3.1.1 函数的概念(一)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的概念及构成要素，系统讲解区间表示、定义域与函数值的求解。通过衔接初中函数直观认识，过渡到高中集合间对应关系的严谨定义，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生逐步理解函数的非空性、任意性等特征。 其亮点在于以数学眼光抽象函数本质，通过表格对比函数四特征、区间分类示例，培养学生抽象能力。以数学思维辨析函数关系，如例2多选题、例3图象判断，强化推理意识。结合实际问题例10求定义域，渗透模型意识。采用定义法与图象法，小结清晰，学生能夯实基础，教师可直接用于课堂教学，提升效率。

3.1.1 函数的概念(一) 1.理解函数的概念，了解构成函数的要素.(重点) 2.能正确使用区间表示数集. 3.会求函数的定义域与函数值.(难点) 学习目标 函数的概念 1 函数的概念 一般地，设,是非空的实数集（注意不是任意集合），如果对于集合 中的任意一 个数，按照某种确定的对应关系，在集合（集合 中可以存在多余“元素”）中都 有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合 的一个函数，记作 ,.表示“对应的函数值”，而不是“乘”， 也可用其他字母表示， 如,等 其中,叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的 值叫做函 数值，函数值的集合叫做函数的值域.（值域是集合 的子集） 4 知识剖析 函数的四个特征 非空性 , 必须为非空数集. 任意性 定义域中的每一个元素都有函数值. 唯一性 每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. 方向性 函数是一个从定义域到值域（如果改变这个对应方向，那么新的 对应关系不一定是函数关系）的对应关系. 注意：若从集合到集合能构成函数，则集合, 中元素的对应关系为一对一或多 对一,不能一对多,并且集合中不能有剩余元素,而集合 中可以有剩余元素. . . 5 2 函数的三要素 定义域 函数的定义域是自变量的取值范围.（定义域是非空数集） 对应关 系 对应关系是函数的核心，它是对自变量 实施“对应操作”的“程序”或者“方 法”.按照这一“程序”，从定义域中任取一个,可得到值域 , 中唯一的与之对应.同一“ ”可以“操作”不同形式的变量. 值域 函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定后， 它的值域也就随之确定了.（值域也是非空数集） 辨析比较 与 的区别与联系 表示时的函数值，是值域内的一个元素，它表示的是常量； 表示 自变量为的函数，它表示的是变量.例如，表示函数；当 时， 是一个常量. 6 例1 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)函数的定义域和值域一定是无限集合.(　　) (2)根据函数的定义,定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y. (　　) × × 例2 ［多选题］下列对应关系是集合到集合 的函数的为( ) BC A.，， B.，， C.，， D.，2，，，5， ，对应关系如图所示 8 【解析】A不是,集合中的元素0在集合 中没有对应的元素. B是,对于集合中的任意一个整数，按照对应关系，在集合 中都有 唯一一个确定的整数 与之对应. C是,对于集合中任意一个实数，按照对应关系，在集合 中都有唯 一一个确定的数0和它对应. D不是,集合中的元素3在集合中没有对应的元素，且中的元素2在集合 中有5和6 两个元素与之对应. 9 例3 (2026湖南怀化期中)(多选题)下列四个图象中,是函数图象的有(　 　) ACD 解析 根据函数的定义,对定义域内任意一个自变量x,都有唯一一个实数y与之对应,结合图象可知,A,C,D符合函数定义,B不符合函数定义,故选ACD. (1)判断一个对应关系是否为函数的方法 反 思 感 悟 (2)判断图形是否为函数关系的步骤 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 反 思 感 悟 区间的概念 定义 名称 区间 数轴表示 ｛x|a≤x≤b｝ 闭区间 ________   ｛x|a<x<b｝ 开区间 ______   ｛x|a≤x<b｝ 半开半闭区间 _______   ｛x|a<x≤b｝ 半开半闭区间 _______   设a，b∈R，且a<b，规定如下： ［a，b］ (a，b) ［a，b) (a，b］ 1 区间的概念及表示 这里的实数与 都叫做相应区间的端点.在数轴上表示区间时，为了区别开区间、闭 区间的端点，我们用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间 内的端点. 特别提醒 1.区间实质上是数轴某一段上所有点对应的实数组成的集合. 2.由于区间是数集的另一种表示方法，因此区间之间可以进行交、并、补运算. 3.同一区间的左端点必须小于右端点 ．（【隐含条件】若给出一个区间，则有 ）有时我们将称为区间或 的长度．#1.2.3 . . . . ｛x|x≥a｝   ［a，+∞)   ｛x|x>a｝   (a，+∞)   ｛x|x≤b｝   (-∞，b］   ｛x|x<b｝   (-∞，b)   特别地：实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. 2 含“ ”的区间表示 (1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆. (2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别. (3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立. (4)“∞”是一个符号，而不是一个数. 注 意 点 <<< 17 思考辨析 区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗? 提示 不是任何数集都能用区间表示,如集合{0,1,2}就不能用区间表示. 例4 用区间表示下列数集： （1） ________; （2） ______; （3）且 _________________; （4） _________; （5） _________________. 并不是所有的数集都能用区间表示，例如，只含有一个数的集合或集合中的 数是离散的，仍然用集合来表示，如{，，3，等.另外,或 可 表示为 . 19 例5 将下列集合用区间以及数轴表示出来: (1){x|x<2}; (2){x|x=0,或1≤x≤5}; 解 (1){x|x<2}可以用区间表示为(-∞,2);用数轴表示如图①. (2){x|x=0,或1≤x≤5}可以用区间表示为{0}∪[1,5];用数轴表示如图②. (3){x|x=3,或4≤x≤8}; (4){x|2≤x≤8,且x≠5}; (5){x|3<x<5}. 解 (3){x|x=3,或4≤x≤8}用区间表示为{3}∪[4,8];用数轴表示如图③. (4){x|2≤x≤8,且x≠5}用区间表示为[2,5)∪(5,8];用数轴表示如图④. (5){x|3<x<5}用区间表示为(3,5);用数轴表示如图⑤. 例6 已知集合,,集合的右端点为3，全集 ，则 ______． 【解析】由已知得，解得, . ， 如图所示， ．（借助数轴表示更加直观） 22 (1)区间左端点值小于右端点值. (2)区间两端点之间用“，”隔开. (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号. (4)以“-∞”“+∞”为区间的一端时，这端必须用小括号. 用区间表示数集的注意点 反 思 感 悟 求简单函数的定义域与 简单函数的值 类型1 已知解析式求函数的定义域 例8 求下列函数的定义域: （1） ; 【解析】要使函数式有意义，则 即所以，从而函数的定义域为 . 1. 求简单函数的定义域 25 （2） ； 【解析】因为当,即时, （在求定义域时，该式不能化简）有意义, 所以函数的定义域是,也可直接写为 . （3） ; 【解析】要使函数有意义，则且,解得且 ，所以函数的 定义域为 . （4） ; 【解析】要使函数有意义，则且，即且 ，所以函数 的定义域是且 . 26 （5） . 【解析】要使函数有意义，则，解得 , 则函数的定义域是 . 27 例9 函数 的定义域为( ) C A. B. , C. D. 【解析】要使有意义，则有 解得且 ， 故所求函数的定义域为 . 28 常见函数的定义域 （1）为整式型函数时，定义域为,但需注意函数中的 不为0; （2）由于分式的分母不为0，所以当 为分式型函数时，定义域为使分母不为零 的实数的集合； （3）由于偶次根式的被开方数非负，所以当 为偶次根式型函数时，定义域为使 被开方数非负的实数的集合； （4）如果函数是由一些简单函数通过四则运算构成的，那么它的定义域是各个简单 函数定义域的交集. 注意：定义域必须用集合或区间表示，若区间有多个，应用并集符号“ ”连接.#2.3 29 类型2 求实际问题中函数的定义域 例10 如图所示，用长为1的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆的框架，若半 圆的半径为,求此框架围成的面积与 的函数. 30 给什么得什么 长为1即周长为1，由图可以得出，的长为 . 求什么想什么 要求框架围成的面积 ，即求半圆的面积与矩形的面积之和，半圆 面积为，要求矩形面积需要求,根据周长为1，易得 ，则 矩形面积为 . 差什么找什么 再求函数的定义域，结合题设可知从而可解得 的取值范 围，定义域即得. 31 【解析】由图可知,的长为 , 于是 , ,即 . 由解得 , 此函数的定义域为 . 故所求的函数为， . （求与实际问题有关的函数解析式时，一定要注明函数的定义域） 32 例11 一段长为的铁丝折成矩形，该矩形的面积是其一边长 的函数，则这 个函数的定义域为( ) D A. B. C. D. 【解析】 矩形一边长为,则其邻边边长为，面积 ，根 据边长的实际意义，得解得 .故选D. 33 类型3 已知函数定义域求变量的取值 例12 若函数的定义域为，则实数 的取值范围是______. 【解析】 函数的定义域为， 恒成立， 当（切勿忽略对的讨论，否则会漏解）时， 恒成立，满足题意；当 时，解得.综上，实数的取值范围是 . 34 例13 [2026江苏徐州期末]已知 . （1）若的定义域为，则实数 的取值范围为_ _____； 【解析】 若的定义域为，则恒成立，则 或 解得或,故实数的取值范围为 . 35 （2）若的定义域为，则实数 的值为_ ___. 【解析】 若的定义域为，则，2是关于 的一元二次方程 的两根，由根与系数的关系得 ，解得 . 36 题型1 求函数值 类型1 已知函数解析式求函数的值 例14 ［教材改编P65例2］已知， . 求和 ； 【解析】， . 2. 求简单函数的值 37 例15 [2026江苏淮安调研]已知函数，且 ，则 ( ) C A. B.26 C. D.18 【解析】 函数，由，得 ， 解得，所以 . 38 例16 设函数,,则 ( ) C A. B.0 C.1 D.2 【解析】 由题知,即 ,所以 . 39 类型2 赋值法求抽象函数的函数值 例17 已知函数对任意正实数,，都有 . （1）求 的值； 【解析】令,，得，解得.（【另解】令 ， 则,即 ） 40 （2）若,,为常数，求 的值. 【解析】方法1：令，得 . 令，得 . 令,，得 . 方法2：令,，得 . 所以 . 41 1.知识清单： (1)函数的概念与构成函数的要素. (2)用区间表示数集. (3)函数的定义域与函数值. 2.方法归纳：定义法、图象法. 3.常见误区：函数概念的理解. 课堂小结 随堂演练 题型一 函数概念的理解 1.（2026山西太原四校联考）给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随的变化而变化，所以 不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了. 其中正确的有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 44 【解析】 判断两个变量（数集）间是否是函数关系，必须满足两个核心条件：存在两 个变量，且对于自变量的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对应，即可以是 “一对一”或“多对一”，但不能是“一对多”. ① 由上述说法易得； ③满足对任意，都有唯一的函数值5与之对应，故 是 函数. 45 2.（2026安徽铜陵期末）已知集合,0,, ，下列对应关系不能视作函 数 的是( ) D A. B. C. D. 46 【解析】 由函数的定义得，设，为非空数集，如果中任意一个元素 ，按照某种对 应关系，在中都有唯一确定的元素（注意是具有唯一性，不是 ）与之对应，则能 视作函数 . ，当时，，当时，，当 时， ，满足函数定义，不符合题意； ，当时，，当时，，当 时， ，满足函数定义，不符合题意； ，当时，，当时，，当 时， ，满足函数定义，不符合题意； ，当时， 无意义，不满足函数定义，符合题意. 47 3.（2026四川成都外国语学校期末）下列各图中，不能表示函数 图象的是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 B选项中，当时，一个的值有两个 的值与之对应，不符合函数的定义. 选项A，C，D均符合函数的定义. 48 4.(多选题)设集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤4},则下列图象能表示集合P到集合Q的函数关系的有(　　) CD 解析 对于A,显然定义域没有取尽集合P中的元素,不符合函数定义,故A错误;对于B,显然存在P中的元素,Q中与之对应的元素并不唯一,故B错误;C,D符合函数的定义.故选CD. 题型二 函数定义域问题 题组一 求函数定义域 5.已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长 的函数，则函数的定义域 为( ) A A. B. C. D. 【解析】 由题设有，由 （实际问题中，定义域的范围要 符合实际）得 . 50 6.(2026·江苏省扬州市期中)函数 的定义域为( ) C A. B. C. D. 【解析】若函数有意义，需满足，且，即 ，且 ，即函数的定义域为 ． 51 7.函数 的定义域为( ) C A. B. C. D. 【解析】 由题知解得且,所以函数 的定义域 为 . 52 8.（2026广东揭阳期中） （1） 求函数 的定义域； 【答案】要使函数有意义，则 （被开方数非负，且分母不为0）， 解得或 ， 故函数的定义域为 ； （2） 求 的定义域； 【答案】 由题意得即 分子上底数不为0，分母不为0 故所求函数的定义域为且 }. . . 53 9.记函数的定义域为 ， 的定义域为 . （1）求 ； 【解析】 由，得，解得或 ，即 . 54 （2）若，求实数 的取值范围. 【解析】 由，得 , 由,得，所以 . 又，所以或，即或 . 又，所以或 . 故实数的取值范围是 . 55 题组二 函数定义域求参问题 10.若关于的函数的定义域是一切实数,则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】 由题意可知对一切实数恒成立,若,则 ,符合题意； 若,则,解得.综上所述,实数的取值范围是 . 56 11.若函数的定义域为,则实数____,实数 的取值范围为________. 【解析】 因为函数的定义域为则而函数 的 定义域为,所以,,即, . 57 11. 已知函数f(x)=,则f(1)=　　　　　.  4 解析 ∵f(x)=, ∴f(1)==4. 题型三 函数的值 12.（2026天津宝坻区检测）（1）已知函数 . _ _； 【解析】 因为 ， 则，，所以 . (2)已知f(x)=. 求f(-1),f(0)和f(2); 59 解 (1)由已知可得f(-1)=,f(0)==1,f(2)=. $