第三章 勾股定理 单元综合测试卷-2026-2027学年八年级上册数学苏科版

**基本信息** 初中数学勾股定理单元卷，含选择（9题27分）、填空（8题24分）、解答（4题49分），覆盖定理应用、逆定理及实际问题，注重几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/27|直角三角形判定（如1题线段组合）、命题辨析（如2题等腰三角形性质）|结合图形直观（如3题正方形面积关系）| |填空题|8/24|实际应用（如1题旗杆折断）、分类讨论（如2题第三边长度）|联系生活情境（如5题方向距离）| |解答题|4/49|面积计算（如1题Rt△面积与高）、定理验证（如3题拼图证明）、实际问题（如4题噪音影响）|突出综合应用（如2题梯子双墙问题）|

第三章 勾股定理 一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分） 1．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 2．（3分）下列命题中的假命题是（　　） A．等腰直角三角形是直角三角形 B．等边三角形是等腰三角形 C．等腰三角形是锐角三角形 D．等边三角形是锐角三角形 3．（3分）如图，x、y、z分别表示以直角三角形三边为边长的正方形面积，则下列结论正确的是（　　） A．x2＝y2+z2 B．x＜y+z C．x﹣y＞z D．x＝y+z 4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（　　） A．4 B．3 C．5 D．4.5 5．（3分）一个直角三角形的两直角边长分别是3，4，那么该直角三角形的斜边长为（　　） A．3 B．4 C． D．5 6．（3分）如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块，已知AD＝12m，AB＝3m，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A出发，并沿着木块的表面爬过木块到达C处，需要走的最短路程是（　　） A．10m B．13m C． D． 7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为CD的中点．将△BCE沿BE折叠，使点C落在矩形内的点F处，连接DF，则DF的长为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，CD为△ABC的中线，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点E，过点B作BF⊥CD于点F．若△ACE的面积为13，△ADE的面积为4，则△BCF的面积为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 9．（3分）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，若AB＝10，AO＝6，则OB长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面3m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处，旗杆折断之前的高度是　 　 m． 2．（3分）一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则这个三角形第三边的长为 　 　 ． 3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，CH⊥AB于H，如果，那么BH＝　 　 ． 4．（3分）如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 5．（3分）甲、乙在同一点，如果甲往西走了5米，乙向南走了12米，这时甲、乙相距　 　 米． 6．（3分）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，OA＝8.5米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为 　 　 米． 7．（3分）如图，在△ABC中AB＝2，∠C＝45°，高AD＝6，则△ABC的面积为 　 　 ． 8．（3分）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为　 　 ． 三．解答题（共4小题，满分49分） 1．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．已知AC：BC＝5：2，AB的长为，求△ABC的面积及CD的长． 2．（12分）如图，一架梯子AB斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处，AO⊥OD，CD⊥OD，测得顶端A距离地面的高度AO为2米，OB为1.5米，且顶端C距离地面的高度CD比AO多0.4米，求OD的长． 3．（13分）如图①，是两个全等的直角三角形硬纸板（直角边分别为a，b，斜边为c）． （1）用这样的两个三角形构造成如图②的图形，请利用这个图形验证勾股定理． （2）假设图①中的直角三角形有若干个，请运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能验证勾股定理的图形，画出拼后的图形并利用这个图形验证勾股定理． 4．（14分）如图，公路MN与公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音影响？说明理由；如果受影响，且知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间是多少秒？ 参考答案 一．选择题 1．【解答】解：A、42+52＝41≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误； B、1.52+22＝6.25＝2.52，可以构成直角三角形，故B选项正确； C、22+32＝13≠42，不可以构成直角三角形，故C选项错误； D、12+（）2＝3≠32，不可以构成直角三角形，故D选项错误． 故选：B． 2．【解答】解：A、等腰直角三角形是直角三角形是真命题，故本选项错误； B、等边三角形是等腰三角形是真命题，故本选项错误； C、等腰三角形不一定是锐角三角形，所以该命题是假命题，故本选项正确； D、等边三角形是锐角三角形是真命题，故本选项错误． 故选：C． 3．【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2， ∴x＝y+z， 故选：D． 4．【解答】解：∵△DAB的面积为10，DA＝5，∠C＝90°， ∴S△DABAD•BC＝10， 5BC＝10， BC＝4， 在Rt△BDC中，由勾股定理得：DC3， 故选：B． 5．【解答】解：由勾股定理得， 该直角三角形的斜边长为． 故选：D． 6．【解答】解：展开后，长度为AB+1+1＝3+2＝5米，BC＝AD＝12米，AB⊥BC， ∴AC13（米）， 故需要走的最短路程是为：13米． 故选：B． 7．【解答】解：如图，连接CF交BE于点G， 由折叠得：BF＝BC＝2，EF＝ECCDAB， ∴BE是CF的中垂线， ∴BE⊥CF，FG＝CG， ∵BE， ∴S△CBE2CG， ∴CG， ∴CF＝2CG， ∵DE＝EF＝CE， ∴∠EDF＝∠DFE，∠EFC＝∠ECF， ∴△DFC中，∠DFC＝90°， 由勾股定理得：DF， 故选：A． 8．【解答】解：∵△ACE的面积为13，△ADE的面积为4， ∴S△ACD＝S△ACE﹣S△ADE＝13﹣4＝9， ∵CD为△ABC的中线， ∴S△ACD＝S△BCD＝9，AD＝BD， ∵S△ACDAE•CD，S△BCDBF•CD， ∴AE＝BF， 在Rt△AED中，由勾股定理得：DE， 在Rt△BFD中，由勾股定理得：DF， ∴DE＝DF， ∴S△ADEAE•DEBF•DF＝S△BFD＝4， ∴S△BCF＝S△BCD﹣S△BFD＝9﹣4＝5， 故选：C． 9．【解答】解：∵在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝10，AO＝6， ∴OB， 故选：C． 二．填空题 1．【解答】解：根据题意得，旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为BC＝4m， 旗杆离地面AC＝3m折断，且旗杆与地面是垂直的， ∴△ABC是直角三角形． 根据勾股定理，折断的旗杆为AB5（m）， 所以旗杆折断之前高度为3+5＝8（m）． 故答案为：8． 2．【解答】解：当3，5时两条直角边时， 第三边； 当3，5分别是一斜边和一直角边时， 第三边4． 故答案为：4或． 3．【解答】解：∵CH⊥AB， ∴∠CHA＝∠CHB＝90°， ∵， ∴设CH＝x，则AC＝2x， ∴， ∴， 在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2， 在Rt△BCH中，BC2＝CH2+BH2， ∴AB2﹣AC2＝CH2+BH2，即：， 解得：x＝0（舍去）或； ∴； 故答案为：1． 4．【解答】解：在Rt△ADC中， ∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m， ∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100， ∴AC＝10m，（取正值）． 在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676． ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°． ∴S阴影AC×BCAD×CD10×248×6＝96（m2）． 故答案为：96m2 5．【解答】解：如图（图中数字单位为米）所示甲、乙分别向西、向南走了5米、12米后，相距为距离AB， 根据勾股定理得AB13米． 故答案为：13． 6．【解答】解：作AF⊥BO于点F，CG⊥BO于G， ∵∠AOC＝∠AOF+∠COG＝90°， ∠AOF+∠OAF＝90°， ∴∠COG＝∠OAF， 在△AOF与△OCG中， ， ∴△AOF≌△OCG（AAS）， ∴OG＝AF＝BD＝4米， 则CE＝GB＝OB﹣OG＝8.5﹣4＝4.5（米）． 故答案为：4.5． 7．【解答】解：∵AD是三角形ABC边BC上的高， ∴AD⊥BC， ∵∠C＝45°， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴CD＝AD＝6， 在Rt△ADB中， BD2， 则BC＝BD+CD＝8， ∴△ABC的面积BC×AD8×6＝24， 故答案为：24． 8．【解答】解：如图，∵BC2＝36，BD2＝64，∠CBD＝90°， ∴CD2＝BC2+BD2＝100， 则A所代表的正方形的面积为100， ∴A所代表的正方形的边长为10， 故答案为：10． 三．解答题 1．【解答】解：设AC＝5xcm，则BC＝2xcm， ∵∠ACB＝90°，ABcm， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴（5x）2+（2x）2＝（）2， 解得x2， ∴S△ABC5x2＝5（cm2）， ∵CD⊥AB，S△ABC ∴， 解得CDcm， 由上可得，△ABC的面积是cm2，CD的长为cm． 2．【解答】解：由题意可得：在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝2米，OB＝1.5米， ∴（米）， ∴CD＝AO+0.4＝2.4米， ∵BC＝AB＝2.5米， ∴（米）， ∴OD＝OB+BD＝1.5+0.7＝2.2（米）． 3．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是梯形， ∴梯形的面积（a+b）（a+b）＝2abc2， 即（a2+2ab+b2）＝abc2， ∴a2+b2＝c2； （2）如图所示，可以证明a2+b2＝c2． 验证：大正方形的面积＝4ab+（b﹣a）2 大正方形的面积＝c2， ∴4ab+（b﹣a）2＝c2， 整理得：a2+b2＝c2． 4．【解答】解：学校受到噪音影响．理由如下： 作AH⊥MN于H，如图， ∵PA＝160m，∠QPN＝30°， ∴AHPA＝80m， 而80m＜100m， ∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响， 以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于B、C，如图， ∵AH⊥BC， ∴BH＝CH， 在Rt△ABH中，AB＝100m，AH＝80m， BH60m， ∴BC＝2BH＝120m， ∵拖拉机的速度＝18km/h＝5m/s， ∴拖拉机在线段BC上行驶所需要的时间24（秒）， ∴学校受影响的时间为24秒． 学科网（北京）股份有限公司 $