上海市回民中学2024-2025学年高三第二学期期中质量监测数学试卷

2024学年度高三年级第二学期期中质量监测 数学学科试卷 一、填空题(12题，满分54分) 1.已知集合A=(0,4),B=(1,5),则A∩B=」 2.抛物线y2=8x的准线方程为 3计算21 (其中i为虚数单位). 3+i 4.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为ab、c,若ad2-b=bc+c2,则A= 5若3=2°=6，则1+1 a b 6.直线2x-y-3=0与直线x-3y-5=0夹角的大小为 7.收集数据，利用2×2列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假设为：学习成 绩好与上课注意力集中一·（填：有关或无关） 8.已知函数y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=log2x.若f(a)>1,则实数a的取值范 围为 9.用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为π立方米，则至少需要平方米铁皮 10有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天 都参加的不同安排方式共有种. 11.某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米.现将它们堆放在一 起若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得 筒于米，若维放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为 00"00 l2.己知实数a满足：①a∈[0,2π)：②存在实数b,c(a<b<c<2π)，使得a,b,c是等差数列，cosb, cosa,cosc也是等差数列.则实数a的取值范围是 二、选择题(4题，满分18分) 13.下列函数中，在区间(0，+0)上为严格增函数的是（) A.f(x)=-Inx B..f(x)=k-1c.f(x)= ) 14.已知直线b和平面x,则下列判断中正确的是(). A.若a∥a,bl∥a,则allb: B.若al∥b,blIa,则al/a; C.若al/a,b⊥o,则a⊥b: D.若a⊥b,b1/a,则a⊥a 15.某运动员8次射击比赛的成绩为：9.6,9.7,9.5,9.9,9.4,9.8,9.3,10.0. 已知这组数据的第x百分位为m,若从这组数据中任取一个数，这个数比m大的概率为0.25，则x的 取值不可能是() A.65: B.70: C.75: D.80 16.平面上的向量a、万满足：园=3，=4，a1五 定义该平面上的向量集合A=} 非+d水斥+列，·a>x}给出如下两个结论： ①对任意c∈A,存在该平面的向量d∈A,满足c-d=0.5 ②对任意c∈A,存在该平面向量dEA,满足C-d=0.5 则下面判断正确的为() A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①正确，②正确D.①错误，②错误 三、解答题(5题，满分78分) 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，P为圆锥顶点，O为底面中心，A,B,C均在底面圆周上，且△ABC为等边三角形 (1)求证：平面POA⊥平面PBC: (2)若圆锥底面半径为2，高为2W√2，求点A到平面PBC的距离 18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分). 如图，在长方体ABCD-AB,C1D中，AB=AD=2,A4=1. A (1)求二面角D-AC-D的大小： D i/P (2)若点P在直线AC1上，求证：直线BP∥平面DAC. 19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分). 盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球. (1)从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从 盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率： (2)从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X,求X的分布、期望和方 差 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 已知椭圆r:十兰=a>b>0)的上顶点为401，离心率es3 ,过点P(-2,1)的直线1与椭圆T 2 交于B,C两点，直线AB、AC分别与x轴交于点M、N, A B N 0 (1)求椭圆T的方程： (2)已知命题“对任意直线1，线段MW的中点为定点”为直命题，求△AW的重心坐标： (3)是否存在直线1，使得S△4w=2S△4c？若存在，求出所有满足条件的直线1的方程；若不存在，请 说明理由.（其中S△Mw、S△ABc分别表示△AN、△ABC的面积） 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 设函数y=∫(x)的定义域为D,若存在实数k,使得对于任意x∈D,都有∫(x)≤k,则称函数y=f(x) 有上界，实数k的最小值为函数y=(x)的上确界 记集合M={)y=国在区间(0，+)上是严格增函数多. 