3.1.1 函数的概念(二) 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数概念进阶，核心涵盖同一函数判定、抽象函数定义域及简单函数值域，通过“如何确定一个函数”问题导入，衔接函数定义，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，结合例2定义域与对应关系辨析、例5复合函数定义域求解等实例，用数学思维归纳方法，数学语言总结值域求法，助力学生提升推理与运算能力，为教师提供系统教学资源与方法指导。

3.1.1 函数的概念(二) 第三章　§3.1 <<< 1.会判断两个函数是否为同一个函数.(重点) 2.会求抽象函数的定义域.(难点) 3.会求简单函数的值域.(重点) 学习目标 同一个函数 结合函数的概念，如何才能确定一个函数？ 问题 提示　有确定的定义域和对应关系即能确定一个函数. 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数 值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 特别提醒（1）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数.因此， 定义域和值域分别相同的两个函数也不一定是同一个函数.如函数 与 的定义域和值域均为 ，但是它们的对应关系不同，所以两个函数不是同 一个函数. （2）两个函数是否为同一个函数，与表示它们的字母无关.如,， , 与, ，因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们是同一个函数. 5 思考辨析 两个函数定义域不同,可能是同一函数吗? 提示 不可能.两个函数是同一函数必须两要素完全相同. 例1 函数f(x)=x和g(x)=是同一个函数吗?为什么? 例2 (2026·吉林省东北师范大学附属中学月考)下列各组函数表示同一个函数的是 ( ) B A., B., C., D., 【解析】 选项 思维过程 结论 A 的定义域为，的定义域为 ，定 义域不相同 不是同一个函数 B 定义域和对应关系都相同 是同一个函数 C 的定义域为，的定义域为 ，定 义域不相同 不是同一个函数 D 定义域相同，但对应关系不同 不是同一个函数 8 例3.[2026河北唐山期中]下列函数中，与函数 是同一个函数的是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 由题知的定义域为 . A 的定义域为,与 的定义域不同. B ,与 的定义域相同,对应关系相同. C 的定义域为,与 的定义域不同. D ，与 的对应关系不同. 9 例4 （多选）下列四组函数表示同一个函数的是( ) ABD A.与 B.与 C.与 D.与 【解析】 函数与 的定义域相同，对 应关系也相同，所以是同一个函数，A正确；函数与 的 10 定义域相同，都是，化简两个函数解析式得 ， ，对应关系也相同，所以是同一个函数，B正确；要使函数 有意义，则，解得或 ，所以该函数 的定义域为，要使函数 有意义， 则解得，所以该函数的定义域为 ，所以两个函数 定义域不同，不是同一个函数，C错误；与 的定 义域均为， ，所以两个函数的对应 关系相同，是同一个函数，D正确. (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数. (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (3)在化简解析式时，必须是等价变形. 判断两个函数为同一个函数应注意的三点 反 思 感 悟 求抽象函数的定义域 1 抽象函数的概念 没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数. 2 复合函数的概念 若函数的定义域为，函数的定义域为,称函数 为 与的复合函数，定义域为,且 .其中 叫做中间 变量，叫做内层函数， 叫做外层函数. 不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数，如 ，就 不是复合函数，因为任何实数都不能使 有意义. 14 2 复合函数的概念 若函数的定义域为，函数的定义域为,称函数 为 与的复合函数，定义域为,且 .其中 叫做中间 变量，叫做内层函数， 叫做外层函数. 不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数，如 ，就 不是复合函数，因为任何实数都不能使 有意义. 15 3 抽象函数或复合函数的定义域 理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点： （1）函数的定义域是指 的取值所组成的集合； （2）函数的定义域是指的取值范围，而不是 的范围； （3）已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知的范围为 ,求 出 的取值范围. 16 例5 (2026·安徽省合肥市期中)已知函数,则函数 的 定义域为( ) A A., B., C. D., 先求出函数 的定义域，再建立不等式求出复合函数的定义域. 【解析】由 ,解得 ,即函 数的定义域为 . 由,是复合函数的内层函数，则 的定 义域解得,则函数的定义域为, . 17 例6 (2026·山东省泰安市第一中学期中)已知函数的定义域为 ，则函 数 的定义域为( ) B A. B. C. D. 【解析】因为函数的定义域为，所以函数 的定义 域满足 解得所以 . 所以函数的定义域为 . 18 例7 已知函数的定义域为，则函数 的定义域为 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 因为函数的定义域为，所以 ， ，所以的定义域为.由，得 ，所 以函数的定义域为 . 19 (1)已知f(x)的定义域为［a，b］，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域. (2)已知f(g(x))的定义域为［c，d］，求f(x)的定义域时，求出g(x)在［c，d］上的范围(值域)即定义域. 抽象函数的定义域 反 思 感 悟 求简单函数的值域 例8 求下列函数的值域： （1）, ； 【解析】（观察法） 由，分别代入求值，可得函数的值域为 . 22 （2）, ； 【解析】（配方法）,由 ,再结合函数的图象 （如图3.1.1-4），可得函数的值域为 . 图3.1.1-4 23 （3） ； 【解析】方法1： （分离常数法） （通过分离常数使 得分子中无自变量），因为，所以，所以 . 故函数的值域为 . （分离常数后，可以结合函数图象（如下图）判断函数 值域，注意临界值） 方法2：（反表示法） 易得,（当能解出 时，可 以用此法）且 , 由得,即,所以 . 故函数的值域为 . 24 （4） ; 【解析】由得 . 方法1：（换元法） 设，则，且 ， （务必要确定新元的范围） 所以 ， 由 ，再结合函数的图象（如图 ），可得函数的值域 为 . 25 方法2：（判别式法） 由得 ，两边同时平方，得 ， 由，（把看为常数，关于 的一元 二次方程有解，则有 ） 得.故函数的值域为 . 26 （5） ； 【解析】方法1：（直接配凑） 因为 ，所以 （根据分母的结构进行配凑），当且仅当，即 时，等号成立. 故函数的值域为 . 方法2：（换元法） 令，则 ， 所以，当且仅当 ， ，即 时取等号． 故函数的值域为 . 27 （6） ; 【解析】（基本不等式法） 因为，所以 ， （确保各项为正） 令 ， 则 ， 当且仅当，即 时，等号成立， 所以（注意不等号的方向）， ， 故函数的值域为 . 28 方法2：（判别式法） 由 , 整理得 . 当时，不存在，则 ； 当时， ， 即 ． 故所求函数的值域为 ． 29 归纳 求函数值域的常用方法 求函数值域前务必先确定函数的定义域. （1）观察法.利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象观察函数的值域. （2）配方法.求二次函数或可化归为二次函数形式的函数值域，可用配方法.如 或型，但要注意 的取值范围. 30 （3）分离常数法.形如 的函数常用分离常数法求值域.转化 过程为，其值域是 }. 注意：分离常数的目的是减少“变量”，变换后仅出现在分母上，这样 对函数的影 响就比较清晰了. （4）换元法.形如 的函数常用换元法求值域，即先令 ,求出,并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于 的二次函数，最 后用配方法求值域.（此类问题也可以用判别式法求值域） 31 （5）基本不等式法.若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满 足基本不等式的应用条件，则可利用基本不等式求最值，进而即可得到函数的值域. （6）判别式法.一般地，求形如,中至少有一个不为零 的函数的值 域，常把函数转化成关于的二次方程，通过方程有实根，判别式 ， 求出 的取值范围. 使用此法时需注意：①分子分母不可存在公因式，如例 不能利用判别式法；② 需对二次方程的二次项系数是否为0进行讨论. （7）反表示法.根据函数解析式反解出，根据的取值范围转化为关于 的不等式 （组）求解. 32 例 9 (2026·江苏省南京市检测)函数 的值域是( ) C A. B. C. D. 【解析】由得 ， 设，且 ，则 ， ，， ， ，，故函数的值域为 . 33 例 10 函数 的值域为_________. ， 【解析】函数 ， （对于方程,，即分母恒大于0，所以对于任意的, 都有意义,所以定义域为 ） 定义域为.令 , 当时，可得.（需对是否为0进行讨论，不能直接默认 就进行变形） 当时，可得 , 当时，可得，当且仅当时取等号,则 ; 34 当时，可得，当且仅当 时取等号,则 ． 故函数的值域为， ． 1.知识清单： (1)同一个函数. (2)抽象函数的定义域. (3)简单函数的值域. 2.方法归纳：换元法、配方法、分离常数法，整体代换. 3.常见误区： (1)不会用整体代换的思想求抽象函数的定义域. (2)求函数值域时忽略函数的定义域. 课堂小结 随堂演练 题型一 同一函数的判定 1.（多选/2026江苏五校期中联考）下列函数中，与函数 不是同一个函数的是 ( ) ACD A. B. C. D. 【解析】 的定义域为 . 的定义域为，与 的定义域不同，不是同一函数； 的定义域为，与 定义域相同，对应关系相同，是同 一函数； 的定义域为，与 定义域不同，不是同一函数； 与 的对应关系不同，不是同一函数. 38 2. (多选题)下列各组函数中,是同一函数的是(　　) A.f(x)=与g(x)=x B.f(x)=x0与g(x)= C.f(x)=与g(x)= D.f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t BD 解析 对于A,f(x)=的定义域为{0},g(x)=x的定义域为(-∞,0], 故不是同一函数,故A错误; 对于B,f(x)=x0=1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), g(x)==1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是同一函数,故B正确; 对于C,f(x)==x和g(x)==|x|,对应关系不一样,不是同一函数,故C错误; 对于D,f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t的定义域都是R,对应关系一样,是同一函数,故D正确.故选BD. 2.（多选/2026山东烟台检测）下列各组函数中是同一个函数的是( ) CD A., B., C., D., 41 【解析】 对于,由，得或 ，所以函数 的定义域为或.对于，由 得 ，所以函数的定义域为 . 两函数的定义域不同，不是同一个函数. 函数的定义域为,函数的定义域为 , 定义域不同,不是同一个函数. 函数的定义域为 ,函数 的定义域为 ,两函数定义域和对应关系均相同，是同 一个函数. 函数的定义域为,函数的定义域为 ,且 对应关系也相同,是同一个函数. 42 4. (2026河北沧州期中)(多选题)下列选项中,表示的是同一个函数的是 (　　) A.y=与y= B.y=2x2+1,y= C.y=与y=()2 D.y=与y=x BD 解析 对于A,y=的定义域为(1,+∞), y=的定义域为(-∞,-1]∪(1,+∞),故A错误; 对于B,y==2x2+1与y=2x2+1的定义域均为R,对应关系相同,故B正确; 对于C,y=的定义域为R,y=()2的定义域为[,+∞),故C错误; 对于D,y==x与y=x的定义域均为R,对应关系相同,故D正确.故选BD. 题型二 抽象函数的定义域 5.（2026江苏南通期中）已知，则函数 的定义 域是( ) C A. B. C. D. 【解析】 对于 ， 由解得 ， 所以的定义域为（作用于，所以作用对象的范围都是 ）. 对于有（作用于，所以 ）， 解得，所以的定义域是 . 45 6.（2026贵州遵义开学考试）已知函数的定义域为 ，则函数 的定义域为______. 【解析】 由题意得(注意的定义域为指的是 的范围)，故 ， 令，解得，令，解得或 ， 综上，，所以函数的定义域为 . 46 7.(2026·吉林省松原市长岭县第四中学月考)若的定义域是 ，则函数 的定义域是( ) D A.( B. C.) D.( 【解析】因为的定义域是，所以对于函数 ，应满足 即解得，故函数 的定义域是 . 47 8.（1）已知函数的定义域为,则函数 的定义域为_______; 【解析】 因为函数的定义域为,所以要使函数 有意义,则 需满足,解得,故函数的定义域为 . 48 （2）已知函数的定义域为，则函数 的定义域为 _ _____； 【解析】 因为函数的定义域为，所以对于函数 ， 有解得，故函数 的定义域为 . 49 （3）已知函数的定义域为,则函数 的定义域为______; 【解析】 因为函数的定义域为,即 ,所以 ,故函数的定义域为 . （4）已知函数的定义域为，则 的定义域为 _________. 【解析】 因为函数的定义域为,即 ,所以 ,则的定义域为.令 ,解得 .故函数的定义域为 . 50 题型三 函数值及值域问题 9.（2026天津宝坻区检测）已知函数 . （1） _ _； 【解析】 因为 ， 则，，所以 . （2） 当时， _ ____________. 【解析】 当时，，在的定义域内，所以 . 51 10.（2026江西上饶检测）定义在上的函数满足 ，且 ，则 ____. 【解析】 令，则，得，再令， ， 则，即，所以 . 52 11.（2025吉林长春检测）函数 的值域为_________________. 【解析】 53 要使函数有意义，则 ，所以定义域为 .因为，所以 .所以函数的 值域为 . 54 12.（2025上海中学检测）已知函数，实数 满足至少存在一个正实数 ，使得的定义域和值域相同，则 的取值范围为_______. , 55 【解析】 当时，（利用被开方数非负确定定义域），则 时， ，且 ，符合题意； 当时，令，即 ， 则或，即定义域为，此时 ，定义域和值 域不相同，不符合题意； 当时，令，即，则，即定义域为 ， 此时最大值在时取到，令 ，(定义域和值域相 同，故), 两边平方整理得，当时，有，得 . 综上所述，, . 56 13.求下列函数的值域. （1） ； 【答案】 换元法.令 （ 换元后务必注意新元的范围）,所 以 , 即,当时,,即函数的值域为 . （2） ； 【答案】 配方法.易知的取值需满足,即,即函数定义域为 , 因为 , 由二次函数性质可得当时， ,所以 的值域为 . . . 57 （3） ； 【答案】 配方法.由 可得函数的值域为 （ 习得单调性后可用单调性来解）. . . 58 （4） ； 【答案】 已知函数( 分母),定义域为 , 方法一：换元法.设,则,,所以 , 因为,所以 , 所以,故函数的值域为 . . . 识别出 型函数,可采用换元法或判别式法求解. 59 方法二：判别式法. 变形得,整理得 , 当时,方程为 ,不成立； 当时,,即,解得 ,故函数 的值域为 . 60 （5） ； 【答案】 令，则，即 ， 当时， ； 当时，，因为，当且仅当 时等号 成立，所以 ， 所以函数的值域为 . 61 （6） . 【答案】 , 因为,所以,故,当且仅当 ,即 时等号成立, 故,即函数值域为 . 识别出 型函数,采用分离常数的方法,结合基本不等式求解. 62 解 函数f(x)=x和g(x)=不是同一个函数, 因为它们的定义域不同,前者为R,后者为{x|x≠0}. $