第四章《基本平面图形》第2节《角》预习讲义——2026--2027学年北师大版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“角”的核心知识点，从静态与动态两种定义入手，系统梳理角的四种表示方法、度分秒六十进制换算、度量法与叠合法比较大小、角平分线定义及性质，到尺规作角步骤，构建递进式学习支架。 资料以两日打卡安排实现结构化预习，通过易错点汇总强化数学思维，结合类比、数形结合等思想培养抽象能力与几何直观。课中辅助教师授课，课后训练题助力学生查漏补缺，提升用数学语言表达角的计算与作图能力。

北师大版七年级上册预习 第四章 基本平面图形 第 2 节 角 📅 两日预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・概念认识 & 度量模块）】 ✅ 达成目标：理解角的概念，掌握角的表示方法，会进行度分秒的换算 通读课本角的概念和度量内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-3」的挖空填写。 熟记角的两种定义和四种表示方法，理解度、分、秒之间的换算关系。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能正确表示角，能进行度分秒的简单换算。 【Day2 预习任务（建议 30min・比较 & 作图模块）】 ✅ 达成目标：掌握角的大小比较方法，理解角平分线的概念，会用尺规作一个角等于已知角 通读课本角的比较、角平分线和尺规作图内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 4-5」剩余挖空填写。 掌握角的大小比较的两种方法（度量法、叠合法），理解角平分线的定义和性质。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能比较两个角的大小，能利用角平分线进行角度计算，了解尺规作角的基本步骤。 一、核心知识点梳理 知识点 1：角的定义 角的定义有两种： （1）静态定义：角由两条具有 公共端点 的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线是角的两条边。 （2）动态定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。起始位置的射线叫做角的 始边 ，终止位置的射线叫做角的 终边 。 特殊的角： ①平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。1平角 = __180__°。 ②周角：终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角。1周角 = __360__°。 💡重要结论：角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的程度有关。 知识点 2：角的表示方法 角通常有四种表示方法： （1）用三个大写英文字母表示：如∠AOB或∠BOA，顶点字母O必须写在中间。 （2）用一个大写英文字母表示：如∠O，当顶点处只有一个角时才能用这种方法。 （3）用一个阿拉伯数字表示：如∠1，需要在图中用弧线标注。 （4）用一个希腊字母表示：如∠α，需要在图中用弧线标注。 ⚠️易错提醒：当顶点处有多个角时，不能只用一个顶点字母表示角，否则分不清表示的是哪个角。 知识点 3：角的度量与单位换算 角的度量单位：度、分、秒（°、′、″）。 换算关系： 1° = __60__′，1′ = __60__″； 1周角 = 360 °，1平角 = 180 °，1直角 = 90 °。 度、分、秒之间是六十进制，即满60进1。 换算方法： ①大单位化小单位（度→分→秒）：乘以60； ②小单位化大单位（秒→分→度）：除以60。 ⚠️易错提醒：度分秒的换算是六十进制，不是十进制，不要搞错进率。 知识点 4：角的大小比较 比较两个角的大小，有两种方法： （1）度量法：用量角器量出两个角的度数，根据度数比较大小。度数大的角大，度数小的角小。 （2）叠合法：将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，根据另一条边的位置比较大小。 ①如果另一条边也重合，那么这两个角相等； ②如果另一条边落在角的内部，那么这个角小； ③如果另一条边落在角的外部，那么这个角大。 💡类比思想：角的大小比较与线段的长短比较类似，都有度量法和叠合法两种方法。 知识点 5：角的平分线 定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 如图，射线OC是∠AOB的平分线， 则：∠AOC = ∠BOC = ____∠AOB 或 ∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC 角平分线的性质：角平分线是从角的顶点出发的一条射线，它在角的内部，把角分成两个相等的角。 ⚠️易错提醒：角平分线是一条射线，不是直线也不是线段，它从角的顶点出发，在角的内部。 知识点 6：用尺规作一个角等于已知角 已知∠AOB，用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′ = ∠AOB。 作法（一线三弧）： ①作射线O′A′； ②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D； ③以点O′为圆心，以OC的长为半径作弧，交O′A′于点C′； ④以点C′为圆心，以CD的长为半径作弧，交前面的弧于点D′； ⑤过点D′作射线O′B′。 ∠A′O′B′就是所求作的角。 💡拓展：用尺规还可以作两个角的和、差、倍角等。 ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：角的两边画得越长，角就越大。角的大小与边的长短无关，只与两边张开的程度有关。 易错点2：当顶点处有多个角时，只用一个顶点字母表示角。这样会分不清表示的是哪个角，必须用三个字母或数字、希腊字母表示。 易错点3：度分秒的换算按十进制计算。度分秒是六十进制，1°=60′，1′=60″，不要当成十进制。 易错点4：平角就是一条直线，周角就是一条射线。平角和周角都是角，有顶点和两条边，只是两条边的位置特殊。 易错点5：角平分线是一条直线或线段。角平分线是从角的顶点出发的一条射线，在角的内部。 易错点6：用尺规作角时，半径长度可以随意改变。第二步和第三步的半径必须相等（都等于OC），第四步的半径必须等于CD，不能随意改变。 二、基本概念定义 角：由两条具有公共端点的__射线__组成的图形叫做角，公共端点叫做角的__顶点__，两条射线叫做角的两边。 平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条__直线__时，所成的角叫做平角。 周角：一条射线绕它的端点旋转，当终边又和始边__重合__时，所成的角叫做周角。 角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个__相等__的角，这条射线叫做这个角的平分线。 角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。1°=__60__′，1′=__60__″。 三、数学思想方法 1. 类比思想 角的大小比较与线段的长短比较相类比，都有度量法和叠合法两种方法；角平分线与线段中点相类比，都具有"平分"的性质。通过类比，可以将已有的知识和方法迁移到新的知识学习中，提高学习效率。 2. 数形结合思想 角的概念既有"形"的特征（两条射线组成的图形），又有"数"的特征（可以用度数表示大小）。角的大小比较、角平分线的计算等，都体现了数形结合思想，将图形的位置关系与数量关系结合起来。 3. 转化思想 度分秒的换算体现了转化思想：将大单位转化为小单位，或将小单位转化为大单位。角的和差计算也可以通过转化，将复杂的角度计算转化为简单的加减运算。 4. 分类讨论思想 在涉及角的位置关系时，有时需要分类讨论。例如，已知一个角和另一个角的关系，但没有给出图形时，需要考虑多种位置情况，分别进行计算。 5. 方程思想 在角的计算问题中，经常用到方程思想。设未知数，根据角的和差关系、角平分线的性质等列出方程，通过解方程求出未知角的度数。方程思想是解决几何计算问题的重要方法。 四、预习训练 一、选择题 1.（2025-2026学年·北师大版同步）下列关于角的定义说法正确的是（　　　） A. 两条射线组成的图形叫做角 B. 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 C. 两条直线相交形成的图形叫做角 D. 两条线段组成的图形叫做角 【答案】 B 【解析】 本题考查角的定义。角是由有公共端点的两条射线组成的图形，两条射线的公共端点是角的顶点，两条射线是角的两边。 【解答】 解：根据角的定义，角是由有公共端点的两条射线组成的图形。 A. 两条射线如果没有公共端点，就不是角，故本选项错误； B. 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，正确； C. 两条直线相交形成的是四个角，不是角的定义，故本选项错误； D. 角的两边是射线，不是线段，故本选项错误。 故选：B。 2.（2024·同步）下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查角的表示方法。当顶点处只有一个角时，才能用一个顶点字母表示这个角。 【解答】 解：用一个顶点字母表示角的条件是：顶点处只有一个角。 A. 顶点O处有多个角，不能用∠O表示，故本选项错误； B. 顶点O处只有一个角，可以用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示，正确； C. 顶点O处有两个角，不能用∠O表示，故本选项错误； D. 顶点O处有多个角，不能用∠O表示，故本选项错误。 故选：B。 3.（2024-2025学年·天津河西期末）1.45°等于多少分？等于多少秒？（　　　） A. 87′，5220″ B. 87′，5220″ C. 145′，8700″ D. 45′，2700″ 【答案】 A 【解析】 本题考查度分秒的换算。1°=60′，1′=60″，大单位化小单位乘以60。 【解答】 解：因为1°=60′， 所以1.45° = 1.45 × 60′ = 87′； 因为1′=60″， 所以87′ = 87 × 60″ = 5220″。 即1.45° = 87′ = 5220″。 故选：A。 4.（2025·山东青岛模拟）下列说法正确的是（　　　） A. 角的两边越长，角越大 B. 平角就是一条直线 C. 周角就是一条射线 D. 角的大小与边的长短无关 【答案】 D 【解析】 本题考查角的基本概念。角的大小与边的长短无关，只与两边张开的程度有关；平角和周角都是角，有顶点和两条边。 【解答】 解：A. 角的大小与边的长短无关，只与两边张开的程度有关，故本选项错误； B. 平角是一个角，有顶点和两条边，只是两条边在同一条直线上，不是一条直线，故本选项错误； C. 周角是一个角，有顶点和两条边，只是两条边重合在一起，不是一条射线，故本选项错误； D. 角的大小与边的长短无关，只与两边张开的程度有关，正确。 故选：D。 5.（2024-2025学年·辽宁丹东期末）下列各角中，最大的是（　　　） A. 15.24° B. 15°24′ C. 15°14′24″ D. 15.4° 【答案】 B 【解析】 本题考查角的大小比较。将各选项统一化为度的形式，再比较大小。 【解答】 解：将各选项统一化为度： A. 15.24° B. 15°24′ = 15° + (24÷60)° = 15° + 0.4° = 15.4° C. 15°14′24″ = 15°14′ + (24÷60)′ = 15°14.4′ = 15° + (14.4÷60)° = 15° + 0.24° = 15.24° D. 15.4° 因为15.4° = 15°24′ > 15.24° = 15°14′24″， 所以最大的是15°24′。 故选：B。 6.（2025·绥化期中）甲在乙的北偏西40°方向上，则乙在甲的（　　　）方向。 A. 南偏东40° B. 西偏北40° C. 南偏西40° D. 北偏西60° 【答案】 A 【解析】 本题考查方向角。方向角是相对的，甲在乙的北偏西40°，则乙在甲的南偏东40°。 【解答】 解：方向角是相对的，北与南相对，西与东相对。 甲在乙的北偏西40°方向上， 则乙在甲的南偏东40°方向上。 故选：A。 7.（2024-2025学年·山西临汾阶段练习）如图，已知∠AOB=80°，OC是∠AOB内部的一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE的度数是（　　　） A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 【答案】 B 【解析】 本题考查角平分线的性质。双角平分线模型：∠DOE = 1/2∠AOB。 【解答】 解：因为OD平分∠AOC， 所以∠DOC = 1/2∠AOC； 因为OE平分∠BOC， 所以∠COE = ∠BOC。 所以∠DOE = ∠DOC + ∠COE = ∠AOC + ∠BOC = (∠AOC + ∠BOC) = ∠AOB = × 80° = 40°。 故选：B。 8.（2025·慈溪期末）如图，射线OB，OC分别在∠AOD，∠BOD的内部，且射线OM，ON分别平分∠AOB，∠COD。若∠MON=α，∠BOC=β，则∠AOD=（　　　） A. 2α B. 2α-β C. α+β D. α-β 【答案】 B 【解析】 本题考查角的运算和角平分线的概念。利用角平分线的性质，将∠AOD用∠MON和∠BOC表示出来。 【解答】 解：因为OM平分∠AOB，所以∠AOB = 2∠MOB； 因为ON平分∠COD，所以∠COD = 2∠CON。 因为∠MON = ∠MOB + ∠BOC + ∠CON = α， 所以∠MOB + ∠CON = α - β。 所以∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD = 2∠MOB + β + 2∠CON = 2(∠MOB + ∠CON) + β = 2(α - β) + β = 2α - 2β + β = 2α - β。 故选：B。 9.（2024-2025学年·北师大版七年级）用尺规作一个角等于已知角，其作图的依据是（　　　） A. 全等三角形的对应角相等 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间线段最短 D. 同位角相等 【答案】 A 【解析】 本题考查尺规作角的依据。用尺规作一个角等于已知角，实际上是构造了两个全等的三角形，利用全等三角形的对应角相等来保证两个角相等。 【解答】 解：用尺规作一个角等于已知角的过程中， 我们通过画弧构造了两个三边分别相等的三角形（OC=O′C′，OD=O′D′，CD=C′D′）， 根据"边边边"可以判定这两个三角形全等， 再根据全等三角形的对应角相等，得到两个角相等。 所以作图的依据是全等三角形的对应角相等。 故选：A。 10.（2025-2026学年·湖北武汉阶段练习）下列说法中，正确的个数是（　　　） ①角的大小与边的长短无关； ②角的两边可以一样长，也可以一长一短； ③角的两边是两条射线； ④角平分线是一条线段。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】 C 【解析】 本题考查角的基本概念。逐一判断每个说法的正确性。 【解答】 解：①角的大小与边的长短无关，只与两边张开的程度有关，正确； ②角的两边是射线，可以向一端无限延伸，所以可以一样长，也可以一长一短，正确； ③角的两边是两条射线，正确； ④角平分线是一条射线，不是线段，故④错误。 所以正确的有①②③，共3个。 故选：C。 二、填空题 11.（2024-2025学年·北师大版同步）34.28°=___34___°___16___′__48____″。 【答案】 34；16；48 【解析】 本题考查度分秒的换算。将度的小数部分乘以60化为分，再将分的小数部分乘以60化为秒。 【解答】 解：34.28° = 34° + 0.28° 0.28° = 0.28 × 60′ = 16.8′ 16.8′ = 16′ + 0.8′ 0.8′ = 0.8 × 60″ = 48″ 所以34.28° = 34°16′48″。 故答案为：34；16；48。 12.（2025-2026学年·北师大版同步）∠α=18°20′，∠β=6°30′，则∠α+∠β=__24°50′____。 【答案】 24°50′ 【解析】 本题考查角的和差运算。度与度相加，分与分相加，满60进1。 【解答】 解：∠α + ∠β = 18°20′ + 6°30′ = (18° + 6°) + (20′ + 30′) = 24° + 50′ = 24°50′。 故答案为：24°50′。 13.（2024·旺苍期末）如图，OC是∠AOB内的一条射线，OD是∠BOC的平分线。如果∠AOB=80°，∠BOC=30°，那么∠AOD=__65____度。 【答案】 65 【解析】 本题考查角平分线的性质和角的计算。先利用角平分线求出∠COD，再求∠AOD。 【解答】 解：因为OD是∠BOC的平分线，∠BOC=30°， 所以∠COD = ∠BOC = × 30° = 15°。 因为∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 80° - 30° = 50°， 所以∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 50° + 15° = 65°。 故答案为：65。 14.（2025-2026学年·江西上饶期末）从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线是角平分线，将一个角分成相等的三个角的射线是角的三分线。已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的一条三分线，且∠AOC>∠BOC，则∠AOC=__40____°。 【答案】 40 【解析】 本题考查角的三分线。三分线把角分成1:2的两部分，较大的部分占2/3。 【解答】 解：因为OC是∠AOB的一条三分线，且∠AOC > ∠BOC， 所以∠AOC占2份，∠BOC占1份。 所以∠AOC = 2/3∠AOB = 2/3 × 60° = 40°。 故答案为：40。 15.（2024-2025学年·天津部分区期末）如图，灯塔A在轮船O的南偏东方向上，那么轮船O在灯塔A的___北偏西___方向上。 【答案】 北偏西 【解析】 本题考查方向角的相对性。南与北相对，东与西相对。 【解答】 解：方向角是相对的。 灯塔A在轮船O的南偏东方向上， 则轮船O在灯塔A的北偏西方向上。 （南对北，东对西） 故答案为：北偏西。 16.（2025-2026学年·北师大版同步）把一个周角7等分，每份的度数是__51°26′____（精确到分）。 【答案】 51°26′ 【解析】 本题考查角度的除法运算。360°÷7，将余数转化为分继续计算。 【解答】 解：360° ÷ 7 = 51° + 3° ÷ 7 3° = 180′ 180′ ÷ 7 ≈ 25.71′ ≈ 26′（精确到分） 所以360° ÷ 7 ≈ 51°26′。 故答案为：51°26′。 三、解答题 17.（2024-2025学年·北师大版同步）计算： （1）56°18′ + 72°48′； （2）131°28′ - 51°32′15″。 【答案】 （1）129°6′；（2）79°55′45″。 【解析】 本题考查度分秒的加减运算。度、分、秒分别相加减，加法满60进1，减法不够减时借1当60。 【解答】 解：（1）56°18′ + 72°48′ = (56° + 72°) + (18′ + 48′) = 128° + 66′ = 128° + 1°6′ = 129°6′。 （2）131°28′ - 51°32′15″ = 131°27′60″ - 51°32′15″ = 130°87′60″ - 51°32′15″ = (130° - 51°) + (87′ - 32′) + (60″ - 15″) = 79° + 55′ + 45″ = 79°55′45″。 18.（2025·武汉外校期末）如图，已知∠AOB=60°，∠AOD=100°，OC平分∠BOD。 （1）求∠AOC的度数； （2）若∠AOB + ∠AOD = 160°，求∠AOC的度数。 【答案】 （1）∠AOC=80°；（2）∠AOC=80°。 【解析】 本题考查角平分线的性质和角的计算。先求出∠BOD，再利用角平分线求∠BOC，最后求∠AOC。 【解答】 解：（1）因为∠AOB=60°，∠AOD=100°， 所以∠BOD = ∠AOD - ∠AOB = 100° - 60° = 40°。 因为OC平分∠BOD， 所以∠BOC = ∠BOD = × 40° = 20°。 所以∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 60° + 20° = 80°。 （2）设∠AOB = α，∠AOD = β，则α + β = 160°。 ∠BOD = β - α， ∠BOC = (β - α)， ∠AOC = α + (β - α) = α + - = + = = = 80°。 所以∠AOC = 80°。 19.（2025-2026学年·北师大版同步）如图，已知∠AOB，用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB。（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 作图略。（按"一线三弧"的步骤作图即可） 【解析】 本题考查尺规作一个角等于已知角。按照"一线三弧"的步骤作图：作射线→画弧交两边→画弧→截取等长→作射线。 【解答】 解：作图步骤（不要求写出，保留痕迹即可）： ①作射线O′A′； ②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D； ③以点O′为圆心，以OC的长为半径作弧，交O′A′于点C′； ④以点C′为圆心，以CD的长为半径作弧，交前面的弧于点D′； ⑤过点D′作射线O′B′。 ∠A′O′B′就是所求作的角。 20.（2024-2025学年·湖北武汉期末）如图，已知∠AOB=120°，OC在∠AOB的内部，且∠AOC=∠BOC。 （1）求∠BOC的度数； （2）尺规作图：在∠AOB内部，过点O作射线OD，使∠AOD=2∠AOC。（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】 （1）∠BOC=90°；（2）作图略。 【解析】 本题考查角的计算和尺规作图。（1）设未知数，根据角的和差关系列方程求解；（2）用尺规作一个角等于已知角的2倍。 【解答】 解：（1）设∠AOC = x，则∠BOC = 3x。 因为∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = 120°， 所以x + 3x = 120°， 4x = 120°， x = 30°。 所以∠BOC = 3x = 90°。 （2）如图所示： ①以OA为一边，作∠AOC = 30°（已知）； ②以OC为一边，在∠AOC的外部作∠COD = ∠AOC = 30°； 则∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 60° = 2∠AOC。 射线OD即为所求。 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版七年级上册预习 第四章 基本平面图形 第 2 节 角 📅 两日预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・概念认识 & 度量模块）】 ✅ 达成目标：理解角的概念，掌握角的表示方法，会进行度分秒的换算 通读课本角的概念和度量内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-3」的挖空填写。 熟记角的两种定义和四种表示方法，理解度、分、秒之间的换算关系。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能正确表示角，能进行度分秒的简单换算。 【Day2 预习任务（建议 30min・比较 & 作图模块）】 ✅ 达成目标：掌握角的大小比较方法，理解角平分线的概念，会用尺规作一个角等于已知角 通读课本角的比较、角平分线和尺规作图内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 4-5」剩余挖空填写。 掌握角的大小比较的两种方法（度量法、叠合法），理解角平分线的定义和性质。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能比较两个角的大小，能利用角平分线进行角度计算，了解尺规作角的基本步骤。 一、核心知识点梳理 知识点 1：角的定义 角的定义有两种： （1）静态定义：角由两条具有 的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线是角的两条边。 （2）动态定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。起始位置的射线叫做角的 ，终止位置的射线叫做角的 。 特殊的角： ①平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。1平角 = ____°。 ②周角：终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角。1周角 = ____°。 💡重要结论：角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的程度有关。 知识点 2：角的表示方法 角通常有四种表示方法： （1）用三个大写英文字母表示：如∠AOB或∠BOA，顶点字母O必须写在中间。 （2）用一个大写英文字母表示：如∠O，当顶点处只有一个角时才能用这种方法。 （3）用一个阿拉伯数字表示：如∠1，需要在图中用弧线标注。 （4）用一个希腊字母表示：如∠α，需要在图中用弧线标注。 ⚠️易错提醒：当顶点处有多个角时，不能只用一个顶点字母表示角，否则分不清表示的是哪个角。 知识点 3：角的度量与单位换算 角的度量单位：度、分、秒（°、′、″）。 换算关系： 1° = ____′，1′ = ____″； 1周角 = °，1平角 = °，1直角 = °。 度、分、秒之间是六十进制，即满60进1。 换算方法： ①大单位化小单位（度→分→秒）：乘以60； ②小单位化大单位（秒→分→度）：除以60。 ⚠️易错提醒：度分秒的换算是六十进制，不是十进制，不要搞错进率。 知识点 4：角的大小比较 比较两个角的大小，有两种方法： （1）度量法：用量角器量出两个角的度数，根据度数比较大小。度数大的角大，度数小的角小。 （2）叠合法：将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，根据另一条边的位置比较大小。 ①如果另一条边也重合，那么这两个角相等； ②如果另一条边落在角的内部，那么这个角小； ③如果另一条边落在角的外部，那么这个角大。 💡类比思想：角的大小比较与线段的长短比较类似，都有度量法和叠合法两种方法。 知识点 5：角的平分线 定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 如图，射线OC是∠AOB的平分线， 则：∠AOC = ∠BOC = ____∠AOB 或 ∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC 角平分线的性质：角平分线是从角的顶点出发的一条射线，它在角的内部，把角分成两个相等的角。 ⚠️易错提醒：角平分线是一条射线，不是直线也不是线段，它从角的顶点出发，在角的内部。 知识点 6：用尺规作一个角等于已知角 已知∠AOB，用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′ = ∠AOB。 作法（一线三弧）： ①作射线O′A′； ②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D； ③以点O′为圆心，以OC的长为半径作弧，交O′A′于点C′； ④以点C′为圆心，以CD的长为半径作弧，交前面的弧于点D′； ⑤过点D′作射线O′B′。 ∠A′O′B′就是所求作的角。 💡拓展：用尺规还可以作两个角的和、差、倍角等。 ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：角的两边画得越长，角就越大。角的大小与边的长短无关，只与两边张开的程度有关。 易错点2：当顶点处有多个角时，只用一个顶点字母表示角。这样会分不清表示的是哪个角，必须用三个字母或数字、希腊字母表示。 易错点3：度分秒的换算按十进制计算。度分秒是六十进制，1°=60′，1′=60″，不要当成十进制。 易错点4：平角就是一条直线，周角就是一条射线。平角和周角都是角，有顶点和两条边，只是两条边的位置特殊。 易错点5：角平分线是一条直线或线段。角平分线是从角的顶点出发的一条射线，在角的内部。 易错点6：用尺规作角时，半径长度可以随意改变。第二步和第三步的半径必须相等（都等于OC），第四步的半径必须等于CD，不能随意改变。 二、基本概念定义 角：由两条具有公共端点的____组成的图形叫做角，公共端点叫做角的____，两条射线叫做角的两边。 平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条____时，所成的角叫做平角。 周角：一条射线绕它的端点旋转，当终边又和始边____时，所成的角叫做周角。 角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个____的角，这条射线叫做这个角的平分线。 角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。1°=____′，1′=____″。 三、数学思想方法 1. 类比思想 角的大小比较与线段的长短比较相类比，都有度量法和叠合法两种方法；角平分线与线段中点相类比，都具有"平分"的性质。通过类比，可以将已有的知识和方法迁移到新的知识学习中，提高学习效率。 2. 数形结合思想 角的概念既有"形"的特征（两条射线组成的图形），又有"数"的特征（可以用度数表示大小）。角的大小比较、角平分线的计算等，都体现了数形结合思想，将图形的位置关系与数量关系结合起来。 3. 转化思想 度分秒的换算体现了转化思想：将大单位转化为小单位，或将小单位转化为大单位。角的和差计算也可以通过转化，将复杂的角度计算转化为简单的加减运算。 4. 分类讨论思想 在涉及角的位置关系时，有时需要分类讨论。例如，已知一个角和另一个角的关系，但没有给出图形时，需要考虑多种位置情况，分别进行计算。 5. 方程思想 在角的计算问题中，经常用到方程思想。设未知数，根据角的和差关系、角平分线的性质等列出方程，通过解方程求出未知角的度数。方程思想是解决几何计算问题的重要方法。 四、预习训练 一、选择题 1.（2025-2026学年·北师大版同步）下列关于角的定义说法正确的是（　　　） A. 两条射线组成的图形叫做角 B. 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 C. 两条直线相交形成的图形叫做角 D. 两条线段组成的图形叫做角 2.（2024·同步）下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　　） A. B. C. D. 3.（2024-2025学年·天津河西期末）1.45°等于多少分？等于多少秒？（　　　） A. 87′，5220″ B. 87′，5220″ C. 145′，8700″ D. 45′，2700″ 4.（2025·山东青岛模拟）下列说法正确的是（　　　） A. 角的两边越长，角越大 B. 平角就是一条直线 C. 周角就是一条射线 D. 角的大小与边的长短无关 5.（2024-2025学年·辽宁丹东期末）下列各角中，最大的是（　　　） A. 15.24° B. 15°24′ C. 15°14′24″ D. 15.4° 6.（2025·绥化期中）甲在乙的北偏西40°方向上，则乙在甲的（　　　）方向。 A. 南偏东40° B. 西偏北40° C. 南偏西40° D. 北偏西60° 7.（2024-2025学年·山西临汾阶段练习）如图，已知∠AOB=80°，OC是∠AOB内部的一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE的度数是（　　　） A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 8.（2025·慈溪期末）如图，射线OB，OC分别在∠AOD，∠BOD的内部，且射线OM，ON分别平分∠AOB，∠COD。若∠MON=α，∠BOC=β，则∠AOD=（　　　） A. 2α B. 2α-β C. α+β D. α-β 9.（2024-2025学年·北师大版七年级）用尺规作一个角等于已知角，其作图的依据是（　　　） A. 全等三角形的对应角相等 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间线段最短 D. 同位角相等 10.（2025-2026学年·湖北武汉阶段练习）下列说法中，正确的个数是（　　　） ①角的大小与边的长短无关； ②角的两边可以一样长，也可以一长一短； ③角的两边是两条射线； ④角平分线是一条线段。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11.（2024-2025学年·北师大版同步）34.28°=______°______′______″。 12.（2025-2026学年·北师大版同步）∠α=18°20′，∠β=6°30′，则∠α+∠β=______。 13.（2024·旺苍期末）如图，OC是∠AOB内的一条射线，OD是∠BOC的平分线。如果∠AOB=80°，∠BOC=30°，那么∠AOD=______度。 14.（2025-2026学年·江西上饶期末）从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线是角平分线，将一个角分成相等的三个角的射线是角的三分线。已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的一条三分线，且∠AOC>∠BOC，则∠AOC=______°。 15.（2024-2025学年·天津部分区期末）如图，灯塔A在轮船O的南偏东方向上，那么轮船O在灯塔A的______方向上。 16.（2025-2026学年·北师大版同步）把一个周角7等分，每份的度数是______（精确到分）。 三、解答题 17.（2024-2025学年·北师大版同步）计算： （1）56°18′ + 72°48′； （2）131°28′ - 51°32′15″。 18.（2025·武汉外校期末）如图，已知∠AOB=60°，∠AOD=100°，OC平分∠BOD。 （1）求∠AOC的度数； （2）若∠AOB + ∠AOD = 160°，求∠AOC的度数。 19.（2025-2026学年·北师大版同步）如图，已知∠AOB，用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB。（不写作法，保留作图痕迹） 20.（2024-2025学年·湖北武汉期末）如图，已知∠AOB=120°，OC在∠AOB的内部，且∠AOC=∠BOC。 （1）求∠BOC的度数； （2）尺规作图：在∠AOB内部，过点O作射线OD，使∠AOD=2∠AOC。（保留作图痕迹，不要求写作法） 学科网（北京）股份有限公司 $