3.1.1　第1课时　函数的概念（一） 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦函数的概念，通过太阳升起、气温变化等现实情境导入，衔接初中变量依赖关系，以集合语言和对应关系为支架，系统讲解定义域、值域及函数“三性”，帮助学生构建完整函数概念。 其亮点在于情境导入激发探究欲，分题型（概念判断、求函数值等）结合通性通法总结，如例4用矩形面积构建函数关系体现数学建模，跟踪训练与分层练习落实数学抽象和运算素养。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

3.1.1　函数的概念 新课程标准解读 核心素养 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念 数学抽象 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用 数学抽象、 数学建模 3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域 数学抽象、 数学运算 第1课时　 函数的概念（一） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　事物都是运动变化着的，我们可以感受到它们的变化.早晨，太 阳从东方冉冉升起；气温随时间在悄悄地改变；小树随着时间的变化 不断长高，……，在这些变化着的现象中，都存在着两个变量，当一 个变量变化时，另一个变量随之发生变化. 目录 数学·必修第一册 【问题】　（1）怎样用数学模型刻画两个变量之间的关系？ （2）这样的模型具有怎样的特征？ ⁠ 目录 数学·必修第一册 知识点　函数的有关概念 函数的 概念 一般地，设 A ， B 是 ，如果对于集合 A 中 的 ，按照某种确定的对应关系 f ，在集合 B 中都有 和它对应，那么就称 ⁠ 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 函数的 记法 y ＝ f （ x ）， x ∈ A 非空的实数集　 任意一个数 x 　 唯一确定的数 y 　 f ： A → B 　 目录 数学·必修第一册 定义域 x 叫做 ， x 的 ⁠叫做函数的定义域 值域 与 x 的值相对应的 y 值叫做 ，函数值的集合 ⁠ ⁠叫做函数的值域 自变量　 取值范围 A 　 函数值　 { f （ x ）｜ x ∈ A }　 目录 数学·必修第一册 提醒　（1）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性， 即对于非空实数集 A 中的任意一个（任意性）元素 x ，在非空实数集 B 中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素 y 与之对应；（2）函数符号 “ y ＝ f （ x ）”是数学符号之一，不表示 y 等于 f 与 x 的乘积， f （ x ） 也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系； （3）除 f （ x ）外，有时还用 g （ x ）， u （ x ）， F （ x ）， G （ x ） 等符号表示函数. 目录 数学·必修第一册 【想一想】 1. 在函数的概念中，如果函数 y ＝ f （ x ）的定义域与对应关系确定， 那么函数的值域确定吗？ 提示：确定. 2. 函数定义域内同一个自变量能否对应多个函数值？ 提示：不能. 目录 数学·必修第一册 1. （多选）下列两个集合间的对应中，是 A 到 B 的函数的有（　　） A. A ＝{－1，0，1}， B ＝{－1，0，1}， f ： A 中的数的平方 B. A ＝{0，1}， B ＝{－1，0，1}， f ： A 中的数的开方 C. A ＝Z， B ＝Q， f ： A 中的数的倒数 D. A ＝{1，2，3，4}， B ＝{2，4，6，8}， f ： A 中的数的2倍 解析： 　A中，可构成函数关系；B中，对于集合 A 中元素1， 在集合 B 中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中， A 中 元素0的倒数没有意义，在集合 B 中没有元素与之对应，因此不是 函数关系；D中，可构成函数关系. 目录 数学·必修第一册 2. 若 f （ x ）＝ x2－ ，则 f （3）＝ ⁠. 解析： f （3）＝9－ ＝9－2＝7. 3. 函数 f （ x ）＝ 的定义域是 ⁠. 解析：由4－ x ＞0，解得 x ＜4，所以原函数的定义域为{ x ｜ x ＜ 4}. 7　 { x ｜ x ＜4}　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 函数的概念 【例1】　（1）设 M ＝{ x ｜0≤ x ≤2}， N ＝{ y ｜0≤ y ≤2}，给出下 列四个图形，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的是（　　） 目录 数学·必修第一册 解析： A中，因为在集合 M 中当1＜ x ≤2时，在 N 中无元 素与之对应，所以A不是；B中，对于集合 M 中的任意一个数 x ，在 N 中都有唯一的数与之对应，所以B是；C中， x ＝2对应 元素 y ＝3∉ N ，所以C不是；D中，当 x ＝1时，在 N 中有两个元 素与之对应，所以D不是.故选B. 目录 数学·必修第一册 （2）（多选）下列对应关系或关系式中是 A 到 B 的函数的是（　　） A. A ＝R， B ＝R， x2＋ y ＝1 B. A ＝{1，2，3，4}， B ＝{0，1}，对应关系如图： C. A ＝R， B ＝R， f ： x → y ＝ D. A ＝Z， B ＝Z， f ： x → y ＝ 目录 数学·必修第一册 解析： A正确， x2＋ y ＝1可化为 y ＝－ x2＋1，显然对任意 x ∈ A ， y 都有唯一确定的值与之相对应.B正确，符合函数的定义.C 错误，2∈ A ，在 B 中找不到与之相对应的数.D错误，－1∈ A ，在 B 中找不到与之相对应的数.故选A、B. 目录 数学·必修第一册 通性通法 1. 判断对应关系是否为函数的2个条件 （1） A ， B 必须是非空实数集； （2） A 中的任意一个元素在 B 中有且只有一个元素与之对应. 目录 数学·必修第一册 2. 根据图形判断是否为函数的方法 （1）任取一条垂直于 x 轴的直线 l ； （2）在定义域内平行移动直线 l ； （3）若 l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有 交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 提醒　对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系， “一对多”的不是函数关系. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　（多选）已知集合 A ＝{ x ｜0≤ x ≤8}，集合 B ＝{ x ｜0≤ x ≤4}， 则下列对应关系中，能看作是从 A 到 B 的函数的是（　　） A. f ： x → y ＝ x B. f ： x → y ＝ x C. f ： x → y ＝ x D. f ： x → y ＝ x 解析： 根据函数的定义，对于D，在集合 A 中的部分元素，在 集合 B 中没有元素与它对应，故不正确；A、B、C选项均正确. 目录 数学·必修第一册 题型二 求函数值 【例2】　已知 f （ x ）＝ （ x ∈R，且 x ≠－1）， g （ x ）＝ x2＋2 （ x ∈R）. （1）求 f （2）， g （2）的值； 解： ∵ f （ x ）＝ ，∴ f （2）＝ ＝ . 又∵ g （ x ）＝ x2＋2，∴ g （2）＝22＋2＝6. 解： ∵ g （3）＝32＋2＝11，∴ f [ g （3）]＝ f （11）＝ ＝ . （2）求 f [ g （3）]的值. 目录 数学·必修第一册 通性通法 求函数值的方法 （1）已知 f （ x ）的表达式时，只需用 a 替换表达式中的 x 即得 f （ a ）的值； （2）求 f [ g （ a ）]的值应遵循由内向外的原则. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 设函数 f （ x ）＝ ，则当 f （ x ）＝2时， x ＝（　　） A. －4 B. 4 C. －10 D. 10 解析：C　令 ＝2，则 x ＝－10，故选C. 2. 已知函数 f （ x ）＝ ，则 f [ f （1）]＝ 　 　. 解析：∵ f （1）＝ ＝ ，∴ f [ f （1）]＝ f ＝ ＝ . 　 目录 数学·必修第一册 题型三 求已知函数的定义域 【例3】　求下列函数的定义域： （1） f （ x ）＝ · ＋2； 解： 要使此函数有意义，应满足 解得1≤ x ≤4，所以 f （ x ）的定义域是{ x ｜1≤ x ≤4}. 目录 数学·必修第一册 （2） y ＝（ x －1）0＋ . 解： 由题意得，解得 x ＞－1，且 x ≠1， 所以函数的定义域为{ x ｜ x ＞－1，且 x ≠1}. 目录 数学·必修第一册 通性通法 求函数定义域的依据 （1）依据：分式的分母不为0，二次根式的被开方数不小于0，0次幂 的底数不为0等； （2）写法：如果解析式中含有多个式子，则用大括号将 x 满足的条件 列成不等式组，求交集. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　求下列函数的定义域： （1） y ＝ ； 解： 由得∴其定义域为{ x ｜ x ≤1，且 x ≠0}. 目录 数学·必修第一册 （2） y ＝ ＋ . 解： 由得∴其定义域 为{ x ｜ ≤ x ≤ 或－ ≤ x ≤－ }. 目录 数学·必修第一册 题型四 创建函数关系的问题情境 【例4】　已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系. （1） f （ x ）＝ ； 解： 设矩形的长为 x ，宽为 f （ x ），那么 f （ x ）＝ . 其中 x 的取值范围 A ＝{ x ｜ x ＞0}， f （ x ）的取 值范围 B ＝{ f （ x ）｜ f （ x ）＞0}，对应关系 f 把 每一个矩形的长 x ，对应到唯一确定的宽 . 目录 数学·必修第一册 （2） f （ x ）＝2 x ＋ ； 解： 设矩形的长为 x ，周长为 f （ x ），那 么 f （ x ）＝2 x ＋ . 其中 x 的取值范围 A ＝{ x ｜ x ＞0}， f （ x ）的取值范围 B ＝{ f （ x ）｜ f （ x ）＞0}，对应关系 f 把每一个矩形的长 x ，对应到唯一确定的周长2 x ＋ . 目录 数学·必修第一册 （3） f （ x ）＝ . 解： 设矩形的长为 x ，对角线长为 f （ x ），那么 f （ x ）＝ . 其中 x 的取值范围 A ＝{ x ｜ x ＞0}， f （ x ）的取值范围 B ＝{ f （ x ）｜ f （ x ）≥2 }，对应关系 f 把每一个矩形的长 x ，对应到唯一确定的对角线长 . 目录 数学·必修第一册 通性通法 根据函数关系构建问题情境的策略 （1）分析条件中的函数解析式，确定其函数类型、定义域、值域、 对应关系； （2）从现实生活中寻找和构建合适的问题情境，必要时，可适当限 制 x 的取值范围； （3）既要描述情境，又要描述情境中的定义域、值域和对应关系. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式 y ＝ 来描述. 解：设面积为 x 的正方形的边长为 y ，则 y ＝ ，定义域为{ x ｜ x ＞ 0}，值域为{ y ｜ y ＞0}，对应关系 f 把每一个正方形的面积 x ，对应到 唯一确定的边长 . 目录 数学·必修第一册 1. （多选）下列等式中的变量 x ， y 具有函数关系的是（　　） A. y ＝ x －1 B. y ＝ C. y2＝4 x D. y2＝ x2 解析： 　选项C中，当 x ＝1时， y ＝±2，不符合函数的定义； 选项D中，当 x ＝1时， y ＝±1，不符合函数的定义.故选A、B. 目录 数学·必修第一册 2. 已知函数 f （ x ）＝ x ＋ ，则 f （－1）· f （2）＝ ⁠. 解析：由函数 f （ x ）＝ x ＋ 可知 f （－1）＝－1＋ ＝－2， f （2）＝2＋ ＝ .因此 f （－1）· f （2）＝（－2）× ＝－5. 3. 函数 f （ x ）＝ 的定义域为 ⁠. 解析：由题意得， x2－ x －12≥0，解得 x ≤－3或 x ≥4. －5　 { x ｜ x ≤－3或 x ≥4}　 目录 数学·必修第一册 4. 已知函数 f （ x ）＝ x2－ mx ＋ n ，且 f （1）＝－1， f （ n ）＝ m ， 求 f （ x ）及 f [ f （－1）]. 解：由题意知解得 所以 f （ x ）＝ x2－ x －1，故 f （－1）＝1. f [ f （－1）]＝ f （1）＝－1. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 下列图形中，不能作为函数图象的是（　　） 解析： 　C选项中，当 x 取小于或等于0的一个值时，有两个 y 值 与之对应，不符合函数的定义，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 2. 函数 f （ x ）＝ ＋ 的定义域为（　　） A. B. { x ｜ x ≥－2} C. D. 解析： 　依题意得解得即 x ≥－2，且 x ≠ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. 下列对应关系是从集合 M 到集合 N 的函数的是（　　） A. M ＝R， N ＝{ x ∈R｜ x ＞0}， f ： x →｜ x ｜ B. M ＝N， N ＝N*， f ： x →｜ x －1｜ C. M ＝{ x ∈R｜ x ＞0}， N ＝R， f ： x → x2 D. M ＝R， N ＝{ x ∈R｜ x ≥0}， f ： x → 解析： 　对于A，当集合 M 中 x ＝0时，｜ x ｜＝0，但集合 N 中没 有0；对于B，当集合 M 中 x ＝1时，｜ x －1｜＝0，但集合 N 中没 有0；对于D，当集合 M 中 x 为负数时，集合 N 中没有元素与之对 应；分析知C中对应关系是集合 M 到集合 N 的函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. （多选）设 f ： x → x2是集合 A 到集合 B 的函数，如果集合 B ＝ {1}，那么集合 A 可能是（　　） A. {1} B. {－1} C. {－1，1} D. {－1，0} 解析：由 x2＝1得 x ＝±1，故集合 A ＝{1}或{－1}或{－1，1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 已知函数 f （ x ）＝ －1，且 f （ a ）＝3，则 a ＝ ⁠. 解析：因为 f （ x ）＝ －1，所以 f （ a ）＝ －1.又因为 f （ a ）＝3，所以 －1＝3， a ＝16. 6. 已知等腰三角形 ABC 的周长为10，底边长 y 关于腰长 x 的函数关系 式为 y ＝10－2 x ，则此函数的定义域为 ⁠. 解析：∵△ ABC 的底边长显然大于0，即 y ＝10－2 x ＞0，∴ x ＜5. 又两边之和大于第三边，∴2 x ＞10－2 x ，∴ x ＞ ，∴此函数的定 义域为 . 16　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 7. 已知集合 A ＝{1，2， k }， B ＝{4，7，10}， x ∈ A ， y ∈ B ，使 B 中元素 y 和 A 中元素 x 一一对应，对应关系为 y ＝3 x ＋1，则 k ＝ （　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 解析： 　根据对应关系为 y ＝3 x ＋1，3×1＋1＝4，3×2＋1＝ 7，由题意可得3 k ＋1＝10，所以 k ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 8. 已知函数 y ＝ 的定义域为R，则实数 a 的取值范围 是 ⁠. 解析：当 a ＝0时， ax2＋4 ax ＋3＝3≠0对任意 x ∈R恒成立.当 a ≠0时，要使 ax2＋4 ax ＋3≠0恒成立，即方程 ax2＋4 ax ＋3＝0无 实根，只需判别式Δ＝（4 a ）2－12 a ＝4 a （4 a －3）＜0，则0＜ a ＜ .综上，实数 a 的取值范围是 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 9. 若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称 这两个函数为同族函数，那么与函数 y ＝ x2， x ∈{－1，0，1，2} 为同族函数的有（　　） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解 析式为 y ＝ x2，值域为{0，1，4}，定义域中0是肯定有的，1、－ 1至少含有一个，2、－2至少含有一个，它的定义域可以是{0， 1，2}，{0，1，－2}，{0，－1，2}，{0，－1，－2}，{0，1，－ 2，2}，{0，－1，－2，2}，{0，1，－1，－2}，{0，1，－1， 2，－2}，共有8种不同的情况. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $