13.3.2《三角形的外角》课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形外角的概念、性质及外角和，通过复习三角形内角和定理导入，结合图形中角的数量变化引出外角，逐步构建定义、条件、性质的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于以几何直观培养数学眼光，通过图形观察辨析外角；以推理证明发展数学思维，如外角性质的严谨推导；以模型总结强化数学语言，如飞镖模型和外角和结论。典例解析中构造辅助线解决角度问题，帮助学生提升推理能力，教师可借助系统流程和丰富例题提高教学效率。

第十三章 三角形 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 13.3.2 三角形的外角 13.3 三角形的内角与外角 1 学习目标 1.理解并掌握三角形的外角的概念，并能够在复杂图形中找出外角. 2.能通过三角形的内角和定理进行合理推论，掌握三角形的外角的性质和三角形外角和． 3.会利用三角形的外角性质解决有关问题. 2 复习回顾 1. 三角形的内角和定理是什么？ 定理： . 2. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=23°，则∠C = . 三角形的内角和等于180° 107° 3. 在△ABC中，∠A=110°，∠B=35°，则∠C = . 35° 3 课程导入 我们知道，三角形有 个内角. 数一数，这个图形现在有 个角. 分别是： ， ， ， . A B C 3 4 ∠A ∠B ∠ACB ∠ACD D ∠ACD和△ABC有什么关系呢？ 4 新知探究 A B C D 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角. 5 新知探究 如图，延长 AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ ∠BCE是△ABC的一个外角. A B C D E ∠DCE不是△ABC的一个外角. 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. 6 新知探究 A B C E D 想一想，三角形的每个顶点处有多少个外角？ ∠BCE与∠ACD是什么关系？ 三角形的每个顶点处都有2个外角. ∠BCE与∠ACD为对顶角， ∠BCE=∠ACD. 7 新知探究 A B C 想一想，△ABC共有几个外角呢？ 每个三角形都有6个外角. 每个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 8 针对练习 如图，∠ADC是哪个三角形的外角？∠BDC是哪个三角形的外角？∠DFE是哪个三角形的外角？ ∠ADC是△BDF的外角； ∠BDC是△ADC的外角； ∠DFE是△BDF和△CEF的外角. A B D F C E 9 新知探究 如图，△ABC的外角∠ACD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？ △ABC的外角∠ACD与其不相邻的两个内角∠A， ∠B有什么关系？ A B C D 不相邻的内角 三角形的外角 相邻的内角 ∠ACD与∠ACB互补 10 新知探究 思考 如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°.∠ACD是△ABC的一个外角.能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？ A B C D 70° 60° 解：在△ABC中， ∵∠A=70°，∠B=60°. ∴∠ACB=180°-70°-60°=50° ∴∠ACD=180°-50°=130° ∠ACD=∠A+∠B 11 新知探究 任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？ 证明：过C作CE平行于AB， ∴∠1=∠B， (两直线平行，同位角相等) ∠2=∠A， (两直线平行，内错角相等) ∴∠ACD=∠1+∠2= ∠A+∠B. 1 2 D A B C E 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 12 新知探究 三角形内角和定理的推论： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 几何语言： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角， ∴ ∠ACD=∠A+∠B. 推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据. A B C D 13 新知探究 A B C D 如图，由推论可知：∠ACD=∠A+∠B，完成下列填空： ∵∠A＞0，∠B＞0 ∴∠ACD ___ ∠A (填＜、＞) ∠ACD ___ ∠B (填＜、＞) ＞ ＞ 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 几何语言：∵∠ACD是△ABC的外角， ∴ ∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B. 14 课堂练习 80° 60° 1 2 2 1 30° 40° 1 40° 2 说出下列各图形中∠1和∠2的度数： ∠1= ，∠2= ∠1= ，∠2= ∠1= ，∠2= 40° 140° 110° 70° 50° 140° 15 课堂练习 A B C D E 70° 40° 2 1 CE平分∠ACD. 60° 60° 1 2 20° 2 1 30° ∠1= ，∠2= ∠1= ，∠2= ∠1= ，∠2= 55° 70° 80° 40° 60° 30° 16 典例解析 例1 如图,在△ABC中,∠BAC=80°,∠B=60°,AD是△ABC的高,点E在BC边上,且AE是∠DAC的角平分线,EF//AC,求∠AEC和∠AFE的度数． A B D E C F 解：∵AD是△ABC的高. ∴∠ADB=∠ADC=90°. ∴∠B+∠BAD=90°， ∵∠B=60°，∴∠BAD=30°， ∵∠BAC=80°， ∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=50°， 又∵AE是∠DAC的角平分线， ∴∠DAE= ∠DAC=25°， 17 典例解析 A B D E C F ∵∠AEC是△ADE的外角， ∴∠AEC＝∠ADC+∠DAE＝90°+25°=115°， ∵∠BAC＝80°，∠B＝60°， ∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝40°， ∵EF∥AC， ∴∠DEF＝∠C＝40°， ∵∠AFE是△DEF的外角， ∴∠AFE＝∠ADC+∠DEF＝90°+40°=130°． 18 课堂练习 如图，点O是△ABC内一点，连接BO，CO，CO恰好平分∠ACB，延长BO交AC于点E．已知∠A=50°，∠BCO=35°，∠BEC=65°，求∠ABO和∠OBC的度数． 解：∵∠A=50°，∠BCO=35°， ∴∠ABO=∠BEC-∠A=65°-50°=15°， ∵CO平分∠ACB ，∠BCO=35°， ∴∠BCA=2∠BCO=70°， ∴∠ABC=180°-∠A-∠BCA=180°-50°-70°=60°， ∴∠OBC=∠ABC-∠ABO= 60°-15°=45°． A B C E O 19 典例解析 例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC=150°，∠ABP=20°，∠ACP=30°，求∠A的度数. 分析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数. A B C P 20 典例解析 A B C P E 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE， △ ABE的外角， ∴ ∠BPC=∠PEC+∠PCE，∠PEC=∠ABE+∠A， ∴ ∠PEC=∠BPC-∠PCE =150°-30°=120°. ∴ ∠A= ∠PEC- ∠ABE=120°-20°=100°. 方法点拨：求角的度数，常连接并延长或延长三角形的边长，通过构造三角形的外角，利用外角的性质解决. 21 典例解析 例3 如图，已知AD是△ABD和△ACD的公共边.求证： ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C. 证明：延长AD于点E. ∵∠BDE与∠CDE分别是△ABD与△ACD的外角. ∴BDE=∠1+∠B，∠CDE=∠2+∠C ∵∠BAC=∠1+∠2，∠BDC=∠BDE+∠CDE ∴∠BDC=∠1+∠B+∠2+∠C =∠BAC+∠B+∠C A B D C 1 2 E 22 课堂练习 A D C 如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数. 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. 解法一：连接AD并延长于点E. 在△ABD中，∠1+∠B=∠3， 在△ACD中，∠2+∠C=∠4. 因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2， 所以∠BDC=∠BAC+∠B+∠C =51°+20°+30°=101°. B 1 2 E 3 4 30° 20° 51° 23 课堂练习 解法二：延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD. 所以∠BDC =∠BAC+∠ABD+∠ACD =51°+20°+30°=101°. 解法三：连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）. A D C B 30° 20° 51° F 2 E 1 24 归纳小结 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 基本几何图形---飞镖（燕尾）模型 数量关系： ∠BDC=∠A+∠B+∠C A D C B 25 典例解析 例4 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，得 ∠BAE=∠2+∠3， ∠CBF=∠1+∠3， ∠ACD=∠1+∠2 所以 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3) 由∠1+∠2+∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360° 你还有其它解法吗？ A B C F E D 1 2 3 26 典例解析 例4 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解法2：如图，∠BAE+∠1=180°①， ∠CBF+ ∠2=180°②， ∠ACD+ ∠3=180°③， 又知∠1+∠2+∠3=180°， ①+ ②+ ③得∠BAE+∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540°， 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°. A B C F E D 1 2 3 27 典例解析 例4 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解法3：过A作AM平行于BC， ∵∠ACD=∠EAM，∠CBF=∠BAM， ∴ ∠ACD+∠CBF=∠EAM+∠BAM， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD =∠BAE+∠EAM+∠BAM=360°. A B C F E D 1 2 3 M 结论：三角形外角和等于360°. 28 课程小结 定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 三角形内角和定理的推论1： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 三角形内角和定理的推论2： 三角形的外角和等于360°. 三角形的外角和： 29 随堂演练 1.三角形的三个内角之比分别是1:2:3，则此三角形的最大外角为____度. 2.三角形的三个外角(各顶点取一个)中，最多有____个锐角; 3.等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为_____________. 4.如图，∠1=_____. 150 1 30°或75° 120° 80° 1 140° 30 随堂演练 5.如图，CE⊥AF于E，若∠F=40°，∠C=50°，则∠DBC=_____. 6.如图，AB//CD，∠A=38°，∠C=80°，则∠M=_____. 80° 42° E F A C B M A E B C D (5) (6) 31 随堂演练 7.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°， ∠B=40°，则∠ECD等于( ) A.40° B.45° C.50° D.55° 解析： ∵ ∠A=60°，∠B=40°. ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B=100°. ∵ CE平分∠ACD， ∴ ∠ECD=∠ACD=50°. A B C D E 60° 40° C 32 随堂演练 8.如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是△ABC的外角平分线,BD、CD交于D，试探索∠A与∠D的关系. 解：∵∠ACE是△ABC的外角 ∴∠ACE=∠A+∠ABC ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE. ∴∠DBC= ∠ABC，∠DCE= ∠ ACE ∴ ∠DCE= ∠A+∠DBC. A B C E D 33 随堂演练 8.如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是△ABC的外角平分线,BD、CD交于D，试探索∠A与∠D的关系. ∵ ∠DCE是△DBC的外角. ∴ ∠DCE=∠D+∠DBC ∴ ∠D+∠DBC = ∠A+∠DBC 即∠D = ∠A. A B C E D 34 随堂演练 9.如图，在五角星的图中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 解：∵∠1是△BDF的一个外角 ∴∠1=∠B+∠D ∵∠2是△EHC的一个外角. ∴∠2=∠C+∠E ∵∠A+∠1+∠2=180° ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. A B C D E H F 2 1 35 随堂演练 10.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= . B A N C F D E M P 1 2 3 360° 36 第十三章 三角形 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 13.3.2 三角形的外角 13.3 三角形的内角与外角 37 $