13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形的中线、角平分线、高，通过复习垂线、线段中点、角平分线定义导入，搭建新旧知识支架，帮助学生衔接前后知识点，理解三线的概念、性质及应用。 其亮点在于结合小组合作与动手操作，引导学生画不同三角形的三线并观察位置特征，培养几何直观与空间观念，典例解析运用面积法等提升推理意识，课程小结用表格系统梳理概念、图形与表示法，助力学生构建知识体系，教师可高效教学，学生提升探究与应用能力。

第十三章 三角形 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 13.2 与三角形有关的线段 1 学习目标 1.理解三角形的高、中线与角平分线的概念，了解三角形的重心的概念； 2.能正确作出一个三角形的高、中线、角平分线，并掌握相关性质；运用三角形的高、中线、角平分线的定义解决相关问题，提高学生动手操作及解决问题的能力. 3.经历画图、观察、比较、描述等实践过程，加深对知识的理解，感受数学语言的准确性，提高学生的观察能力、归纳总结能力等. 2 复习导入 定 义 图 示 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足. 垂线 A B C D O AB⊥CD 3 复习导入 定 义 A B 图 示 把一条线段分成两条相等的线段的点. 线段中点 角平分线 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. O A B 4 新知探究 B C D Ⅰ. 三角形的中线 1. 如图，如果点D是线段BC的中点，你能得出什么结论？ B C D BD = DC = BC D 2. 如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，那么所得线段AD就叫作△ABC的边BC上的中线. B C A 5 新知探究 定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做三角形的中线． 符号语言： ∵ AD是△ABC的BC边的中线 ∴ BDDC  BC A B C D 反过来： ∵ BDDC （或BC） ∴ AD是△ABC的BC边的中线 6 新知探究 小组合作： 1. 任意画一个三角形，画出它的中线. 2. 想一想可以画几条？它们有什么特征？ A B C D E F 锐角三角形 A B C 直角三角形 钝角三角形 A B C 7 新知探究 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三角形的中线的特征： (1) 任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交于一点； (2) 三角形的中线是一条线段； (3) 三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形. 8 新知探究 A B C D E F 三角形的重心： 三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心． 9 典例解析 例 如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值. 解：∵点D是AC的中点，∴AD= AC. ∵S△ABC=12， ∴S△ABD= S△ABC= ×12=6. ∵EC=2BE， S△ABC= 12， A B C E F D 10 典例解析 ∴S△ABE= S△ABC= ×12=4. ∵S△ABD－S△ABE ＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF) ＝S△ADF－S△BEF， ∴S△ADF－S△BEF ＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2. A B C E F D 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比． 11 针对练习 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，AB与AC的长度和为11cm，求AC的长． 解：∵AD是BC边上的中线， ∴D为BC的中点，CD=BD． ∵△ADC的周长比△ABD的周长多3cm． ∴AC-AB=3cm． A B C D 12 针对练习 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，AB与AC的长度和为11cm，求AC的长． 又∵AB+AC=11cm， ∴AB=4cm，AC=7cm．即AC的长度是7cm． A B C D 三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形长边与短边之差. △ACD的周长- △ABD的周长=AC-AB. 13 新知探究 Ⅱ. 三角形的角平分线 1. 如图，如果AD是∠BAC的平分线，你能得出什么结论？ 2. 你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗？ A B C D ∠BAD =∠DAC A B C D 相同点：∠BAD =∠DAC 不同点：角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段. 想一想：角的平分线和三角形的角平分线有什么相同和不同？ 14 新知探究 定义：在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. A B C D 1 2 符号语言： ∵AD是△ABC的角平分线. ∴∠1  ∠2  ∠BAC 反过来： ∵ ∠1  ∠2 ∴ AD是△ABC的角平分线. 15 新知探究 C A B D F F A B C C B A 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 小组合作： 1. 任意画一个三角形，画出它的角平分线. 2. 想一想可以画几条？它们有什么特征？ 16 新知探究 C A B D F F A B C C B A 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三角形共有三条内角平分线，它们相交于三角形内一点. 17 典例解析 例 如图，在△ABC中，∠BAC=100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C=26°，则∠DAE的度数为______． 解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-26°=64°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE= ∠BAC= ×100°=50°， ∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=64°-50°=14°． 故答案为14°． 14° A C B D E 18 针对练习 如图所示，△ABC的两条角平分线相交于点D，过点D作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，若△AEF的周长为30cm，则AB+AC=_____cm． 30 A B C D E F 19 新知探究 Ⅲ. 三角形的高 l A 1. 如何利用直尺和三角板，过直线外一点作这条直线的垂线? 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? B 20 新知探究 Ⅲ. 