3.3.1抛物线及其标准方程导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“抛物线及其标准方程”，核心内容包括抛物线的定义、几何图形、标准方程及距离和差最值问题。课堂导入通过彗星临界轨道问题，衔接椭圆、双曲线等已学圆锥曲线知识，以问题驱动构建知识脉络，形成学习支架。 资料亮点在于知识梳理与例题变式结合，注重概念理解与实际应用。通过现实情境引入培养数学眼光，例题变式训练数学思维，实际问题（如隧道截面）提升数学语言表达能力，助力学生深化概念，提升解题与应用能力。

第三章　圆锥曲线的方程 3.3抛物线 3.3.1抛物线及其标准方程 学习目标 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程。 问题 行星椭圆轨道、星际彗星双曲线轨道之外，还存在一种临界轨道：彗星刚好拥有脱离太阳引力的速度，轨道为抛物线。 满足什么条件的点会形成抛物线？ 参考答案 天体轨道对应三类圆锥曲线： 动能不足，轨道闭合为椭圆；动能充足，轨道开放为双曲线； 动能恰好达到逃逸临界，轨道就是抛物线。 从几何角度看：满足动点到定点距离等于到定直线距离的点，构成抛物线。 一、抛物线的定义 知识梳理 (1)平面内与一个定点F和一条定直线(F∉)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线的距离). 【例1】若动点满足，则点M的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】由题意，动点满足， 即，即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，又由点不在直线上， 根据抛物线的定义，可得动点的轨迹为以为焦点，以的抛物线.故选：D. 【变式1-1】设圆C与圆外切，与直线相切，则圆C的圆心的轨迹为（ ） A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 【答案】A 【解析】设的坐标为，圆的半径为圆的圆心为， 圆与圆外切，与直线相切，到直线的距离 ，即动点到定点的距离等于到定直线的距离 由抛物线的定义知：的轨迹为抛物线.故选：A 【变式1-2】在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．求的方程； 【答案】 【解析】设,则，两边同平方化简得，故 2、 抛物线的标准方程 知识梳理 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 【例2】抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，抛物线的焦点坐标为故选：C 【变式2-1】已知抛物线的顶点和焦点分别为，则以线段为直径的圆的方程是 ． 【答案】 【解析】由抛物线可得：顶点坐标为，焦点坐标为.所以线段的中点坐标为，.则以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径为，所以以线段为直径的圆的方程为：. 【例3】以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】依题意设抛物线方程为．因为焦点到准线的距离为4，所以，所以，所以抛物线方程为或．故选：C 【变式3-1】顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是________________. 【答案】y2＝－x或x2＝y 【解析】设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y. 【例4】如图（1），四边形是一个矩形，，，M，N分别是，的中点，以某动直线l为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点M都落在边上，记为.过作垂直于交直线l于点P，设点P的轨迹是曲线E.以的中点O为原点，平行于的直线为x轴，直线为y轴建立直角坐标系，如图（2）所示.求曲线E的方程. 【答案】(1)（） 【解析】连接，由l是线段的垂直平分线得，即点P到点M的距离与点P到直线的距离相等，于是点P的轨迹是以点M为焦点，直线为准线的一段抛物线. 由于，，， 所以曲线E的方程为（）. 3、 抛物线距离和差最值问题 （1）解决到焦点与定点距离之和最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题. （2）到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取最值. 【例5】点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2，1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则： (1)|PA|＋|PF|的最小值为________； (2)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________. 【答案】(1)3　(2)－　 【解析】(1)如图1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|，从而最小值为A到准线的距离为3. (2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在FA延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－|AF|＝－.当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF|＝.故|PA|－|PF|最小值为－，最大值为. 【变式5-1】已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离， 过焦点作直线的垂线， 如下图所示，此时最小，为点到直线的距离. ，则． 【变式5-2】已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】连接PF，根据抛物线定义可知： 点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点的距离， 连接圆心与焦点，交圆于点，交抛物线于点，如图所示， 此时点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和最小即为的长度， 其中，故， 巩固加练 1.设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为(　　) A.x＝－4 B.x＝－3 C.x＝－2 D.x＝－1 【答案】A 【解析】直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4，0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4，0)，∴准线方程为x＝－4. 2.已知圆与抛物线的准线相切，则（ ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【解析】因为圆的圆心为，半径为，抛物线的准线为，所以，∴，故选：C. 3.若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵点到点的距离比它到直线的距离大1， ∴点到点的距离等于它到直线的距离， ∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 则点的轨迹方程是.故选：D. 4.已知动圆⊙经过定点，且和直线相切，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为动圆⊙经过定点，且和直线相切，所以点到点的距离等于它到直线的距离，即的轨迹为以点为焦点，直线为准线的抛物线， 所以，解得，轨迹方程为．故选：B 5.如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（假设车顶为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设抛物线的方程为，可知点在该抛物线上，则，解得， 所以，抛物线的方程为，将代入抛物线方程得，解得， 因此，车辆通过隧道的限制高度为.故选：B. 6.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则＝(　　) A.2 B.3 C.4 D.8 【答案】D 【解析】由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为， 所以＝，解得p＝0(舍去)或p＝8. 答案　D 7.过点的抛物线的标准方程是__________. 【答案】或 【解析】当抛物线焦点在x轴上时，设方程为，则有，解得，即有，当抛物线焦点在y轴上时，设方程为，则有，解得，即有，所以过点的抛物线的标准方程是或. 故答案为：或 8.抛物线上的点到直线距离的最小值是________. 【答案】 【解析】如图，设与直线平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得消去y整理得，则，解得b＝－，故切线方程为4x＋3y－＝0，抛物线上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝＝. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　圆锥曲线的方程 3.3抛物线 3.3.1抛物线及其标准方程 学习目标 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程。 问题 行星椭圆轨道、星际彗星双曲线轨道之外，还存在一种临界轨道：彗星刚好拥有脱离太阳引力的速度，轨道为抛物线。 满足什么条件的点会形成抛物线？ 一、抛物线的定义 知识梳理 (1)平面内与一个定点F和一条定直线(F∉)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线叫做抛物线的 . (2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线的距离). 【例1】若动点满足，则点M的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式1-1】设圆C与圆外切，与直线相切，则圆C的圆心的轨迹为（ ） A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 【变式1-2】在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．求的方程； 2、 抛物线的标准方程 知识梳理 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 【例2】抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知抛物线的顶点和焦点分别为，则以线段为直径的圆的方程是 ． 【例3】以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（ ） A． B． C．或 D．或 【变式3-1】顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是________________. 【例4】如图（1），四边形是一个矩形，，，M，N分别是，的中点，以某动直线l为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点M都落在边上，记为.过作垂直于交直线l于点P，设点P的轨迹是曲线E.以的中点O为原点，平行于的直线为x轴，直线为y轴建立直角坐标系，如图（2）所示.求曲线E的方程. 3、 抛物线距离和差最值问题 （1）解决到焦点与定点距离之和最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题. （2）到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取最值. 【例5】点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2，1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则： (1)|PA|＋|PF|的最小值为________； (2)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________. 【变式5-1】已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 巩固加练 1.设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为(　　) A.x＝－4 B.x＝－3 C.x＝－2 D.x＝－1 2.已知圆与抛物线的准线相切，则（ ） A． B． C．4 D．8 3.若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 4.已知动圆⊙经过定点，且和直线相切，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 5.如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（假设车顶为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为（ ） A． B． C． D． 6.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则＝(　　) A.2 B.3 C.4 D.8 7.过点的抛物线的标准方程是__________. 8.抛物线上的点到直线距离的最小值是________. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $