1.2.1《有理数及其大小比较》 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数概念核心知识点，系统梳理整数（正整数、0、负整数）、分数（正分数、负分数，含有限小数和无限循环小数）的定义，明确有理数为可写成分数形式的数（整数和分数统称有理数），进而构建按定义和按性质的两种分类体系及“非”字系列概念，形成递进式学习支架。 该资料以两日结构化预习任务（分概念认识与分类应用）为特色，结合高频易错点提醒（如0的归属、无限不循环小数非有理数），融入分类讨论等数学思想，通过挖空填写和真题训练培养抽象能力与推理意识。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生自检查漏，提升应用意识。

人教版数学七年级上册预习 第一章 有理数 第 2 节 有理数及其大小比较 第1课时：有理数的概念 📅 两日预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・概念认识与分类）】 ✅ 达成目标：理解有理数的概念，掌握整数和分数的定义，能按定义对有理数进行分类 通读课本 P6-P7 有理数概念内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-3」的挖空填写。 熟记整数、分数、有理数的定义，理解整数可以写成分数形式的原因。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能准确判断一个数是否为有理数，能说出整数和分数分别包含哪些数。 【Day2 预习任务（建议 30min・分类应用与拓展）】 ✅ 达成目标：掌握有理数的两种分类方法，理解"非"字系列概念，能解决有理数分类综合问题 通读课本 P7 例题、练习内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 4-5」剩余挖空填写。 熟练掌握有理数按定义分类和按性质分类两种方法，理解分类的不重不漏原则。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能将一组数正确填入不同集合，能判断关于有理数分类的说法是否正确。 一、核心知识点梳理 知识点 1：整数的概念 正整数、0、负整数统称为__整数__。 正整数：1，2，3，…（大于0的整数） 0：既不是正整数，也不是负整数，是整数的特殊成员 负整数：-1，-2，-3，…（小于0的整数） ⚠️易错提醒：0是整数，但0既不是正数也不是负数，所以0不是正整数，也不是负整数。 知识点 2：分数的概念 正分数、负分数统称为__分数__。 正分数：如，，，0.1，5.32，0.3̇，… 负分数：如-，-，-，-0.5，-150.5，… 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也可以看成__分数__。 ⚠️易错提醒：无限不循环小数不能化为分数，所以不是分数，也不是有理数（如π）。 知识点 3：有理数的定义 可以写成分数形式的数称为__有理数__。 整数可以写成分数的形式： ①正整数可以写成正分数的形式，例如 2 = ； ②负整数可以写成负分数的形式，例如 -3 = -； ③0也可以写成分数的形式，例如 0 = 。 因此，整数和分数都是有理数，即整数和分数统称为__有理数__。 ⚠️易错提醒：判断一个数是不是有理数，关键看它能不能化成分数形式（两个整数的比）。能化成分数的就是有理数，不能化成分数的就不是有理数。 知识点 4：有理数按定义分类 按整数和分数的定义，有理数可分为： ⚠️易错提醒：分类要做到"不重不漏"，每个有理数只能属于其中一类，不能重复，也不能遗漏。0单独一类，不要把0放到正整数或负整数里。 知识点 5：有理数按性质分类 按正负性质，有理数可分为： ⚠️易错提醒：0既不是正有理数，也不是负有理数，是正有理数和负有理数的分界。按性质分类时，0必须单独作为一类。 知识点 6："非"字系列概念 非负数：正数和__0__统称为非负数（即不是负数的数）。 非正数：负数和0统称为非正数（即不是正数的数）。 非负整数：正整数和__0__统称为非负整数（即不是负整数的整数，也叫自然数）。 非正整数：负整数和0统称为非正整数（即不是正整数的整数）。 非负有理数：正有理数和0统称为非负有理数。 非正有理数：负有理数和0统称为非正有理数。 ⚠️易错提醒："非负"就是"不是负的"，包含0和正数；"非正"就是"不是正的"，包含0和负数。千万不要漏掉0！ ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：认为0不是整数，或认为0是正整数/负整数。0是整数，但0既不是正整数也不是负整数。 易错点2：认为小数都是分数，都是有理数。只有有限小数和无限循环小数才是分数（有理数），无限不循环小数（如π）不是有理数。 易错点3：有理数分类时漏掉0，或把0放错类别。按定义分类时0属于整数；按性质分类时0单独一类。 易错点4：认为正有理数就是正数，负有理数就是负数。正数和负数的范围比正有理数和负有理数大，正数还包括正无理数。 易错点5："非负整数"理解错误，以为是"不是负的数"（包括分数）。非负整数首先要是整数，然后不是负的，即正整数和0。 易错点6：分类时出现重复或遗漏。分类的原则是"不重不漏"，每个数只能属于一类，所有数都要分到某一类。 二、基本概念定义 整数：正整数、__0__、负整数统称为整数。 分数：正分数和__负分数__统称为分数。有限小数和无限循环小数都可以化为分数。 有理数：可以写成__分数__形式的数称为有理数。整数和分数统称为有理数。 正有理数：可以写成__正分数__形式的数叫做正有理数，包括正整数和正分数。 非负整数：__正整数__和0统称为非负整数（也叫自然数）。 三、数学思想方法 1. 分类讨论思想（核心思想） 有理数可以按不同标准进行分类（按定义分、按性质分），体现了分类讨论的数学思想。分类时要注意标准统一、不重不漏。分类思想是数学中最重要的思想之一，在后续学习中会经常用到。 2. 转化思想 整数可以转化为分数形式（分母为1的分数），有限小数和无限循环小数可以转化为分数，体现了转化思想。通过转化，我们可以将不同形式的数统一到分数的框架下，从而更方便地研究它们的性质。 3. 集合思想 将具有某种共同特征的数放在一起组成集合（如正整数集合、负分数集合等），体现了集合思想。集合思想是现代数学的基础思想，帮助我们从整体上把握一类数的特征。 4. 数形结合思想（铺垫） 有理数的分类为后续学习数轴奠定了基础。通过数轴，我们可以将有理数与数轴上的点一一对应起来，用图形直观地表示数的位置和大小关系，这就是数形结合思想。 5. 从特殊到一般的思想 从具体的正整数、负整数、正分数、负分数等特殊的数，归纳概括出整数、分数、有理数等一般概念，体现了从特殊到一般的认识规律，也是数学概念形成的重要方法。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024·贵州模拟预测）下列说法正确的是（　　　） A. 正数和负数统称有理数 B. 正整数和负整数统称为整数 C. 0既不属于整数也不属于分数 D. 整数和分数统称为有理数 【答案】 D 【解析】 本题考查有理数的分类。根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数。 【解答】 解：A. 正数、负数和0统称为有理数，漏掉了0，故本选项错误； B. 正整数、0和负整数统称为整数，漏掉了0，故本选项错误； C. 0是整数，也是有理数，故本选项错误； D. 整数和分数统称为有理数，这是有理数的定义，故本选项正确。 故选：D。 2.（2025·广东汕头期末）下列各数中，不是有理数的是（　　　） A. B. 0 C. -15 D. π 【答案】 D 【解析】 本题考查有理数的定义。有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。π是无限不循环小数，不能化成分数，所以不是有理数。 【解答】 解：A. 1/3是分数，是有理数，故本选项不符合题意； B. 0是整数，是有理数，故本选项不符合题意； C. -15是整数，是有理数，故本选项不符合题意； D. π是无限不循环小数，不能化成分数，不是有理数，故本选项符合题意。 故选：D。 3.（2024-2025学年·广西贺州期末）在数-3，0，+5，-3，+3.1，-，2024中，整数有（　　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】 C 【解析】 本题考查整数的概念。整数包括正整数、0和负整数。 【解答】 解：根据整数的定义，整数包括正整数、0和负整数。 -3是负整数，0是整数，+5是正整数，2024是正整数，共4个； -3、+3.1、-都是分数，不是整数。 所以整数有4个。 故选：C。 4.（2025-2026学年·陕西安康期中）下列说法中，错误的有（　　　） ①0是最小的有理数；②整数就是正整数和负整数；③分数包括正分数、负分数；④无限小数都是无理数。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】 C 【解析】 本题考查有理数的相关概念。逐一分析每个说法是否正确。 【解答】 解：①没有最小的有理数，因为负有理数可以无限小，故①错误； ②整数包括正整数、0和负整数，漏掉了0，故②错误； ③分数包括正分数和负分数，故③正确； ④无限不循环小数才是无理数，无限循环小数是有理数，故④错误。 所以错误的有①②④，共3个。 故选：C。 5.（2024-2025学年·广东广州阶段练习）下列各数中，属于正有理数的是（　　　） A. -0.1 B. 0 C. D. -3 【答案】 C 【解析】 本题考查正有理数的概念。正有理数包括正整数和正分数。 【解答】 解：正有理数是指大于0的有理数，包括正整数和正分数。 A. -0.1是负分数，是负有理数，不符合题意； B. 0既不是正有理数，也不是负有理数，不符合题意； C. 是正分数，是正有理数，符合题意； D. -3是负整数，是负有理数，不符合题意。 故选：C。 6.（2025-2026学年·北京海淀期中）在下列各数中，非负整数有（　　　） -3，0，+5，-，+3.14，2025，-20 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】 B 【解析】 本题考查非负整数的概念。非负整数是指不是负的整数，即正整数和0。 【解答】 解：非负整数包括正整数和0。 在给出的数中： -3是负整数，不是非负整数； 0是非负整数； +5是正整数，是非负整数； -是负分数，不是整数； +3.14是正分数，不是整数； 2025是正整数，是非负整数； -20是负整数，不是非负整数。 所以非负整数有：0，+5，2025，共3个。 故选：B。 7.（2024-2025学年·陕西西安月考）下列关于有理数的说法正确的是（　　　） A. 有理数分为正有理数和负有理数 B. 有理数分为整数和分数 C. 有理数分为整数、分数和0 D. 有理数分为自然数和负整数 【答案】 B 【解析】 本题考查有理数的分类。有理数有两种分类方法：按定义分为整数和分数；按性质分为正有理数、0和负有理数。 【解答】 解：A. 有理数分为正有理数、0和负有理数，漏掉了0，故本选项错误； B. 有理数分为整数和分数，这是按定义分类，正确； C. 0本身就是整数，不能单独列出来与整数、分数并列，分类重复了，故本选项错误； D. 有理数不止包括自然数和负整数，还有分数，故本选项错误。 故选：B。 8.（2025-2026学年·江苏南京月考）下列说法正确的个数是（　　　） ①一个有理数不是整数就是分数； ②有理数包括正有理数和负有理数； ③分数可分为正分数和负分数； ④0是整数，也是自然数。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】 C 【解析】 本题考查有理数的分类和相关概念。逐一判断每个说法的正确性。 【解答】 解：①整数与分数统称为有理数，所以一个有理数不是整数就是分数，故①正确； ②有理数包括正有理数、0和负有理数，漏掉了0，故②错误； ③分数可分为正分数和负分数，故③正确； ④0是整数，也是自然数（非负整数），故④正确。 所以正确的有①③④，共3个。 故选：C。 9.（2024-2025学年·山东济南期中）下列各数：-2，0.3̇，，0，3.14，-0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），其中有理数有（　　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】 C 【解析】 本题考查有理数的判断。有理数包括整数和分数，有限小数和无限循环小数都是分数，是有理数；无限不循环小数不是有理数。 【解答】 解：-2是整数，是有理数； 0.3̇是无限循环小数，可以化成分数，是有理数； 是分数，是有理数； 0是整数，是有理数； 3.14是有限小数，可以化成分数，是有理数； -0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，不能化成分数，不是有理数。 所以有理数有：-2，0.3̇，，0，3.14，共5个。 故选：C。 10.（2025-2026学年·湖北武汉期末）下列说法中，正确的是（　　　） A. 0是最小的整数 B. 1是最小的正整数 C. -1是最大的正有理数 D. 有最小的正有理数 【答案】 B 【解析】 本题考查有理数的性质。没有最小的整数，也没有最小的正有理数和最大的负有理数。 【解答】 解：A. 没有最小的整数，因为负整数可以无限小，故本选项错误； B. 1是最小的正整数，正确； C. -1是负整数，不是正有理数，故本选项错误； D. 没有最小的正有理数，因为正有理数可以无限接近于0，故本选项错误。 故选：B。 二、填空题 11.（2024-2025学年·云南德宏期末）在-5，2.3，0，-，+3，-0.7̇，100中，整数有__3____个，分数有____4__个。 【答案】 3；4 【解析】 本题考查整数和分数的识别。整数包括正整数、0和负整数；分数包括正分数和负分数，有限小数和无限循环小数都是分数。 【解答】 解：整数有：-5，0，100，共3个； 分数有：2.3，-，+3，-0.7̇，共4个。 故答案为：3；4。 12.（2025-2026学年·广东越秀期末）在-3.14，24，+17，-7，0.3̇，0，-0.142857̇̇中，正有理数有___3___个，负有理数有___3___个。 【答案】 3；3 【解析】 本题考查正有理数和负有理数的识别。正有理数包括正整数和正分数；负有理数包括负整数和负分数。0既不是正有理数也不是负有理数。 【解答】 解：正有理数有：24，+17，0.3̇，共3个； 负有理数有：-3.14，-7，-0.142857̇̇，共3个； 0既不是正有理数也不是负有理数。 故答案为：3；3。 13.（2024-2025学年·贵州遵义期末）在-5，+8，0，-1.5，，-20%中，非负数有___+8，0，___，非正整数有__-5，0____。 【答案】 +8，0，；-5，0 【解析】 本题考查非负数和非正整数的概念。非负数包括正数和0；非正整数包括负整数和0。 【解答】 解：非负数是指不是负数的数，包括正数和0： +8是正整数（正数），0，是正分数（正数），所以非负数有：+8，0，2/3； 非正整数是指不是正的整数，包括负整数和0： -5是负整数，0，所以非正整数有：-5，0。 故答案为：+8，0，；-5，0。 14.（2025-2026学年·四川南充期中）有限小数和无限循环小数都可以化为___分数___，所以它们都是___有理数___。 【答案】 分数；有理数 【解析】 本题考查有理数与小数的关系。有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此都是有理数。无限不循环小数不能化为分数，不是有理数。 【解答】 解：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，根据有理数的定义，可以写成分数形式的数是有理数，所以它们都是有理数。 故答案为：分数；有理数。 15.（2024-2025学年·河北秦皇岛期末）请写出一个既是负数又是分数的数：___-（答案不唯一）___；请写出一个既是整数又是正数的数：__5（答案不唯一）____。 【答案】 -（答案不唯一）；5（答案不唯一） 【解析】 本题考查有理数的分类。既是负数又是分数的数是负分数；既是整数又是正数的数是正整数。 【解答】 解：既是负数又是分数的数是负分数，例如：-，-3.14，-0.5等； 既是整数又是正数的数是正整数，例如：1，2，5，100等。 （答案不唯一，合理即可） 16.（2025-2026学年·浙江杭州月考）有一列数：1，-，，-，，-，…，其中第100个数是___-___，这100个数中，有理数有___100___个。 【答案】 -；100 【解析】 本题考查规律探究和有理数的概念。观察数列规律：分子比分母小1，符号是正、负、正、负……交替出现。所有的数都是分数，都是有理数。 【解答】 解：观察数列规律： 第1个数：1 = ，正号 第2个数：-，负号 第3个数：，正号 第4个数：-，负号 …… 第n个数：分子为n-1，分母为n，奇数项为正，偶数项为负。 所以第100个数是偶数项，为负号，分子为99，分母为100，即-。 这100个数都是分数（整数也可以看成分数），所以都是有理数，共100个。 故答案为：-；100。 三、解答题 17.（2024-2025学年·广东梅州期末）把下列各数填入它所属的集合内： 15，-，-5，7，0.5，-80，12，-4.2，2.3̇ 正有理数集合：{　　　　　　　　…}； 负有理数集合：{　　　　　　　　…}； 整数集合：{　　　　　　　　…}； 分数集合：{　　　　　　　　…}。 【答案】 正有理数集合：{15，7，0.5，12，2.3̇，…}； 负有理数集合：{-，-5，-80，-4.2，…}； 整数集合：{15，-5，7，-80，12，…}； 分数集合：{-，0.5，-4.2，2.3̇，…}。 【解析】 本题考查有理数的分类。正有理数包括正整数和正分数；负有理数包括负整数和负分数；整数包括正整数、0和负整数；分数包括正分数和负分数。 【解答】 解：根据有理数的分类： 正有理数（大于0的有理数）：15，7，0.5，12，2.3̇； 负有理数（小于0的有理数）：-，-5，-80，-4.2； 整数（正整数、0、负整数）：15，-5，7，-80，12； 分数（正分数、负分数）：-，0.5，-4.2，2.3̇。 （0不在给出的数中） 18.（2025-2026学年·陕西安康期中）指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、负整数： 13，4.3，-，8.5%，-30，-12%，，-7.5，20，-60，1.2̇ 【答案】 正有理数：13，4.3，8.5%，，20，1.2̇；其中正整数：13，20。 负有理数：-，-30，-12%，-7.5，-60；其中负整数：-30，-60。 【解析】 本题考查有理数的分类。正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数。百分数可以化成分数，是有理数。 【解答】 解：正有理数（大于0的有理数）： 13（正整数），4.3（正分数），8.5%（正分数，=0.085），（正分数），20（正整数），1.2̇（正分数）； 其中正整数有：13，20。 负有理数（小于0的有理数）： -（负分数），-30（负整数），-12%（负分数，=-0.12），-7.5（负分数），-60（负整数）； 其中负整数有：-30，-60。 19.（2024-2025学年·福建莆田期中）如图，两个圈分别表示负数集合和整数集合，请将下列各数填入它所属的集合的圈内： -3.5，0，18.3，-，15，-7， （1）在图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？ （2）这两个圈合并在一起（不重复）是不是全体有理数集合？为什么？ 【答案】 （1）重叠部分表示负整数集合； （2）不是，因为还缺少正分数。 【解析】 本题考查有理数的分类和集合的交集概念。负数集合和整数集合的交集就是既是负数又是整数的数，即负整数。 【解答】 解：负数集合：-3.5，-，-7 整数集合：0，15，-7 重叠部分（既是负数又是整数）：-7 （1）两个圈的重叠部分表示的数既是负数又是整数，所以是负整数集合。 （2）这两个圈合并在一起不是全体有理数集合。 因为有理数包括整数和分数，负数集合和整数集合合并后包含了负整数、负分数和正整数、0，但缺少了正分数（如18.3，等）。 20.（2025-2026学年·湖北武汉期末）将下列各数填在相应的横线上： -15，+6，-2，-0.9̇，1，，0，3，0.63，- （1）正有理数：________________________； （2）负有理数：________________________； （3）整数：________________________； （4）分数：________________________； （5）非负整数：________________________。 【答案】 （1）+6，1，，3，0.63； （2）-15，-2，-0.9̇，-； （3）-15，+6，-2，1，0； （4）-0.9̇，，3，0.63，-； （5）+6，1，0。 【解析】 本题考查有理数的多种分类。按性质分为正有理数、0、负有理数；按定义分为整数和分数。非负整数包括正整数和0。 【解答】 解：（1）正有理数（大于0的有理数）：+6，1，3/5，3(1/4)，0.63； （2）负有理数（小于0的有理数）：-15，-2，-0.9̇，-10/3； （3）整数（正整数、0、负整数）：-15，+6，-2，1，0； （4）分数（正分数、负分数）：-0.9̇，3/5，3(1/4)，0.63，-10/3； （5）非负整数（正整数和0）：+6，1，0。 21.（2024-2025学年·江苏苏州月考）下列说法是否正确？正确的打"√"，错误的打"×"，并说明理由。 （1）整数就是正整数和负整数。（　　） （2）分数包括正分数、负分数。（　　） （3）0是整数，也是自然数。（　　） （4）正数和负数统称为有理数。（　　） （5）非负整数就是正整数。（　　） 【答案】 （1）×，理由：整数包括正整数、0和负整数； （2）√； （3）√； （4）×，理由：有理数包括正有理数、0和负有理数，正数和负数中还包含无理数； （5）×，理由：非负整数包括正整数和0。 【解析】 本题考查有理数的相关概念辨析。需要准确理解整数、分数、有理数、非负整数等概念的内涵和外延。 【解答】 解：（1）×。理由：整数包括正整数、0和负整数，漏掉了0。 （2）√。分数就是分为正分数和负分数两类。 （3）√。0是整数，也是非负整数（自然数）。 （4）×。理由：有理数包括正有理数、0和负有理数；而且正数和负数的范围比有理数大，还包含正无理数和负无理数。 （5）×。理由：非负整数是"不是负的整数"，包括正整数和0，漏掉了0。 22.（2025-2026学年·武汉二中月考）陈老师在黑板上写有11个有理数，甲、乙两位同学对老师写的数从不同角度进行了描述。甲同学说："其中有5个负数"；乙同学说："其中有6个整数，且正整数比负整数多1个"。根据以上信息推断： （1）这11个有理数中有几个0？ （2）正有理数有几个？正分数有几个？ 【答案】 （1）有2个0； （2）正有理数有4个，正分数有1个。 【解析】 本题考查有理数分类的综合应用。根据已知条件逐步推理：11个有理数中有5个负数，则非负数有6个；6个整数中，正整数比负整数多1个，结合总共有5个负数，可以推出负整数和负分数的个数。 【解答】 解：（1）11个有理数中有5个负数，则非负数（正数和0）有 11 - 5 = 6 个。 设负整数有x个，则正整数有 (x+1) 个。 因为有6个整数，整数包括正整数、0和负整数，所以： (x+1) + 0的个数 + x = 6 又因为负数有5个，负数包括负整数和负分数，负整数有x个，所以负分数有 (5-x) 个。 非负数有6个，非负数包括正整数、正分数和0，即： (x+1) + 正分数个数 + 0的个数 = 6 由整数总数：2x + 1 + 0的个数 = 6，即 2x + 0的个数 = 5。 因为x和0的个数都是非负整数，所以： 当x=2时，0的个数=1，正分数个数 = 6 - (2+1) - 1 = 2； 当x=1时，0的个数=3，正分数个数 = 6 - (1+1) - 3 = 1； 当x=0时，0的个数=5，正分数个数 = 6 - (0+1) - 5 = 0。 考虑到通常题目设计中会有正分数，取x=2，0的个数=1的情况较常见。 （取x=2时，负整数2个，正整数3个，0有1个，负分数3个，正分数2个，验证：2+3+1+3+2=11，符合题意。） 答：（1）有1个0；（2）正有理数有5个（3个正整数+2个正分数），正分数有2个。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版数学七年级上册 第一章 有理数 第 2 节 有理数及其大小比较 第1课时：有理数的概念 📅 两日预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・概念认识与分类）】 ✅ 达成目标：理解有理数的概念，掌握整数和分数的定义，能按定义对有理数进行分类 通读课本 P6-P7 有理数概念内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-3」的挖空填写。 熟记整数、分数、有理数的定义，理解整数可以写成分数形式的原因。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能准确判断一个数是否为有理数，能说出整数和分数分别包含哪些数。 【Day2 预习任务（建议 30min・分类应用与拓展）】 ✅ 达成目标：掌握有理数的两种分类方法，理解"非"字系列概念，能解决有理数分类综合问题 通读课本 P7 例题、练习内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 4-5」剩余挖空填写。 熟练掌握有理数按定义分类和按性质分类两种方法，理解分类的不重不漏原则。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能将一组数正确填入不同集合，能判断关于有理数分类的说法是否正确。 一、核心知识点梳理 知识点 1：整数的概念 正整数、0、负整数统称为____。 正整数：1，2，3，…（大于0的整数） 0：既不是正整数，也不是负整数，是整数的特殊成员 负整数：-1，-2，-3，…（小于0的整数） ⚠️易错提醒：0是整数，但0既不是正数也不是负数，所以0不是正整数，也不是负整数。 知识点 2：分数的概念 正分数、负分数统称为____。 正分数：如，，，0.1，5.32，0.3̇，… 负分数：如-，-，-，-0.5，-150.5，… 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也可以看成____。 ⚠️易错提醒：无限不循环小数不能化为分数，所以不是分数，也不是有理数（如π）。 知识点 3：有理数的定义 可以写成分数形式的数称为____。 整数可以写成分数的形式： ①正整数可以写成正分数的形式，例如 2 = ； ②负整数可以写成负分数的形式，例如 -3 = -； ③0也可以写成分数的形式，例如 0 = 。 因此，整数和分数都是有理数，即整数和分数统称为____。 ⚠️易错提醒：判断一个数是不是有理数，关键看它能不能化成分数形式（两个整数的比）。能化成分数的就是有理数，不能化成分数的就不是有理数。 知识点 4：有理数按定义分类 按整数和分数的定义，有理数可分为： ⚠️易错提醒：分类要做到"不重不漏"，每个有理数只能属于其中一类，不能重复，也不能遗漏。0单独一类，不要把0放到正整数或负整数里。 知识点 5：有理数按性质分类 按正负性质，有理数可分为： ⚠️易错提醒：0既不是正有理数，也不是负有理数，是正有理数和负有理数的分界。按性质分类时，0必须单独作为一类。 知识点 6："非"字系列概念 非负数：正数和____统称为非负数（即不是负数的数）。 非正数：负数和0统称为非正数（即不是正数的数）。 非负整数：正整数和____统称为非负整数（即不是负整数的整数，也叫自然数）。 非正整数：负整数和0统称为非正整数（即不是正整数的整数）。 非负有理数：正有理数和0统称为非负有理数。 非正有理数：负有理数和0统称为非正有理数。 ⚠️易错提醒："非负"就是"不是负的"，包含0和正数；"非正"就是"不是正的"，包含0和负数。千万不要漏掉0！ ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：认为0不是整数，或认为0是正整数/负整数。0是整数，但0既不是正整数也不是负整数。 易错点2：认为小数都是分数，都是有理数。只有有限小数和无限循环小数才是分数（有理数），无限不循环小数（如π）不是有理数。 易错点3：有理数分类时漏掉0，或把0放错类别。按定义分类时0属于整数；按性质分类时0单独一类。 易错点4：认为正有理数就是正数，负有理数就是负数。正数和负数的范围比正有理数和负有理数大，正数还包括正无理数。 易错点5："非负整数"理解错误，以为是"不是负的数"（包括分数）。非负整数首先要是整数，然后不是负的，即正整数和0。 易错点6：分类时出现重复或遗漏。分类的原则是"不重不漏"，每个数只能属于一类，所有数都要分到某一类。 二、基本概念定义 整数：正整数、____、负整数统称为整数。 分数：正分数和____统称为分数。有限小数和无限循环小数都可以化为分数。 有理数：可以写成____形式的数称为有理数。整数和分数统称为有理数。 正有理数：可以写成____形式的数叫做正有理数，包括正整数和正分数。 非负整数：____和0统称为非负整数（也叫自然数）。 三、数学思想方法 1. 分类讨论思想（核心思想） 有理数可以按不同标准进行分类（按定义分、按性质分），体现了分类讨论的数学思想。分类时要注意标准统一、不重不漏。分类思想是数学中最重要的思想之一，在后续学习中会经常用到。 2. 转化思想 整数可以转化为分数形式（分母为1的分数），有限小数和无限循环小数可以转化为分数，体现了转化思想。通过转化，我们可以将不同形式的数统一到分数的框架下，从而更方便地研究它们的性质。 3. 集合思想 将具有某种共同特征的数放在一起组成集合（如正整数集合、负分数集合等），体现了集合思想。集合思想是现代数学的基础思想，帮助我们从整体上把握一类数的特征。 4. 数形结合思想（铺垫） 有理数的分类为后续学习数轴奠定了基础。通过数轴，我们可以将有理数与数轴上的点一一对应起来，用图形直观地表示数的位置和大小关系，这就是数形结合思想。 5. 从特殊到一般的思想 从具体的正整数、负整数、正分数、负分数等特殊的数，归纳概括出整数、分数、有理数等一般概念，体现了从特殊到一般的认识规律，也是数学概念形成的重要方法。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024·贵州模拟预测）下列说法正确的是（　　　） A. 正数和负数统称有理数 B. 正整数和负整数统称为整数 C. 0既不属于整数也不属于分数 D. 整数和分数统称为有理数 2.（2025·广东汕头期末）下列各数中，不是有理数的是（　　　） A. B. 0 C. -15 D. π 3.（2024-2025学年·广西贺州期末）在数-3，0，+5，-3，+3.1，-，2024中，整数有（　　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4.（2025-2026学年·陕西安康期中）下列说法中，错误的有（　　　） ①0是最小的有理数；②整数就是正整数和负整数；③分数包括正分数、负分数；④无限小数都是无理数。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5.（2024-2025学年·广东广州阶段练习）下列各数中，属于正有理数的是（　　　） A. -0.1 B. 0 C. D. -3 6.（2025-2026学年·北京海淀期中）在下列各数中，非负整数有（　　　） -3，0，+5，-，+3.14，2025，-20 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 7.（2024-2025学年·陕西西安月考）下列关于有理数的说法正确的是（　　　） A. 有理数分为正有理数和负有理数 B. 有理数分为整数和分数 C. 有理数分为整数、分数和0 D. 有理数分为自然数和负整数 8.（2025-2026学年·江苏南京月考）下列说法正确的个数是（　　　） ①一个有理数不是整数就是分数； ②有理数包括正有理数和负有理数； ③分数可分为正分数和负分数； ④0是整数，也是自然数。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9.（2024-2025学年·山东济南期中）下列各数：-2，0.3̇，，0，3.14，-0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），其中有理数有（　　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 10.（2025-2026学年·湖北武汉期末）下列说法中，正确的是（　　　） A. 0是最小的整数 B. 1是最小的正整数 C. -1是最大的正有理数 D. 有最小的正有理数 二、填空题 11.（2024-2025学年·云南德宏期末）在-5，2.3，0，-，+3，-0.7̇，100中，整数有______个，分数有______个。 12.（2025-2026学年·广东越秀期末）在-3.14，24，+17，-7，0.3̇，0，-0.142857̇̇中，正有理数有______个，负有理数有______个。 13.（2024-2025学年·贵州遵义期末）在-5，+8，0，-1.5，，-20%中，非负数有______，非正整数有______。 14.（2025-2026学年·四川南充期中）有限小数和无限循环小数都可以化为______，所以它们都是______。 15.（2024-2025学年·河北秦皇岛期末）请写出一个既是负数又是分数的数：______；请写出一个既是整数又是正数的数：______。 16.（2025-2026学年·浙江杭州月考）有一列数：1，-，，-，，-，…，其中第100个数是______，这100个数中，有理数有______个。 三、解答题 17.（2024-2025学年·广东梅州期末）把下列各数填入它所属的集合内： 15，-，-5，7，0.5，-80，12，-4.2，2.3̇ 正有理数集合：{　　　　　　　　…}； 负有理数集合：{　　　　　　　　…}； 整数集合：{　　　　　　　　…}； 分数集合：{　　　　　　　　…}。 18.（2025-2026学年·陕西安康期中）指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、负整数： 13，4.3，-，8.5%，-30，-12%，，-7.5，20，-60，1.2̇ 19.（2024-2025学年·福建莆田期中）如图，两个圈分别表示负数集合和整数集合，请将下列各数填入它所属的集合的圈内： -3.5，0，18.3，-，15，-7， （1）在图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？ （2）这两个圈合并在一起（不重复）是不是全体有理数集合？为什么？ 20.（2025-2026学年·湖北武汉期末）将下列各数填在相应的横线上： -15，+6，-2，-0.9̇，1，，0，3，0.63，- （1）正有理数：________________________； （2）负有理数：________________________； （3）整数：________________________； （4）分数：________________________； （5）非负整数：________________________。 21.（2024-2025学年·江苏苏州月考）下列说法是否正确？正确的打"√"，错误的打"×"，并说明理由。 （1）整数就是正整数和负整数。（　　） （2）分数包括正分数、负分数。（　　） （3）0是整数，也是自然数。（　　） （4）正数和负数统称为有理数。（　　） （5）非负整数就是正整数。（　　） 22.（2025-2026学年·武汉二中月考）陈老师在黑板上写有11个有理数，甲、乙两位同学对老师写的数从不同角度进行了描述。甲同学说："其中有5个负数"；乙同学说："其中有6个整数，且正整数比负整数多1个"。根据以上信息推断： （1）这11个有理数中有几个0？ （2）正有理数有几个？正分数有几个？ 学科网（北京）股份有限公司 $