三角形的高 2. 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线.三角形的高线简称三角形的高. 注意：标明垂直的记号和垂足的字母. D A B C 垂足 ∠ADB∠ADC90° 21 新知探究 定义：从三角形的一个顶点，向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫作三角形的高线，简称三角形的高. 符号语言： ∵在△ABC中，AD是△ABC的高， ∴∠ADB∠ADC90° 反过来： ∵∠ADB90°(或∠ADC90°) ∴ AD是△ABC的高. D A B C 22 新知探究 用同样的方法你能画出△ABC的另两条边上的高吗？ E F D A B C 23 新知探究 画一画：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ 探究 24 新知探究 锐角三角形的三条高 D E F A B C 1.锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 2.锐角三角形的三条高交于一点. 25 新知探究 A B C 直角三角形的三条高 1.画出直角三角形的三条高. 2.直角三角形的三条高有怎样的位置关系？ 斜边AC上的高是 ； 直角边AB边上的高是 ； 直角边BC边上的高是 ； D BD BC AB 直角三角形的三条高交于直角顶点. 26 新知探究 钝角三角形的三条高 1.画出一个钝角三角形，并且画出这个三角形的三条高. AC边上的高： ； BC边上的高： ； AB边上的高： . A B C E BE AD CF F D 27 新知探究 钝角三角形的三条高 2.钝角三角形的三条高有怎样的位置关系？ 钝角三角形的三条高不相交于一点. 3.它们所在的直线相交于一点吗？这个点位于何处？ 钝角三角形的三条高所在的直线交于一点，这个点在三角形外部. A B C E O F D 28 归纳小结 高所在的直线是否相交 高之间是否相交 高在三角形内部的数量 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形 内部 直角顶点 三角形 外部 三角形的三条高的特性 29 典例解析 例 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值. 解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值． 由△ABC的面积公式可知， AD×BC= BP ×AC. 代入数值，得BP= . 面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. A B C P D 30 针对练习 如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝6cm，BC＝12cm， CE＝9cm． （1）求△ABC的面积； （2）求AD的长． A B C D E 解：(1)由题意得：S△ABC= AB×CE= ×6 ×9=27cm2. (2) ∵ S△ABC= BC×AD ∴ 27= ×12 ×AD. 解得AD=4.5cm. 31 课程小结 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的中线 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段. 把原三角形的面积平分. 分成的两个三角形的周长差等于原三角形长边与短边之差. ∵AD是△ABC的边BC上的中线， ∴BD=CD= BC， A B C D 32 课程小结 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段. ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠1=∠2= ∠BAC. A B C D 1 2 33 课程小结 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段. 钝角三角形两短边的画法. ∵AD是△ABC的高线， ∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°. D A B C 34 随堂演练 1.下列各组图形中，表示线段AD是△ABC中BC边上的高的图形为（ ） A. B. C. D. D 2．如图，在△ABC中，AD⊥AB，有下列三个结论： ①AD是△ACD的高；②AD是△ABD的高；③AD是△ABC的高． 其中正确的结论是（ ） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．只有②正确 D A C D B B D C A C B D A B C D A C A B D 35 随堂演练 3.如图，在△ABC中，CD是角平分线，DE∥BC，交AC于点E.若∠AED=50°，则∠CDE的度数为 . 4.如图所示，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△BEF=2cm2，则△ABC的面积等于（ ） A. 4 cm2 B. 5 cm2 C.8 cm2 D. 16 cm2 25° C A B C D E A B C D F E 36 随堂演练 5. 如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=( ) A.75° B.80° C.85° D.90° 解析：∵AD是BC边上的高， ∠ABC=60°， ∴ ∠BAD=30°， ∵ ∠BAC=50°，AE平分∠BAC， ∴ ∠BAE=25°， ∴ ∠DAE=30°-25°=5°， ∵ △ABC中，∠C=180°-∠ABC-∠BAC=70°， ∴ ∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°. A B C E D F A 37 随堂演练 6. 在△ABC中，CD是中线，已知BC-AC=5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长. 解：∵CD是△ABC的中线， ∴BD=AD. ∵△DBC的周长=BC+BD+CD=25cm， 则BD+CD=25-BC. ∴△ADC的周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC=25-BC+AC =25-(BC-AC)=25-5=20cm. A D B C 38 随堂演练 7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为2cm/s，设运动的时间为t s. (1)当t= 时，CP把△ABC的周长分成 相等的两部分. (2)当t为何值时，CP把△ABC的面积分成 相等的两部分? (3)当P在AC上运动，t为何值时， △BCP的面积为4cm2？ A B C 3 39 随堂演练 (2)解：当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，点P为AB的中点， ∴点P运动的路程为4+ = (cm). ∴ t= ÷2= . ∴当t= 时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分. (3)解：当P在AC上时，∵△BCP的面积为4cm2， ∴ PC·BC=4. ∴ ×2t ×3=4. ∴ t = . A B C 40 第十三章 三角形 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 13.2 与三角形有关的线段 41 $