精品解析：山东日照市莒县龙山镇中心初级中学2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

日照市莒县龙山镇中心初级中学初一下学期 数学期末考试 本试卷满分120分，考试时长120分钟，考试结束后将答题卡收回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于、的方程组的解满足，则的值为（　　） A. B. C. 2 D. 3 3. 某班级组织去公园划船，如果每条船坐6人，则空出2条船；如果每条船坐4人，则还有8人没有船坐．设船有条，学生有人，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，木条a、b被木条c所截，已知，若要使，则需使的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 二元一次方程的非负整数解有（ ） A. 6组 B. 5组 C. 4组 D. 3组 6. 中国古代建筑中蕴含着精妙的数学美学，许多经典楼阁的窗框比例接近黄金比．若某古建筑的窗高与窗宽的比值为，估计的值应该在（　　） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 7. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线，相交于点，，平分，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，下列能判定的条件有多少（ ）个 ①；②；③；④；⑤ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 为了估计某湿地公园中某种候鸟的种群数量，科研人员在春季捕捉了40只这种候鸟，给它们戴上脚环后放回，一个月后再次捕捉200只这种候鸟，发现其中有8只带有脚环．假设在两次捕捉期间鸟群数量稳定且脚环未脱落，那么该湿地公园中这种候鸟的种群数量大约为________只． 12. 已知，则的值是________． 13. 如图，四边形中，，，的平分线交于点，连接，，的平分线交的延长线于点F，下列结论：；；平分；．其中正确的结论有__． 14. 若与的和是单项式，则b的值为________． 15. 如图，由内到外依次为正方形，，．若的面积为，的面积为15，且的边长是整数，则的边长为______． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 在综合实践课上，老师组织同学们开展了探究两角之间数量关系的数学活动． 如图1，已知直线，点分别为直线上的点，点是平面内直线之间任意一点，连接． （1）若，，求的度数； （2）如图2，点是直线上的两点，且．求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，作直线，交于点，则与相等吗？请说明理由． 17. 如图，平面直角坐标系中中，点，点，且，满足．线段与轴相交于点，将线段平移得到线段，点、分别与点、是对应点，点在轴上，线段交轴于点，． （1）求三角形的面积； （2）求点的坐标； （3）如图2，若点是线段上任意一点，点在轴上，使得三角形的面积是三角形面积的3倍，求点的坐标． 18. 已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）在m的取值范围内，当m为何整数时，关于x的不等式的解集为？ 19. 如图，在三角形中，点、点分别是边上的点，点、点是边上的点，连接和，若． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若是的角平分线，，求的度数； 20. 如图，在以点为原点的平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，点在轴上，且轴，满足．一动点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点首次回到点时停止），运动时间为秒（）． （1）点的坐标为___________，点的坐标为___________； （2）连接，若把长方形的面积分成的两部分，求出点的坐标； （3）点在运动过程中，是否存在点到轴的距离为个单位长度的情况，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21. 珍惜水资源，保护水环境，防止水污染，为扩大污水处理规模，某污水处理厂计划投入一笔资金购进A、B两种污水处理装备，已知购进件A种装备和件B种装备共需万元，购进件A种装备和件B种装备共需万元． （1）求购进件A种装备和件B种装备各需多少万元？ （2）若该污水处理厂计划购进A、B两种装备共件，且投入资金不少于万元又不超过11万元，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ （3）在（2）的方案下，由于国家对环保事业的扶持力度加大，每件A种装备降价万元，每件B种装备降价万元，在投入资金最少的情况下，该污水处理厂计划将节省的资金全部用于再次购买A、B两种装备（可以只购买一种）请求出再次购买装备的方案有哪几种？ 22. 如图，，，，为的平分线． （1）请问与平行吗？试说明理由； （2）请问与平行吗？试说明理由； 23. 对于任意实数a，b，定义一种新运算：． 例如：． （1）_________，_________； （2）若的结果小于2，请根据上述定义列不等式求出x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 日照市莒县龙山镇中心初级中学初一下学期 数学期末考试 本试卷满分120分，考试时长120分钟，考试结束后将答题卡收回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数轴可知点表示的数在和之间，分别估算各数所在的范围，确定符合条件的数即可． 【详解】解：由数轴可知点表示的数在和之间， ， ， 故A选项不符合题意； ， ， 故B选项不符合题意； ， 故C选项不符合题意； ， ， 故D选项符合题意． 2. 已知关于、的方程组的解满足，则的值为（　　） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将方程组两个方程相加整理得到的表达式，结合已知条件建立关于k的一元一次方程即可求解． 【详解】解：， 由得，， ， 解满足， 解得：． 3. 某班级组织去公园划船，如果每条船坐6人，则空出2条船；如果每条船坐4人，则还有8人没有船坐．设船有条，学生有人，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两种坐船方案，抓住总人数不变的等量关系，分别用船数表示总人数即可得到正确方程组. 【详解】解：∵ 设船有条，学生有人， 第一种情况：每条船坐6人，空出2条船，实际使用的船数为条，总人数等于每条船人数乘实际用船数， ∴ ； 第二种情况：每条船坐4人，还有8人没有船坐，总人数等于已经上船的人数加没有上船的人数， ∴ ； 因此得到方程组. 4. 如图，木条a、b被木条c所截，已知，若要使，则需使的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由邻补角互补可得，再根据两直线平行、内错角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵， ∴， 要使，需． 5. 二元一次方程的非负整数解有（ ） A. 6组 B. 5组 C. 4组 D. 3组 【答案】B 【解析】 【分析】由非负整数即均为不小于0的整数，先将方程变形，根据非负整数的限制确定的取值范围，再枚举所有可能得到解的个数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵要求方程的非负整数解， ∴，，且均为整数， ∴， 解得， ∴可取的非负整数值为， 将分别代入，得对应为，均为非负整数，因此共有5组非负整数解． 6. 中国古代建筑中蕴含着精妙的数学美学，许多经典楼阁的窗框比例接近黄金比．若某古建筑的窗高与窗宽的比值为，估计的值应该在（　　） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为， 所以， 则， 所以． 7. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， 两边同时减去2得，故A不符合题意； 两边同除以2得，故B不符合题意； 两边同时加2得，故C符合题意， 两边同乘得，故D不符合题意． 8. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，过拐点作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 9. 如图，直线，相交于点，，平分，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义求出的度数，再根据对顶角相等求出的度数，最后根据垂直的定义及角的和差关系即可求解. 【详解】解：平分，， ，  直线，相交于点， ， ，  ， . 10. 如图，下列能判定的条件有多少（ ）个 ①；②；③；④；⑤ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定条件逐个判断即可． 【详解】解：如图：①是内错角，则，不能判定； ②是内错角，能判定； ③是内错角，能判定； ④是同位角，则，不能判定； ⑤是同旁内角，能判定． 综上，能判定的有②③⑤，共3个． 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 为了估计某湿地公园中某种候鸟的种群数量，科研人员在春季捕捉了40只这种候鸟，给它们戴上脚环后放回，一个月后再次捕捉200只这种候鸟，发现其中有8只带有脚环．假设在两次捕捉期间鸟群数量稳定且脚环未脱落，那么该湿地公园中这种候鸟的种群数量大约为________只． 【答案】1000 【解析】 【分析】根据题意列方程求解种群数量即可. 【详解】解：设该湿地公园中这种候鸟的种群数量大约为只， ， 交叉相乘得： ， ∴， 解得：， 该湿地公园中这种候鸟的种群数量大约为只． 12. 已知，则的值是________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：∵， ∴ 13. 如图，四边形中，，，的平分线交于点，连接，，的平分线交的延长线于点F，下列结论：；；平分；．其中正确的结论有__． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由角平分线的定义，结合，可判断；由，结合平行线的性质，可判断；由角平分线的定义，结合平行线的性质，可判断；由，可得，，结合，可判断． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴正确， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴正确， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴错误， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴正确． 14. 若与的和是单项式，则b的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】两个单项式的和仍是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等，据此得到，解方程组，求出的值即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴， 解得． 15. 如图，由内到外依次为正方形，，．若的面积为，的面积为15，且的边长是整数，则的边长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】再结合整数条件求解．先根据正方形面积公式得到边长的范围，再利用“由内到外的嵌套关系”得到边长的大小关系，结合无理数的估算在范围内找出整数边长． 【详解】解：设正方形、、的边长分别为、、， 由题意，，， ，． 正方形由内到外依次嵌套， ，即． ，，且为整数， ． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 在综合实践课上，老师组织同学们开展了探究两角之间数量关系的数学活动． 如图1，已知直线，点分别为直线上的点，点是平面内直线之间任意一点，连接． （1）若，，求的度数； （2）如图2，点是直线上的两点，且．求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，作直线，交于点，则与相等吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）见详解 （3），理由见详解 【解析】 【分析】（1）过点作，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，然后问题可求解； （3）设，则有，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：与之间的数量关系为，理由如下： 设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，平面直角坐标系中中，点，点，且，满足．线段与轴相交于点，将线段平移得到线段，点、分别与点、是对应点，点在轴上，线段交轴于点，． （1）求三角形的面积； （2）求点的坐标； （3）如图2，若点是线段上任意一点，点在轴上，使得三角形的面积是三角形面积的3倍，求点的坐标． 【答案】（1）4 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）首先根据绝对值和平方的非负性得到，求出，得到，，连接，然后利用三角形面积公式求解； （2）如图，连接，设，则，根据题意得到，求出，设点O到的距离为h，求出，得到，，然后利用求出，即可得到； （3）设，首先根据求出，然后得到，代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得， ，， 如图，连接， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵线段平移得到线段，点、分别与点、是对应点，点在轴上， ∴点D的纵坐标为0， 设，则， ∴平移方式为向左平移t个单位，向上平移2个单位， ∴， ， ， 设点O到的距离为h， ∴， ∴， ， ，， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴； 【小问3详解】 解：设， ∵，，， ∴， ∴， 解得， 由平移得，， ， ， ∴， ， ∴， 解得或， ∴或． 18. 已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）在m的取值范围内，当m为何整数时，关于x的不等式的解集为？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解方程组用m表示x，y，根据x为非正数，y为负数，得出不等式组，即可求解； （2）不等式化为，由解为可得，可得m的范围，结合（1）即可求解． 【小问1详解】 解：解方程组得， ∵x为非正数，y为负数， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：由得，， ∵不等式的解集为， ∴， ∴， ∴， 由m为整数得，． 19. 如图，在三角形中，点、点分别是边上的点，点、点是边上的点，连接和，若． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若是的角平分线，，求的度数； 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得出，等量代换可得出，进而可得出． （2）先求出，在根据角平分线的定义得出，然后利用平行线的性质得出． 【小问1详解】 解：，理由如下： ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， 是的角平分线， ， ， ． 20. 如图，在以点为原点的平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，点在轴上，且轴，满足．一动点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点首次回到点时停止），运动时间为秒（）． （1）点的坐标为___________，点的坐标为___________； （2）连接，若把长方形的面积分成的两部分，求出点的坐标； （3）点在运动过程中，是否存在点到轴的距离为个单位长度的情况，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）点P的坐标为或 （3）存在，的值为4或 【解析】 【分析】（1）直接利用非负数的性质即可解答； （2）先根据坐标得到长方形的长和宽，再计算出长方形的面积，然后分两种情况讨论：当时和当时，分别根据三角形面积公式列方程解答即可； （3）分三种情况讨论：①当点P在上时，②当点P在上时，③当点P在上时，用t表示出此时点P到x轴的距离，建立方程解答即可． 【小问1详解】 解：∵满足，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴长方形的面积为， ∵把长方形的面积分成的两部分， ∴一部分的面积为，一部分面积为， ∴可分两种情况讨论：当时和当时， ①当时， 此时点P在上，设点P的坐标为，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； ②当时， 此时点P在上，设点P的坐标为，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，若把长方形的面积分成的两部分，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在， ①当点P在上时，， 根据题意可知，此时，即， ∴， 解得； ②当点P在上时，此时点P到x轴的距离为8， 则， 解得， 根据题意，的最大值为， ∵， ∴不符合题意； ③当点P在上时，， 根据题意可知，此时，即， ∴， 解得； 综上所述，存在点到轴的距离为个单位长度的情况，此时的值为4或． 21. 珍惜水资源，保护水环境，防止水污染，为扩大污水处理规模，某污水处理厂计划投入一笔资金购进A、B两种污水处理装备，已知购进件A种装备和件B种装备共需万元，购进件A种装备和件B种装备共需万元． （1）求购进件A种装备和件B种装备各需多少万元？ （2）若该污水处理厂计划购进A、B两种装备共件，且投入资金不少于万元又不超过11万元，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ （3）在（2）的方案下，由于国家对环保事业的扶持力度加大，每件A种装备降价万元，每件B种装备降价万元，在投入资金最少的情况下，该污水处理厂计划将节省的资金全部用于再次购买A、B两种装备（可以只购买一种）请求出再次购买装备的方案有哪几种？ 【答案】（1）购进1件A种装备需万元，购进1件B种装备需万元 （2）共有3种购买方案： 方案1：购进A种装备4件，B种装备6件； 方案2：购进A种装备5件，B种装备5件； 方案3：购进A种装备6件，B种装备4件 购进A种装备4件，B种装备6件需要的资金最少，最少资金为万元 （3）再次购买共有3种方案：方案1：购买A种装备0件，B种装备21件； 方案2：购买A种装备2件，B种装备12件； 方案3：购买A种装备4件，B种装备3件 【解析】 【分析】（1）设购进1件A种装备需万元，购进1件B种装备需万元，根据题意列出二元一次方程并求解，即可获得答案； （2）设购进A种装备件，则购买B种装备件，根据题意列出一元一次不等式组并求解，结合的取值范围，即可确定答案； （3）由（2）可知，投入资金最少的方案是购进A种装备4件，B种装备6件，进而计算出节省的资金总额；设再次购买A种装备件，B种装备件，根据题意列出二元一次方程并整理，结合为非负整数，即可确定再次购买方案． 【小问1详解】 解：设购进1件A种装备需万元，购进1件B种装备需万元， 根据题意，可得，解得， 答：购进1件A种装备需万元，购进1件B种装备需万元； 【小问2详解】 设购进A种装备件，则购买B种装备件， 根据题意，可得， 解得， ∵a是正整数， ∴共有3种购买方案： 方案1：购进A种装备4件，B种装备6件，总费用为万元； 方案2：购进A种装备5件，B种装备5件，总费用为万元； 方案3：购进A种装备6件，B种装备4件，总费用为万元． ∴方案1，购进A种装备4件，B种装备6件需要的资金最少，最少资金为万元． 【小问3详解】 由（2）可知，投入资金最少的方案是购进A种装备4件，B种装备6件， ∴节省的总资金为：（万元）， 降价后，每件A种装备价格为万元，每件B种装备价格为万元， 设再次购买A种装备件，B种装备件，其中为非负整数， 根据题意得， 整理得，即， 由，可得，即， 当时，符合要求； 当时，，不是整数，不符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，不是整数，不符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，不符合要求， ∴共有3种再次购买方案： 方案1：购买A种装备0件，B种装备21件； 方案2：购买A种装备2件，B种装备12件； 方案3：购买A种装备4件，B种装备3件． 22. 如图，，，，为的平分线． （1）请问与平行吗？试说明理由； （2）请问与平行吗？试说明理由； 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明，根据同位角相等，两直线平行，即可求解； （2）根据角平分线的定义得出，进而得出，根据同位角相等，两直线平行，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 因为，所以， 因为，所以，所以； 【小问2详解】 ；理由： 因为，所以， 因为为的平分线，所以， 因为，所以，所以． 23. 对于任意实数a，b，定义一种新运算：． 例如：． （1）_________，_________； （2）若的结果小于2，请根据上述定义列不等式求出x的取值范围． 【答案】（1）；3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）由题意可得 ，按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【小问1详解】 解： ， ， 【小问2详解】 解：由题意得 ， ∵． ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $