3.3.1 抛物线及其标准方程课时同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学抛物线及其标准方程新授课同步练，共16题，以基础概念为起点，通过选择、填空、解答题的梯度设计，实现从单一知识点到跨圆锥曲线综合应用的巩固路径，培养抽象能力与模型观念，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|抛物线定义、标准方程等单一概念|选择题1-4直接考查标准方程求解、准线方程，强化概念辨析| |提升层|焦点准线关系、最值问题等性质应用|选择题5-8结合定义求轨迹、最值，填空题12-14深化几何性质理解| |综合层|与椭圆/双曲线结合的综合问题|解答题15-16涉及实际问题建模（探照灯）及跨曲线综合，发展推理能力|

3.3.1 抛物线及其标准方程 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为(　　) A.x2＝－12y或y2＝16x B.x2＝12y或y2＝－16x C.x2＝9y或y2＝12x D.x2＝－9y或y2＝－12x 2.抛物线y＝－x2的准线方程是(　　) A.x＝ B.x＝ C.y＝2 D.y＝4 3.在平面直角坐标系中，到点(1,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是(　　) A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线 4.抛物线的焦点为，点在此抛物线上，，则点的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.已知点P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为点H，点A的坐标为(12,6)，则|PA|＋|PH|的最小值是(　　) A.13 B.12 C.11 D.10 6.如图所示，探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源放在焦点F处．已知灯口直径为60 cm，光源距灯口的深度为40 cm，则光源到反射镜的顶点的距离为(　　) A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.20 cm 7.若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线－＝1的一个焦点，则p等于(　　) A.2 B.10 C. D.2 8.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 二、多选题（共3小题） 9.点M(1,1)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为2，则a的值可以为(　　) A. B.－ C. D.－ 10.设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若y轴上存在点A(0,2)，使得·＝0，则p的值可以为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 11.（2024-2025·广西南宁高二下期末）已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（ ） A.抛物线C的准线方程为 B.F的坐标为 C.若，则 D. 三、填空题（共3小题） 12.已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为                  ． 13.在抛物线y2＝－12x上，且与抛物线的焦点的距离等于9的点的坐标是                  ． 14.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为                  ． 四、解答题（共2小题） 15.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M. (1)求抛物线的方程； (2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标． 16.（2024-2025·上海普陀高二下期末）已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过抛物线焦点的直线与抛物线相交于、两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.1 抛物线及其标准方程 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为(　　) A.x2＝－12y或y2＝16x B.x2＝12y或y2＝－16x C.x2＝9y或y2＝12x D.x2＝－9y或y2＝－12x 【答案】A 【解析】对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0). 当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y； 当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则＝4，所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x. 故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. 2.抛物线y＝－x2的准线方程是(　　) A.x＝ B.x＝ C.y＝2 D.y＝4 【答案】C 【解析】将y＝－x2化为标准方程x2＝－8y，由此可知准线方程为y＝2. 3.在平面直角坐标系中，到点(1,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是(　　) A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线 【答案】A 【解析】∵点(1,1)在直线x＋2y＝3上，∴所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x＋2y＝3垂直的直线． 4.抛物线的焦点为，点在此抛物线上，，则点的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】设点的横坐标为，根据焦半径公式得，解得：. 故选：B. 5.已知点P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为点H，点A的坐标为(12,6)，则|PA|＋|PH|的最小值是(　　) A.13 B.12 C.11 D.10 【答案】B 【解析】将抛物线y＝x2化为标准形式x2＝4y， 得抛物线的焦点为F(0,1)，准线为l：y＝－1，如图所示， 连接PF，延长PH交准线于点G，根据抛物线的定义， 得|PA|＋|PH|＝|PA|＋|PG|－1＝|PA|＋|PF|－1， ∵|PA|＋|PF|≥|AF|. ∴当且仅当P，A，F三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值． ∵|AF|＝＝13， ∴|PA|＋|PH|的最小值为13－1＝12. 6.如图所示，探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源放在焦点F处．已知灯口直径为60 cm，光源距灯口的深度为40 cm，则光源到反射镜的顶点的距离为(　　) A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.20 cm 【答案】A 【解析】如图所示，以反射镜顶点为原点，以顶点和焦点所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，依题意得点在抛物线上， 代入抛物线方程得302＝2p， 解得p＝10或p＝－90(舍去)， ∴＝5，故光源到反射镜顶点的距离为5 cm. 7.若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线－＝1的一个焦点，则p等于(　　) A.2 B.10 C. D.2 【答案】D 【解析】因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－， 双曲线－＝1的焦点为(，0)，(－，0)， 所以－＝－，解得p＝2. 8.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 【答案】D 【解析】由题意可得＝，c＝， 又因为c2＝7＝a2＋b2， 解得a2＝4，b2＝3， 故双曲线的方程为－＝1. 二、多选题（共3小题） 9.点M(1,1)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为2，则a的值可以为(　　) A. B.－ C. D.－ 【答案】AB 【解析】抛物线y＝ax2(a≠0)的准线方程为y＝－， 因为点M(1,1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2， 所以＝2，解得a＝或a＝－. 10.设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若y轴上存在点A(0,2)，使得·＝0，则p的值可以为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】AD 【解析】由题意可得，以MF为直径的圆过点(0,2)， 设点M(x，y)，由抛物线定义知|MF|＝x＋＝5，可得x＝5－. 因为圆心是MF的中点， 所以根据中点坐标公式可得， 圆心横坐标为＝， 由已知可得圆的半径也为， 据此可知该圆与y轴相切于点A(0,2)， 故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4， 即点M， 代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0， 解得p＝2或p＝8. 11.（2024-2025·广西南宁高二下期末）已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（ ） A.抛物线C的准线方程为 B.F的坐标为 C.若，则 D. 【答案】BC 【解析】抛物线. 焦点坐标为. 准线方程为，故A错误，B正确. 将代入. 得. ，故C正确. 由抛物线定义得. . 故，D错误. 故选：BC. 三、填空题（共3小题） 12.已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为                  ． 【答案】x2＝4y 【解析】由△FPM为等边三角形，得PM＝PF，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M，因为焦点F，△FPM是等边三角形，所以解得故此抛物线方程为x2＝4y. 13.在抛物线y2＝－12x上，且与抛物线的焦点的距离等于9的点的坐标是                  ． 【答案】(－6,6)或(－6，－6) 【解析】由方程y2＝－12x，知抛物线的焦点为F(－3,0)，准线为l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由抛物线的定义知|PF|＝3－x，又∵|PF|＝9， ∴3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6. ∴所求点的坐标为(－6,6)或(－6，－6)． 14.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为                  ． 【答案】4 【解析】因为椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为(2,0)，所以p＝4. 四、解答题（共2小题） 15.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M. (1)求抛物线的方程； (2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标． 【答案】解　(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，于是4＋＝5，所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x. (2)因为点A的坐标是(4,4)，所以B(0,4)，M(0,2)．又因为F(1,0)，所以kFA＝，所以FA的方程为y＝(x－1)①.因为MN⊥FA，所以kMN＝－，则MN的方程为y－2＝－x②.联立①②，解得x＝，y＝，所以点N的坐标为. 16.（2024-2025·上海普陀高二下期末）已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过抛物线焦点的直线与抛物线相交于、两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的方程. 【答案】解：(1)椭圆的焦点坐标为，抛物线开口向右，故相同焦点为，得，即，故抛物线的方程为. (2)直线不与轴重合，过焦点，设直线的方程为，，. 联立，消去整理得，得，. 计算得，由抛物线焦点弦长公式得，结合得，解得，故直线的方程为或. 学科网（北京）股份有限公司 $