3.1.2 第1课时 函数的表示法 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的表示法，涵盖解析法、列表法、图象法及解析式求解，通过问题引导学生结合初中及上节课知识总结表示法，搭建前后知识支架，帮助构建函数表示的知识体系。 其亮点是以实例（如任务时间与人数关系）具象化抽象概念，培养数学眼光。系统归纳待定系数法、换元法等方法，发展数学思维。结合列表、图象、解析表达式，强化数学语言表达。注重定义域细节，助力学生理解函数本质，为教师提供丰富教学案例与方法指导。

第1课时 函数的表示法 第三章　3.1.2 <<< 1.掌握函数的三种表示方法.(重点) 2.掌握函数图象的作法和应用.(重难点) 3.会求函数的解析式.(重点) 学习目标 函数的表示法 结合初中所学以及上节课的几个问题，你能总结出函数的表示方法有哪几种？ 问题 提示　解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 表示方法 优点 缺点 列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 只能表示自变量可以一一列出的函数 图象法 能形象直观地表示出函数的变化情况 只能近似地求出自变量所对应的函数值,而且有时误差较大 解析法 一是简明、全面地概括了变量间的关系,从“数”的方面揭示了函数关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值 不够形象、直观、具体,而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来 特别提醒 （1）并不是所有的函数都能用解析式 表示；事实上，图象法也不适用于所有函数，如 列表法虽在理论上适用于所 有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列 表法只能表示函数的一个概况或片段. （2）函数图象的形状可以是一些点、一些线段、一段曲线等,但并不是任何一个图 形都是函数图象. 如图就不是函数图象，因为对于某些 的值，可能有两个或多 个 值与之对应,这不符合函数的定义. 归纳总结 用描点法作函数图象的步骤 注意:若图象是“点”，则不需要“连线”这一步骤. 7 思考辨析 函数的图象一定是一条连续不断的曲线吗? 提示 不一定,函数的图象受函数定义域的影响. 例1 已知完成某项任务的时间与参加此项任务的人数之间适合关系式 ， 当时，；当时， ，且参加此项任务的人数不能超过20． （1）写出函数 的解析式； 【解析】由题设条件知，因为，且为正整数，所以函数 的定义域是 ， ． 当时，，当时， ，代入关系式得 解得 所以 . 9 （2）用列表法表示此函数； 【解析】列表如下. 1 2 3 4 5 197 100 68.3 53 44.2 6 7 8 9 10 38.7 35 32.5 30.8 29.6 11 12 13 14 15 28.8 28.3 28.1 28 28.1 16 17 18 19 20 28.3 28.5 28.9 29.3 29.8 注：表中的部分数据是近似值． 10 （3）画出函数 的图象． 【解析】如图3.1.2-2，函数 的图象是由20个点组成的一个点列． 图3.1.2-2 （本题中函数的定义域是不连续的，因此作图时应注意函数图象是一些点，而不是曲线） 11 例2 已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间满足关系式t=ax+ (a∈R,b∈R),当x=2时,t=100;当x=4时,t=53,且参加此项任务的人数不能超过8. (1)写出t关于x的解析式; (2)用列表法表示此函数; (3)画出此函数的图象. (2)x=1,2,3,4,5,6,7,8,用列表法表示函数如下: (3)此函数的图象如图所示: (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念. (2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数. (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主. 理解函数表示法的三个关注点 反 思 感 悟 求函数的解析式 类型1 已知函数的类型，求函数的解析式 例3（1）已知一次函数满足，求 的解析式. 【解析】设 ,则 , 于是有解得或 所以或 . 17 （2）已知二次函数满足，,，求 的解析式. 【解析】设 ， 由题意得解得 故 . 18 例4 (2026·山东省淄博市检测)已知二次函数满足， ， 且 的最大值是8，则此二次函数的解析式为_____________________． 【解析】由题意得 ， 则可得图象的对称轴方程为 ， 又 的最大值是8， 可设二次函数 （根据前面分析巧妙设出解析式的形式， 减少未知数）， 又函数图象过点，则有，得 ，则 ． 19 已知函数分别为一次函数和二次函数，用待定系数法设出函数解析 式,求出参数即可. 二次函数解析式的三种形式及适用情况 形式 解析式 适用情况 一般式 . 已知抛物线上三点的坐标 时，常设一般式. 顶点式 , 为顶 点坐标）. 已知抛物线的顶点坐标或对 称轴时，常设顶点式. 交点式 ,, 是 方程 的两个根）. 已知抛物线与 轴的交点情 况时，常设交点式. 解题时需根据题目条件灵活选择解析式形式. 20 类型2 已知的解析式，求 的解析式 例5 已知,求函数 的解析式. 已知求有两种思路：一是将 视为一个整体，应用数 学的整体化思想，换元求解；二是将函数解析式的右端配凑成含 的形式进行求解. 【解析】方法1：（换元法） 令，,则 ，所以 , 即 . 方法2：（配凑法） 因为 （配凑出 ， 方便整体替换）,所以,即 . 21 例6 设函数,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】令，得，即 ， ． 22 归纳 换元法、配凑法求函数解析式 已知，求 ，有两种方法. （1）换元法 即令，解出，代入中，得到一个含的解析式，再用替换 ，便得到 的解析式. （2）配凑法 即从的解析式中配凑出,用来表示,然后将解析式中的用 代 替即可. 23 类型3 求复合函数的解析式 例7 已知函数， 求： （1） 的解析式； 【解析】 . （2） 的解析式； 【解析】当时， ， 则 . 当时， ， 则 . 综上， 24 （3） 的解析式. 【解析】当，即时，解得或 ， 此时 ； 当，即时，解得 ， 此时 . 综上， 25 类型4 已知图象求函数解析式 例8 根据图所示的函数 的图象，写出函数的解析式. 图中给出的图象其实是一个分段函数的图象，对各段对应的函数解 析式分别求解即可. 26 【解析】当时，函数 的图象是一条线段（右端点除外） （根据具体的图象设出相应的函数解析式），设，将 ， 分别代入，可得 ； 同理，当时，可设，将， 分别代入， 可得 ； 当时， . 综上所述， 27 归纳 已知图象求函数解析式的方法 已知函数的图象求解析式，当自变量在不同的区间上变化时，函数 的 解析式不同，应分段求解.此时根据图象，选择相应的解析式，用待定系数法求解.写 解析式时要注意各区间端点的值，做到不重不漏. 28 类型5 求抽象函数的解析式 （1）消元法 例9（1）已知函数满足，求 的解析式. 【解析】在已知等式中，将换成 ， 得 ，与已知方程联立， 得消去 , 得 . 29 （2）已知,其中，求 的解析式. 【解析】在原式中以替换,得 , 于是得 消去,得 . 故函数的解析式为, . 30 归纳 消元法（或解方程组法）求函数解析式 已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边的所有的 ，得 到关于及的方程组，解方程组即可求出 . 例10 (2026·重庆市第八中学校月考)定义在上的函数 满足 ，则 的值为( ) B A.4 B.5 C.6 D.8 【解析】因为 ①， 所以令，可得 ②. 得，所以 ， 所以 . 31 （2）赋值法 例11 设是上的函数，且满足,并且对任意的实数, 都有 ，则 的解析式为_________________. 函数方程中含有两个变量与，由于，的任意性，欲求 ，则 需消除一个变量，结合条件，所以令或均可求 的解析式. 【解析】方法1：令，则 ，所以 . 方法2：令，得，即 ， 将用替换得 . 32 例12 (2026·吉林省梅河口市第五中学期末)已知函数满足， ， ，且，则 ( ) D A.6 B.5 C.4 D.3 【解析】令，可得，解得 . 因为，所以，解得 . 令，可得，即 ， 则 . 33 1.知识清单： (1)函数的三种表示法. (2)函数图象的作法和应用. (3)函数的解析式. 2.方法归纳：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、方程组法. 3.常见误区：求函数解析式时容易忽视定义域. 课堂小结 随堂演练 题型一 函数的三种表示法 1.（2026河南部分学校联考）已知函数的对应关系如下表，函数 的图 象如图所示，则 ( ) 1 2 3 4 3 1 4 2 C A.4 B.3 C.1 D. 【解析】 由图象得，所以 . 36 2.（多选/2026河北保定期中）已知函数的定义域为 ，值域为 ，则函数 的图象可能为( ) AD A. B. C. D. 37 【解析】 由题意知，函数的定义域为，值域为 . 由题图可知，该函数定义域为，值域为 ，满足条件； 由题图可知，该函数定义域为，值域为 ，不满足条件； 由题图可知，该函数定义域为，值域为 ，不满足条件； 由题图可知，该函数定义域为，值域为 ，满足条件. 38 3.（2026湖南邵阳检测）如图,四边形是矩形,,, 是等腰直角三 角形.点从点出发,沿着边,运动到点,点在边,上运动,直线 .设点 运动的路程为,左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为.当点 在线 段上运动时, 的解析式为( ) A A. B. C. D. 39 【解析】 因为是等腰直角三角形,四边形是矩形，所以 ,所以 .由题图可知,当点在线段上运动时, ， ,， ,又 点在上运动,点的路程为,即,所以 （使用解析式表示函数时,一定要标明函数的定义域）. 40 4.[2026广东广州三校联考]某同学晚饭后计划出门散步，如 图所示，圆 的圆心处为该同学家的位置.若该同学从家里出 发，沿箭头所指的实线路线以固定的速度散步，则离家的距 离与散步时间之间的函数图象可能是( ) D A. B. C. D. 【解析】 由题意可知，该同学速度固定，从家出发时在一定时间内离家 的距离均匀增加，到达圆上时，离家的距离不变，最后一段沿圆的半径往 家的方向走时，离家的距离均匀减小，结合选项知选D. 41 5.[2026福建福州九校联考]已知函数 的对应关系如表所示，函数 的图象如图所示，则 的值为( ) 1 2 3 4 3 D A. B.3 C.2 D.4 【解析】 由题图可知 ，又由题表可知 ，故选D. 42 6.（多选）若函数的图象为如图所示的曲线和线段，曲线 与 直线 无限接近，但永不相交，则下列说法正确的是( ) BC A.的定义域为 B.的值域为 C.在 的定义域内任取一个值，总有唯 一的 值与之对应 D.在 的值域内任取一个值，总有唯一 的 值与之对应 43 【解析】 由题图得的定义域为，A错误； 的值域 为，B正确；由函数定义及图象可知，在 的定义域内任取一个 值，总有唯一的值与之对应，C正确；在 的值域内任取一个值 时，有两个 值与之对应，D错误. 44 题型二 求函数解析式 7. （2025浙江金华三校期中联考）已知,则 的解析 式为( ) B A. B. C. D. 45 【解析】 已知的解析式,求的解析式,求出 的解析式是解 题的关键. 换元法.先求的解析式.令 （利用换元法时注意新元的范围）,则 ,所以,则.再求 的解析式.( 因为的定义域为,所以 , 即 )， 则的解析式为 . 配凑法.因为,其中 ,所以 ,所以 , 即的解析式为 . 46 8.已知函数,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 . 47 9.[2026湖南长沙段考]若函数，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 （配凑法）因为 ，且 ，所以 .故选D. （换元法） 令，则 ，则 ，即 . 48 10.是上的函数,且满足,并且对任意的实数, ,都有 ,则 的解析式为_________________. 【解析】 令,则,又,所以 . 令,代入,得 ,又 ,则（ 看作一个整 体,同时解析式中含的项都变形为含的形式）,所以 的解析 式为 . 49 11.已知函数的定义域为 ，其图象如图所示. （1）的解析式为 _ _____________________； 50 【解析】 当时,设,分别将点 , 的坐标代入得解得此时 ;当 时,；当时,设 ,分别将 点,的坐标代入,得解得 此时 .综上, 51 （2） 的解集为______. 【解析】 当时,由,得 ,无解； 当时,由,得,无解；当 时,由 ,得,解得.综上, 的 解集为 . 52 12.（2026山东德州期末）求下列函数的解析式: （1） 已知函数满足 ； 【答案】 配凑法.因为 ， 且(中是的作用对象，则的范围即是 的定义域)，所以 . 换元法.令，则 ， ，所以 . . . 53 （2） 已知一次函数在上满足 ； 【答案】 设(已知是一次函数,用待定系数法) ， 则(已知,求,直接代入) ， 所以解得或 所以或 . . . . . 54 （3） 已知定义在上的函数满足 . 【答案】 因为定义在上的函数满足(已知条件中有 和 的关系，考虑用解方程(组)法) ①， 所以 ②， 由，得 ， 所以 . . . 55 13.（1）已知函数是一次函数，且，求 的解 析式； 【解析】 设（ 由是一次函数直接设 的解析 式.） ，则 ， 所以，解得或 所以或 . . . 56 （2）已知是二次函数，且，， ，求 的解析式； 【解析】 设（ 由 是二次函数直接 设 的解析式.）， 根据题意得解得 所以 . . . 57 （3）已知，求函数 的解析式; 【解析】 因为 , ① 所以, （ 由替换①式中 可得.） ② ,得,所以 . . . 58 （4）已知，求函数 的解析式； 【解析】 因为 , ③ 所以, （ 由替换③式中 可得.） ④ 由得 . . . 59 （5）已知是定义在上的函数，,且对任意的实数, 都有 ,求函数 的解析式； 【解析】 令,则 ,所以 . 60 （6）已知是定义在上的函数，且对任意的实数, ,都有 ，求 的解析式. 【解析】 令,可得，所以 . 令,可得 ， 即 , ⑤ 将⑤式中的全部换成，得 ， ⑥ 由得,即 . 61 解 (1)因为当x=2时,t=100;当x=4时,t=53, 所以解得 所以t=x+. 又x≤8,且x为正整数,所以此函数的定义域是{x|0<x≤8,x∈N*}, 所以所求函数解析式为t=x+(0<x≤8,x∈N*). x 1 2 3 4 5 6 7 8 t 197 100 53 35 $