1)求函数=，22<<⑥)的上确界， (2)若f(x)=x-hx2+2 xInxEM,求h的最大值： (3)设函数y=f(x)的定义域为(0，+o).若f(x)∈M,且y=f(x)有上界，求证：f(x)<0,且存在 函数y=∫(x),它的上确界为0. 参考答案： 一、填空题 1.A∩B=(1,4) 2.x=-2 311 22 2π 5.1: 6 7.无关： 8(号ua 9.3π： 10.Cp=60 11.134 、1 8,) 12.a∈(arccos. 二、选择题 13-16:DCDB 三、解答题 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) (1)连结AO交BC于点M, PO⊥BC AO⊥BC→BC⊥面POA,又BCC面PBC,所以平面POA⊥平面PBC; PO∩AO=O (2)作AH⊥PM,又BC⊥AH,BC∩PM=M,则AH⊥平面PBC.又MO=1,PO=2W2, PM=M=3,得AH=2√2，所以点A到平面PBC的距离为2W√2 18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)· 解：(1)设BD与AC相交与E,连接DE 因为ABCD为正方形，所以BD⊥AC, 又因为DD⊥平面ABCD,所以DE⊥AC, 2分 所以∠DED即为二面角D,-AC-D的平面角， .4分 B 由已知DE=√2，所以tan∠DED= 1 B 二面角A-AC-D的大小为retam …6分 2 (2)连接BA、BC1 因为BA IICD,所以BA∥平面DAC，2分 A D B P 因为BC1AD,所以BC1∥平面DAC,4分 所以平面BA,C1∥平面DAC, 6分 因为直线BPc平面BA,C1,所以直线BPW平面DAC 8分 方法二：以AB、AD、A4为x、以z轴，建立空间直角坐标系.则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,1), 2分 因为点P在直线AC1上，所以可设P(a,a,1), .4分 设平面DAC的法向量为n=(x,y,z), 由n.AC=0,n.AD=0,得2x+2y=0,2y+z=0, 所以可取=（1，-1,2)， .6分 因为BP=(a-2,a,1),所以nBP=0,进而n1BP, 又因为BP不在平面DAC上，所以直线BPI∥平面DAC. 8分 19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)· 解：(1)第一次取出红球的概率为子，取出白球的概率为；： 。1 …2分 ◆ 第一次取出红球，第二次取出红球的概率为×3=} 342 第一次取出白球，第二次取出红球的概奉为行×2。 1×1-1 .4分 所以第二次取出的球是红球的概率为方十。专 112 6分 C6-5 2PX0-P(X-D-0-(2 012 所以X的分布为115 …4分 12212 [x]=0 1+1x+2 1 54 123 6分 2 x48 513 所以D[x]=E[X]-([x]=1316-7 6918 .8分 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 【答案】(1)b=1,e= √3 -+y2=1: 2 所以椭圆r的方程为 (2)因为命题“对任意直线1，线段N的中点为定点为真命题，可以取直线1为y=-x-1,与+y2=1 4 联立得B -号)C0-,则y1.得40，N0.0,放6G坐为 83 410-0)=y010+-即G 41 3 33 (3)设1：y-1=x+2》,8(,）,CK,y):则直线AB:y-1=当x,令y=0,得4= -X1 y-1 理得：ww名 x 2 ￥-x3 为-1为-1k:+2)(飞+2)R(x+2飞+2） 设直线1与y指交千0点，00,2+0,40-2k,5h0-言2Xx+习 x-x2 SaMC=A0(x-x,因为SA4,=2SAB,故得(x+205+2)=x+20k+x)+4= 2k2 y=+2k+1 →1+4k2)x2+(16k2+8)x+16k2+16k=0, -+y2=1 4 16k2+8k 16k2+16k 则X十x2= 1+4k2, 1+4k2 代入得16k+16_322+16+4=1 解得=土 ,由图知道k=- 故直线1的方程为： 1+4k2 1+4k2 2 x+2y=0 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 0)解：函数y=弓在区间(20常减 所以函数y= 其品2<<0的位坟为[传： …2分 x-1 进而函数y= 2<<O)的上确界为2 …4分 (2)解：y-f四=x2-m+2x,y=2x-h+2 …2分 由已知，当x>0时，y=2x-h+2之0恒成立， …4分 因为2x-h+2≥4-h,所以≤4. 所以h的最大值为4 …6分 (3)证明：因为函数y=f(x)有上界，设f(x)≤k, 假设存在x∈(0，+0)，使得f(x)≥0，设x1>x, 因为=)eM,所以y=因在0+w)上严格增，进而f,f儿s之0 得f(x1)>0,k>0, …3分 取x2>为，且x3> Vr(x) 由，>，得sf0 由x3> 得ffs@ N() ①式与②式矛盾，所以假设不成立， 即对于任意x∈(0，+o),均有f(x)<0. …6分 令f田=1（x>0),则y-国-】 x2 因为当>0时，y亭>0 所以y=国在(0，m)上严格增，y=f(x)∈M x2 因为f(x)=-(x>0)的值域为(-∞，0)， 所以函数∫(x)=-是的上确界为0 …8分