第三章 勾股定理 单元测试 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦勾股定理，融合数学文化与实际应用，梯度覆盖基础概念到综合创新，适配苏科版五四学制八年级上册第3章复习，助力数学眼光、思维与语言核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|直角三角形判定、古算题转化|如第3题以《九章算术》门高问题考查方程建模| |填空题|10/30|最短路径、勾股树面积|如第13题圆柱蚂蚁爬行路径体现空间观念| |解答题|8/66|古算应用、构图法探究|如第26题通过网格构图发展几何直观与推理能力|

学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年八上单元测试一勾股定理 数学 (考试时间：90分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他 答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3.作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4测试范围：苏科版五四学制2024八年级上册第3章一勾股定理 一、单选题（共24分） 1.(本题3分)在几何图形学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形.下列长度（单位：cm)的各组 线段中，能构成直角三角形的是() A.1,2,3 B.2,3,4 C.6,7,8 D.5,12,13 2.(本题3分)下列四组线段中，不能构成直角三角形的是() A.3,4,5 B.1,1,2 C.2,3,4 D.0.6.0.8.1 3.(本题3分)《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈.问户高、 广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是多少？(1丈=10尺) 如果我们假设门的宽为x尺，根据题意，可列方程为() A.x2+(10-x}=6 B.x+(x+6}=102 C.t2+102=(x+6 D.r+6=(10-x)2 4.(本题3分)勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即 弦”，转化为数学语言是c=V+(“为勾，b为股，C为弦).若“勾”为4，“股”为5，则“弦” 为() 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 43 B V3 C.V4I D9 5.(本题3分)如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,折叠△ABC的一角，使点B 与点A重合，展开后得折痕DE,则BD的长是() C 3W5 3 25 A.2 B.2 C.35 D.4 6.(本题3分)如图，在△ABC中，D为AB的中点，BE⊥AC,若DE=5,AE=8,则BE的长度为 () D E B A.5 B.6 C.6.5 D.8 7.(本题3分)将一副直角三角板如图放置，∠ADB=∠ADC=90°，AD=DC,作∠ABD的平分线交 D于点5，若4C=32 DE ,则的长为() 3 A.3 B.2 c.1 D.2 &.(本题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB,BC,CA为边向外作正方形ABDE、正方 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 形BCFG、正方形4CHM,它们的面积分别记为氵， S,品，点N在直线BC上，连接MN,N.若 ，则aAWM S3+S1-S2=14 的面积为() G H B E A.3 B.3.5 c.5 D.7 二、填空题（共30分） 9.(本题3分)小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当他把绳子的下端拉 开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 10.(本题3分)在Rt△ABC中，∠C=90°，若两边长为5和13，则第三边的长为一 11.(本题3分)如图，在Rt△ABC中，AB=6,BC=9,∠B=90°，将△ABC沿MN所在直线折叠 (点M、N分别在ACBC上)，使点C与AB的中点D重合，则线段BN的长为一· D 12.(本题3分)如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端4尺处折断处离地面的高度是 尺(1丈=10尺) 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 13.(本题3分)如图，圆柱的底面周长是16cm,高是6Cm,一只蚂蚁在A点想吃到B点的食物，需要爬 行的最短路径是 cm 14.(本题3分)如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小 正方形的面积是25，若用心y表示直角三角形的两条直角边 x>y) 请观察图案，求”= 15.(本题3分)如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、3、6，则最大正方形E的面积是 B D E 16。(木题3分》课本中有这样一句话：“利用幻服定理可以作出5,5.…线段（如图所示）.”甲。 01=,过A作M101且M=,根提勾股定理，得O4=2,再过4作44104且44-1，符 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 04,=5 ；…以此类推，则 A026= A A21 A3 17.(本题3分)某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远 航”号以每小时l8nmie的速度沿北偏西30°方向航行，“海天”号以每小时24 n mile的速度沿北偏东 方向航行，它们离开港口半小时后分别位十R,?处，此时两被艳船相距 60° n mile V角 18,(本题3分)如图，在△MBC中，4B=4C=厅，BC=6,P为BC边上一点，连结4P,使MP长 为整数的点P一共有 一个 三、解答题（共66分） 19.(本题6分)我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题.原文是：今有池方一丈，葭生 其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.译为：如图，有一个水池，水面是一个 边长为0尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点， 它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多少？ 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 20.(本题6分)如图，在5×8的网格中，已知格点线段AB(格点为网格线的交点)· B ①利用网格画出格点线段1C,使1C=5。 点C不在网格的边框上)： (2)在(1)的条件下，∠CAB=°，并证明此结论. 21.(本题6分)在实验室的测量实验中，有两个可移动的标记小球P、Q,它们之间用一根不可伸缩的 细杆连接，小球P只能在竖直方向的轨道上移动，小球Q只能在水平方向的轨道上移动，两轨道的交点为 O.如图，忽略小球的体积，将其抽象成几何图形.初始状态下，小球P到交点O的距离为20m,小球 Q到交点O的距离为15cm.当小球P沿着竖直轨道向下移动13cm至点P'处时，小球Q随之移动到点⑨ 的位置，求Q的长. 22.(本题8分)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4,BC=3,CD=12,AD=13. BO D 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 (1)求AC的长： (2)求四边形ABCD的面积. 23.(本题8分)如图是某公园的局部平面图，四边形ABCD为草坪，己知AB=16米，AD=15米， CD=25米，BC=12米，∠B=90° B A正门 C桃花园 (I)为了让市民去点C看桃花更方便，公园管理处决定从正门点A处修一条笔直小路通往点C处，求小路 AC的长度； (2)求四边形草坪ABCD的面积. 24.(本题10分)如图，在四边形ABCD中，AB=6,BC=10,CD=15,AD=17,∠CAB=90° (I)求AC的长： (2)求四边形ABCD的面积. 25.(本题10分)如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形.己知直 角三角形的两直角边长分别为，b,斜边长为c.课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的 面积，证明了勾股定理2+b2=c2. 图1 图2 图3 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程. (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2.若a=4,b=6,求空白部分的面积. )琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3. 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3,求该风车状图案的面积. 26.(本题12分)【综合探究】“在△1BC中，AB、BC、A 三边的长分别为5，Vi0.B 求这 个三角形的面积.” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点 △ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示，这样不需要求△ABC的高，而借用网 格就能计算出它的面积.我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法， m D 12-x9 3 图1 图2 (I)直接写出图1中△ABC的面积是 Q)类比迁移：若△MNP的边长分别为Vm+16 、9m+4r.V4m+4n(m>0,且m≠n)运用构图 法在图2中画出相应的△MNP,并求出△MNP的面积； (3)问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式 、?+4+V(12-x+9的最小值：小强同学发现V?+4可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长， √12-+9可看作两直角边分别是12一x和3的直角三角形的斜边长.于是构造出如图，将问题转化为 求RtAACD的斜边AC和Rt△BCE的斜边BC的和的最小值，易得A、C、B三点共线时，AC+BC取得最小 值，即线段AB的长，进而求得V:+4+2-+9的最小值是 ④拓展应用：求代数式x+3+4+5-x+16(0<x<5)的最小值。学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年八上单元测试—勾股定理 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：苏科版五四学制2024八年级上册第3章—勾股定理 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）在几何图形学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形．下列长度（单位：cm）的各组线段中，能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用勾股定理的逆定理，验证每组中两短边的平方和与最长边平方是否相等． 【详解】解： A、，不满足三边关系，不能构成三角形，不符合题意； B、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，，，能构成直角三角形，符合题意． 2．（本题3分）下列四组线段中，不能构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．1，1， C．2，3，4 D．0.6，0.8，1 【答案】C 【分析】首先明确判断依据为勾股定理的逆定理：如果三角形三条边长满足（其中为最长边），那么这个三角形是直角三角形．对每组线段，先确定三条边中的最长边．分别计算两条较短边的平方和，以及最长边的平方，比较二者是否相等，若不相等则该组不能构成直角三角形． 【详解】解：A、，A能构成直角三角形． B、，B能构成直角三角形． C、，C不能构成直角三角形． D、，D能构成直角三角形． 3．（本题3分）《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是多少？（1丈尺）如果我们假设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用表示出门的高，由于门为矩形，宽、高、对角线构成直角三角形，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门的宽为尺，高比宽多尺，则门的高为尺， 根据勾股定理可得． 4．（本题3分）勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，转化为数学语言是（为勾，为股，为弦）．若“勾”为，“股”为，则“弦”为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知勾和股的数值，直接代入题目给出的弦的计算公式求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， 因此“弦”为． 5．（本题3分）如图，在直角三角形中，，，，折叠的一角，使点B与点A重合，展开后得折痕，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据折叠的性质，设，则，再根据勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】解：连接， 设，则， 由折叠知，， 在中，，， ，则， ， 则的长是． 6．（本题3分）如图，在中，为的中点，，若，，则的长度为（     ） A．5 B．6 C．6.5 D．8 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：， ， 为的中点，， ， 在中，由勾股定理得：． 7．（本题3分）将一副直角三角板如图放置，，，作的平分线交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角板可知：，，利用勾股定理可得，易得；利用角平分线的定义可得，根据含30度直角三角形的性质可得，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由三角板可知：，， ∵， ∴，解得：， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴，解得：． 8．（本题3分）如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】根据勾股定理得出，根据正方形的性质得出，根据，求出， 根据三角形面积公式求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵正方形中，，， ∴． 二、填空题（共30分） 9．（本题3分）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为__________． 【答案】 /米 【分析】旗杆垂直地面，绳子拉开后形成直角三角形，直角边分别为旗杆高和水平拉开的距离，斜边为绳长，已知绳长比旗杆高多，水平距离为，设旗杆的高为 ，用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设旗杆的高为，则绳子的长度为， ∵旗杆垂直于地面， ∴绳子、旗杆、地面构成直角三角形， 由勾股定理可得： ， 解得： ， 即旗杆的高为． 10．（本题3分）在中，，若两边长为5和13，则第三边的长为 _____． 【答案】12或 【分析】根据直角三角形的性质，分为13为斜边和13为直角边两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意，当13为斜边时，第三边为， 当13为直角边时，第三边为， 故第三边的长为12或． 11．（本题3分）如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 【答案】4 【分析】设，则由折叠可得，，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵，点D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴线段的长为． 12．（本题3分）如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端4尺处折断处离地面的高度是______尺（1丈＝10尺） 【答案】4.2 【分析】设尺，则尺，由勾股定理得，即，解方程即可得到答案. 【详解】解：设尺，则尺， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴折断处离地面的高度是尺. 13．（本题3分）如图，圆柱的底面周长是，高是，一只蚂蚁在点想吃到点的食物，需要爬行的最短路径是________． 【答案】10 【分析】作出圆柱的侧面展开图，根据两点之间线段最短，可知在展开图中A点和B点连接的线段即为需要爬行的最短路径，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，作出圆柱的侧面展开图，连接，，其中， 由题意可知：， ∴需要爬行的最短路径是， ∴由勾股定理得， ∴需要爬行的最短路径是． 14．（本题3分）如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 【答案】28 【分析】根据“大正方形面积个全等直角三角形面积小正方形面积”结合直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：题中图形是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案， ∵大正方形面积为81，小正方形面积为25， ∴， ∴． 15．（本题3分）如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是_________． 【答案】 25 【分析】先根据勾股定理求出，同理可得正方形H的面积是9，则此题可解． 【详解】解：如图所示，令正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形G的边长为c， 根据勾股定理，得， 即， ∴正方形G的面积是16，同理可得正方形H的面积是9， 所以正方形E的面积是． 16．（本题3分）课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，……线段（如图所示）．”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；…以此类推，则_______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求得、、，观察归纳得，即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形，，， ∴； ∵是直角三角形，，， ∴； ∵是直角三角形，，， ∴； ⋯， ∴， ∴． 17．（本题3分）某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 【答案】 【分析】先由速度与时间算出、的长度，再根据方位角推出，最后用勾股定理求出两船距离． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， 在中，， 即此时两艘轮船相距． 18．（本题3分）如图，在中，，，P为边上一点，连结，使长为整数的点P一共有_________个． 【答案】3 【分析】先作等腰底边上的高，利用三线合一求出底边一半长，借助勾股定理算出高，得到取值范围，确定整数只能为2、3；对应垂足处1个点，，通过勾股计算得出底边左右两侧各个点，汇总得到符合条件的点P． 【详解】过点作于点， ， ∴ 在中，由勾股定理得： ， 根据垂线段最短，的最小值为； 当与或重合时，取得最大值， ∵的取值范围：， 若长为整数，则或： 时，点与垂足重合，满足条件，有个点； 时，设，在中： 解得，， 说明在、上各存在1个符合条件的点，共2个点． 综上，满足条件的点P一共有3个． 三、解答题（共66分） 19．（本题6分）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多少？ 【答案】这根芦苇的长度为尺，水深为尺． 【分析】设水深为尺，则芦苇的长度为尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇的长度为尺， ∵水面是一个边长为尺的正方形，芦苇在水池正中央， ∴尺， 在中，, ∴， 解得：， ∴（尺）． 答：这根芦苇的长度为尺，水深为尺． 20．（本题6分）如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）． (1)利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）； (2)在（1）的条件下，_____°，并证明此结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）结合网格与勾股定理的性质列式计算，作图即可； （2）运用勾股定理与勾股逆定理得又因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图： ∴． （2）证明：连接， 由画法知， 由勾股定理得， 是直角三角形，且 ∵， ． 21．（本题6分）在实验室的测量实验中，有两个可移动的标记小球P、Q，它们之间用一根不可伸缩的细杆连接，小球P只能在竖直方向的轨道上移动，小球Q只能在水平方向的轨道上移动，两轨道的交点为O．如图，忽略小球的体积，将其抽象成几何图形．初始状态下，小球P到交点O的距离为，小球Q到交点O的距离为．当小球P沿着竖直轨道向下移动至点处时，小球Q随之移动到点的位置，求的长． 【答案】 【分析】根据已知条件利用勾股定理求得的长，由于，结合已知条件求得的长，利用勾股定理求得的长，最后利用即可求得的长． 【详解】解：由题意知，，，， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， ∴． 22．（本题8分）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)的长为5； (2)四边形的面积为36 【分析】（1）在中，根据勾股定理求得的长即可； （2）在中，根据得到是直角三角形，利用进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）解：在中，由于，即， ∴是直角三角形， ∴． 23．（本题8分）如图是某公园的局部平面图，四边形为草坪，已知米，米，米，米，． (1)为了让市民去点看桃花更方便，公园管理处决定从正门点处修一条笔直小路通往点处，求小路的长度； (2)求四边形草坪的面积． 【答案】(1)20米； (2)246平方米． 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可； （2）先判断出是直角三角形，再分别求出两个直角三角形的面积，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 根据勾股定理可得（米）， 答：小路的长度为20米； （2）解：由（1）知，， ， ， 是直角三角形，且， （平方米）． 答：四边形草坪的面积是246平方米． 24．（本题10分）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理进行解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理求出．再根据即可求出答案． 【详解】（1）解：在中，，，． ． （2）解：在中，，，， ，． ． ． ． 25．（本题10分）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 26．（本题12分）【综合探究】“在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是______； (2)类比迁移：若的边长分别为，，(，且)运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积； (3)问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得A、C、B三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）通过网格构图，用大长方形面积减去周围直角三角形面积计算的面积； （2）将含参数的边长转化为直角三角形斜边，构造大长方形后用面积差法求解的面积； （3）将代数式转化为直角三角形斜边之和，利用“两点之间线段最短”，构造直角三角形计算最短路径长度； （4）将代数式转化为平面直角坐标系中点的距离之和，通过对称点转化为两点间线段长度，用勾股定理求解最小值． 【详解】（1）解：网格中每个小正方形的边长为1，包围的大长方形长为3、宽为3，其面积为． 周围三个直角三角形的面积分别为：，，． ∴的面积； （2）解：将看作直角边为和的斜边，看作直角边为和的斜边，看作直角边为和的斜边， 包围的大长方形长为、宽为，其面积为． 周围三个直角三角形的面积分别为：，，． ∴的面积； （3）解：如图，，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， ∴当A，C，B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作，交延长线于点O，得矩形， ，， ， ， ∴代数式的最小值为； （4）解：将代数式转化为平面直角坐标系中，点()到点的距离与到点的距离之和，即． 作点关于轴的对称点，连接，根据对称性质可知， ∴，根据“两点之间线段最短”，当为与轴的交点时，取得最小值，即的长度， ， ∴代数式的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $