3.1.2函数的表示法（第2课时）（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数解析式求法（代入、换元、配凑等）与分段函数求值，课堂导入通过“温故知新”梳理函数三种表示法的定义及优缺点，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点在于以典例分析引导学生经历“观察条件—判断方法—推导运算—总结规律”过程，培养分类讨论的数学思维，结合分层练习强化分段函数“先定区间再代入”的标准化步骤，提升逻辑推理与代数运算能力。学生能掌握解题方法，教师可借助系统资源高效教学。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第三章函数的概念与性质 3.1.2函数的表示法（第2课时） 3.1　函数的概念及其表示 解析式求法 分段函数求值 学 习 目 标 1 2 通过对不同类型函数解析式求解例题的探究、分析与归纳，引导学生经历“观察条件—判断方法—推导运算—总结规律”的完整解题过程，培养学生分类讨论、等价转化的数学思维，提升学生归纳总结、逻辑推理和代数运算的核心能力。 通过分段函数求值的分层练习与变式训练，让学生熟练掌握“先定区间、再代解析式、最后计算结果”的标准化解题流程，强化学生数形结合、分段讨论的思想，提升学生分析问题、解决问题的能力。 新课引入 温故知新 【知识清单】函数的表示法 表示方法 列表法 图像法 解析法 定义 用表格的形式把两个变量间的函数关系表示出来的方法 用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法 一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来的方法 优点 不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系,比较直观 可以直观地表示函数的局部变化规律,进而可以预测它的整体趋势 能便利地通过计算等手段研究函数性质 缺点 只能表示有限个元素的函数关系 有些函数的图像难以精确作出 一些实际问题难以找到它的解析式 目标一：函数解析式求法 知识讲解 函数的表示法 函数解析式 我们已经认识了函数的定义与定义域，知道函数是自变量与因变量的对应关系，而解析式就是刻画这种对应关系最直接的工具。很多题目只会给出函数的部分条件，不会直接给出完整表达式，怎样根据已知信息还原出函数解析式？ 今天我们就系统梳理求函数解析式的常用方法，掌握代入法、待定系数、换元、配凑、方程组法、图象法，打通函数解题的基础关卡。 典例分析 代入法求解析式 例1-2 1.已知 f(x)=+x-1，则 f(x+1)= ______。 题型：已知 f(x) 的解析式，求 f(○) 的解析式 方法：将整体代入到 f(x) 解析式中，替换 x。 【解析】因为 f(x)=+x-1， 所以 f(x+1+(x+1)-1=+3x+1。 2.已知 f(x)=2x+1，则 f(f(x))= ______。 第一 第二 【解析】因为 f(x)=2x+1，所以 f(f(x))=2f(x)+1=2(2x+1)+1=4x+3。 典例分析 换元法求解析式 例3-4 3.已知 f(x+1)=+3x+1，则 f(x)= ______。 题型：已知 f(____) 的解析式，求 f(x) 的解析式 方法：①换元（设 t=，注意 t 的取值范围）②反解 x（用 t 表示 x）③代入，换回（把 t 直接写成 x） 【解析】令 t=x+1，则 x=t-1， 所以 f(t)=， 所以 。 4. 已知函数，求 f(x) 的解析式。 第一 第二 （x≥1） 典例分析 配凑法求解析式 例5-6 5.已知 f(x-)=+ ，求 f(x) 的解析式。 配凑法常见形式：f(x±)，求 f(x) 的解析式。 方法：配凑法就是将解析式凑成 f(_) 里面的形式。 令 t=x-，则 x=?(不用求） 解：因为 f(x-)=所以 f(t)=2。 6.已知函数 f(+1)= -1，求 f(x) 的解析式。 第一 第二 , 所以 f(x)=-2x（x≠1）。 典例分析 待定系数法求解析式 例7-8 7.已知函数 f(x) 是一次函数，若 f[f(x)]=4x+8，求 f(x) 的解析式。 题型：函数类型给定（一次、二次、反比例等） 方法：① 设（函数类型）② 代（代入方程）③ 等（系数相等） 解：因为 f(x) 是一次函数，故设 f(x)=ax+b，所以 f(f(x))=a(ax+b)+b= x+ab+b，因为 f(f(x))=4x+8， 所以 =4, ab+b=8，解得 a=2,b= 或 a=-2,b=-8， 所以 f(x)=2x+或 f(x)=-2x-8。 8.已知 f(x) 是二次函数，若 f(0)=1，且 f(x+1)-f(x)=2x，求 f(x) 的解析式。 第一 第二 解：因为 f(x) 是二次函数，且 f(0)=1，故设 f(x)=a+bx+1（a≠0）。由题意 f(x+1)-f(x)=2x，根据对应项系数相等：解得：a=1，b=-1。所以 f(x)=-x+1。 典例分析 方程组法求解析式 例9-8 9.已知 f(x)+2f()=2x+1，求 f(x) 的解析式。 题型：已知 f(x) 与 f() 的关系式，或 f(x) 与 f(-x) 关系式 方法：① 用 替换 x，或用 -x 替换 x ② 解方程组 解：因为 f(x)+2f()=2x+1 ① 所以 f()+2f(x)=+1 ② ① - ②×2 得 -3f(x)=2x--1， 所以 f(x)=- x++。 10.已知 f(x)+2f(-x)=+2x，求 f(x)。 第一 第二 解：因为 f(x)+2f(-x)=+2x ① 所以 f(-x)+2f(x)=-2x ② ① - ②×2 得 -3f(x)=-+6x， 所以 f(x)=-2x。 典例分析 图象法求解析式 例11 11.已知函数 y=f(x) 的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（） (1) 观察图象：①确定函数图象对应的函数类型；②确定图象上关键点的坐标。 (2) 由函数类型设出函数解析式，利用待定系数法求解。 【详解】对于A，由图1可得，当 x<0 时，f(x)<0，所以当 x<0 时，f(x)<0，故A错误； A B 对于B，由图1可得当 x<0 时，f(x)<0，所以当 x<0 时，<0，故B错误； C D 对于C，由图1可得当 x<0 时，f(x)<0，当 x>0 时，f(x)>0， 所以当 x<0 时，xf(x)>0；当 x>0 时，xf(x)>0，选项C正确； 目标二：分段函数求值问题 知识讲解 函数的表示法 分段函数求值 上一节我们通过图象认识了分段函数的特征，发现它包含两个以上解析式，应用它求值时，我们绝对不能‘胡子眉毛一把抓’。我们必须先做一个关键动作——看清自变量‘此时此刻’到底属于哪一段范围，再去找那一段对应的‘专属计算器’去算。 这种在‘多套规则’中准确切换、精确计算的能力，就是今天我们要攻克的重难点——分段函数的求值。让我们一起看看，怎样做到又快又准，不掉进‘段位’的陷阱里！” 典例分析 类型一、已知f(x)解析式，求f(m) 第一类 例12 第二类 第三类 已知函数f(x)= 若f(a)=3，则a的值为( ). 在把a代入解析式时，它有三种可能性，需要分三类讨论并验证。 当 a≤-1 时，f(a)=a+2=3，得 a=1，不满足 a≤-1，舍去； 典例分析 类型一、已知f(x)解析式，求f(m) 第一类 例13 第二类 已知函数f(x)= 且f( )=3，则实数的值为( ) A.-1 B.1 C.-1或1 D.-1或- 在把𝒙0代入解析式时，它有两种可能性，需要分两类讨论并验证。 小结 综上，=-1。所以选 C。 典例分析 已知f(x)解析式，求f（m）+f（n） 第一步 例14 第二步 已知函数f(x 且f(a)+f(1)=0，则实数a= A.0 B.1 C.2 D.-3 这两个函数值是并列的，需要各选择各的代入渠道。 第一步：求 f(1) 因为 1>0，所以 f(1)=2×1=2。 代入条件 f(a)+f(1)=0，f(a)+2=0⇒f(a)=-2 第二步：分段讨论 a 当 a>0 时，f(a)=2a。令 2a=-2，解得 a=-1。 但 a=-1 不满足 a>0，故舍去。 当 a≤0 时，f(a)=a+1。令 a+1=-2，解得 a=-3。 a=-3 满足 a≤0，成立。所以，实数 a=-3。 典例分析 已知f(x)解析式,求f(f(m)) 内 例15 外 设函数f(x 则)的值为 ( ) 这两个函数值是嵌套的，需要从内到外，选择各自适宜的法则。 解： 目标三：针对训练 举一反三 1.已知二次函数f(x)满足f(0)=2，f(1)=0，f(3)=8，求f(x)的解析式。 设f(x)=+bx+c，代入条件得c=2，，解得a=1,b=-3， f(x)=-3x+2 2.已知f(√=x+2√，求函数f(x)的解析式。 举一反三 3.已知 f(x+)=求 f(x) 解析式 解： 4.已知 2f(x)+=3x，求 f(x) 解析式 解 (1)×2-(2) 得：3f(x)=6x- f(x)=2x- (x≠0) 举一反三 5.已知函数f(x)=若f(x)=2，则x=▁ , 举一反三 6.已知f(m)= 其中[m]表示不超过m的最大整数，则f(5.2)= ( ) A.3.71 B.4.24 C.4.77 D.7.95 举一反三 7.已知函数 f(x)=，且 f(a)+f(1)=5，则实数 a 的值为（ ） A. -2 　　B. 2 　　C. 2或-2 　　D. 以上均不对 举一反三 8.设函数f(x 若f(f(-2))=8，则实数m=▁. 情况一：解得 m=1 或 m=7。其中 m=7 不满足 m≤4，舍去；m=1 满足。 综上，实数 m 的值为：1 或 16 举一反三 9.设函数f(x 举一反三 简: 目标四：小结 学海拾贝 1.函数解析式求法要点 解题流程：审题 → 确定自变量的实际意义 → 划分范围（若分段） → 逐段建立等量关系 → 写出完整解析式（必须紧跟定义域！）。 - 核心思想：若题目条件涉及“变”与“不变”，需灵活运用分类讨论。 2. 分段函数求值操作指南 核心口诀：“先判段，后代入。” 看到自变量，第一反应是去比大小、看区间，确认归属后再代公式。 - 嵌套求值（易错）：若遇到 f(f(2)) 的形式，必须从内向外逐层剥开。先算括号内最里层的值，判断属于哪一段求出结果后，再把结果当作新的自变量代入外层。 学海拾贝 3 注意事项（避坑指南） 定义域要“如影随形”：无论是求解析式还是最后写答案，函数的定义域（取值范围）必须和解析式捆绑写在一起。定义域缺失，解析式无效。 临界点归属“不重不漏”：在写分段函数时，分段点（如 x=20）必须有且仅有一次出现在某一段的端点中（带等号）。必须检查：不能两边都不包含（漏值），也不能两边都包含（重复）。 求值必须“验根”：如果题目给出函数值 f(x)=a 让你反求自变量 x，代入各段解出 x 后，必须回头检验：这个解是否满足你代入时所用的那一段的 x 范围条件？不满足的必须舍去（增根）。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $