2.2.2 公式法 分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册第2章2.2第2课时公式法同步练，分层清晰，从基础概念到综合应用再到中考实战，梯度合理，覆盖求根公式、判别式等核心知识点，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|求根公式、判别式计算与应用、公式法解方程（单一知识点）|以选择、填空、简单解答为主，如判别式计算（题1-4）、公式法解方程（题9-16），巩固基础运算| |进阶思维题|参数范围综合、几何与方程结合、实际问题建模（综合应用）|含综合解答，如等腰三角形边长与方程根结合（题13）、利润问题建模（题15），发展推理意识| |中考链接题|中考真题再现，含判别式、解方程及应用题（实战衔接）|直接采用中考真题，如成都中考判别式题（题1）、陕西中考方程应用（题7），对接中考要求|

北师大版九年级上册 第2章 一元二次方程 2.2一元二次方程的解法 第2课时 公式法 本节知识点总结 1. 求根公式的推导： 用配方法推导一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a≠0) 的求根公式。 步骤：化1→移项→配方→开平方→求解。 2. 求根公式： x = (b²-4ac ≥ 0) 3. 公式法： 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 4. 根的判别式： 把 b² - 4ac 叫做一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根的判别式， 通常用希腊字母"Δ"（读作"delta"）表示，即 Δ = b² - 4ac。 ① 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； ② 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； ③ 当 Δ < 0 时，方程没有实数根。 5. 用公式法解方程的步骤： ① 把方程化为一般形式 ax² + bx + c = 0，确定 a、b、c 的值； ② 求出判别式 Δ = b² - 4ac 的值； ③ 当 Δ ≥ 0 时，将 a、b、c 的值代入求根公式，求出方程的根； ④ 当 Δ < 0 时，方程没有实数根。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 根的判别式的计算与根的情况判断 1．（2024秋·北京朝阳·单元测）一元二次方程 x² - 4x + 3 = 0 的根的判别式的值为（　　） A．4 B．-4 C．28 D．-28 2．（2024-2025九年级上·上海浦东·期中）一元二次方程 2x² + 3x + 1 = 0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．（2024秋·广东深圳·月考）一元二次方程 x² - 6x + 9 = 0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 4．（2024-2025九年级上·江苏南京·单元测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A．x² - 2x - 3 = 0 B．x² + 2x + 1 = 0 C．x² - x + 1 = 0 D．x² + 3x = 0 题型02 利用判别式求参数的取值范围 5．（2024秋·浙江杭州·期中）若关于 x 的一元二次方程 x² + 2x + m = 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m < 1 B．m > 1 C．m ≤ 1 D．m ≥ 1 6．（2024-2025九年级上·山东济南·月考）若关于 x 的一元二次方程 2x² - 3x + k = 0 有两个相等的实数根，则 k 的值为（　　） A． B． C．- D．- 7．（2024秋·湖北武汉·单元测）若关于 x 的一元二次方程 x² - x + m = 0 没有实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m > B．m < C．m ≥ D．m ≤ 8．（2024-2025九年级上·四川成都·期中）若关于 x 的一元二次方程 kx² - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k > -1 B．k > -1 且 k ≠ 0 C．k < 1 D．k < 1 且 k ≠ 0 题型03 公式法解一元二次方程（二次项系数为1） 9．（2024秋·河北石家庄·月考）用公式法解方程：x² - 5x + 6 = 0 10．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）用公式法解方程：x² + 3x - 4 = 0 11．（2024秋·重庆沙坪坝·期中）用公式法解方程：x² - 2x - 2 = 0 12．（2024-2025九年级上·辽宁沈阳·月考）用公式法解方程：x² + 4x + 2 = 0 题型04 公式法解一元二次方程（二次项系数不为1） 13．（2024秋·湖南长沙·单元测）用公式法解方程：2x² - 7x + 3 = 0 14．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）用公式法解方程：3x² + 5x - 2 = 0 15．（2024秋·福建福州·月考）用公式法解方程：2x² - 4x - 1 = 0 16．（2024-2025九年级上·江西南昌·单元测）用公式法解方程：5x² - 3x = x + 1 题型05 求根公式的理解与应用 17．（2024秋·天津南开·期中）一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a≠0) 的求根公式是（　　） A．x = B．x = C．x = D．x = 18．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）用公式法解方程时，先化为一般形式，再确定 a、b、c 的值。对于方程 3x² = 2x - 1，下列说法正确的是（　　） A．a = 3，b = 2，c = -1 B．a = 3，b = -2，c = 1 C．a = 3，b = -2，c = -1 D．a = 3，b = 2，c = 1 19．（2024秋·云南昆明·单元测）已知一元二次方程的两根为 x = ，则这个方程可能是（　　） A．x² + 3x + 1 = 0 B．x² - 3x + 1 = 0 C．x² - 3x - 1 = 0 D．x² + 3x - 1 = 0 题型06 判别式的综合应用 20．（2024-2025九年级上·广西南宁·期中）已知关于 x 的一元二次方程 x² - (m+2)x + 2m = 0。 （1）求证：无论 m 取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个根为 1，求 m 的值及方程的另一个根。 21．（2024秋·贵州贵阳·月考）已知关于 x 的一元二次方程 x² - 2x + k - 1 = 0 有实数根，求 k 的取值范围。 22．（2024-2025九年级上·甘肃兰州·期中）已知关于 x 的一元二次方程 (m-1)x² + 2x + 1 = 0 有实数根，求 m 的取值范围。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·北京海淀·期中）若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x² + 2x - 2 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k > B．k ≥ C．k > 且 k ≠ 1 D．k ≥ 且 k ≠ 1 2．（2024秋·上海闵行·月考）已知一元二次方程 x² - 2x - m = 0，用公式法解该方程，下列结果正确的是（　　） A．x = 1 ± B．x = 1 ± C．x = -1 ± D．x = -1 ± 3．（2024-2025九年级上·广东广州·单元测）关于 x 的一元二次方程 x² + (2k+1)x + k² = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k > - B．k > - C．k < - D．k < - 4．（2024秋·江苏苏州·期中）若关于 x 的一元二次方程 ax² + bx + c = 0 中，a > 0，b < 0，c < 0，则这个方程根的情况是（　　） A．有两个正实数根 B．有两个负实数根 C．有一正一负两个实数根 D．没有实数根 5．（2024-2025九年级上·浙江宁波·月考）若关于 x 的一元二次方程 x² - 2x + k = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k < 1 B．k > 1 C．k ≤ 1 D．k ≥ 1 6．（2024秋·山东青岛·单元测）若关于 x 的一元二次方程 x² + 2x + m = 0 没有实数根，则 m 的值可以是（　　） A．-1 B．0 C．1 D．2 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·月考）一元二次方程 2x² - 3x - 2 = 0 的根的判别式 Δ = ______。 8．（2024秋·四川成都·期中）若关于 x 的一元二次方程 x² + 2x - k = 0 没有实数根，则 k 的取值范围是 ______。 9．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）用公式法解方程 x² - 2√2 x + 2 = 0，则 Δ = ______，方程的根为 ______。 10．（2024秋·重庆渝中·月考）已知关于 x 的一元二次方程 x² - (k+3)x + 2k + 2 = 0。若方程有一个根小于 1，则 k 的取值范围是 ______。 11．（2024-2025九年级上·辽宁大连·期中）若关于 x 的一元二次方程 (a-1)x² - x + 1 = 0 有实数根，则 a 的取值范围是 ______。 （三）解答题 12．（2024秋·湖南长沙·月考）用公式法解下列方程： （1）x² - 3x - 4 = 0 （2）2x² + x - 1 = 0 13．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）已知关于 x 的一元二次方程 x² - (2k+1)x + k² + k = 0。 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若 △ABC 的两边 AB、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5， 当 △ABC 是等腰三角形时，求 k 的值。 14．（2024秋·福建福州·单元测）已知关于 x 的一元二次方程 x² - (m+2)x + 2m = 0。求证：无论 m 取何值，方程总有实数根； 15．（2024-2025九年级上·江西南昌·月考）某商店销售一种商品，每件进价为 40 元。 市场调查发现，若每件售价为 50 元，平均每天可销售 100 件；若每件售价每上涨 1 元， 平均每天少销售 2 件。设每件商品的售价为 x 元（x 为正整数），每天的销售利润为 y 元。 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）当每件商品的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）若商店要想每天获得 1600 元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 三、中考链接题 1．（2024·四川成都中考）关于 x 的一元二次方程 x² - 4x + m = 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m > 4 B．m < 4 C．m ≥ 4 D．m ≤ 4 2．（2024·江苏苏州中考）一元二次方程 x(x - 2) = x - 2 的根是（　　） A．x = 1 B．x = 2 C．x₁ = 1，x₂ = 2 D．x₁ = 0，x₂ = 2 3．（2024·浙江杭州中考）若关于 x 的一元二次方程 x² + 2x + a = 0 有实数根，则 a 的取值范围是（　　） A．a < 1 B．a ≤ 1 C．a > 1 D．a ≥ 1 4．（2024·山东济南中考）一元二次方程 2x² - 5x + 2 = 0 的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．（2024·湖北武汉中考）若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x² + x + 1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k ≤ B．k ≤ 且 k ≠ 1 C．k < D．k < 且 k ≠ 1 6．（2024·广东广州中考）解方程：x² - 2x - 3 = 0 7．（2024·陕西中考）已知关于 x 的一元二次方程 x² - (m+2)x + 2m = 0。 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根为 1，求方程的另一个根。 8．（2024·重庆中考）若关于 x 的一元二次方程 x² - 4x + m = 0 有两个相等的实数根，则 m = ______。 9．（2024·天津中考）一元二次方程 x² - 4x - 1 = 0 配方后可化为（　　） A．(x + 2)² = 3 B．(x + 2)² = 5 C．(x - 2)² = 3 D．(x - 2)² = 5 10．（2024·河南中考）某商店销售一种进价为每件 20 元的商品，销售过程中发现， 每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系可近似看作一次函数：y = -10x + 500。 （1）设每月获得利润为 w（元），求 w 与 x 的函数关系式； （2）如果商店想要每月获得 2000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册 第2章 一元二次方程 2.2一元二次方程的解法 第2课时 公式法 本节知识点总结 1. 求根公式的推导： 用配方法推导一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a≠0) 的求根公式。 步骤：化1→移项→配方→开平方→求解。 2. 求根公式： x = (b²-4ac ≥ 0) 3. 公式法： 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 4. 根的判别式： 把 b² - 4ac 叫做一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根的判别式， 通常用希腊字母"Δ"（读作"delta"）表示，即 Δ = b² - 4ac。 ① 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； ② 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； ③ 当 Δ < 0 时，方程没有实数根。 5. 用公式法解方程的步骤： ① 把方程化为一般形式 ax² + bx + c = 0，确定 a、b、c 的值； ② 求出判别式 Δ = b² - 4ac 的值； ③ 当 Δ ≥ 0 时，将 a、b、c 的值代入求根公式，求出方程的根； ④ 当 Δ < 0 时，方程没有实数根。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 根的判别式的计算与根的情况判断 1．（2024秋·北京朝阳·单元测）一元二次方程 x² - 4x + 3 = 0 的根的判别式的值为（　　） A．4 B．-4 C．28 D．-28 【答案】A 【分析】根据根的判别式 Δ = b² - 4ac 计算。 【详解】解：在方程 x² - 4x + 3 = 0 中， a = 1，b = -4，c = 3 Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4×1×3 = 16 - 12 = 4 故选：A。 2．（2024-2025九年级上·上海浦东·期中）一元二次方程 2x² + 3x + 1 = 0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】计算判别式 Δ = b² - 4ac，根据 Δ 的符号判断根的情况。 【详解】解：在方程 2x² + 3x + 1 = 0 中， a = 2，b = 3，c = 1 Δ = b² - 4ac = 3² - 4×2×1 = 9 - 8 = 1 > 0 ∵ Δ > 0， ∴ 方程有两个不相等的实数根。 故选：A。 3．（2024秋·广东深圳·月考）一元二次方程 x² - 6x + 9 = 0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】计算判别式 Δ = b² - 4ac，根据 Δ = 0 判断有两个相等的实数根。 【详解】解：在方程 x² - 6x + 9 = 0 中， a = 1，b = -6，c = 9 Δ = b² - 4ac = (-6)² - 4×1×9 = 36 - 36 = 0 ∵ Δ = 0， ∴ 方程有两个相等的实数根。 故选：B。 4．（2024-2025九年级上·江苏南京·单元测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A．x² - 2x - 3 = 0 B．x² + 2x + 1 = 0 C．x² - x + 1 = 0 D．x² + 3x = 0 【答案】C 【分析】分别计算各方程的判别式，找出 Δ < 0 的方程。 【详解】解：A选项：x² - 2x - 3 = 0，Δ = (-2)² - 4×1×(-3) = 4 + 12 = 16 > 0，有两个不相等的实数根； B选项：x² + 2x + 1 = 0，Δ = 2² - 4×1×1 = 4 - 4 = 0，有两个相等的实数根； C选项：x² - x + 1 = 0，Δ = (-1)² - 4×1×1 = 1 - 4 = -3 < 0，没有实数根； D选项：x² + 3x = 0，Δ = 3² - 4×1×0 = 9 > 0，有两个不相等的实数根。 故选：C。 题型02 利用判别式求参数的取值范围 5．（2024秋·浙江杭州·期中）若关于 x 的一元二次方程 x² + 2x + m = 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m < 1 B．m > 1 C．m ≤ 1 D．m ≥ 1 【答案】A 【分析】方程有两个不相等的实数根，则 Δ > 0，据此列不等式求解。 【详解】解：∵ 方程 x² + 2x + m = 0 有两个不相等的实数根， ∴ Δ > 0， 即 Δ = b² - 4ac = 2² - 4×1×m = 4 - 4m > 0， 解得：m < 1。 故选：A。 6．（2024-2025九年级上·山东济南·月考）若关于 x 的一元二次方程 2x² - 3x + k = 0 有两个相等的实数根，则 k 的值为（　　） A． B． C．- D．- 【答案】A 【分析】方程有两个相等的实数根，则 Δ = 0，据此列方程求解。 【详解】解：∵ 方程 2x² - 3x + k = 0 有两个相等的实数根， ∴ Δ = 0， 即 Δ = b² - 4ac = (-3)² - 4×2×k = 9 - 8k = 0， 解得：k = 。 故选：A。 7．（2024秋·湖北武汉·单元测）若关于 x 的一元二次方程 x² - x + m = 0 没有实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m > B．m < C．m ≥ D．m ≤ 【答案】A 【分析】方程没有实数根，则 Δ < 0，据此列不等式求解。 【详解】解：∵ 方程 x² - x + m = 0 没有实数根， ∴ Δ < 0， 即 Δ = b² - 4ac = (-1)² - 4×1×m = 1 - 4m < 0， 解得：m > 。 故选：A。 8．（2024-2025九年级上·四川成都·期中）若关于 x 的一元二次方程 kx² - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k > -1 B．k > -1 且 k ≠ 0 C．k < 1 D．k < 1 且 k ≠ 0 【答案】B 【分析】方程有两个不相等的实数根，则 Δ > 0 且二次项系数不为0。 【详解】解：∵ 方程 kx² - 2x - 1 = 0 是一元二次方程， ∴ k ≠ 0。 又∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ Δ > 0， 即 Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4×k×(-1) = 4 + 4k > 0， 解得：k > -1。 综上，k 的取值范围是 k > -1 且 k ≠ 0。 故选：B。 题型03 公式法解一元二次方程（二次项系数为1） 9．（2024秋·河北石家庄·月考）用公式法解方程：x² - 5x + 6 = 0 【答案】x₁ = 2，x₂ = 3 【分析】先确定 a、b、c 的值，计算判别式，再代入求根公式求解。 【详解】解：在方程 x² - 5x + 6 = 0 中， a = 1，b = -5，c = 6 Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4×1×6 = 25 - 24 = 1 > 0 ∵ Δ > 0，方程有两个不相等的实数根 x = - = = ∴ x₁ = 3，x₂ = 2 10．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）用公式法解方程：x² + 3x - 4 = 0 【答案】x₁ = 1，x₂ = -4 【分析】确定 a、b、c 的值，计算判别式，代入求根公式求解。 【详解】解：在方程 x² + 3x - 4 = 0 中， a = 1，b = 3，c = -4 Δ = b² - 4ac = 3² - 4×1×(-4) = 9 + 16 = 25 > 0 ∵ Δ > 0，方程有两个不相等的实数根 x = - = = ∴ x₁ = 1，x₂ = -4 11．（2024秋·重庆沙坪坝·期中）用公式法解方程：x² - 2x - 2 = 0 【答案】x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 【分析】确定 a、b、c 的值，计算判别式，代入求根公式求解。 【详解】解：在方程 x² - 2x - 2 = 0 中， a = 1，b = -2，c = -2 Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4×1×(-2) = 4 + 8 = 12 > 0 ∵ Δ > 0，方程有两个不相等的实数根 x = - = = = 1 ± ∴ x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 12．（2024-2025九年级上·辽宁沈阳·月考）用公式法解方程：x² + 4x + 2 = 0 【答案】x₁ = -2 + ，x₂ = -2 - 【分析】确定 a、b、c 的值，计算判别式，代入求根公式求解。 【详解】解：在方程 x² + 4x + 2 = 0 中， a = 1，b = 4，c = 2 Δ = b² - 4ac = 4² - 4×1×2 = 16 - 8 = 8 > 0 ∵ Δ > 0，方程有两个不相等的实数根 x = - = = = -2 ± ∴ x₁ = -2 + ，x₂ = -2 - 题型04 公式法解一元二次方程（二次项系数不为1） 13．（2024秋·湖南长沙·单元测）用公式法解方程：2x² - 7x + 3 = 0 【答案】x₁ = 3，x₂ = 【分析】确定 a、b、c 的值，计算判别式，代入求根公式求解。 【详解】解：在方程 2x² - 7x + 3 = 0 中， a = 2，b = -7，c = 3 Δ = b² - 4ac = (-7)² - 4×2×3 = 49 - 24 = 25 > 0 ∵ Δ > 0，方程有两个不相等的实数根 x = - = = ∴ x₁ 3，x₂ = 14．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）用公式法解方程：3x² + 5x - 2 = 0 【答案】x₁ = ，x₂ = -2 【分析】确定 a、b、c 的值，计算判别式，代入求根公式求解。 【详解】解：在方程 3x² + 5x - 2 = 0 中， a = 3，b = 5，c = -2 Δ = b² - 4ac = 5² - 4×3×(-2) = 25 + 24 = 49 > 0 ∵ Δ > 0，方程有两个不相等的实数根 x = - = = ∴ x₁ = ，x₂ = -2 15．（2024秋·福建福州·月考）用公式法解方程：2x² - 4x - 1 = 0 【答案】x₁ =，x₂ = 【分析】确定 a、b、c 的值，计算判别式，代入求根公式求解。 【详解】解：在方程 2x² - 4x - 1 = 0 中， a = 2，b = -4，c = -1 Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4×2×(-1) = 16 + 8 = 24 > 0 ∵ Δ > 0，方程有两个不相等的实数根 x =- = = = ∴ x₁ = ，x₂ = 16．（2024-2025九年级上·江西南昌·单元测）用公式法解方程：5x² - 3x = x + 1 【答案】x₁ = 1，x₂ = - 【分析】先化为一般形式，再确定 a、b、c 的值，计算判别式，代入求根公式求解。 【详解】解：整理方程，得： 5x² - 4x - 1 = 0 a = 5，b = -4，c = -1 Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4×5×(-1) = 16 + 20 = 36 > 0 ∵ Δ > 0，方程有两个不相等的实数根 x = - = = ∴ x₁ =1，x₂ = - 题型05 求根公式的理解与应用 17．（2024秋·天津南开·期中）一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a≠0) 的求根公式是（　　） A．x = B．x = C．x = D．x = 【答案】A 【分析】考查求根公式的记忆。 【详解】解：一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a≠0) 的求根公式为： x = (b²-4ac ≥ 0) 故选：A。 18．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）用公式法解方程时，先化为一般形式，再确定 a、b、c 的值。对于方程 3x² = 2x - 1，下列说法正确的是（　　） A．a = 3，b = 2，c = -1 B．a = 3，b = -2，c = 1 C．a = 3，b = -2，c = -1 D．a = 3，b = 2，c = 1 【答案】B 【分析】先将方程化为一般形式 ax² + bx + c = 0，再确定 a、b、c。 【详解】解：将方程 3x² = 2x - 1 化为一般形式： 3x² - 2x + 1 = 0 ∴ a = 3，b = -2，c = 1 故选：B。 19．（2024秋·云南昆明·单元测）已知一元二次方程的两根为 x = ，则这个方程可能是（　　） A．x² + 3x + 1 = 0 B．x² - 3x + 1 = 0 C．x² - 3x - 1 = 0 D．x² + 3x - 1 = 0 【答案】B 【分析】根据求根公式的形式反推 a、b、c 的值。 【详解】解：由求根公式 x = (-b ± √(b²-4ac)) / (2a)， 已知 x = ，对比可得： -b = 3，即 b = -3 2a = 2，即 a = 1 b² - 4ac = 5，代入 a = 1，b = -3： (-3)² - 4×1×c = 5 9 - 4c = 5 4c = 4，c = 1 ∴ 方程为 x² - 3x + 1 = 0 故选：B。 题型06 判别式的综合应用 20．（2024-2025九年级上·广西南宁·期中）已知关于 x 的一元二次方程 x² - (m+2)x + 2m = 0。 （1）求证：无论 m 取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个根为 1，求 m 的值及方程的另一个根。 【答案】（1）证明见详解；（2）m = 1，另一个根为 2 【分析】（1）计算判别式，证明 Δ ≥ 0；（2）将 x = 1 代入求 m，再求另一根。 【详解】（1）证明：在方程 x² - (m+2)x + 2m = 0 中， a = 1，b = -(m+2)，c = 2m Δ = b² - 4ac = [-(m+2)]² - 4×1×2m = (m+2)² - 8m = m² + 4m + 4 - 8m = m² - 4m + 4 = (m-2)² ≥ 0 ∵ Δ = (m-2)² ≥ 0， ∴ 无论 m 取何值，方程总有实数根。 （2）解：∵ 方程的一个根为 1， ∴ 将 x = 1 代入方程，得： 1 - (m+2) + 2m = 0 1 - m - 2 + 2m = 0 m - 1 = 0 解得：m = 1。 ∴ 原方程为 x² - 3x + 2 = 0 因式分解：(x - 1)(x - 2) = 0 ∴ x₁ = 1，x₂ = 2 即 m 的值为 1，方程的另一个根为 2。 21．（2024秋·贵州贵阳·月考）已知关于 x 的一元二次方程 x² - 2x + k - 1 = 0 有实数根，求 k 的取值范围。 【答案】k ≤ 2 【分析】方程有实数根，则 Δ ≥ 0，据此列不等式求解。 【详解】解：∵ 方程 x² - 2x + k - 1 = 0 有实数根， ∴ Δ ≥ 0， 即 Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4×1×(k-1) = 4 - 4k + 4 = 8 - 4k ≥ 0， 解得：k ≤ 2。 ∴ k 的取值范围是 k ≤ 2。 22．（2024-2025九年级上·甘肃兰州·期中）已知关于 x 的一元二次方程 (m-1)x² + 2x + 1 = 0 有实数根，求 m 的取值范围。 【答案】m ≤ 2 且 m ≠ 1 【分析】方程有实数根，则 Δ ≥ 0 且二次项系数不为0。 【详解】解：∵ 方程 (m-1)x² + 2x + 1 = 0 是一元二次方程， ∴ m - 1 ≠ 0，即 m ≠ 1。 又∵ 方程有实数根， ∴ Δ ≥ 0， 即 Δ = b² - 4ac = 2² - 4×(m-1)×1 = 4 - 4(m-1) = 4 - 4m + 4 = 8 - 4m ≥ 0， 解得：m ≤ 2。 综上，m 的取值范围是 m ≤ 2 且 m ≠ 1。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·北京海淀·期中）若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x² + 2x - 2 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k > B．k ≥ C．k > 且 k ≠ 1 D．k ≥ 且 k ≠ 1 【答案】C 【分析】方程有两个不相等的实数根，则 Δ > 0 且二次项系数不为0。 【详解】解：∵ 方程 (k-1)x² + 2x - 2 = 0 是一元二次方程， ∴ k - 1 ≠ 0，即 k ≠ 1。 又∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ Δ > 0， 即 Δ = 2² - 4×(k-1)×(-2) = 4 + 8(k-1) = 4 + 8k - 8 = 8k - 4 > 0， 解得：k > 。 综上，k 的取值范围是 k > 且 k ≠ 1。 故选：C。 2．（2024秋·上海闵行·月考）已知一元二次方程 x² - 2x - m = 0，用公式法解该方程，下列结果正确的是（　　） A．x = 1 ± B．x = 1 ± C．x = -1 ± D．x = -1 ± 【答案】A 【分析】确定 a、b、c，代入求根公式化简。 【详解】解：在方程 x² - 2x - m = 0 中， a = 1，b = -2，c = -m Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4×1×(-m) = 4 + 4m = 4(1+m) x =- = = = 1 ± 故选：A。 3．（2024-2025九年级上·广东广州·单元测）关于 x 的一元二次方程 x² + (2k+1)x + k² = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k > - B．k > - C．k < - D．k < - 【答案】A 【分析】方程有两个不相等的实数根，则 Δ > 0。 【详解】解：∵ 方程 x² + (2k+1)x + k² = 0 有两个不相等的实数根， ∴ Δ > 0， 即 Δ = (2k+1)² - 4×1×k² = 4k² + 4k + 1 - 4k² = 4k + 1 > 0， 解得：k > -。 故选：A。 4．（2024秋·江苏苏州·期中）若关于 x 的一元二次方程 ax² + bx + c = 0 中，a > 0，b < 0，c < 0，则这个方程根的情况是（　　） A．有两个正实数根 B．有两个负实数根 C．有一正一负两个实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】先判断 Δ > 0，再根据两根之积 c/a < 0 判断一正一负。 【详解】解：∵ a > 0，b < 0，c < 0， ∴ Δ = b² - 4ac > 0（b² > 0，-4ac > 0）， ∴ 方程有两个不相等的实数根。 设方程的两根为 x₁、x₂， 由韦达定理：x₁·x₂ = < 0， ∴ 两根异号，即方程有一正一负两个实数根。 故选：C。 5．（2024-2025九年级上·浙江宁波·月考）若关于 x 的一元二次方程 x² - 2x + k = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k < 1 B．k > 1 C．k ≤ 1 D．k ≥ 1 【答案】A 【分析】方程有两个不相等的实数根，则 Δ > 0。 【详解】解：∵ 方程 x² - 2x + k = 0 有两个不相等的实数根， ∴ Δ > 0， 即 Δ = (-2)² - 4×1×k = 4 - 4k > 0， 解得：k < 1。 故选：A。 6．（2024秋·山东青岛·单元测）若关于 x 的一元二次方程 x² + 2x + m = 0 没有实数根，则 m 的值可以是（　　） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】方程没有实数根，则 Δ < 0，求出 m 的范围，再判断选项。 【详解】解：∵ 方程 x² + 2x + m = 0 没有实数根， ∴ Δ < 0， 即 Δ = 2² - 4×1×m = 4 - 4m < 0， 解得：m > 1。 ∵ -1 < 1，0 < 1，1 = 1，2 > 1， ∴ m 的值可以是 2。 故选：D。 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·月考）一元二次方程 2x² - 3x - 2 = 0 的根的判别式 Δ = __25____。 【答案】25 【分析】根据 Δ = b² - 4ac 计算。 【详解】解：在方程 2x² - 3x - 2 = 0 中， a = 2，b = -3，c = -2 Δ = b² - 4ac = (-3)² - 4×2×(-2) = 9 + 16 = 25 8．（2024秋·四川成都·期中）若关于 x 的一元二次方程 x² + 2x - k = 0 没有实数根，则 k 的取值范围是 __k < -1____。 【答案】k < -1 【分析】方程没有实数根，则 Δ < 0。 【详解】解：∵ 方程 x² + 2x - k = 0 没有实数根， ∴ Δ < 0， 即 Δ = 2² - 4×1×(-k) = 4 + 4k < 0， 解得：k < -1。 9．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）用公式法解方程 x² - 2√2 x + 2 = 0，则 Δ = ___0___，方程的根为 __x₁ = x₂ = ____。 【答案】0；x₁ = x₂ = 【分析】计算判别式，Δ = 0 时方程有两个相等的实数根。 【详解】解：在方程 x² - 2 x + 2 = 0 中， a = 1，b = -2，c = 2 Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4×1×2 = 8 - 8 = 0 ∵ Δ = 0，方程有两个相等的实数根 x = = = ∴ x₁ = x₂ = 10．（2024秋·重庆渝中·月考）已知关于 x 的一元二次方程 x² - (k+3)x + 2k + 2 = 0。若方程有一个根小于 1，则 k 的取值范围是 ___k < 0___。 【答案】k < 0 【分析】先因式分解求出方程的两个根，再根据条件列不等式。 【详解】解：x² - (k+3)x + 2k + 2 = 0 因式分解：(x - 2)(x - (k+1)) = 0 ∴ x₁ = 2，x₂ = k + 1 ∵ 方程有一个根小于 1，而 x₁ = 2 > 1， ∴ x₂ = k + 1 < 1， 解得：k < 0。 11．（2024-2025九年级上·辽宁大连·期中）若关于 x 的一元二次方程 (a-1)x² - x + 1 = 0 有实数根，则 a 的取值范围是 ___a ≤ 5/4 且 a ≠ 1___。 【答案】a ≤ 5/4 且 a ≠ 1 【分析】方程有实数根，则 Δ ≥ 0 且二次项系数不为0。 【详解】解：∵ 方程 (a-1)x² - x + 1 = 0 是一元二次方程， ∴ a - 1 ≠ 0，即 a ≠ 1。 又∵ 方程有实数根， ∴ Δ ≥ 0， 即 Δ = (-1)² - 4×(a-1)×1 = 1 - 4(a-1) = 1 - 4a + 4 = 5 - 4a ≥ 0， 解得：a ≤ 5/4。 综上，a 的取值范围是 a ≤ 5/4 且 a ≠ 1。 （三）解答题 12．（2024秋·湖南长沙·月考）用公式法解下列方程： （1）x² - 3x - 4 = 0 （2）2x² + x - 1 = 0 【答案】（1）x₁ = 4，x₂ = -1；（2）x₁ = ，x₂ = -1 【分析】分别确定 a、b、c，计算判别式，代入求根公式求解。 【详解】解：（1）x² - 3x - 4 = 0 a = 1，b = -3，c = -4 Δ = b² - 4ac = (-3)² - 4×1×(-4) = 9 + 16 = 25 > 0 x = = = ∴ x₁ = 4，x₂ = -1 （2）2x² + x - 1 = 0 a = 2，b = 1，c = -1 Δ = b² - 4ac = 1² - 4×2×(-1) = 1 + 8 = 9 > 0 x = = = ∴ x₁ = ，x₂ = -1 13．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）已知关于 x 的一元二次方程 x² - (2k+1)x + k² + k = 0。 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若 △ABC 的两边 AB、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5， 当 △ABC 是等腰三角形时，求 k 的值。 【答案】（1）证明见详解；（2）k = 4 或 k = 5 【分析】（1）计算判别式证明 Δ > 0；（2）先求方程的根，再分情况讨论等腰三角形。 【详解】（1）证明：在方程 x² - (2k+1)x + k² + k = 0 中， a = 1，b = -(2k+1)，c = k² + k Δ = b² - 4ac = [-(2k+1)]² - 4×1×(k²+k) = (2k+1)² - 4(k²+k) = 4k² + 4k + 1 - 4k² - 4k = 1 > 0 ∵ Δ = 1 > 0， ∴ 方程有两个不相等的实数根。 （2）解：由求根公式： x = = ∴ x₁ = = k+1，x₂ = = k ∵ AB、AC 是方程的两个实数根，且 AB ≠ AC， △ABC 是等腰三角形，BC = 5， ∴ 必有一边等于 5。 分两种情况： ① 当 AB = BC = 5 时，即 k+1 = 5，解得 k = 4。 此时三边长为 5、5、4，能构成三角形。 ② 当 AC = BC = 5 时，即 k = 5。 此时三边长为 5、5、6，能构成三角形。 综上，k 的值为 4 或 5。 14．（2024秋·福建福州·单元测）已知关于 x 的一元二次方程 x² - (m+2)x + 2m = 0。求证：无论 m 取何值，方程总有实数根； 【答案】证明见详解 【分析】计算判别式证明 Δ ≥ 0。 【详解】证明：在方程 x² - (m+2)x + 2m = 0 中， a = 1，b = -(m+2)，c = 2m Δ = b² - 4ac = [-(m+2)]² - 4×1×2m = (m+2)² - 8m = m² + 4m + 4 - 8m = m² - 4m + 4 = (m-2)² ≥ 0 ∵ Δ = (m-2)² ≥ 0， ∴ 无论 m 取何值，方程总有实数根。 15．（2024-2025九年级上·江西南昌·月考）某商店销售一种商品，每件进价为 40 元。 市场调查发现，若每件售价为 50 元，平均每天可销售 100 件；若每件售价每上涨 1 元， 平均每天少销售 2 件。设每件商品的售价为 x 元（x 为正整数），每天的销售利润为 y 元。 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）当每件商品的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）若商店要想每天获得 1600 元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 【答案】（1）y = -2x² + 280x - 8000；（2）售价70元时，最大利润1800元；（3）售价60元或80元 【分析】（1）根据利润 = 每件利润×销售量列函数式；（2）配方法求最值；（3）解方程。 【详解】解：（1）每件利润为 (x - 40) 元， 销售量为 [100 - 2(x - 50)] = (200 - 2x) 件， y = (x - 40)(200 - 2x) = 200x - 2x² - 8000 + 80x = -2x² + 280x - 8000 ∴ y 与 x 的函数关系式为 y = -2x² + 280x - 8000。 （2）y = -2x² + 280x - 8000 = -2(x² - 140x) - 8000 = -2(x² - 140x + 4900 - 4900) - 8000 = -2(x - 70)² + 9800 - 8000 = -2(x - 70)² + 1800 ∵ -2 < 0， ∴ 当 x = 70 时，y 有最大值，最大值为 1800。 答：当每件商品的售价定为 70 元时，每天可获得最大利润，最大利润是 1800 元。 （3）当 y = 1600 时， -2x² + 280x - 8000 = 1600 -2x² + 280x - 9600 = 0 x² - 140x + 4800 = 0 用公式法：a = 1，b = -140，c = 4800 Δ = (-140)² - 4×1×4800 = 19600 - 19200 = 400 x = = x₁ = 80，x₂ = 60 答：每件商品的售价应定为 60 元或 80 元。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都中考）关于 x 的一元二次方程 x² - 4x + m = 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m > 4 B．m < 4 C．m ≥ 4 D．m ≤ 4 【答案】B 【分析】方程有两个不相等的实数根，则 Δ > 0。 【详解】解：∵ 方程 x² - 4x + m = 0 有两个不相等的实数根， ∴ Δ > 0， 即 Δ = (-4)² - 4×1×m = 16 - 4m > 0， 解得：m < 4。 故选：B。 2．（2024·江苏苏州中考）一元二次方程 x(x - 2) = x - 2 的根是（　　） A．x = 1 B．x = 2 C．x₁ = 1，x₂ = 2 D．x₁ = 0，x₂ = 2 【答案】C 【分析】先整理为一般形式，再用公式法或因式分解法求解。 【详解】解：x(x - 2) = x - 2 x² - 2x = x - 2 x² - 3x + 2 = 0 a = 1，b = -3，c = 2 Δ = (-3)² - 4×1×2 = 9 - 8 = 1 > 0 x = = x₁ = 2，x₂ = 1 故选：C。 3．（2024·浙江杭州中考）若关于 x 的一元二次方程 x² + 2x + a = 0 有实数根，则 a 的取值范围是（　　） A．a < 1 B．a ≤ 1 C．a > 1 D．a ≥ 1 【答案】B 【分析】方程有实数根，则 Δ ≥ 0。 【详解】解：∵ 方程 x² + 2x + a = 0 有实数根， ∴ Δ ≥ 0， 即 Δ = 2² - 4×1×a = 4 - 4a ≥ 0， 解得：a ≤ 1。 故选：B。 4．（2024·山东济南中考）一元二次方程 2x² - 5x + 2 = 0 的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】计算判别式判断根的情况。 【详解】解：在方程 2x² - 5x + 2 = 0 中， a = 2，b = -5，c = 2 Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4×2×2 = 25 - 16 = 9 > 0 ∵ Δ > 0， ∴ 方程有两个不相等的实数根。 故选：B。 5．（2024·湖北武汉中考）若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x² + x + 1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k ≤ B．k ≤ 且 k ≠ 1 C．k < D．k < 且 k ≠ 1 【答案】B 【分析】方程有实数根，则 Δ ≥ 0 且二次项系数不为0。 【详解】解：∵ 方程 (k-1)x² + x + 1 = 0 是一元二次方程， ∴ k - 1 ≠ 0，即 k ≠ 1。 又∵ 方程有实数根， ∴ Δ ≥ 0， 即 Δ = 1² - 4×(k-1)×1 = 1 - 4k + 4 = 5 - 4k ≥ 0， 解得：k ≤ 。 综上，k 的取值范围是 k ≤ 5/4 且 k ≠ 1。 故选：B。 6．（2024·广东广州中考）解方程：x² - 2x - 3 = 0 【答案】x₁ = 3，x₂ = -1 【分析】用公式法解方程。 【详解】解：在方程 x² - 2x - 3 = 0 中， a = 1，b = -2，c = -3 Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4×1×(-3) = 4 + 12 = 16 > 0 x = = = x₁ = 3，x₂ = -1 7．（2024·陕西中考）已知关于 x 的一元二次方程 x² - (m+2)x + 2m = 0。 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根为 1，求方程的另一个根。 【答案】（1）证明见详解；（2）另一个根为 2 【分析】（1）计算判别式证明 Δ ≥ 0；（2）将 x = 1 代入求 m，再求另一根。 【详解】（1）证明：在方程 x² - (m+2)x + 2m = 0 中， a = 1，b = -(m+2)，c = 2m Δ = b² - 4ac = [-(m+2)]² - 4×1×2m = (m+2)² - 8m = m² + 4m + 4 - 8m = m² - 4m + 4 = (m-2)² ≥ 0 ∵ Δ = (m-2)² ≥ 0， ∴ 方程总有两个实数根。 （2）解：∵ 方程的一个根为 1， ∴ 将 x = 1 代入方程，得： 1 - (m+2) + 2m = 0 1 - m - 2 + 2m = 0 m - 1 = 0 解得：m = 1。 ∴ 原方程为 x² - 3x + 2 = 0 因式分解：(x - 1)(x - 2) = 0 ∴ x₁ = 1，x₂ = 2 即方程的另一个根为 2。 8．（2024·重庆中考）若关于 x 的一元二次方程 x² - 4x + m = 0 有两个相等的实数根，则 m = ___4___。 【答案】4 【分析】方程有两个相等的实数根，则 Δ = 0。 【详解】解：∵ 方程 x² - 4x + m = 0 有两个相等的实数根， ∴ Δ = 0， 即 Δ = (-4)² - 4×1×m = 16 - 4m = 0， 解得：m = 4。 9．（2024·天津中考）一元二次方程 x² - 4x - 1 = 0 配方后可化为（　　） A．(x + 2)² = 3 B．(x + 2)² = 5 C．(x - 2)² = 3 D．(x - 2)² = 5 【答案】D 【分析】用配方法将方程化为顶点式。 【详解】解：x² - 4x - 1 = 0 移项，得：x² - 4x = 1 配方，得：x² - 4x + 4 = 1 + 4 (x - 2)² = 5 故选：D。 10．（2024·河南中考）某商店销售一种进价为每件 20 元的商品，销售过程中发现， 每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系可近似看作一次函数：y = -10x + 500。 （1）设每月获得利润为 w（元），求 w 与 x 的函数关系式； （2）如果商店想要每月获得 2000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）w = -10x² + 700x - 10000；（2）销售单价应定为 30 元或 40 元 【分析】（1）利润 = 每件利润×销售量；（2）令 w = 2000，解方程。 【详解】解：（1）由题意，得： w = (x - 20)·y = (x - 20)(-10x + 500) = -10x² + 500x + 200x - 10000 = -10x² + 700x - 10000 ∴ w 与 x 的函数关系式为 w = -10x² + 700x - 10000。 （2）当 w = 2000 时， -10x² + 700x - 10000 = 2000 -10x² + 700x - 12000 = 0 x² - 70x + 1200 = 0 用公式法：a = 1，b = -70，c = 1200 Δ = (-70)² - 4×1×1200 = 4900 - 4800 = 100 x = = x₁ = 40，x₂ = 30 答：销售单价应定为 30 元或 40 元。 学科网（北京）股份有限公司 $