第18课时 3.1.2 函数的表示法 第1课时 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数表示法第一课时，核心内容为解析法、列表法、图象法三种表示法及解析式求法。通过梳理初中已学知识，构建定义与优缺点对比的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料以典例精析分题型教学，结合分层跟踪训练，通过实际情境问题培养直观想象素养，以待定系数法等培养数学运算能力，助力学生用数学思维解决问题，提升应用意识。

3.1.2函数表示法 第一课时函数的表示法 【学习目标】 ①掌握函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法； ②会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； ③通过函数表示的图象法培养直观想象素养； ④通过函数解析式的求法培养数学运算素养； 【学习重点】 掌握解析法、列表法、图象法三种函数表示方式，熟练运用待定系数法、换元配凑法、方程组法求解各类函数解析式，能结合实际情境识别距离—时间类函数图像. 【学习难点】 求解复合抽象函数解析式时容易忽略内层函数值域带来的定义域限制，分段实际问题需精准拆分运动或几何阶段匹配图像，二次函数三种解析式形式难以根据条件灵活选用 一、核心知识梳理（必背必会） 1.函数的三种表示法： 我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. 解析法，就是用______表示两个变量之间的对应关系； 列表法，就是用____来表示两个变量之间的对应关系； 图象法，就是用____表示两个变量之间的对应关系. 2.三种表示法的优缺点 表示法 优点 缺点 解析法 一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值 不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来 图象法 能直观形象地表示表示出函数的变化情况 只能近似的求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大 列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系 二、典例精析 题型1 用函数的三种表示法表示函数 例1．已知完成某项任务的时间与参加此项任务的人数之间适合关系式，当时，；当时，，且参加此项任务的人数不能超过20人． (1)写出函数的解析式； (2)用列表法表示此函数； (3)画出函数的图象． 反思领悟：使用函数的表示法需注意的问题 题型2 求函数的解析式 类型1 已知函数类型，求 例2（1）已知函数是一次函数，若，则______． （2）设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______. 方法总结： 类型2 已知，求 例3．若函数，则（    ） A． B． C． D． 方法总结： 类型3 已知与、与、与关系式，求 例4（1）已知函数满足，则___________． （2）已知函数满足，则函数的解析式为_______ （3）已知函数对任意的都有，则________． 方法总结： 题型3函数图象的识别 例5．周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 方法总结： 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 2．定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（   ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1    A． B．0 C．2 D．4 4．如图所示是函数的图象，则的值为______． 5．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    6已知二次函数满足，，且的最大值是8，则的解析式为______． 7．里约热内卢奥运会正在如火如荼地进行，奥运会纪念品销售火爆，已知某种纪念品的单价是5元，买x（x∈{1,2,3,4,5}）件该纪念品需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f（x）． 8．求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【能力提升】（多数必做） 9．已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 10．长途汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y（元）与行李重量x（千克）之间的关系图象如图所示，当最多携带____________千克的行李时不收费用．    11．如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 12．已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．    (1)写出函数的解析式、定义域和值域； (2)求，的值． 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．已知多项式 满足对任意非零实数，则 _________. 14．函数满足，且，则___________． 四、课时小结 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2函数表示法 第一课时函数的概念表示法 【学习目标】 ①掌握函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法； ②会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； ③通过函数表示的图象法培养直观想象素养； ④通过函数解析式的求法培养数学运算素养； 【学习重点】 掌握解析法、列表法、图象法三种函数表示方式，熟练运用待定系数法、换元配凑法、方程组法求解各类函数解析式，能结合实际情境识别距离—时间类函数图像. 【学习难点】 求解复合抽象函数解析式时容易忽略内层函数值域带来的定义域限制，分段实际问题需精准拆分运动或几何阶段匹配图像，二次函数三种解析式形式难以根据条件灵活选用 一、核心知识梳理（必背必会） 1.函数的三种表示法： 我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. 解析法，就是用解析式表示两个变量之间的对应关系； 列表法，就是用表格来表示两个变量之间的对应关系； 图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2.三种表示法的优缺点 表示法 优点 缺点 解析法 一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值 不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来 图象法 能直观形象地表示表示出函数的变化情况 只能近似的求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大 列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系 二、典例精析 题型1 用函数的三种表示法表示函数 例1．已知完成某项任务的时间与参加此项任务的人数之间适合关系式，当时，；当时，，且参加此项任务的人数不能超过20人． (1)写出函数的解析式； (2)用列表法表示此函数； (3)画出函数的图象． 思路分析： （1）把两组代入，得到关于的二元一次方程组，解方程组求出c；结合题意，人数是正整数，且不超过 20，写出定义域，得到解析式； （2）列表法，在定义域内，选取若干自变量，代入解析式算出对应，制作两列表格； （3）图像是离散点，不是连续曲线，以为横坐标，为纵坐标，描出表格中对应的点即可，不要连线. 规范解答： （1）由题设知，当时，当时， 代入关系式得，解得，所以． 又，且为正整数，所以函数的定义域是． （2）列表如下． 1 2 3 4 5 6 7 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 8 9 10 11 12 13 14 32.5 30.8 29.6 28.8 28.3 28.1 28 15 16 17 18 19 20 28.1 28.3 28.5 28.9 29.3 29.8 （3）由（2），函数的图象是由20个点组成的一个点列，如下图示，    反思领悟：使用函数的表示法需注意的问题 （1）解析法必须注明函数的定义域（定义域为时可省略）； （2）列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； （3）图象法中要注意图象是离散点还是连续的曲线. 题型2 求函数的解析式 类型1 已知函数类型，求 例2（1）已知函数是一次函数，若，则______． 答案：或 思路分析： 已知函数类型，用待定系数法，先设一次函数，代入复合展开，再对应左右两边同类项系数相等，建立方程组求解； 规范解答： 设，则. 又，所以. 即，解得，或. 所以或 ． （2）设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______. 答案： 思路分析：已知函数类型，用待定系数法，设二次函数的解析式，由得，由得以及，即可得出解析式；也可以设二次函数的顶点式或两根式求解. 规范解答 法1：设. 由，得得① 设的根为，则， 所以② 又由已知得③ 由①②③解得， 所以. 法2：由，可得二次函数对称轴为，所以可设， 由图象在轴上的截距为1，可得，即； 由图象在轴上截得的线段长为，且二次函数对称轴为， 设两根为，则，则， 故设，化简得，所以 所以，解得，所以， 所以 方法总结：已知函数类型，可用待定系数法求解 （1）熟悉基本初等函数的解析式：一次函数、二次函数、反比例函数； （2）二次函数的解析式有以下三种常见形式，解题时根据题设条件灵活选取： ①一般式：； ②顶点式：； ③两根式：（，为方程的两个实数根） 类型2 已知，求 例3．若函数，则（    ） A． B． C． D． 答案：D 思路分析：这是已知复合函数求原函数，两种常用解法：换元法、配凑法 规范解答 （换元法）令，，则， . . （配凑法），又， 所以. 方法总结： （1）配凑法：把看作一个整体，将的解析式配凑成含的表达式，然后直接整体代换，即可求出的解析式； （2）换元法（通用） ①设中间元； ②反解，把用表示； ③代入右边化简，得到； ④务必求新元取值范围，作为的定义域； ⑤将换写成得到解析式. 类型3 已知与、与、与关系式，求 例4（1）已知函数满足，则___________． 答案： 思路分析：将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 规范解答：因为①，所以②， ，可得， 解得，． 故答案为：． （2）已知函数满足，则函数的解析式为_______ 答案： 思路分析：将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 规范解答 因为函数满足①，所以②， ②×3-①得，解得，解得， 故答案为： （3）已知函数对任意的都有，则________． 答案： 思路分析：将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 规范解答∵①，∴②， 由得，解得：． 故答案为：． 方法总结：对于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数、互为相反数、和为常数，通过对称构造一个对称方程，组成方程组，解方程组即可. 题型3函数图象的识别 例5．周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 答案：C 思路分析：根据该同学在行进过程中的前进方式的不同，把整个过程拆分为 4 个阶段，逐个分析图像特征，确定对应函数图象. 规范解答 第一段时间，该同学骑行共享单车由学校往漯湾古镇方向匀速骑行，前进了，则该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段上升的线段； 第二段时间休息了半小时，随时间变化，该同学离起点的距离并没有发生变化，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一条平行于x轴的线段； 第三段时间，原路返回，其距离起点应越来越近，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段下降的线段； 第四段时间，调转车头继续向漯湾古镇方向前进，该部分对应的图象应和第一段时间的相似； 因此只有C选项符合. 故选：C. 方法总结：函数图象识别问题的基本方法是排除法，即根据函数的定义域确定图象所在的范围，根据特殊点确定图象的位置，一般为图象与坐标轴的交点、图象的最高（低）点；若解析式含有参数，关键由两点：一是抓住函数解析式的特征，注意解析式中的参数在函数图象中的体现；二是由已知函数图象得出相关信息，由此确定解析式中的参数的取值. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 答案：A 解析：令，则， 2．定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 答案：B 解析：因为，① 令，可得.② ①②得，所以.所以. 故选：B. 3．已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（   ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1    A． B．0 C．2 D．4 答案：BD 解析：对于A：当时，，不符合题意，A错误； 对于B：当时，，符合题意，B正确； 对于C：当时，，不符合题意，C错误； 对于D：当时，，符合题意，D正确， 故选：BD. 4．如图所示是函数的图象，则的值为______． 答案：3 解析：当时，设一次函数的解析式为，过两点， 所以有， 所以， 故答案为： 5．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    答案：④ 解析：由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加； 对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，但晚于乌龟到达终点，故符合题意的是④. 6已知二次函数满足，，且的最大值是8，则的解析式为______． 答案： 解析：设， 由题意得，解得， 因此二次函数的解析式为． 7．里约热内卢奥运会正在如火如荼地进行，奥运会纪念品销售火爆，已知某种纪念品的单价是5元，买x（x∈{1,2,3,4,5}）件该纪念品需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f（x）． 解析：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}， 用解析法可将函数y＝f（x）表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}； 用列表法可将函数y＝f（x）表示为 x 1 2 3 4 5 y 5 10 15 20 25 用图象法可将函数y＝f（x）表示如图． 8．求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 解析：（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 【能力提升】（多数必做） 9．已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 答案：BCD 解析：对于A：法一：依题意，， 则，A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则，A错误； 对于B：当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，B正确； 对于C：在中，令，解得， 因此的定义域为，C正确； 对于D：，因此，D正确． 10．长途汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y（元）与行李重量x（千克）之间的关系图象如图所示，当最多携带____________千克的行李时不收费用．    答案：30 解析：由行李费用y（元）与行李重量x（千克）之间的图象可知，变量y与x成一次函数关系， 设，则， 解得， 所以， 由得， 即最多携带30千克的行李时不收费用． 故答案为：30 11．如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 答案：C 解析：由题意，当时，，则， 当时，， 所以，显然只有C满足. 12．已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．    (1)写出函数的解析式、定义域和值域； (2)求，的值． 解析：（1）根据题意及图象可知：当时，可设线段解析式为， 将点代入解析式可得，即； 当时，图象为抛物线一部分，可设解析式为， 由图象可知其顶点为且过点，所以， 即， 则， 结合图象，所以的定义域为，值域为； （2）由上可知，， 即，. 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．已知多项式 满足对任意非零实数，则 _________. 答案：2026 解析：因为多项式的正次项仅来自，对比右侧正次项仅为，可知 最高次为1，因此为一次多项式， 设，则， 对比系数得，所以，因此. 14．函数满足，且，则___________． 答案：4051 解析：令可得，① 将赋值为，代入①得：，② 根据题设及①有：，③ 由①②③得：， 即， 令可得，则， 因此． 四、课时小结 （1）函数的表示方法：函数有解析法、列表法、图象法三种表示形式，各自适用不同场景。 （2）求函数解析式常用方法 ①待定系数法：已知函数类型（一次、二次函数），设出解析式，利用系数对应相等建立方程组求解；二次函数要能灵活切换一般式、顶点式、零点式。 ②配凑法与换元法：针对复合函数求解析式，换元务必同步确定新元的取值范围，避免遗漏定义域。 ③方程组法（消元法）：题干同时含有与、与、与相关的方程，通过变量替换构造另一方程，联立方程组消去、、解出. （3）函数实际图像识别：读懂横、纵坐标实际意义，把现实过程拆分为多个阶段，每个阶段对应图像的变化特征. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $