专题07 机械能（知识清单）（全国通用）2027年高考物理一轮复习讲练测

该高中物理高考复习知识清单系统整理了机械能专题，涵盖功、功率、动能定理、机械能守恒定律及功能关系等核心内容，构建了从基础概念到重难突破再到素养提升的完整复习框架。 清单通过知识脑图梳理脉络，考点分层设计（基础梳理含核心概念，重难突破聚焦变力做功、机车起动等考向），结合易错剖析（如传送带模型能量关系）和技法提炼（如机械能守恒应用技巧），培养学生物理观念与科学思维。配套跟踪训练题链接高考真题，标注重难点与解题范式，助力学生自主高效复习，教师可据此精准指导备考。

专题07 机械能 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 ▶基础梳理·自主夯基 ▶重难突破·考向精练 考点一 功和能►考向一 功 考向二 功率 考向三 重力势能 考向四 弹性势能 考向五 动能 考向六 机械能 考点二 功能关系和能量守恒定律►考向一 功能关系 考向二 能量守恒定律 核心考点 机械能守恒定律 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶攻坚指南·重难突破 【重难突破01】求解变力做功的多种方法 【重难突破02】机车起动问题 ▶易错剖析·避坑攻略 【易混易错01】动能定理及其应用——功能关系 【易混易错02】传送带模型和板块模型的能量关系 ▶技法提炼·审题点拨 【方法技巧01】机械能守恒定律的应用技巧 【方法技巧02】摩擦力做功与能量关系分析技巧 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 基础梳理・自主夯基——核心概念 ▶知识点一 功 1. 定义：力对物体所做的功，等于 、 、 这三者的乘积。W＝ ，其中α为F、l方向间夹角，l为物体对地的位移，该公式适用于 做功。在国际单位制中，功的单位是 ，简称焦，符号是J。 ▶知识点二 功率 1. 定义：功与完成这些功所用 的比值。功率是描述做功的快慢的物理量，用字母P表示， ，在国际单位制中，功率的单位是 ，简称瓦，符号为W，功率是标量，只有大小，没有方向。 【注意】：P＝ ，该式适用于计算 功率（速度为平均速度） 和 功率（速度为瞬时速度）。F可为恒力，也可为 ，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化。 ▶知识点三 动能定理 1. 内容：物体所受合外力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。 W＝ 【注意】动能定理既适用于 运动，也适用于 运动；既适用于 做功，也适用于 做功；力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用。 2. 合外力做功与动能的关系 W>0，物体的动能增加；W＝0，物体的动能不变；W<0，物体的动能减少。 3. 动能定理表达式的推导： 如图所示，光滑水平面上的物体在水平恒力F的作用下向前运动了一段距离l，速度由v1增加到v2，力F对物体做功为： ▶知识点四 机械能守恒定律 1. 内容：在只有 做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能 。 【注意】应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态之间过程的细节，即可以简化计算。 2．对机械能守恒条件的理解 (1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。 (2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。 (3)对物体和弹簧组成的系统，只有重力和弹力做功，系统的机械能守恒。注意：并非物体的机械能守恒。 重难突破・考向深研——要点提炼 考点一 共和能 ⏩考试重点提炼⏪ 考向 考试重点 一、功 1. 做功本质：力对空间的累积作用效果，是能量转化或转移的唯一途径，有力不一定做功。 2. 做功判定核心：同时满足两个条件才做功，一是物体受力作用，二是物体在力的方向上发生位移，缺一不可。 3. 不做功三大场景：有力无位移、有位移无力、力与位移方向始终垂直，三种情况力均不做功，无能量转化。 4. 正负功判定规则：力与位移夹角为锐角做正功，动力效果，物体能量增加；夹角为钝角做负功，阻力效果，物体能量减少；垂直不做功。 5. 功的属性：标量，只有大小、无方向，正负仅代表做功效果，不代表做功大小，比较做功多少只看绝对值。 二、功率 1. 物理本质：描述力做功的快慢程度，不表示做功多少，是做功快慢的瞬时评判标准。 2. 瞬时功率与平均功率区分：平均功率对应一段时间的做功过程，反映整体做功快慢；瞬时功率对应某一时刻的做功状态，随运动状态实时变化。 3. 机车启动核心规律：恒定功率启动时，牵引力随速度增大而减小，做变加速运动；恒定牵引力启动时，先匀加速，功率达到额定值后变加速。 4. 额定功率属性：机械的最大输出功率，为固定属性，正常工作时实际功率不超过额定功率，无法无限增大。 三、重力势能 1. 物理属性：状态量，对应物体某一位置的能量状态，由物体重力和相对位置共同决定。 2. 零势能面规则：重力势能大小依托零势能面选取，零势能面可任意选取，默认以地面为零势能面；势能正负代表能量高低，正值大于零、负值小于零。 3. 势能变化判定：物体高度上升，重力势能增加；物体高度下降，重力势能减少，势能变化仅由高度变化决定，与运动路径无关。 4. 做功与势能关联：重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增加，重力做功是重力势能变化的唯一原因。 5. 路径无关性：重力势能变化只看初末位置高度差，与直线、曲线等运动路径没有任何关系。 四、动能 1. 物理属性：状态量，对应物体某一瞬时的运动状态，所有运动的物体均具有动能。 2. 取值特性：动能恒为非负值，只有大小、无方向，属于标量，速度方向改变不影响动能大小。 3. 动能变化判定：物体速率增大，动能增加；物体速率减小，动能减少；速率不变，动能保持不变。 ⏩高频考向深研⏪ 考向一 功 1. 定义：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。W＝Flcosα，其中α为F、l方向间夹角，l为物体对地的位移，该公式适用于恒力做功。在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。 【注意】：功是标量，但有正负。功的正负号不表示方向，也不表示功的多少，在比较功的多少时，只比较功的绝对值，不看功的正负号。例如－5J的功要比2J的功多。 2. 功的正负判断 夹角 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 功的正负 力对物体做正功。 力对物体不做功。 力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功。 动力学角度 力是物体运动的动力。 力对物体既不起动力作用，也不起阻力作用。 力是物体运动的阻力。 能量角度 使物体的能量增加。 物体的能量不增加也不减少。 使物体的能量减少。 3. 对公式W＝Flcosα的理解 ①公式W＝Flcosα中各量W、F、l都要取国际单位制单位。 ②只适用于计算大小和方向均不变的恒力做的功，不适用于计算变力做的功。 ③可以理解为力乘以在力的方向上的位移，即W＝F(lcosα)；也可以理解为位移乘以在位移方向上的分力，即W＝(Fcosα)l。 ④只与F、l、α三者有关，与物体的质量、运动状态、运动形式及是否受其他力等因素均无关。 ⑤因为功是过程量，反映力在空间位移上的累积效果，对应一段位移或一段过程，所以用公式W＝Flcosα求力做的功时，一定要明确是哪个力在哪一段位移上(或在哪一个过程中)所做的功。 4．合力做功的计算方法 方法一：先求合力F合，再用W合＝F合l cos α求功。 方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。 补充：各种力做功特点 重力 做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关 弹力(弹簧) 做功只与弹簧的劲度系数和形变量有关 摩擦力 滑动摩擦力做功与路径有关，可以做正功、负功，也可以不做功 一对滑动摩擦力 做功代数和小于零 一对静摩擦力 做功代数和为零 一对相互作用力 作用力和反作用力可以做功，也可以不做功，做功代数和可以大于零、小于零，也可以等于零 合力 合力如果是恒力，可以根据功的定义式求解 重力及弹簧弹力以外的其他力 重力及弹簧弹力以外的其他力所做的功将改变系统的机械能 电场力 与路径无关，由初、末位置的电势差决定 洛伦兹力 不做功，只改变速度的方向 安培力 可以做功，也可以不做功 感应电流在磁场中受到的安培力 做负功，阻碍导体棒与导轨的相对运动 分子力 可以做正功，也可以做负功 核力 核力破坏时将释放巨大的能量 【跟踪训练】（2026·陕西西安·模拟预测）（多选）在2026年春晚舞台上，武术节目《武BOT》融入前沿智能科技，成为本届春晚极具视觉冲击力的创新节目之一。节目中间环节时，质量为m的机器人从下蹲静止状态竖直向上起跳，经过t时间身体伸直以大小为v的速度离开地面，已知重力加速度g，在该过程中：（     ） A．地面对机器人的弹力是机器人发生弹性形变产生的 B．地面对机器人的平均作用力大小为m（g） C．地面对机器人的冲量大小为mv D．地面对机器人不做功 考向二 功率 1. 定义：功与完成这些功所用时间的比值。功率是描述做功的快慢的物理量，用字母P表示，P＝，在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号为W，功率是标量，只有大小，没有方向。 注意：P＝Fvcosα，该式适用于计算平均功率（速度为平均速度）和瞬时功率（速度为瞬时速度）。F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化。 【注意】求解功率时要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率；平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率；瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。 2. 公式P＝ 和P＝Fv的比较 公式 P＝ P＝Fv 适用条件 功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，一般用来求平均功率；当时间t→0时，可由定义式确定瞬时功率。 功率的计算式，仅适用于F与v同向的情况，若两者方向不同，则P＝＝＝Fvcosα；v为平均速度时功率为平均功率，v为瞬时速度时功率为瞬时功率。 联系 公式P＝Fv是P＝的推论；功率P的大小与W、t无关。 补充：瞬时功率和平均功率的计算 平均功率 ＝ ＝Fcos α，其中为物体运动的平均速度 瞬时功率 P＝Fvcosα，其中v为瞬时速度 P＝FvF，其中vF为物体的速度在力F方向上的分速度 P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力在速度v方向上的分力 【跟踪训练】（2026·四川眉山·三模）（多选）若长度、质量、时间和动量分别用a、b、c和d表示，则下列各式可能表示功率的是（　　） A． B． C． D． 考向三 重力势能 1. 定义：物体由于被举高而具有的能量叫重力势能。物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积，Ep＝mgh，h是物体重心到参考平面的高度，在国际单位制中，重力势能的单位是焦耳，符号为J。 2. 性质 性质 内容 相对性 Ep＝mgh中的h是物体重心相对参考平面的高度．选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的，但重力势能的差值相同。 绝对性 当一个物体由一个位置运动到另一个位置时，重力势能之差是一定的，与参考平面的选取无关，实际问题中我们更关注的是重力势能的变化量。 系统性 所谓物体的重力势能，实际上是地球和物体组成的系统所共有的，并非物体单独所有，通常所说的物体具有多少重力势能，实际上是一种简略的说法而已。 标矢性 重力势能为标量，其正负表示重力势能的大小．物体在参考平面上方时，物体的高度为正值，重力势能为正值；在参考平面下方时，物体的高度为负值，重力势能为负值。 任意性 参考平面的选择是任意的，视处理问题的方便而定，一般选择地面或物体运动时所达到的最低点为零势能面。 3. 重力做功和重力势能变化的关系 重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加．关系式：WG＝Ep1－Ep2。 【跟踪训练】（2026·北京房山·一模）把皮球从地面竖直上抛，经过一段时间后，皮球又落回抛出点。若皮球运动过程中受到的空气阻力大小与速率成正比，下列说法正确的是（　　） A．皮球上升过程的重力势能增加量小于下降过程的重力势能减少量 B．皮球上升过程阻力做功等于下降过程阻力做功 C．皮球上升过程重力的冲量大于下降过程重力的冲量 D．皮球上升过程与下降过程空气阻力的冲量大小一定相等 考向四 弹性势能 1. 定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能，叫弹性势能。，式中为弹簧的弹性势能，为劲度系数，为弹簧的形变量。只和弹簧的劲度系数（在弹性限度内，不同的弹簧发生同样大小的形变，劲度系数越大，弹性势能越大）与弹簧的形变量（同一弹簧，在弹性限度内，形变大小越大，弹簧的弹性势能就越大）有关。 2. 弹力做功与弹性势能变化的关系 ①弹力做功和重力做功一样也和路径无关，弹力对其他物体做了多少功，弹性势能就减少多少。克服弹力做多少功，弹性势能就增加多少。 ②弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小。弹性势能的变化量总等于弹力做功的相反数。 ③弹性势能的增加量与减少量由弹力做功多少来量度。 【跟踪训练】（2026·河南新乡·模拟预测）（多选）图甲是某型号气门结构的简化图：金属块和固定弹簧座连接弹簧上端和下端，偏心轮轴位置固定，偏心轮以恒定角速度转动，带动金属块与推杆整体上下往复运动，配合气门机构完成进气、出气，此过程弹簧一直处于压缩状态，偏心轮与金属块始终保持接触。偏心轮横截面如图乙所示，其中R为已知量。在时通过轮轴的偏心轮直径恰好处于水平位置，则（　　） A．推杆上下往复运动的周期为 B．时弹簧的弹性势能最大 C．偏心轮上各点的线速度最大值为 D．偏心轮上各点的向心加速度最大值为 考向五 动能 1. 定义：物体由于运动而具有的能叫动能。物体的动能等于物体的质量与物体速度的二次方的乘积的一半。Ek＝mv2。国际单位为焦耳，符号为J。动能是标量，只有大小，没有方向。 2. 理解 动能具有瞬时性，在某一时刻，物体具有一定的速度，也就具有一定的动能。 由于速度具有相对性，则动能也具有相对性，对不同的参考系，物体速度有不同的瞬时值，也就具有不同的动能，一般都以地面为参考系。 动能是标量，且只有正值，没有负值，但动能的变化却有正有负。动能的变化是指末状态的动能减去初状态的动能。 同一物体，速度越大，动能越大；同样速度，质量越大，动能越大。 【跟踪训练】（2026·山东日照·模拟预测）如图所示，某同学用乒乓球发球机正对着竖直墙面以大小不同的速度水平发射乒乓球，乒乓球击中墙上的不同位置。若不计空气阻力，出球口到墙面的距离为，出球口到地面的高度也为，重力加速度为，乒乓球的质量为，则乒乓球击中墙面时的最小动能为（　　） A． B． C． D． 考向六 机械能 1. 定义：物体的动能与重力势能(弹性势能)之和称为机械能。E=EK+EP，EK为动能，EP为势能（重力势能和弹性势能），单位是焦耳，符号J。机械能是标量，但有正、负(因重力势能有正、负)。 2. 理解 机械能包括动能、重力势能、弹性势能。重力势能是属于物体和地球组成的重力系统的，弹性势能是属于弹簧的弹力系统的。 机械能是状态量，做机械运动的物体在某一位置时，具有确定的机械能。 机械能具有相对性，势能具有相对性(须确定零势能参考平面)，同时，与动能相关的速度也具有相对性(应该相对于同一个惯性参考系，一般是以地面为参考系)，所以机械能也具有相对性。 机械能具有系统性，是物体、地球和弹性系统所共有的。 【跟踪训练】（2026·河北张家口·二模）如图所示为张家口崇礼国家跳台滑雪中心的“雪如意”大众滑雪场，紧邻国家跳台滑雪中心。其中中级道垂直落差，水平长度。一质量为的滑雪爱好者从顶端由静止开始自由下滑，到达底端时速度大小为。已知重力加速度取，则该滑雪爱好者从顶端滑到底端的过程，机械能的损失为（　　） A．3500J B．7875J C．136500J D．140000J 考点二 功能关系和能量守恒定律 ⏩考试重点提炼⏪ 考向 考试重点 一、动能定理 1. 核心本质：合外力对物体做的总功，是物体动能发生变化的唯一原因，总功决定动能变化量。 2. 做功与动能变化关联：合外力做正功，物体动能增加；合外力做负功，物体动能减少；合外力不做功，动能保持不变。 3. 通用适用场景：适用于恒力、变力、直线、曲线、变速、往复运动等所有运动场景，无运动形式限制，是解题万能规律。 4. 过程特性：无需分析中间运动细节，只需对比初末状态动能和全程总做功，简化复杂运动问题。 一、机械能守恒定律 1. 机械能组成：动能、重力势能、弹性势能的总和，三者可相互转化，总和是否恒定是守恒判定核心。 2. 守恒核心条件：系统只有重力或弹力做功，其他力均不做功；可存在重力、弹力，但不能有摩擦力、牵引力等其他外力做功。 3. 不守恒场景：存在滑动摩擦力做功、空气阻力做功、外力牵引做功，机械能一定减少或增加，不满足守恒条件。 4. 守恒核心特性：系统机械能总量保持不变，内部动能和势能可相互转化，单个动能或势能不一定守恒。 5. 适用模型：自由落体、抛体运动、光滑曲面滑动、弹簧弹力作用的无摩擦系统等场景。 三、功能关系 1. 重力做功：只改变重力势能，不改变物体动能与系统机械能总量。 2. 弹力做功：只改变弹性势能，不改变系统机械能总量，仅实现动能与弹性势能相互转化。 3. 合外力做功：只改变物体动能，是动能变化的唯一决定因素。 4. 除重力、弹力外其他力做功：直接改变系统机械能，其他力做正功，机械能增加；其他力做负功，机械能减少。 5. 滑动摩擦力做功：必然产生内能，系统机械能损耗，转化为热量，是机械能不守恒的核心常见原因。 ⏩高频考向深研⏪ 考向一 功能关系 一、功能关系 1. 内容：功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现。 2. 常见的功能关系 力做功 能的变化 定量关系 合力做的功 动能变化 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力做的功 重力势能变化 (1)重力做正功，重力势能减少 (2)重力做负功，重力势能增加 (3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹力做的功 弹性势能变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少 (2)弹力做负功，弹性势能增加 (3)W＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 只有重力、弹力做功 机械能不变化 机械能守恒，ΔE＝0 除重力和弹力之外的其他力做的功 机械能变化 (1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少 (2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少 (3)W其他＝ΔE 摩擦力 内能的变化 Q=|Wf滑|＝Ff滑·s(s为路程) 电场力 电势能变化 W电场力＝－ΔEp＝qU 补充：功的正负与能量增减的对应关系 (1)物体动能的增加与减少要看合外力对物体做正功还是做负功。 (2)势能的增加与减少要看对应的作用力(如重力、弹簧弹力、电场力等)做负功还是做正功。 (3)机械能的增加与减少要看重力和弹簧弹力之外的力对物体做正功还是做负功。 补充：特殊力做功的特点 力 做功特点 一对滑动摩擦力 做功代数和小于零，Wf滑|＝Q＝|ΔE机械能|＝Ff滑·x相对 一对静摩擦力 做功代数和为零 一对相互作用力 作用力和反作用力可以做功，也可以不做功，做功代数和可以大于零、小于零，也可以等于零 洛伦兹力 不做功，只改变速度的方向 安培力 可以做功，也可以不做功 感应电流在磁场中受到的安培力 做负功，阻碍导体棒与导轨的相对运动，|W安|＝|ΔE机械能|＝Q 分子力 可以做正功，也可以做负功，W分子力＝－ΔEp 核力 核力破坏时将释放巨大的能量，ΔE＝Δmc2其中c为光速 【跟踪训练】（2026·北京大兴·三模）如图所示为排球运动员的某次垫球训练，排球竖直向上运动，之后又落回到原位置，假设运动过程中排球所受空气阻力大小与速率成正比，则（　　） A．球上升阶段所用时间大于下降阶段所用时间 B．球上升阶段动量的变化率大于下降阶段动量的变化率 C．球上升阶段空气阻力做的功小于下降阶段空气阻力做的功 D．球上升阶段克服重力做功小于下降阶段重力做功 考向二 能量守恒定律 1. 内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。 注意：能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍适应的一条规律。 2. 对能量守恒定律的几点理解 (1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 (2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 （3）E初＝E末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。 （4）ΔE增＝ΔE减，增加的那些能量的增加量等于减少的那些能量的减少量。 3. 运用能量守恒定律解题的基本思路 【跟踪训练】（25-26高一下·浙江杭州·期末）如图为某地一风力发电机，它的叶片转动时可形成半径为R的圆面。假定某时间内该地区的风速是v，风向恰好跟叶片转动的圆面垂直，已知空气的密度为，若该风力发电机将此圆内的风能转化为电能的效率为η，下列说法正确的是（     ） A．单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的体积为 B．单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的质量为 C．单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的动能为 D．此风力发电机发电的功率为 核心考点 机械能守恒定律 1. 内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1 【注意】应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态之间过程的细节，即可以简化计算。 2．对机械能守恒条件的理解 (1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。 (2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。 (3)对物体和弹簧组成的系统，只有重力和弹力做功，系统的机械能守恒。注意：并非物体的机械能守恒。 3. 守恒条件 受力角度 物体系统只受重力或弹力作用 做功角度 只有重力或弹力做功，物体系统存在其他力作用，但其他力不做功。 能量转化 相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能量的转化 注意：“只有重力或弹力做功”并非“只受重力或弹力作用”，也不是合力的功等于零，更不是某个物体所受的合力等于零。 4．机械能守恒定律的三种表达式 守恒角度 转化角度 转移角度 表达式 E1＝E2 （Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2） ΔEk＝－ΔEp ΔEA增＝ΔEB减 物理意义 系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等 表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能 若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等 适合研究对象 单个物体 一个或多个物体 两个物体 注意事项 要选取零势能面，在整个分析过程中必须选取同一个零势能面。 不需要选取零势能面，要明确势能的增加量或减少量。 不需要选取零势能面，要明确两个物体的机械能变化情况 补充：机械能守恒定律再多个物体中的应用 对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒。 注意寻找用绳子或杆相连的物体之间的速度关系和位移关系。 列机械能守恒方程时，先确定系统中哪些能量增加、哪些能量减少，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式解决问题。 补充：机械能是否守恒的三种判断方法 (1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒。 (2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。 (3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒。 【跟踪训练】（2026·江苏南京·三模）如图所示，两个质量均为的小滑块、通过铰链用长为的刚性轻杆连接，套在固定的竖直光滑杆上，放在光滑水平地面上，轻杆与竖直方向夹角。原长为的轻弹簧水平放置，右端与相连，左端固定在竖直杆点上。由静止释放，下降到最低点时变为。整个运动过程中，、始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为。则下降过程中（　　 ） A．、组成的系统机械能守恒 B．、的速度满足 C．弹簧弹性势能最大值为 D．达到最大动能时，对杆的弹力等于0 素养进阶·答题技法突破 攻坚指南・重难突破——解题思路 【重难突破01】求解变力做功的多种方法 图示 分析 注意事项 图像法 在F­x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负。如图所示，水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0。 此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。 平均力法 若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化力可用平均值＝表示，代入功的公式得W＝·Δx，弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做的功W＝·(x2－x1) 此法只适用于物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力是均匀变化的。 等效转换法 若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用W＝Flcos α求解。如下图所示，恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·(－)。 此法常常用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。 微元法 质量为m的木块在水平面内做半径为R的圆周运动，运动一周克服摩擦力做的功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR 此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。 动能定理法 使用动能定理可根据动能的变化来求功，是求变力做功的一种方法。如下图所示，用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)。 动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功。 【跟踪训练】（2026·河南平顶山·三模）用某电钻给固定的物体钻孔，已知该过程电钻所受阻力的大小与运动时间t、位移x的关系图像分别如图（a）、（b）所示，图中坐标均为已知量，时刻为起始位置。下列说法正确的是（    ） A．内，电钻与物体间阻力对电钻做的功为 B．内，阻力对电钻的冲量的大小为 C．内，电钻运动的加速度大小为 D．内，电钻运动的平均速度大小为 【重难突破02】机车起动问题 两类机车启动 恒定功率启动 恒定加速度启动 Pt图像和v﹣t图像 OA段 过程分析 P不变：v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ a不变：a＝⇒F不变 v↑⇒P＝Fv↑⇒P额＝Fv1 运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB段 过程分析 F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝ v↑⇒F＝↓⇒ a＝↓ 运动性质 做速度为vm的匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动，在B点达到最大速度，vm＝ 补充：机车启动中的三个重要关系式 (1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。 (2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝<vm＝。 (3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。 【注意】①机车启动的方式不同，运动的规律就不同，即其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律不同，分析图像时应注意坐标轴的意义及图像变化所描述的规律。 ②在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力，正是基于此，牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度，即P＝Ff vm。 ③恒定功率下的启动过程一定不是匀加速过程，匀变速直线运动的公式不适用了，这种加速过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)。 ④以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W＝Fl计算，不能用W＝Pt计算(因为功率P是变化的)。 ⑤无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度。 ⑥机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大（额定功率），但速度不是最大。 【跟踪训练】（2026·重庆江北·三模）一辆起重机某次从时刻由静止开始竖直提升质量为的物体，物体的图像如图所示，后起重机的功率为额定功率，不计空气阻力，取重力加速度大小，下列说法正确的是（     ） A．该起重机的额定功率为 B．物体在匀加速阶段的动量变化量大小为 C．物体的最大速度大小为 D．和时间内牵引力对物体做的功之比为 易错剖析・避坑攻略——易错归纳 【易混易错01】动能定理及其应用——功能关系 1. 内容：物体所受合外力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。W＝mv22－mv12 【注意】动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功；力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用。 2. 合外力做功与动能的关系 W>0，物体的动能增加；W＝0，物体的动能不变；W<0，物体的动能减少。 3. 动能定理表达式的推导： 如图所示，光滑水平面上的物体在水平恒力F的作用下向前运动了一段距离l，速度由v1增加到v2，力F对物体做功为：W＝Fl＝F· ＝F·＝mv22－mv12。 4. 对动能定理的理解 ①运用动能定理，研究对象可以是一个物体也可以是一个系统，既适用于全过程也适用于某一个过程。 ②动能定理的计算式为标量式，v为相对同一参考系的速度。 ③定理中“外力”的两点理解：重力、弹力、摩擦力或其他力，它们可以同时作用，也可以不同时作用；可以是恒力，也可以是变力。 ④总功的求法：先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W＝F合lcosα计算；计算各个力对物体做的功W1、W2、…、Wn，然后将各个外力所做的功求代数和。 5. 应用动能定理求解步骤 补充：应用动能定理的注意事项： (1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。 (2)应用动能定理的关键在于对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析。 (3)列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验。 (4)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中间的速度时，也可以全过程应用动能定理求解，这样更简便。 补充：优先应用动能定理的问题 ①不涉及加速度、时间的问题； ②有多个物理过程且不需要研究整个过程中的中间状态的问题； ③变力做功的问题； ④含有F、l、m、v、W、Ek等物理量的力学问题。 补充：动能定理与牛顿第二定律的区别和联系 牛顿第二定律 动能定理 区别 牛顿第二定律是矢量式，反映的是力与加速度的瞬时关系，即力与物体运动状态变化快慢之间的联系 动能定理是标量式，反映的是力对物体持续作用的空间累积效果，即对物体作用的外力所做功与物体运动状态变化之间的联系 牛顿第二定律和动能定理是研究力和运动的关系的两条不同途径。把对一个物理现象每个瞬时的研究转变成对整个过程的研究。 联系 力的作用效果能够使物体的运动状态发生改变，即速度发生变化，两者都是来描述力的这种作用效果的。动能定理对于一个力作用下物体的运动过程着重从空间积累的角度反映作用结果，而牛顿第二定律注重反映该过程中某一瞬时力的作用结果。 补充：动能定理与图像结合的问题 (1)v－t图：由公式x＝vt可知，v－t图线与横坐标轴围成的面积表示物体的位移。 (2)F－x图：由公式W＝Fx可知，F－x图线与横坐标轴围成的面积表示力所做的功。 (3)P－t图：由公式W＝Pt可知，P－t图线与横坐标轴围成的面积表示力所做的功。 (4)a－t图：由公式Δv＝at可知，a－t图线与横坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量。 (5)Ek­x图：由公式F合x＝Ek－Ek0可知，Ek­x图线的斜率表示合力。 【跟踪训练】（2026·云南玉溪·模拟预测）蹦床是小朋友普遍喜欢的娱乐设施。一质量为m的小朋友由一定高度自由下落，以下落初位置为坐标原点O，竖直向下为Oy轴，小朋友下落过程中的加速度为a，其a-y图像如图乙所示（图中坐标值皆为已知）。设蹦床对小朋友的弹力大小满足胡克定律，空气阻力不计，重力加速度大小为g，则小朋友下落过程中，下列说法正确的是（     ） A．蹦床的等效劲度系数 B．小朋友速度的最大值 C．小朋友由O点下落的最大距离 D．小朋友感受到的最大加速度 【易混易错02】传送带模型和板块模型的能量关系 1. 传送带模型中的功和能量的关系： 功能关系：对功WF和Q的理解： ①传送带的功：WF＝Fx传； ②产生的内能Q＝Ffx相对．其中x相对为相互摩擦的物体与传送带间的相对位移。 核心功能关系：WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q。 分析流程如下： 2. 板块模型中的功和能量的关系 模型特点：滑块放置于长木板上，滑块和木板均相对地面或者斜面运动，且滑块和木板在摩擦力的作用下发生相对滑动。 滑块从木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板沿同一方向运动，则滑块的位移和木板的位移之差等于木板的长度；若滑块和木板沿相反方向运动，则滑块的位移和木板的位移之和等于木板的长度． 核心的功能关系： ①求摩擦力对滑块做功：WF＝Fx滑； ②求摩擦力对木板做功：WF＝Fx板； ③求摩擦生热：Q＝Ffx相对＝FfΔx. 【跟踪训练】（2026·宁夏吴忠·三模）如图所示，竖直面内有一固定光滑圆弧轨道，半径，圆弧所对的圆心角，轨道最低点B与水平传送带左端相切，传送带BC长，以速率顺时针匀速转动。质量m2=3kg的长木板Q足够长，静止在C点右侧的光滑水平地面上，Q上表面与BC平齐。质量m1=1kg的物块P从圆弧轨道的最高点A由静止释放，P与传送带及Q间的动摩擦因数均为μ=0.5。不计物块P的大小，已知，，重力加速度取。 (1)求P经过B点时对轨道的压力大小； (2)求P从B点运动到C点所用的时间； (3)求P、Q之间因摩擦产生的热量。 技法提炼・审题点拨——技巧总结 【技法点拨01】机械能守恒定律的应用技巧 1. 应用机械能守恒定律的前提是“守恒”，因此，需要先对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒作出判断。 2. 列方程时，选取的角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。 3. 不同情境下机械能守恒定律的应用 应用类型 分析方法 单个物体的机械能守恒问题 在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面，分析清楚各力做功的情况，选取合适的机械能守恒定律的观点列表达式进行求解 多个物体的机械能守恒问题 分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒。对多个物体组成的系统，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒。注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 含弹簧的机械能守恒问题 （1）弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。 （2）弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。 非质点的机械能守恒问题 (1)在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。 (2)这类物体虽然不能看成质点来处理，但若只有重力做功，则物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。一般情况物体各部分速度大小相同，动能用mv2表示。 【跟踪训练】（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，光滑斜面固定在水平面上，自然伸长的轻质弹簧一端固定在斜面底端的挡板上。一小滑块从离弹簧上端处的位置由静止释放，以释放点为原点，沿斜面向下为正方向建立轴，弹簧始终处于弹性限度内。在滑块沿斜面下滑至最低点过程中，其动能和机械能随位置变化的图像可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【技法点拨02】摩擦力做功与能量关系分析技巧 摩擦力做功的特点 静摩擦力 ①静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功； ②一对静摩擦力所做功的代数和总等于零； ③静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能。 只有能量的转移，而没有能量的转化 滑动摩擦力 ①滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；②一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体间机械能的转移，做功的代数和总是负值，差值为机械能转化为内能的部分，也就是系统机械能的损失量，损失的机械能会转化为内能,内能Q=Ffx相对； 既有能量的转移，又有能量的转化 两种摩擦力对物体都可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 【跟踪训练】（2026·湖南长沙·二模）如图所示，水平地面上有一倾角为的长为7m的传送带，以的速度逆时针匀速运行。将一煤块从顶端由静止开始运送到地面，煤块可看作质点，已知煤块的质量为，煤块与传送带之间的动摩擦因数为，重力加速度为，，。煤块由高台运送到地面的过程中，下列说法正确的是（     ） A．运送煤块所用的时间为3s B．摩擦力对煤块做的功为-10J C．煤块相对传送带运动而产生的划痕长3m D．煤块与传送带之间因摩擦产生的热量为14J $专题07 机械能 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 ▶基础梳理·自主夯基 ▶重难突破·考向精练 考点一 功和能►考向一 功 考向二 功率 考向三 重力势能 考向四 弹性势能 考向五 动能 考向六 机械能 考点二 功能关系和能量守恒定律►考向一 功能关系 考向二 能量守恒定律 核心考点 机械能守恒定律 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶攻坚指南·重难突破 【重难突破01】求解变力做功的多种方法 【重难突破02】机车起动问题 ▶易错剖析·避坑攻略 【易混易错01】动能定理及其应用——功能关系 【易混易错02】传送带模型和板块模型的能量关系 ▶技法提炼·审题点拨 【方法技巧01】机械能守恒定律的应用技巧 【方法技巧02】摩擦力做功与能量关系分析技巧 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 基础梳理・自主夯基——核心概念 ▶知识点一 功 1. 定义：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。W＝Flcosα，其中α为F、l方向间夹角，l为物体对地的位移，该公式适用于恒力做功。在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。 ▶知识点二 功率 1. 定义：功与完成这些功所用时间的比值。功率是描述做功的快慢的物理量，用字母P表示，P＝，在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号为W，功率是标量，只有大小，没有方向。 【注意】：P＝Fvcosα，该式适用于计算平均功率（速度为平均速度）和瞬时功率（速度为瞬时速度）。F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化。 ▶知识点三 动能定理 1. 内容：物体所受合外力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。W＝mv22－mv12 【注意】动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功；力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用。 2. 合外力做功与动能的关系 W>0，物体的动能增加；W＝0，物体的动能不变；W<0，物体的动能减少。 3. 动能定理表达式的推导： 如图所示，光滑水平面上的物体在水平恒力F的作用下向前运动了一段距离l，速度由v1增加到v2，力F对物体做功为：W＝Fl＝F· ＝F·＝mv22－mv12。 ▶知识点四 机械能守恒定律 1. 内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1 【注意】应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态之间过程的细节，即可以简化计算。 2．对机械能守恒条件的理解 (1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。 (2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。 (3)对物体和弹簧组成的系统，只有重力和弹力做功，系统的机械能守恒。注意：并非物体的机械能守恒。 重难突破・考向深研——要点提炼 考点一 共和能 ⏩考试重点提炼⏪ 考向 考试重点 一、功 1. 做功本质：力对空间的累积作用效果，是能量转化或转移的唯一途径，有力不一定做功。 2. 做功判定核心：同时满足两个条件才做功，一是物体受力作用，二是物体在力的方向上发生位移，缺一不可。 3. 不做功三大场景：有力无位移、有位移无力、力与位移方向始终垂直，三种情况力均不做功，无能量转化。 4. 正负功判定规则：力与位移夹角为锐角做正功，动力效果，物体能量增加；夹角为钝角做负功，阻力效果，物体能量减少；垂直不做功。 5. 功的属性：标量，只有大小、无方向，正负仅代表做功效果，不代表做功大小，比较做功多少只看绝对值。 二、功率 1. 物理本质：描述力做功的快慢程度，不表示做功多少，是做功快慢的瞬时评判标准。 2. 瞬时功率与平均功率区分：平均功率对应一段时间的做功过程，反映整体做功快慢；瞬时功率对应某一时刻的做功状态，随运动状态实时变化。 3. 机车启动核心规律：恒定功率启动时，牵引力随速度增大而减小，做变加速运动；恒定牵引力启动时，先匀加速，功率达到额定值后变加速。 4. 额定功率属性：机械的最大输出功率，为固定属性，正常工作时实际功率不超过额定功率，无法无限增大。 三、重力势能 1. 物理属性：状态量，对应物体某一位置的能量状态，由物体重力和相对位置共同决定。 2. 零势能面规则：重力势能大小依托零势能面选取，零势能面可任意选取，默认以地面为零势能面；势能正负代表能量高低，正值大于零、负值小于零。 3. 势能变化判定：物体高度上升，重力势能增加；物体高度下降，重力势能减少，势能变化仅由高度变化决定，与运动路径无关。 4. 做功与势能关联：重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增加，重力做功是重力势能变化的唯一原因。 5. 路径无关性：重力势能变化只看初末位置高度差，与直线、曲线等运动路径没有任何关系。 四、动能 1. 物理属性：状态量，对应物体某一瞬时的运动状态，所有运动的物体均具有动能。 2. 取值特性：动能恒为非负值，只有大小、无方向，属于标量，速度方向改变不影响动能大小。 3. 动能变化判定：物体速率增大，动能增加；物体速率减小，动能减少；速率不变，动能保持不变。 ⏩高频考向深研⏪ 考向一 功 1. 定义：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。W＝Flcosα，其中α为F、l方向间夹角，l为物体对地的位移，该公式适用于恒力做功。在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。 【注意】：功是标量，但有正负。功的正负号不表示方向，也不表示功的多少，在比较功的多少时，只比较功的绝对值，不看功的正负号。例如－5J的功要比2J的功多。 2. 功的正负判断 夹角 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 功的正负 力对物体做正功。 力对物体不做功。 力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功。 动力学角度 力是物体运动的动力。 力对物体既不起动力作用，也不起阻力作用。 力是物体运动的阻力。 能量角度 使物体的能量增加。 物体的能量不增加也不减少。 使物体的能量减少。 3. 对公式W＝Flcosα的理解 ①公式W＝Flcosα中各量W、F、l都要取国际单位制单位。 ②只适用于计算大小和方向均不变的恒力做的功，不适用于计算变力做的功。 ③可以理解为力乘以在力的方向上的位移，即W＝F(lcosα)；也可以理解为位移乘以在位移方向上的分力，即W＝(Fcosα)l。 ④只与F、l、α三者有关，与物体的质量、运动状态、运动形式及是否受其他力等因素均无关。 ⑤因为功是过程量，反映力在空间位移上的累积效果，对应一段位移或一段过程，所以用公式W＝Flcosα求力做的功时，一定要明确是哪个力在哪一段位移上(或在哪一个过程中)所做的功。 4．合力做功的计算方法 方法一：先求合力F合，再用W合＝F合l cos α求功。 方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。 补充：各种力做功特点 重力 做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关 弹力(弹簧) 做功只与弹簧的劲度系数和形变量有关 摩擦力 滑动摩擦力做功与路径有关，可以做正功、负功，也可以不做功 一对滑动摩擦力 做功代数和小于零 一对静摩擦力 做功代数和为零 一对相互作用力 作用力和反作用力可以做功，也可以不做功，做功代数和可以大于零、小于零，也可以等于零 合力 合力如果是恒力，可以根据功的定义式求解 重力及弹簧弹力以外的其他力 重力及弹簧弹力以外的其他力所做的功将改变系统的机械能 电场力 与路径无关，由初、末位置的电势差决定 洛伦兹力 不做功，只改变速度的方向 安培力 可以做功，也可以不做功 感应电流在磁场中受到的安培力 做负功，阻碍导体棒与导轨的相对运动 分子力 可以做正功，也可以做负功 核力 核力破坏时将释放巨大的能量 【跟踪训练】（2026·陕西西安·模拟预测）（多选）在2026年春晚舞台上，武术节目《武BOT》融入前沿智能科技，成为本届春晚极具视觉冲击力的创新节目之一。节目中间环节时，质量为m的机器人从下蹲静止状态竖直向上起跳，经过t时间身体伸直以大小为v的速度离开地面，已知重力加速度g，在该过程中：（     ） A．地面对机器人的弹力是机器人发生弹性形变产生的 B．地面对机器人的平均作用力大小为m（g） C．地面对机器人的冲量大小为mv D．地面对机器人不做功 【答案】BD 【详解】A．地面对机器人的弹力属于弹力，其产生原因是施力物体（地面）发生弹性形变后要恢复原状，从而对受力物体（机器人）产生作用力，故A错误； B．机器人从静止开始竖直向上运动，设运动时间为t，加速度为a，根据运动学公式v＝at 可得加速度 对机器人受力分析，受竖直向上的支持力F和竖直向下的重力mg，根据牛顿第二定律有F﹣mg＝ma 将代入得，故B正确； C．根据动量定理，合外力的冲量等于物体动量的变化量，机器人初动量为0，末动量为mv，规定竖直向上为正方向，则合外力冲量I合＝mv﹣0＝mv 合外力冲量I合＝IF﹣IG 即IF﹣IG＝mv 故IF＝mv+IG 由于IG＝mgt 因此地面对机器人的冲量IF≠mv，故C错误； D．地面对机器人的支持力的作用点没有发生位移，所以不做功，故D正确； 故选BD。 考向二 功率 1. 定义：功与完成这些功所用时间的比值。功率是描述做功的快慢的物理量，用字母P表示，P＝，在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号为W，功率是标量，只有大小，没有方向。 注意：P＝Fvcosα，该式适用于计算平均功率（速度为平均速度）和瞬时功率（速度为瞬时速度）。F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化。 【注意】求解功率时要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率；平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率；瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。 2. 公式P＝ 和P＝Fv的比较 公式 P＝ P＝Fv 适用条件 功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，一般用来求平均功率；当时间t→0时，可由定义式确定瞬时功率。 功率的计算式，仅适用于F与v同向的情况，若两者方向不同，则P＝＝＝Fvcosα；v为平均速度时功率为平均功率，v为瞬时速度时功率为瞬时功率。 联系 公式P＝Fv是P＝的推论；功率P的大小与W、t无关。 补充：瞬时功率和平均功率的计算 平均功率 ＝ ＝Fcos α，其中为物体运动的平均速度 瞬时功率 P＝Fvcosα，其中v为瞬时速度 P＝FvF，其中vF为物体的速度在力F方向上的分速度 P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力在速度v方向上的分力 【跟踪训练】（2026·四川眉山·三模）（多选）若长度、质量、时间和动量分别用a、b、c和d表示，则下列各式可能表示功率的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A．长度对应量纲，质量对应量纲，时间对应量纲，动量对应量纲 功率的定义式为 因此其国际单位对应的量纲为 的量纲为 和功率量纲一致，故A正确； B．的量纲为 和功率量纲不符，故B错误； C．的量纲为 和功率量纲不符，故C错误； D．的量纲为 和功率量纲一致，故D正确。 故选AD。 考向三 重力势能 1. 定义：物体由于被举高而具有的能量叫重力势能。物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积，Ep＝mgh，h是物体重心到参考平面的高度，在国际单位制中，重力势能的单位是焦耳，符号为J。 2. 性质 性质 内容 相对性 Ep＝mgh中的h是物体重心相对参考平面的高度．选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的，但重力势能的差值相同。 绝对性 当一个物体由一个位置运动到另一个位置时，重力势能之差是一定的，与参考平面的选取无关，实际问题中我们更关注的是重力势能的变化量。 系统性 所谓物体的重力势能，实际上是地球和物体组成的系统所共有的，并非物体单独所有，通常所说的物体具有多少重力势能，实际上是一种简略的说法而已。 标矢性 重力势能为标量，其正负表示重力势能的大小．物体在参考平面上方时，物体的高度为正值，重力势能为正值；在参考平面下方时，物体的高度为负值，重力势能为负值。 任意性 参考平面的选择是任意的，视处理问题的方便而定，一般选择地面或物体运动时所达到的最低点为零势能面。 3. 重力做功和重力势能变化的关系 重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加．关系式：WG＝Ep1－Ep2。 【跟踪训练】（2026·北京房山·一模）把皮球从地面竖直上抛，经过一段时间后，皮球又落回抛出点。若皮球运动过程中受到的空气阻力大小与速率成正比，下列说法正确的是（　　） A．皮球上升过程的重力势能增加量小于下降过程的重力势能减少量 B．皮球上升过程阻力做功等于下降过程阻力做功 C．皮球上升过程重力的冲量大于下降过程重力的冲量 D．皮球上升过程与下降过程空气阻力的冲量大小一定相等 【答案】D 【详解】A．设皮球上升的最大高度为h，重力势能变化量满足 上升过程重力势能增加量等于mgh，下降过程重力势能减少量也等于mgh，二者相等，故A错误； B．空气阻力为 由于运动过程阻力持续做负功，同一高度处皮球上升的速率大于下降的速率，因此上升过程平均阻力大于下降过程平均阻力，两过程位移大小均为h，根据功的计算公式可知，上升过程阻力做功更大，二者不相等，故B错误； C．同一高度处上升速率大于下降速率，因此上升过程平均速率大于下降过程平均速率，位移大小相等，故上升时间小于下降时间，根据重力冲量的计算公式可知，上升过程重力冲量小于下降过程重力冲量，故C错误； D．空气阻力冲量大小为 由此可知，上升、下降过程阻力冲量大小相等，故D正确。 故选D。 考向四 弹性势能 1. 定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能，叫弹性势能。，式中为弹簧的弹性势能，为劲度系数，为弹簧的形变量。只和弹簧的劲度系数（在弹性限度内，不同的弹簧发生同样大小的形变，劲度系数越大，弹性势能越大）与弹簧的形变量（同一弹簧，在弹性限度内，形变大小越大，弹簧的弹性势能就越大）有关。 2. 弹力做功与弹性势能变化的关系 ①弹力做功和重力做功一样也和路径无关，弹力对其他物体做了多少功，弹性势能就减少多少。克服弹力做多少功，弹性势能就增加多少。 ②弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小。弹性势能的变化量总等于弹力做功的相反数。 ③弹性势能的增加量与减少量由弹力做功多少来量度。 【跟踪训练】（2026·河南新乡·模拟预测）（多选）图甲是某型号气门结构的简化图：金属块和固定弹簧座连接弹簧上端和下端，偏心轮轴位置固定，偏心轮以恒定角速度转动，带动金属块与推杆整体上下往复运动，配合气门机构完成进气、出气，此过程弹簧一直处于压缩状态，偏心轮与金属块始终保持接触。偏心轮横截面如图乙所示，其中R为已知量。在时通过轮轴的偏心轮直径恰好处于水平位置，则（　　） A．推杆上下往复运动的周期为 B．时弹簧的弹性势能最大 C．偏心轮上各点的线速度最大值为 D．偏心轮上各点的向心加速度最大值为 【答案】AC 【详解】A．由分析可知，偏心轮转动一圈时推杆正好往复运动了一个周期，根据周期和角速度的关系可得，故A正确； B．弹簧一直处于压缩状态，则当弹簧长度最短时，压缩量最大，弹簧的弹性势能最大，此时偏心轮应转到最低点，即从初始位置转动 令，解得，不符合题意，故B错误； C．根据线速度与角速度的关系，由偏心轮上各点的半径的最大值为3R，可知偏心轮上各点的线速度最大值为，故C正确； D．根据可知，偏心轮上各点的向心加速度最大值为，故D错误。 故选AC。 考向五 动能 1. 定义：物体由于运动而具有的能叫动能。物体的动能等于物体的质量与物体速度的二次方的乘积的一半。Ek＝mv2。国际单位为焦耳，符号为J。动能是标量，只有大小，没有方向。 2. 理解 动能具有瞬时性，在某一时刻，物体具有一定的速度，也就具有一定的动能。 由于速度具有相对性，则动能也具有相对性，对不同的参考系，物体速度有不同的瞬时值，也就具有不同的动能，一般都以地面为参考系。 动能是标量，且只有正值，没有负值，但动能的变化却有正有负。动能的变化是指末状态的动能减去初状态的动能。 同一物体，速度越大，动能越大；同样速度，质量越大，动能越大。 【跟踪训练】（2026·山东日照·模拟预测）如图所示，某同学用乒乓球发球机正对着竖直墙面以大小不同的速度水平发射乒乓球，乒乓球击中墙上的不同位置。若不计空气阻力，出球口到墙面的距离为，出球口到地面的高度也为，重力加速度为，乒乓球的质量为，则乒乓球击中墙面时的最小动能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题，建立平抛模型，设初速度为，水平方向匀速，飞行时间取决于水平位移，即 竖直方向做自由落体，竖直分速度，下落高度 合速度大小 动能，令，则动能 由基本不等式 当且仅当，即时取等号，故 最小动能 此时下落高度，则此时球不会落地，能击中墙面，故结果成立。 故选B。 考向六 机械能 1. 定义：物体的动能与重力势能(弹性势能)之和称为机械能。E=EK+EP，EK为动能，EP为势能（重力势能和弹性势能），单位是焦耳，符号J。机械能是标量，但有正、负(因重力势能有正、负)。 2. 理解 机械能包括动能、重力势能、弹性势能。重力势能是属于物体和地球组成的重力系统的，弹性势能是属于弹簧的弹力系统的。 机械能是状态量，做机械运动的物体在某一位置时，具有确定的机械能。 机械能具有相对性，势能具有相对性(须确定零势能参考平面)，同时，与动能相关的速度也具有相对性(应该相对于同一个惯性参考系，一般是以地面为参考系)，所以机械能也具有相对性。 机械能具有系统性，是物体、地球和弹性系统所共有的。 【跟踪训练】（2026·河北张家口·二模）如图所示为张家口崇礼国家跳台滑雪中心的“雪如意”大众滑雪场，紧邻国家跳台滑雪中心。其中中级道垂直落差，水平长度。一质量为的滑雪爱好者从顶端由静止开始自由下滑，到达底端时速度大小为。已知重力加速度取，则该滑雪爱好者从顶端滑到底端的过程，机械能的损失为（　　） A．3500J B．7875J C．136500J D．140000J 【答案】C 【详解】机械能损失等于重力势能的减少量减去动能的增加量，已知质量，垂直落差，末速度，。滑雪者从静止开始下滑，重力势能的减少量 初动能为0，则动能的增加量 机械能损失为 故选C。 考点二 功能关系和能量守恒定律 ⏩考试重点提炼⏪ 考向 考试重点 一、动能定理 1. 核心本质：合外力对物体做的总功，是物体动能发生变化的唯一原因，总功决定动能变化量。 2. 做功与动能变化关联：合外力做正功，物体动能增加；合外力做负功，物体动能减少；合外力不做功，动能保持不变。 3. 通用适用场景：适用于恒力、变力、直线、曲线、变速、往复运动等所有运动场景，无运动形式限制，是解题万能规律。 4. 过程特性：无需分析中间运动细节，只需对比初末状态动能和全程总做功，简化复杂运动问题。 一、机械能守恒定律 1. 机械能组成：动能、重力势能、弹性势能的总和，三者可相互转化，总和是否恒定是守恒判定核心。 2. 守恒核心条件：系统只有重力或弹力做功，其他力均不做功；可存在重力、弹力，但不能有摩擦力、牵引力等其他外力做功。 3. 不守恒场景：存在滑动摩擦力做功、空气阻力做功、外力牵引做功，机械能一定减少或增加，不满足守恒条件。 4. 守恒核心特性：系统机械能总量保持不变，内部动能和势能可相互转化，单个动能或势能不一定守恒。 5. 适用模型：自由落体、抛体运动、光滑曲面滑动、弹簧弹力作用的无摩擦系统等场景。 三、功能关系 1. 重力做功：只改变重力势能，不改变物体动能与系统机械能总量。 2. 弹力做功：只改变弹性势能，不改变系统机械能总量，仅实现动能与弹性势能相互转化。 3. 合外力做功：只改变物体动能，是动能变化的唯一决定因素。 4. 除重力、弹力外其他力做功：直接改变系统机械能，其他力做正功，机械能增加；其他力做负功，机械能减少。 5. 滑动摩擦力做功：必然产生内能，系统机械能损耗，转化为热量，是机械能不守恒的核心常见原因。 ⏩高频考向深研⏪ 考向一 功能关系 一、功能关系 1. 内容：功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现。 2. 常见的功能关系 力做功 能的变化 定量关系 合力做的功 动能变化 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力做的功 重力势能变化 (1)重力做正功，重力势能减少 (2)重力做负功，重力势能增加 (3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹力做的功 弹性势能变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少 (2)弹力做负功，弹性势能增加 (3)W＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 只有重力、弹力做功 机械能不变化 机械能守恒，ΔE＝0 除重力和弹力之外的其他力做的功 机械能变化 (1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少 (2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少 (3)W其他＝ΔE 摩擦力 内能的变化 Q=|Wf滑|＝Ff滑·s(s为路程) 电场力 电势能变化 W电场力＝－ΔEp＝qU 补充：功的正负与能量增减的对应关系 (1)物体动能的增加与减少要看合外力对物体做正功还是做负功。 (2)势能的增加与减少要看对应的作用力(如重力、弹簧弹力、电场力等)做负功还是做正功。 (3)机械能的增加与减少要看重力和弹簧弹力之外的力对物体做正功还是做负功。 补充：特殊力做功的特点 力 做功特点 一对滑动摩擦力 做功代数和小于零，Wf滑|＝Q＝|ΔE机械能|＝Ff滑·x相对 一对静摩擦力 做功代数和为零 一对相互作用力 作用力和反作用力可以做功，也可以不做功，做功代数和可以大于零、小于零，也可以等于零 洛伦兹力 不做功，只改变速度的方向 安培力 可以做功，也可以不做功 感应电流在磁场中受到的安培力 做负功，阻碍导体棒与导轨的相对运动，|W安|＝|ΔE机械能|＝Q 分子力 可以做正功，也可以做负功，W分子力＝－ΔEp 核力 核力破坏时将释放巨大的能量，ΔE＝Δmc2其中c为光速 【跟踪训练】（2026·北京大兴·三模）如图所示为排球运动员的某次垫球训练，排球竖直向上运动，之后又落回到原位置，假设运动过程中排球所受空气阻力大小与速率成正比，则（　　） A．球上升阶段所用时间大于下降阶段所用时间 B．球上升阶段动量的变化率大于下降阶段动量的变化率 C．球上升阶段空气阻力做的功小于下降阶段空气阻力做的功 D．球上升阶段克服重力做功小于下降阶段重力做功 【答案】B 【详解】A．由题意可知，设空气阻力大小为 上升阶段，根据牛顿第二定律可得 可得 下降阶段，根据牛顿第二定律可得 可得 所以 即上升阶段任意位置的加速度均大于下降阶段任意位置的加速度，又因为上升阶段和下降阶段的位移大小相等，根据 可知，球上升阶段所用时间小于下降阶段所用时间，故A错误； B．设上升的初速度为，下降的末速度为，因为上升和下降过程中要克服阻力做功，所以球的机械能减小，即 球上升阶段动量的变化量大小为 下降阶段动量的变化量大小为 上升阶段动量的变化率为；下降阶段动量的变化率为，由以上分析可知， 所以 即球上升阶段动量的变化率大于下降阶段动量的变化率，故B正确； C．因为上升和下降过程中要克服阻力做功，所以球的机械能减小，则在同一高度处，上升速率大于下降速率，故上升阶段受到的空气阻力大于下降阶段受到的空气阻力。由于上升和下降的路程相等，根据可知，上升阶段克服空气阻力做的功大于下降阶段克服空气阻力做的功，故C错误； D．球上升阶段克服重力做功 下降阶段重力做功 两者大小相等，故D错误。 故选B。 考向二 能量守恒定律 1. 内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。 注意：能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍适应的一条规律。 2. 对能量守恒定律的几点理解 (1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 (2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 （3）E初＝E末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。 （4）ΔE增＝ΔE减，增加的那些能量的增加量等于减少的那些能量的减少量。 3. 运用能量守恒定律解题的基本思路 【跟踪训练】（25-26高一下·浙江杭州·期末）如图为某地一风力发电机，它的叶片转动时可形成半径为R的圆面。假定某时间内该地区的风速是v，风向恰好跟叶片转动的圆面垂直，已知空气的密度为，若该风力发电机将此圆内的风能转化为电能的效率为η，下列说法正确的是（     ） A．单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的体积为 B．单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的质量为 C．单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的动能为 D．此风力发电机发电的功率为 【答案】D 【详解】A.单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的体积为，故A错误； B.单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的质量为，故B错误； C.单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的动能为，故C错误； D.此风力发电机发电的功率，故D正确。 故选D。 核心考点 机械能守恒定律 1. 内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1 【注意】应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态之间过程的细节，即可以简化计算。 2．对机械能守恒条件的理解 (1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。 (2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。 (3)对物体和弹簧组成的系统，只有重力和弹力做功，系统的机械能守恒。注意：并非物体的机械能守恒。 3. 守恒条件 受力角度 物体系统只受重力或弹力作用 做功角度 只有重力或弹力做功，物体系统存在其他力作用，但其他力不做功。 能量转化 相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能量的转化 注意：“只有重力或弹力做功”并非“只受重力或弹力作用”，也不是合力的功等于零，更不是某个物体所受的合力等于零。 4．机械能守恒定律的三种表达式 守恒角度 转化角度 转移角度 表达式 E1＝E2 （Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2） ΔEk＝－ΔEp ΔEA增＝ΔEB减 物理意义 系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等 表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能 若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等 适合研究对象 单个物体 一个或多个物体 两个物体 注意事项 要选取零势能面，在整个分析过程中必须选取同一个零势能面。 不需要选取零势能面，要明确势能的增加量或减少量。 不需要选取零势能面，要明确两个物体的机械能变化情况 补充：机械能守恒定律再多个物体中的应用 对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒。 注意寻找用绳子或杆相连的物体之间的速度关系和位移关系。 列机械能守恒方程时，先确定系统中哪些能量增加、哪些能量减少，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式解决问题。 补充：机械能是否守恒的三种判断方法 (1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒。 (2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。 (3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒。 【跟踪训练】（2026·江苏南京·三模）如图所示，两个质量均为的小滑块、通过铰链用长为的刚性轻杆连接，套在固定的竖直光滑杆上，放在光滑水平地面上，轻杆与竖直方向夹角。原长为的轻弹簧水平放置，右端与相连，左端固定在竖直杆点上。由静止释放，下降到最低点时变为。整个运动过程中，、始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为。则下降过程中（　　 ） A．、组成的系统机械能守恒 B．、的速度满足 C．弹簧弹性势能最大值为 D．达到最大动能时，对杆的弹力等于0 【答案】B 【详解】A．取滑块、组成的系统，其机械能为 运动过程中弹簧对该系统做功，系统机械能的变化量满足 因此、组成的系统机械能不守恒，故A错误； B．根据刚性轻杆两端沿杆方向分速度相等，可得 解得，故B正确； C．初始时，弹簧长度为，恰好等于原长，因此初始弹性势能为零。下降过程中增大，弹簧伸长量增大，到达最低点时弹性势能最大。初、末位置均为速度等于零的临界位置，对、和弹簧组成的系统，根据机械能守恒定律有 解得 弹簧弹性势能最大值不等于mgL，故C错误； D．由得连接轻杆对P的作用力，根据牛顿第三定律，P对轻杆的弹力不为零，故D错误 故选B。 素养进阶·答题技法突破 攻坚指南・重难突破——解题思路 【重难突破01】求解变力做功的多种方法 图示 分析 注意事项 图像法 在F­x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负。如图所示，水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0。 此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。 平均力法 若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化力可用平均值＝表示，代入功的公式得W＝·Δx，弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做的功W＝·(x2－x1) 此法只适用于物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力是均匀变化的。 等效转换法 若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用W＝Flcos α求解。如下图所示，恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·(－)。 此法常常用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。 微元法 质量为m的木块在水平面内做半径为R的圆周运动，运动一周克服摩擦力做的功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR 此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。 动能定理法 使用动能定理可根据动能的变化来求功，是求变力做功的一种方法。如下图所示，用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)。 动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功。 【跟踪训练】（2026·河南平顶山·三模）用某电钻给固定的物体钻孔，已知该过程电钻所受阻力的大小与运动时间t、位移x的关系图像分别如图（a）、（b）所示，图中坐标均为已知量，时刻为起始位置。下列说法正确的是（    ） A．内，电钻与物体间阻力对电钻做的功为 B．内，阻力对电钻的冲量的大小为 C．内，电钻运动的加速度大小为 D．内，电钻运动的平均速度大小为 【答案】D 【详解】A．已知力与位移的关系图像与横轴所围成的面积表示力做功的多少，由于电钻与物体间阻力的方向与电钻位移的方向相反，所以由图（b）可知，内，电钻与物体间阻力对电钻做的功为，故A错误； B．图像与横轴所围成的面积表示阻力冲量的大小，所以内阻力对电钻的冲量的大小为，故B错误； CD．对比（a）、（b）两图像可得， 则有 所以电钻做匀速运动，其平均速度为，故C错误，D正确。 故选D。 【重难突破02】机车起动问题 两类机车启动 恒定功率启动 恒定加速度启动 Pt图像和v﹣t图像 OA段 过程分析 P不变：v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ a不变：a＝⇒F不变 v↑⇒P＝Fv↑⇒P额＝Fv1 运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB段 过程分析 F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝ v↑⇒F＝↓⇒ a＝↓ 运动性质 做速度为vm的匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动，在B点达到最大速度，vm＝ 补充：机车启动中的三个重要关系式 (1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。 (2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝<vm＝。 (3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。 【注意】①机车启动的方式不同，运动的规律就不同，即其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律不同，分析图像时应注意坐标轴的意义及图像变化所描述的规律。 ②在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力，正是基于此，牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度，即P＝Ff vm。 ③恒定功率下的启动过程一定不是匀加速过程，匀变速直线运动的公式不适用了，这种加速过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)。 ④以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W＝Fl计算，不能用W＝Pt计算(因为功率P是变化的)。 ⑤无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度。 ⑥机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大（额定功率），但速度不是最大。 【跟踪训练】（2026·重庆江北·三模）一辆起重机某次从时刻由静止开始竖直提升质量为的物体，物体的图像如图所示，后起重机的功率为额定功率，不计空气阻力，取重力加速度大小，下列说法正确的是（     ） A．该起重机的额定功率为 B．物体在匀加速阶段的动量变化量大小为 C．物体的最大速度大小为 D．和时间内牵引力对物体做的功之比为 【答案】C 【详解】A．设物体做匀加速运动阶段牵引力为，加速度为，根据牛顿第二定律 物体做匀加速运动阶段的最大速度 该起重机的额定功率 联立解得，故A错误； B物体在匀加速阶段的动量变化量大小为，故B错误； C．物体的最大速度，故C正确； D．内牵引力对物体做的功为 时间内牵引力对物体做的功为 和时间内牵引力对物体做的功之比为，故D错误。 故选C。 易错剖析・避坑攻略——易错归纳 【易混易错01】动能定理及其应用——功能关系 1. 内容：物体所受合外力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。W＝mv22－mv12 【注意】动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功；力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用。 2. 合外力做功与动能的关系 W>0，物体的动能增加；W＝0，物体的动能不变；W<0，物体的动能减少。 3. 动能定理表达式的推导： 如图所示，光滑水平面上的物体在水平恒力F的作用下向前运动了一段距离l，速度由v1增加到v2，力F对物体做功为：W＝Fl＝F· ＝F·＝mv22－mv12。 4. 对动能定理的理解 ①运用动能定理，研究对象可以是一个物体也可以是一个系统，既适用于全过程也适用于某一个过程。 ②动能定理的计算式为标量式，v为相对同一参考系的速度。 ③定理中“外力”的两点理解：重力、弹力、摩擦力或其他力，它们可以同时作用，也可以不同时作用；可以是恒力，也可以是变力。 ④总功的求法：先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W＝F合lcosα计算；计算各个力对物体做的功W1、W2、…、Wn，然后将各个外力所做的功求代数和。 5. 应用动能定理求解步骤 补充：应用动能定理的注意事项： (1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。 (2)应用动能定理的关键在于对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析。 (3)列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验。 (4)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中间的速度时，也可以全过程应用动能定理求解，这样更简便。 补充：优先应用动能定理的问题 ①不涉及加速度、时间的问题； ②有多个物理过程且不需要研究整个过程中的中间状态的问题； ③变力做功的问题； ④含有F、l、m、v、W、Ek等物理量的力学问题。 补充：动能定理与牛顿第二定律的区别和联系 牛顿第二定律 动能定理 区别 牛顿第二定律是矢量式，反映的是力与加速度的瞬时关系，即力与物体运动状态变化快慢之间的联系 动能定理是标量式，反映的是力对物体持续作用的空间累积效果，即对物体作用的外力所做功与物体运动状态变化之间的联系 牛顿第二定律和动能定理是研究力和运动的关系的两条不同途径。把对一个物理现象每个瞬时的研究转变成对整个过程的研究。 联系 力的作用效果能够使物体的运动状态发生改变，即速度发生变化，两者都是来描述力的这种作用效果的。动能定理对于一个力作用下物体的运动过程着重从空间积累的角度反映作用结果，而牛顿第二定律注重反映该过程中某一瞬时力的作用结果。 补充：动能定理与图像结合的问题 (1)v－t图：由公式x＝vt可知，v－t图线与横坐标轴围成的面积表示物体的位移。 (2)F－x图：由公式W＝Fx可知，F－x图线与横坐标轴围成的面积表示力所做的功。 (3)P－t图：由公式W＝Pt可知，P－t图线与横坐标轴围成的面积表示力所做的功。 (4)a－t图：由公式Δv＝at可知，a－t图线与横坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量。 (5)Ek­x图：由公式F合x＝Ek－Ek0可知，Ek­x图线的斜率表示合力。 【跟踪训练】（2026·云南玉溪·模拟预测）蹦床是小朋友普遍喜欢的娱乐设施。一质量为m的小朋友由一定高度自由下落，以下落初位置为坐标原点O，竖直向下为Oy轴，小朋友下落过程中的加速度为a，其a-y图像如图乙所示（图中坐标值皆为已知）。设蹦床对小朋友的弹力大小满足胡克定律，空气阻力不计，重力加速度大小为g，则小朋友下落过程中，下列说法正确的是（     ） A．蹦床的等效劲度系数 B．小朋友速度的最大值 C．小朋友由O点下落的最大距离 D．小朋友感受到的最大加速度 【答案】B 【详解】A．由图像可知，当时，小朋友开始与蹦床接触。当时，即，其中 解得，故A错误； B．当加速度为零时速度最大，对小朋友，从最高点到过程，根据动能定理有 其中 解得，故B正确； C．当下落距离最大时，速度为零，对小朋友的整个下落过程，根据动能定理有 其中 解得，故C错误； D．在最低点处，小朋友的加速度最大，根据牛顿第二定律可得 解得，故D错误。 故选B。 【易混易错02】传送带模型和板块模型的能量关系 1. 传送带模型中的功和能量的关系： 功能关系：对功WF和Q的理解： ①传送带的功：WF＝Fx传； ②产生的内能Q＝Ffx相对．其中x相对为相互摩擦的物体与传送带间的相对位移。 核心功能关系：WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q。 分析流程如下： 2. 板块模型中的功和能量的关系 模型特点：滑块放置于长木板上，滑块和木板均相对地面或者斜面运动，且滑块和木板在摩擦力的作用下发生相对滑动。 滑块从木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板沿同一方向运动，则滑块的位移和木板的位移之差等于木板的长度；若滑块和木板沿相反方向运动，则滑块的位移和木板的位移之和等于木板的长度． 核心的功能关系： ①求摩擦力对滑块做功：WF＝Fx滑； ②求摩擦力对木板做功：WF＝Fx板； ③求摩擦生热：Q＝Ffx相对＝FfΔx. 【跟踪训练】（2026·宁夏吴忠·三模）如图所示，竖直面内有一固定光滑圆弧轨道，半径，圆弧所对的圆心角，轨道最低点B与水平传送带左端相切，传送带BC长，以速率顺时针匀速转动。质量m2=3kg的长木板Q足够长，静止在C点右侧的光滑水平地面上，Q上表面与BC平齐。质量m1=1kg的物块P从圆弧轨道的最高点A由静止释放，P与传送带及Q间的动摩擦因数均为μ=0.5。不计物块P的大小，已知，，重力加速度取。 (1)求P经过B点时对轨道的压力大小； (2)求P从B点运动到C点所用的时间； (3)求P、Q之间因摩擦产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）圆弧轨道光滑，物块由点运动到点时机械能守恒，、两点的高度差为 由 整理得，速度方向水平向右。在点取竖直向上为正方向，由牛顿第二定律得 所以 根据牛顿第三定律，物块对轨道的压力与支持力等大反向，压力大小为，方向竖直向下。 （2）传送带上表面向右运动，物块到达点时速度为，相对传送带向右滑动。滑动阶段摩擦力使做匀减速运动，加速度大小为 减速到传送带速度所需时间为 此阶段位移为 随后与传送带相对静止，以匀速通过余下路程 所需时间为 所以从点到点所用时间为 （3）物块到达点时速度为，木板静止。两者组成的系统在水平方向不受外力，摩擦过程中两物体最终速度相同，设为，由动量守恒得 解得，方向向右。摩擦产生的热量等于系统机械能的损失，故 技法提炼・审题点拨——技巧总结 【技法点拨01】机械能守恒定律的应用技巧 1. 应用机械能守恒定律的前提是“守恒”，因此，需要先对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒作出判断。 2. 列方程时，选取的角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。 3. 不同情境下机械能守恒定律的应用 应用类型 分析方法 单个物体的机械能守恒问题 在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面，分析清楚各力做功的情况，选取合适的机械能守恒定律的观点列表达式进行求解 多个物体的机械能守恒问题 分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒。对多个物体组成的系统，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒。注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 含弹簧的机械能守恒问题 （1）弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。 （2）弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。 非质点的机械能守恒问题 (1)在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。 (2)这类物体虽然不能看成质点来处理，但若只有重力做功，则物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。一般情况物体各部分速度大小相同，动能用mv2表示。 【跟踪训练】（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，光滑斜面固定在水平面上，自然伸长的轻质弹簧一端固定在斜面底端的挡板上。一小滑块从离弹簧上端处的位置由静止释放，以释放点为原点，沿斜面向下为正方向建立轴，弹簧始终处于弹性限度内。在滑块沿斜面下滑至最低点过程中，其动能和机械能随位置变化的图像可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】BC．在滑块与弹簧接触前，只有重力对滑块做正功，滑块的机械能保持不变，所受合力沿斜面向下，大小为 滑块的动能逐渐增大，接触弹簧后，弹簧弹力对滑块做负功，滑块的机械能减小，所受合力 则合力先沿斜面向下，大小逐渐变小，滑块的动能继续增大，当合力为零时，滑块的动能最大，之后合力沿斜面向上，大小逐渐变大，滑块的动能减小直至为零，由此可知，故BC错误； A．根据动能定理得 可知图像的斜率 合力先不变（为正），再减小（为正）后增大（为负），则该图像的切线斜率先不变（为正），再减小（为正）后增大（为负），故A正确； D．根据功能关系有 可知图像的斜率 滑块与弹簧接触后，弹力不断增加，则该图像的切线斜率绝对值不断增大，故D错误。 故选A。 【技法点拨02】摩擦力做功与能量关系分析技巧 摩擦力做功的特点 静摩擦力 ①静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功； ②一对静摩擦力所做功的代数和总等于零； ③静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能。 只有能量的转移，而没有能量的转化 滑动摩擦力 ①滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；②一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体间机械能的转移，做功的代数和总是负值，差值为机械能转化为内能的部分，也就是系统机械能的损失量，损失的机械能会转化为内能,内能Q=Ffx相对； 既有能量的转移，又有能量的转化 两种摩擦力对物体都可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 【跟踪训练】（2026·湖南长沙·二模）如图所示，水平地面上有一倾角为的长为7m的传送带，以的速度逆时针匀速运行。将一煤块从顶端由静止开始运送到地面，煤块可看作质点，已知煤块的质量为，煤块与传送带之间的动摩擦因数为，重力加速度为，，。煤块由高台运送到地面的过程中，下列说法正确的是（     ） A．运送煤块所用的时间为3s B．摩擦力对煤块做的功为-10J C．煤块相对传送带运动而产生的划痕长3m D．煤块与传送带之间因摩擦产生的热量为14J 【答案】B 【详解】A．煤块刚放在传送带上时，有 解得煤块沿传送带向下运动的加速度为 经过一段时间后与传送带共速， 运动的位移为 之后煤块还会继续向下加速，有 解得 滑到底端所用的时间为，有 解得 所以在传送带上运动的总时间为，故A错误； B．全程摩擦力对煤块做的功为，故B正确； C．在0~0.5s内传送带的位移为 这段时间内煤块与传送带的相对位移为 在0.5s~1.5s内传送带的位移为 这段时间内煤块与传送带的相对位移为 由于两次运动的相对位移方向不同，划痕取较长的值，即2m，故C错误； D．因摩擦产生的热量为，故D错误。 故选B。 $