污染物排放量为时，求所需的处理时间； (3)若污染物分两次处理，排放量分别为和，其中，求所需的总处理时间的最小值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由题干中的函数解析式以及给定的值，建立方程组，结合对数运算，可得答案； （2）由（1）所得函数解析式，代入给定值，可得答案； （3）由基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由题意知，得，故， 两式相减可得，故， 故． （2）由（1）可知，当时，， 故所需的处理时间为天. （3）， 当且仅当时取等号， 故所需的总处理时间的最小值为天. 19．（本题17分）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求的取值范围； (3)若方程存在实数解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图象过点，求出即可求得的解析式； （2）根据幂函数的单调性，即可求出的取值范围； （3）根据函数的零点与方程解的关系将问题转化为图象的交点问题即可求解. 【详解】（1）由题意得，解得，所以. （2）因为在上单调递减，且， ，解得. （3）存在实数解，即有解， 即函数的图象与函数的图象有交点， 所以，解得或. 故的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 指数函数与对数函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 2．（本题5分）（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）若，则（    ） A．－16 B．－15 C．－14 D．－13 4．（本题5分）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知关于x的不等式的解集为，函数（且）为指数函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（本题5分）已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 7．（本题5分）函数，若，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）以下运算错误的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）下列说法正确的有（ ） A．“，使得”的否定是“，均有” B．二分法求方程在区间内的实根，下一个有根区间是 C．函数的最小值为 D．若对数有意义，则实数的取值范围为 11．（本题6分）已知函数，，.则下列说法正确的是（   ） A．函数与函数互为反函数 B．函数在区间内有零点 C．若，，均为正实数，且满足，则 D．若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，，则 三、填空题 12．（本题5分）求值:_____ 13．（本题5分）已知函数，，则此函数的值域为__________ 14．（本题5分）已知函数，若方程的一个实根在区间上，则的所有可能取值形成的集合为_____. 四、解答题 15．（本题13分）求满足下列条件的各式的值： (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 16．（本题15分）一食品生产厂第年生产某食品的年产量y（单位：吨）满足关系式.已知该厂第2年比第1年多生产了8.75吨该食品. (1)求m的值； (2)若该厂第年生产该食品的年产量比第年增加的量不低于12.5吨，求整数n的最小值. 17．（本题15分）已知函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域为，那么就称函数为“成功函数”. (1)判断函数是否为“成功函数”； (2)函数（，且）是“成功函数”，求实数的取值范围. 18．（本题17分）近年来，赣州市坚定走生态优先､绿色发展之路，获评生态环境领域激励表扬城市.某校数学建模小组开展“保护环境，从我做起”研究活动，发现某类污染物处理时间（单位：天）与污染物排放量（单位：吨）之间满足关系式（其中均为常数），且当时，；当时，. (1)求的值； (2)若污染物排放量为时，求所需的处理时间； (3)若污染物分两次处理，排放量分别为和，其中，求所需的总处理时间的最小值. 19．（本题17分）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求的取值范围； (3)若方程存在实数解，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $