3.1.2函数的表示法（第1课时）（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的三种表示法、图象作法及分段函数，通过回顾初中已学表示方式，结合上节课函数概念，对比解析法、列表法、图像法的优势引入新课，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于通过互动探究表格系统对比三种表示法的核心定义与适用场景，结合典例（如笔记本购买、公交车票价）培养数学眼光，以描点法步骤和分段函数讨论发展数学思维，用“学海拾贝”总结核心陷阱强化数学语言表达。学生能提升建模能力，教师可获得具体教学实例与方法指导。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第三章函数的概念与性质 3.1.2函数的表示法（第1课时） 3.1　函数的概念及其表示 学 习 目 标 1 2 掌握函数的三种表示方法，掌握函数图象的作法和应用； 理解分段函数的定义并且会简单应用。 掌握描点法画函数图象的三步流程，能绘制简单分段函数、绝对值函数的图象，会用“垂直x轴直线检验法”判断图形是否为函数图象。 掌握换元法求抽象函数解析式，能结合图象用分段形式写出函数表达式。 3 通过实际例题对比三种函数表示法，提升数学建模能力，学会用函数模型刻画生活中变量对应关系。 新课引入 上节课我们学习了函数的概念，知道函数是刻画变量间对应关系的数学模型。 初中阶段已经接触过描述函数关系的不同方式，常用的函数表示方式有三类，各有优势： 有的能直接算出任意自变量对应的函数值 有的能直观呈现多组对应数据 有的能直观观察函数变化趋势 本节课系统学习函数的表示法。 目标一：函数的三种表示法 互动探究 三种方法对比 函数的表示法 表示方法 核心定义 核心优势 适用场景 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系 能精准计算任意自变量对应的函数值，便于开展代数运算、推导函数性质与规律 需精准计算、深度分析函数性质的数学问题，以及需要建立函数模型的实际应用场景 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 可直观呈现多组自变量与函数值的对应数据，无需计算即可直接读取对应结果 自变量取值有限、需要快速查询对应值的统计数据、实验记录、定额标准等场景 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 能直观展示函数的整体变化趋势、单调性、最值、对称性等核心特征，便于数形结合分析 需要直观感知函数变化规律、解决函数图象相关问题、分析函数整体特征的场景 典例分析 认识三种表示法 解析法 例1 列表法 某种笔记本单价5元，购买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，用三种表示法表示函数y=f(x) 依题意可以建立正比例解析式，求出相应的函数值，列表，描点，画出函数的图象，图象是离散点，不是直线。 图象法 解析法：y=5x, x∈{1,2,3,4,5} 列表法：通过表格列出x与对应y值 笔记本数 1 2 3 4 5 钱数 5 10 15 20 25 图象法：坐标平面内离散的点 函数图象可以是光滑曲线、直线、折线、离散点等。 目标二 ： 函数的图象 互动探究 图象表示法 函数的表示法 判断图形是否为函数图象的依据 在定义域内，过任意一点(x,0)作垂直于x轴的直线： 直线与图形仅有唯一交点 → 该图形是此定义域上的函数图象 无交点或存在两个及以上交点 → 不是函数图象。 互动探究 图象表示法 函数的表示法 描点法作函数图象步骤 步骤序号 步骤名称 核心操作 关键注意事项 1 列表 选取代表性自变量，计算对应函数值，制成表格 自变量取值需覆盖定义域的关键区间、端点、特殊特征点，取值具备代表性，能完整反映函数变化规律 2 描点 根据表格数据，在平面直角坐标系中描出对应坐标的点 坐标标注需精准，严格区分定义域端点的虚实：包含端点用实心点，不含端点用空心点 3 连线 按照自变量从小到大的顺序，用光滑曲线依次连接各点 曲线需贴合函数变化趋势、保持平滑；分段函数需分段连线，定义域外的区间不可随意延伸 典例分析 图象表示法 化简 例2 画图 画出y=|x|的图象 当函数结构复杂时，需要结合定义域对函数解析式化简，本题去掉绝对值号化为分段的函数，再一段一段画。分段函数概念将在接下来学习。 由绝对值定义拆分： y= 根据分段解析式绘制图象。 画每一段时要结合自变量的取值范围，不能把两段看成两个独立的完整的图象。 典例分析 图象表示法 化简 例3 画图 画出函数 y=|x-2| 的图象。 当函数结构复杂时，需要结合定义域对函数解析式化简，本题去掉绝对值号化为分段的函数，再一段一段画。分段函数概念将在接下来学习。 由绝对值定义拆分： y= 根据分段解析式绘制图象。 还要注意段与段之间端点衔接处理：两虚或一实一虚或不重合。 典例分析 图象表示法 x>0 例4 x<0 函数 f(x)=x的图象为（ ） 当 x>0 时，|x|=x 此时解析式为 y=x+1，x>0，在x=0处空心点坐标(0,1) 当 x<0 时，|x|=-x 此时解析式为 y=x-1，x<0，在x=0处空心点坐标(0,-1)。 图象特征 x>0：直线y=x+1，只取y轴右侧，(0,1)空心； x<0：直线y=x-1，只取y轴左侧，(0,-1)空心； 对照选项，符合该特征的是 C。 函数：f(x)=x定义域：x≠0，分x>0、x<0两段讨论 选图 目标三 ： 分段函数 互动探究 分段函数 函数的表示法 定义 在函数定义域内，自变量x取不同取值范围时，对应关系不同，这类函数称为分段函数。 分段函数注意事项 分段函数是一个函数，所有分段图象绘制在同一个直角坐标系中； 分段作图方法：先用虚线画出完整解析式图象，再保留对应区间内实线；区间端点区分虚实：包含端点用实心点，不含端点用空心点。 典例分析 分段函数的图象 两个独立图 例5 分段图 解析式 已知f(x)=x+1，g(x，x∈R (1) 在同一直角坐标系画出f(x)、g(x)图象； (2) 设M(x)=max{f(x),g(x)}，表示f(x)与g(x)中的较大值，分别用图象法、解析法表示M(x)。 本题考查了解析法和图象法，需要画三个图象和写一个解析，通过对比地，理解分段与独立函数的关联 (1) 同一坐标系分别画出一次函数f(x)=x+1与二次函数g(x图象； (2) 结合两个函数图象取值，画出M(x)的图象 解： 联立，解得x=-1、x=0，分段解析式： M(x)= 典例分析 分段函数图象及应用 (1) 例6 (2) (3) 已知函数f(x)=(-2<x≤2). (1)用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域. 1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤 (1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型。 (2)设函数式：设出函数的解析式。 (3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式。 (1)当0≤x≤2时，f(x)=1； 当-2<x<0时，f(x)=1. 所以f(x)=. (2)函数f(x)的图象如图所示 (3)由(2)知，f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3). 典例分析 分段函数图象及实际应用 基本条件 例7 分段 如图所示，已知底角为的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF=x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象。 [解] 过点A，D分别作AG⟂BC，DH⟂BC，垂足分别是G，H。 因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为，AB =2 cm， 所以BG=AG=DH=HC=2 cm，又BC=7 cm，所以AD=GH=3cm。 分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式。 (1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，； (2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y； (3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时， 典例分析 分段函数图象及实际应用 例7 如图所示，已知底角为的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF=x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象。 分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式。 图象如图所示 目标四 ： 针对训练 举一反三 1.设x∈R，求函数y=2|x-1|-3|x|的最大值。 【解】 当x≥1时，y=2(x-1)-3x=-x-2； 当0≤x<1时，y=-2(x-1)-3x=-5x+2； 当x<0时，y=-2(x-1)+3x=x+2。 根据函数解析式作出图象，由图象可得：当x=0时，y取得最大值，=2。 2.根据函数的图象，写出解析式 【解】 当x∈[0,1]时，图象为过原点的直线，设f(x)=kx，将点(1,2)代入得k=2，解析式y=2x； 当x∈(1,2)时，f(x)=2； 当x∈[2,+∞)时，f(x)=3。 举一反三 3.某地公交车规则： 1. 5公里以内（含5公里），票价2元； 2. 超过5公里，每增加5公里票价加1元，不足5公里按5公里计； 线路总里程20公里。 要求：写出票价y与里程x的函数解析式，并画出图象。 解：设里程x公里，定义域(0,20]，分段写出对应票价， 绘制分段阶梯图象。y= 举一反三 4. A、B两家羽毛球场地收费标准不同，企业租用场地时长12≤x≤30小时。 A：每小时6元； B：月内20小时及以内收费90元，超过20小时部分每小时2元。 (1) 设A收费f(x)元，B收费g(x)元，求f(x),g(x)解析式。 （2）判断哪家俱乐部更合算。 解：（1）由题意 f(x)=6x，x∈[12,30]，g(x)= （2）解： ① 12≤x≤20时，令6x=90，解得x=15； 12≤x<15，f(x)<g(x)，选A； x=15，f(x)=g(x)，两家费用相同； 15<x≤20，f(x)>g(x)，选B。 ② 20<x≤30时，f(x)>g(x)，选B。 综上：12≤x<15选A；x=15两家均可；15<x≤30选B。 目标五 ： 小结 学海拾贝 一、 必须注意的 5 大核心陷阱 学习高一函数的表示方法（解析法、列表法、图像法）和分段函数，是整个高中数学的基石。很多同学觉得“听懂了但做题总差一点”，往往是因为踩中了几个关键的隐形陷阱。 1. 定义域优先（“枪毙”原则） 这是高一最核心的铁律。无论是哪种表示方法，定义域必须最先确定。 注意：解析法不能只写式子，必须紧跟定义域（如你题中的 12≤x≤30）。图像法不能只看形状，要看 x 轴的范围；列表法不能只看对应关系，要看 x 的取值集合。考试中只要漏写定义域，即便式子全对也会扣分。 学海拾贝 2. 分段函数的“断点”归属（最易失分点） 分段函数在各段交界处的取值必须优先检查。 注意：在写解析式时，临界点只能归入其中一侧（左侧或右侧），不能两边都包含，也不能两边都不包含。 3. 分段函数是一个函数，不是多个函数 这是认知上的关键。分段函数只是在不同的范围用了不同的“计算规则”，但它整体代表一个函数。它的定义域是各段定义域的并集，值域也是各段值域的并集（而不是取交集）。 4. 图像法的“虚实点”细节 作图和看图时，务必注意端点是“实心点”还是“空心点”。 实心点（●）表示取得到该值，空心点（○）表示取不到 学海拾贝 5. 列表法不能替代解析式（适用性限制） 列表法虽然直观，但它只能表示有限个自变量对应的函数值。如果题目说“列表表示一个函数”，一定要注意它无法表示连续变化（如时间、温度）的完整情况。 弄清“三种表示”的优缺点：解析法精准但抽象，适合代数运算；图像法直观但读数有误差，适合看增减趋势；列表法直接但数据有限。做题时，遇到看不懂的解析式，立刻动手画图，数形结合是高一攻克函数的最强武器。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $