3.1.2 第2课时 函数的表示法(分段函数) 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦分段函数，涵盖概念、表示法、求值、图象及实际应用，通过问题导入衔接函数表示法，搭建从单一解析式到分段函数的认知支架，帮助学生理解其本质。 其亮点在于以分类讨论和数形结合培养数学思维的推理能力与几何直观，结合水费计算、运动轨迹等实际问题，体现数学眼光的创新意识和数学语言的应用意识。例题丰富，学生能提升分析能力，教师可高效教学。

第2课时 函数的表示法(分段函数) 第三章　3.1.2 <<< 1.会用解析法及图象法表示分段函数.(重点) 2.给出分段函数，能研究有关性质.(难点) 3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题. 学习目标 分段函数求值(范围)问题 函数y=是两个函数吗？ 问题 提示　是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同. 分段函数的概念 有些函数在其定义域内，对于自变量 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样 的函数称为分段函数（分段函数是一个函数，而不是几个函数）. 知识剖析 1.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应 关系. 2.分段函数在书写时将各段函数关系写在大括号右边，每段写一行，并且必须指明 各段函数自变量的取值范围. 3.分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集.注意各段自变量取值范围的交集 为空集. 4.分段函数的值域是各段函数值域的并集. 5 思考辨析 结合分段函数的特点,在解决分段函数问题时常常运用哪一种重要的数学方法? 提示 分类讨论的方法. 类型1 分段函数求值 例1 已知函数 （1）求 的值； 【解析】, ， ，（从内到外依次求值） . 7 （2）若，求实数 的值; 【解析】当时，，（注意检验的值是否在前面 的范 围内） ； 当时，， ; 当时， , （舍去）. 综上，或 . 8 （3）若，求实数 的值. 【解析】令，则 . 当时，， （舍去）； 当时，， ; 当时，, （舍去）. 综上， . 当时， . 当时， ，无实数解； 当时，， ; 9 当时，, （舍去）. 当时， . 当时，， （舍去）； 当时， ，无实数解; 当时，, . 综上，或 . 例2 (2026·四川省泸县第五中学开学考试)已知 则 ( ) B A. B.4 C.2 D. 当时， ,由此可不断增大自变量的值，直至大于 0，即可通过 求值. 【解析】 只要，都有 , , 11 类型2 分段函数与不等式 例3 函数，若，则 的取值范围是 __________________. 12 【解析】解析当时，，解得，所以 （务必将不等式的解集与 求交集）； 当时，，解得，所以 ； 当时，，解得，所以 . 综上，的取值范围为 . 13 例4 ［多选题］(2026·湖南省长沙市雅礼中学检测)已知函数 则下列关于函数 的结论正确的是( ) BC A.的值域为 B.若，则的值是 C. D.的解集为 14 【解析】当时，，；当时， ， ，故的值域为 ，A错误. 当时，令，解得；当 时，令 ，无解.故 ,B正确. ，C正确. 当时，令，解得；当 时， 令，解得.故的解集为 ，D错误.故 选 ． 15 分段函数的图象及应用 1.分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几部分组成.在同一直角坐标系中，根据每段的定义 区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点 （若端点包含在内，则用实心点表示；若端点不包含在内，则用空心点表示），将 每段图象组合到一起就得到整个分段函数的图象. 特别提醒（1）分段函数是一个函数，作图时要将各段函数图象画在同一直角坐标系中. （2）在画每一段函数图象时，可以先不管定义域的限制，用虚线作出图象，再用实 线保留在该段定义区间内的相应图象即可，即“分段作图，先虚后实”. 17 2.函数的图象变换拓展点 1 平移变换 其中, 简记为“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”. 18 2 对称变换 3 翻折变换 19 类型1 画函数的图象 例5 作出下列函数的图象： （1） 20 【解析】先用虚线画出一次函数的图象，取 上的一段用实线表 示；再用虚线画出二次函数的图象，取 上的一段用实线表示;最 后用虚线画出一次函数的图象，取上的一段用实线表示.函数 的图象如图实线所示. 21 （2）， . 【解析】先作出二次函数的图象，保留轴上及其上方部分，再把 轴下方的部分翻折到 轴上方， 并截取在区间 上的部分，如图所示. （注意区间端点，时，图象用空心点表示， 时，图象用实心点表示） 22 例6 已知函数 （1）求， 的值； 【答案】由已知可得，， ． 23 （2）利用描点法直接在图3.1.2-9所给坐标系中作出 的简图（不用列表）． 图3.1.2-9 24 【答案】在坐标系中描点，，，， ， 作出 的简图,如图D 3.1.2-1所示. 图D 3.1.2-1 25 类型2 图象的识别 例7 函数 的大致图象是( ) C A. B. C. D. 【解析】方法1：易得函数的定义域为，排除A，B；当 时， ,选项D中的图象不符合，排除D.故选C. 方法2：函数的定义域为，即 两段均为一次项 系数为正的一次函数图象，所以选项C对应的图象正确. 26 例8 [新定义·⊕运算]定义运算则函数 的图象 是( ) B A. B. C. D. 【解析】根据题意，运算其计算结果为实数， 中的最大值， （明确新定义中运算的意义是关键点） 若，解得或或 ， 若，解得且 ， 故 则 的图象与B选项对应，故选B． 27 类型3 利用函数图象求值域 例9 设,则函数 的值域为__________. 去掉绝对值符号，把它写成分段函数的形式，画出图象，由图象的 最高点和最低点确定值域. 【解析】当时， ; （【分类依据】令,，得, ，就以0,1为分类标准点） 当时， ; 当时， . 故 图3.1.2-10 根据函数解析式作出函数图象，如图3.1.2-10所示. 由图象可以看出，函数的值域为 . 28 【解析】当时， ; （【分类依据】令,，得, ，就以0,1为分类标准点） 当时， ; 当时， . 故 图3.1.2-10 根据函数解析式作出函数图象，如图3.1.2-10所示. 由图象可以看出，函数的值域为 . 29 类型4 图象信息题 例10 (2026·上海市南洋中学测试)向高为 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( ) B A. B. C. D. 【解析】观察图象，根据图象的特点，发现水深时，注水量 （理解函数 图象,发现注水量与水深的关系），即水深为一半时，实际注水量大于水瓶容积的一 半，A中,C，D中 ，故排除A，C，D.（通过特殊位置来分析排除） 30 例11 [教材改编P72练习T1](2026·河南省漯河市高级中学月考)某同学到长城旅游， 他骑车由宾馆前往长城，前进了 ，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，途 中看见路边标语“不到长城非好汉”，便调转车头继续向长城方向前进，则该同学离 起点（宾馆）的距离与时间 的函数图象大致为 ( ) C A. B. C. D. 【解析】第一段时间，该同学骑车由宾馆往长城方向前进了 ，则该同学离起点 （宾馆）的距离 越来越远；第二段时间，休息了半小时，随时间变化，该同学离起 点的距离并没有发生变化，因此该同学离起点（宾馆）的距离与时间 的函数图象 应是一条横线（而不是一个点）；第三段时间，原路返回，距离起点越来越近；第 四段时间，掉转车头继续向长城方向前进，该部分对应的图象和第一段时间的相似. 因此只有C选项符合题意. 31 分段函数在实际问题中的应用 例12 我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地均采用了价格调控等手段来达到节约 用水的目的．某市用水收费的标准是：水费基本费超额费 定额损耗费．若每月 用水量不超过最低限量，则只付基本费8元和每月的定额损耗费 元；若用水量 超过，则除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每付 元的超额 费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．该市一家庭今年第一季度的用水量和支 付费用见下表，根据表中的数据求，， ． 月份 用水量/ 水费/元 1 9 9 2 15 19 3 22 33 33 给什么得什么 题中给出两个信息：①某市用水收费标准（水费基本费超额费 定额损耗费），由此我们可以列出含有，， 的等式；②用水量 实施阶梯收费，用水量不超过最低限量与超过 ，收费标准 不同，由此我们可以列出分段函数 来表 示月支付费用与月用水量 的函数． 求什么想什么 题中要求，，的值，由题意可知，从而有 ； 从表中还可以得知2月份、3月份的费用均大于13元，可列等式 解得及 . 差什么找什么 考虑，即1月份用水量超过最低限量 时，此时有 ，即，这与 相矛盾，所 以，从而1月份的支付费用应为，即 ． 故，， . 34 【解析】设月用水量为，当月支付费用为 元，则 由题意知，， . 从表中知，2月份、3月份的费用均大于13元（包含基本费与定额损耗费），故用水 量，均大于最低限量 ， 将 分别代入②式中, 得解得 ， ③. 35 若1月份用水量超过最低限量，即 ， 将代入②式中得 ， 即，这与③式相矛盾， . 月份的支付费用应为，即 . 故,, . 例13 如图,动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始,顺次经过点C,D,A绕正方形的边界运动,最后回到点B.用x表示点P运动的路程,y表示△APB的面积,求y关于x的函数解析式.(当点P在AB上时,规定S△APB=0) 1.知识清单： (1)分段函数的概念及求值. (2)分段函数的图象及应用. (3)分段函数在实际问题中的应用. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合法. 3.常见误区： (1)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实. (2)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式. 课堂小结 随堂演练 题型一 函数图象变换的相关问题 1.（2026湖南长沙期末）函数 的图象如图1所示， 则图2对应的函数解析式可以表示为( ) C A. B. C. D. 41 【解析】 函数 的图象如题图1， 去除在轴左侧的图象，将轴右侧的图象关于 轴对称，可得 的图象，结合题图2可知A错误； 的图象在轴及以上部分不变，将 轴以下的部 分翻折到轴上方，可得 的图象，结合题图2可知B错误； 去除在轴右侧的图象，将轴左侧的图象关于轴对称，可得 的图 象，结合题图2可知C正确； 去除在轴左侧的图象，将轴右侧的图象关于 轴对称，再将整个函数图象翻 折到轴下方，即可得 ，结合题图2可知D错误. 42 2.已知函数的图象恒过点,则函数 的图象恒过点________. 【解析】 因为的图象向右平移3个单位长度可得到的图象, 的图象恒过 点,所以的图象恒过点 . 43 3.已知函数定义在 上的图象如图所示,请分别画出下列函数的图象: （1） ； 44 【答案】 将函数的图象向左平移1个单位长度可得函数 的图象, 函数 的图象如图1所示. 图1 45 （2） ； 46 【答案】 将函数的图象向上平移1个单位长度可得函数 的图象,函 数 的图象如图2所示. 图2 47 （3） ； 48 【答案】 函数的图象与函数的图象关于轴对称,函数 图 象如图3所示. 图3 49 （4） ； 50 【答案】 函数的图象与函数的图象关于轴对称,函数 的 图象如图4所示. 图4 51 （5） ； 52 【答案】 将函数的图象在轴上及其上方的部分保留,并将下方的部分沿 轴翻 折到轴上方可得函数的图象,函数 的图象如图5所示. 图5 53 （6） . 54 【答案】 将函数的图象在轴左边的部分去掉,在 轴上及其右边的部分保留,并 将右边部分沿轴翻折到轴左边得函数 的图象,其图象如图6所示. 图6 55 4. 将二次函数 的图象先向右平移2个单位长度,再向上平移4个单 位长度,得到二次函数的图象,则 ___. 2 【解析】 由题意可知,本题考查函数的图象变换,利用“左加右减”“上加下减”, 可得二次函数的解析式,进而求得系数和. 由题意可得 ,( 注意“左加 右减”的变化是,而“上加下减”的变化是 ) 所以,,,则 . 56 题型二 分段函数 5.（2026重庆南开中学检测）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” 已知,，则“”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 由题意得，若，则，所以, ，故 ，必要性成立，但当时，,可能都是无理数，不妨设 ，此时 ，充分性不成立，所以“”是“ ”的必要不充分条件. 57 6.（2026山东潍坊期中）已知函数若 ，则 ( ) B A. B.0 C. D.1 58 【解析】 和都含参，和有可能都在区间 内，和也有可能都在区间内，作出 的 图象，如图所示.由图象可知，若,则和 需 在不同的区间，则只能是在内，在 内. 由上述分析可知即, , , 因为，所以,解得,此时 ,符合题意. 所以 . 59 7.（多选/2026江西部分学校月考联考）已知函数 下列关于函数 的结论正确的是( ) BD A.的定义域为 B.的值域为 C. D.若,则的值是 60 【解析】 因为所以 的定义域为 （分段函数的定义域为各段自变量取值范围的并集）. 当时,；当时,,所以 的值域为 . 因为所以 . 当时,由,得,解得（舍去）；当 时,由 ,得,解得或（舍去）.综上可得, . 8.已知函数则使成立的 的取值范围为 _ __________________________. 或} 【解析】 由题意可得或由 解得 ； 由解得或 . 综上可知,使成立的的取值范围为或 }. 62 9.（2026江苏常州期中）已知函数 （1） 在给出的平面直角坐标系中画出函数 的图象， 并求 的值； 63 【答案】 画出图象如图所示， 因为，所以 . 64 （2） 若，求实数 的值； 【答案】 因为， ，由图可得 ，所以有 ，即 ，即 ， 解得或（舍去），由图可得 , 所以，即 ，解得 或 （舍去）. 所以 . 65 （3） 若在上的值域为，求实数 的取值范 围. 【答案】 由题意可得， ， 当时，即的解为 ， 因为在上的值域为 ， 结合图象可得，所以实数 的取值范围是 . 66 10.（2025福建莆田六中期中）已知函数, . （1） 在同一坐标系中（图1）画出函数, 的图象； 67 【答案】 , 图象如图所示. 68 （2） 定义:, 在图2中作出函数的图象,并求函数 的解 析式,写出 的值域（不需要证明）. 【答案】 令 ,即 , 当时,,得；当时,,得 . 则当时,；当时, ；当时, . 所以 69 的图象如图所示. 由图象可知,的值域为 . 70 11.（2026北京人大附中检测）已知函数满足 . （1） 求 的解析式； 【答案】 因为，所以 ， 令，，则，则 ， 即， . 因为 ， 所以 ， 所以 . 71 （2） 求 的值域； 【答案】 易得的定义域为 . 当时， ； 当时， ； 当时， . 故的值域为 . 72 （3） 设集合，请用列举法表示 . 【答案】 令，则， ，解得 . 当或2时， 均为无理数，不符合题意； 当时，方程，即，解得或 （舍去）； 当时，方程，即，解得或 ； 当时，方程，即，解得 . 故 . 73 解 当点P在边BC上运动时,0≤x≤4,此时y=×4·x=2x; 当点P在边CD上运动时,4<x≤8,此时y=×4×4=8; 当点P在边DA上运动时,8<x<12,此时y=×4×(12-x)=24-2x; 当点P在边AB上运动时,12≤x≤16,此时y=0. 综上可知,y= $