第五单元 多边形的面积（单元复习课件）数学北师大版五年级上册（新教材）

该小学数学课件聚焦五年级上册“多边形的面积”单元，通过单元知识框架将比较图形面积、认识底和高、平行四边形等图形面积公式推导、组合图形面积、公顷与平方千米及不规则图形估算等8个知识点系统串联，以“转化思想”为核心梳理各知识点内在联系，如用割补法推导平行四边形面积公式，为后续图形学习奠定逻辑基础。 其亮点在于采用“知识点梳理-重难点精讲-变式巩固”三阶复习模式，结合核心素养设计活动，如通过数方格、拼摆图形培养几何直观与空间观念，利用等积变形推导面积公式发展推理意识。分层练习如基础例题与变式题搭配，满足不同学生需求，帮助教师精准把握学情，有效提升复习效率与学生知识巩固效果。

单元复习课件 小学数学·五年级上册·北师大版 第五单元 多边形的面积 单元知识框架 01 知识点梳理 02 重难点题型精讲 03 变式巩固练习 04 单元知识框架 多边形的面积 1.比较图形的面积 2.认识底和高 3.探索平行四边形面积 4.探索三角形面积 5.探索梯形面积 6.组合图形面积 7.公顷、平方千米 8.成长的脚印 单元知识框架 知识点1 比较图形的面积 1 比较图形的面积 1、比较图形面积的方法 （1）数方格法 适用情况：适用于所有在网格中的图形，特别是不规则图形。 操作方法：数出图形内部完整的方格数，对于不满一格的通常按半格计算（或进行拼凑估算）。方格数越多，面积越大。 特点：最直接、最基础的方法，但有时较繁琐。 （2）重叠法（平移与旋转） 适用情况：适用于形状、大小完全相同的图形。 操作方法：将一个图形剪下（或在脑海中想象），通过平移或旋转，看它是否能与另一个图形完全重合。 结论：如果两个图形能完全重合，说明它们的面积相等。 知识点梳理 1 比较图形的面积 （3）组合法（拼摆法） 适用情况：单个图形难以直接比较，但部分图形可以拼成规则图形时。 操作方法：将两个或多个较小的图形拼在一起，看能否组成一个与目标图形大小相同的标准图形。 2、“出入相补”原理（割补法） （1）原理定义 把一个图形分割成几部分，经过平移、旋转等移补到另一位置，虽然图形的形状改变了，但总面积保持不变。 简单说就是：“割下来的部分补到空缺处，总面积不变”。 知识点梳理 1 比较图形的面积 （2）实际应用 转化思想： 利用这个原理，可以将不规则图形或陌生图形转化为熟悉的规则图形（如长方形、正方形）。 3、面积守恒观念 （1）形状变，面积不变：只要没有增加也没有减少材料，仅仅是改变了摆放位置或切割重组，图形的面积大小是恒定的。 （2）等积变形：不同的形状可能拥有相同的面积（例如底和高相同的平行四边形和长方形，或者通过割补得到的不同多边形）。 知识点梳理 1 比较图形的面积 4、总结与延伸 （1）方格纸的作用：方格纸不仅是计数的工具，更是验证“割补”是否准确的标尺（通过数格点确认边长和角度）。 （2）为公式推导做铺垫：本课学习的“割补法”和“转化思想”，是下一节课学习“平行四边形面积 = 底 × 高”的直接理论依据（即把平行四边形转化为长方形来推导）。 知识点梳理 【例1】下面图形的面积各是多少？ ( )个□ ( )个□ ( )个□ 【分析】左边图形中有15个□，面积是15个□的面积和；中间图形中有14个□和4个半格，面积等于（14＋4÷2）个□的面积和；右边图形中有24个□和6个半格，面积等于（24＋6÷2）个□的面积和，据此作答。                重难点题型精讲 【例1】下面图形的面积各是多少？ ( )个□ ( )个□ ( )个□ 【详解】14＋4÷2 ＝14＋2 ＝16（个） 24＋6÷2 ＝24＋3 ＝27（个） 所以左边图形有15个□，中间图形有16个□，右边图形有27个□。                15 16 27 重难点题型精讲 【练1 】下图中，图①和图②的面积比较，（ ）。 A．①＞② B．①＝② C．①＜② 【分析】通过数出各图形中所占方格的个数，即可比较面积的大小(2个半格可以组成1个整格) 【详解】图①中有2个整格和4个半格，4个半格可以组成2个整格，一共是2+2=4（个）； 图②中有4个整格； 4=4，所以图①和图②的面积比较，①=②。 B 变式巩固练习 知识点2 认识底和高 2 认识底和高 1、图形的动态变化与“高”的引入 变与不变 不变的量： 四条边的长度不变，因此周长也不变。 变化的量： 图形的形状变了（由长方形变为平行四边形），面积变小了。 原因分析： 虽然边长没变，但上下两条边之间的垂直距离（即“高”）变短了。这说明了决定平行四边形面积的另一个关键因素是“高”。 知识点梳理 2 认识底和高 2、平行四边形的底和高 （1）定义 高：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高。 底：垂足所在的边叫做平行四边形的底。 （2）特征 无数条：因为可以在边上取无数个点，所以平行四边形有无数条高。 长度相等：平行四边形同一组对边之间的高，长度都是相等的（即平行线间的距离处处相等）。 知识点梳理 2 认识底和高 3、梯形和三角形的底和高 将“底和高”的概念推广到其他多边形。 （1）梯形 底：梯形中互相平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底。 高：夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高。 注意：梯形的高也是两平行底边之间的垂直距离。 （2）三角形 底：三角形的任意一边都可以作为底。 高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 对应关系：三角形有三条边，因此也有三条高，每条高都对应着一条特定的底。 知识点梳理 2 认识底和高 4、画高的方法与规范（技能点） （1）工具使用 必须使用三角板（利用直角边）或直尺配合画图，严禁徒手画。 （2）操作步骤 重合：将三角板的一条直角边与指定的“底”重合。 平移：沿底边平移三角板，直到另一条直角边经过对面的顶点（或边上的指定点）。 画线：沿另一条直角边画虚线，直到与底边相交。 标记：在垂足处画上直角符号（ ⊥ ），并标出“高”字。 知识点梳理 2 认识底和高 （3）特殊情况处理 钝角三角形/梯形：当顶点在底边的延长线上方时，需要先将底边用虚线延长，再画高（高在图形外部）。 直角三角形：两条直角边互为底和高，不需要额外画垂线（除非指定斜边为底）。 知识点梳理 【例2】请在下面的方格纸上按要求 画一画。 (1)在图中找到一点D，使A、B、C、 D四个点能连成一个平行四边形，画出这个平行四边形和它的1条高。 【分析】（1）D点的位置应该与A点在同一水平线上，且D点到A点的距离与C点到B点的距离相等（占5格边长）。作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，可以看作是过A点画已知直线BC的垂线，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 【答案】(1) 重难点题型精讲 【例2】请在下面的方格纸上按要求 画一画。 (2)画一个上底3厘米，下底5厘米， 高4厘米的等腰梯形。 【分析】（2）先画一组平行的水平线段：上方线段长3厘米（占3格边长）做上底，下方线段长5厘米（占5格边长）做下底，画的时候保证下底与上底同侧端点水平距离相等，两个底的垂直距离是4厘米（占4格边长），连接上下底的端点。 【答案】(2) 重难点题型精讲 【练2】画出下面图形底边上的高。 【分析】将三角尺的一条直角边与指定底边重合，移动三角尺让另一条直角边经过底边对侧的顶点，沿直角边画出顶点到底边的虚线垂线段，标注直角符号，这条线段就是对应底边上的高。梯形：从上底的一个顶点向下底画垂线段，就是下底上的高。（画法不唯一）。三角形：从底边所对的顶点向底边画垂线段，就是三角形底边上的高。平行四边形：从指定底边对边的顶点向这条底边画垂线段（若底边长度不够可先延长底边，再画垂线），就是平行四边形底边上的高。 【答案】 （梯形的高画法不唯一） 变式巩固练习 知识点3 探索平行四边形面积 3 探索平行四边形面积 1、面积公式的推导过程（转化思想） 这是本课最核心的数学思想方法——“割补法”（或称等积变形）。 （1）操作步骤 剪：沿着平行四边形的一条高剪开（通常是为了得到一个直角三角形或直角梯形）。 移：将剪下的部分平移到另一边。 拼：拼成一个长方形。 （2）图形间的对应关系 通过观察拼成的长方形与原平行四边形，建立以下联系： 面积不变：拼成的长方形面积 = 原平行四边形的面积。 长 = 底：长方形的长相当于平行四边形的底（a）。 宽 = 高：长方形的宽相当于平行四边形的高（h）。 知识点梳理 3 探索平行四边形面积 （3）逻辑推导 因为：长方形的面积=长×宽 所以：平行四边形的面积=底×高 2、平行四边形面积公式 （1）文字公式：平行四边形的面积=底×高 （2）字母公式 如果用S表示面积，用a表示底，用h表示高，则公式为：S=ah （注意：字母中间的乘号可以省略不写） 知识点梳理 3 探索平行四边形面积 3、计算中的关键要素 （1）底的对应高 公式中的“高”必须是对应底边上的高。 平行四边形有两组对边，因此有两组对应的底和高。计算时不能张冠李戴（例如：不能用底边 a去乘另一条边上的高）。 （2）单位统一 在计算前，要检查底和高的长度单位是否一致。如果不一致（如一个是米，一个是厘米），必须先换算成同一单位再计算。 知识点梳理 3 探索平行四边形面积 4、实际应用与拓展（练一练分析） （1）基础计算 直接给出底和高，代入公式S=ah 计算面积。 易错点： 题目中可能给出两条邻边的长度和一条高，学生需识别出哪条边才是与高垂直对应的“底”。 （2）逆向思维（求底或高） 已知面积S和底a ，求高h 。 公式变形：h=S÷a 已知面积S和高h ，求底a 。 公式变形：a=S÷h 知识点梳理 3 探索平行四边形面积 （3）复杂情境应用： 广告牌问题： 先算面积，再根据“每平方米用量× 总面积”计算总油漆量。 小路问题（等积变形）： 图中长方形草地中间有一条平行四边形小路。 解题技巧：利用“平移”思想，把小路两边的草地向中间靠拢，拼成一个新的、更窄的长方形。 新长方形的长： 原长 - 小路宽。 新长方形的宽： 原宽（即平行四边形的高）。 这样可以直接计算草地面积，避免了繁琐的减法运算。 （4）倍数关系探索 当底扩大n倍，高也扩大m倍时，面积会扩大n×m 倍。 知识点梳理 【例3】学校有一块近似平行四边形的空地，计划设计 成一个花园种植月季和芍药。平均每株花大约占地0.5 平方米，学校需要购买多少株花苗？ 【分析】先利用平行四边形的面积＝底×高，计算出空地的面积，再用空地的面积除以每株花的占地面积，就可以计算出需要购买的花苗株数。 【详解】5.5×4÷0.5 ＝22÷0.5 ＝44（株） 答：学校需要购买44株花苗。 重难点题型精讲 【练3】如下图所示，王叔叔靠墙边用篱笆围一块平行四 边形菜地，面积为27平方米。王叔叔一共需要篱笆多少米？ 【分析】因为围成平行四边形菜地靠墙的一侧不需要篱笆，将其余的三边相加即可；根据平行四边形的面积＝底×高，求出平行四边形高（4.5米）对应底的长，再乘2，最后再加上5米即可解答。 【详解】27÷4.5×2＋5 ＝6×2＋5 ＝12＋5 ＝17（米） 答：王叔叔一共需要篱笆17米。 变式巩固练习 知识点4 探索三角形面积 4 探索三角形面积 1、面积公式的推导过程（转化思想） 这是本课最核心的数学思想方法——“转化”，即将未知图形转化为已知图形。教材展示了两种主要的推导路径： （1）路径一：倍积法（拼摆法） 操作：用两个完全一样的三角形（形状、大小相同），可以拼成一个平行四边形。 关系分析： 拼成的平行四边形的底等于三角形的底。 拼成的平行四边形的高等于三角形的高。 拼成的平行四边形的面积是三角形面积的2倍（即一个三角形的面积是平行四边形面积的一半）。 结论：三角形面积=平行四边形面积÷2=底×高÷2。 知识点梳理 4 探索三角形面积 （2）路径二：割补法（折叠/剪拼法） 操作：沿着三角形的高对折（或剪开），通过平移、旋转，将其转化为一个长方形。 关系分析： 转化后的长方形的长等于三角形的底。 转化后的长方形的宽等于三角形高的一半。 结论：三角形面积 =长方形面积=长×宽=底×(高÷2) = 底×高÷2。 知识点梳理 4 探索三角形面积 2、三角形面积公式 基于上述推导，得出通用的计算公式及字母表示。 （1）文字公式：三角形的面积=底×高÷2 （2）字母公式 如果用S表示面积，用a表示底，用h表示高，则公式为： S=ah÷2或 S=ah 知识点梳理 4 探索三角形面积 3、公式的逆运算（已知面积求底或高） （1）已知面积和高，求底 逻辑：因为S=a×h÷2 ，所以a=2S÷h 。 口诀：面积乘2除以高。 （2）已知面积和底，求高 逻辑：因为S=a×h÷2 ，所以h=2S÷a 。 口诀：面积乘2除以底。 知识点梳理 4 探索三角形面积 4、重要性质与规律（等积变形） 等底等高 规律：如果几个三角形的底相等，且对应的高也相等（即夹在两条平行线之间），那么它们的面积一定相等。 形状无关：无论三角形的形状是锐角、直角还是钝角，只要底和高确定，面积就确定了。 知识点梳理 4 探索三角形面积 5、易错点提示 忘记除以2：这是最常见的错误。计算三角形面积时，必须记得最后结果要除以2（或者底乘高的一半）。 底高不对应：计算时必须使用互相对应的一组底和高。如果是直角三角形，两条直角边互为底高。 单位换算：题目中若出现不同单位（如米和分米），需先统一单位再计算。 知识点梳理 【例4】有一块三角形的菜地，底18米，高24米。如果每平方米能收获13千克萝卜。这块地一共可以收获多少千克萝卜？ 【分析】先根据三角形面积＝底×高÷2，求出这块三角形菜地的面积；然后根据总收获量＝每平方米收获量×面积，计算出这块地一共可以收获萝卜的质量。 【详解】18×24÷2 ＝432÷2 ＝216（平方米） 216×13＝2808（千克） 答：这块地一共可以收获2808千克萝卜。 重难点题型精讲 【练4】顺德陈村是全国有名的花卉之乡，为研究优质的花卉新品种，李叔叔在一块三角形园地里做种植试验。已知这块三角形地的底为16米，高为8.5米，每平方米培育的花苗价格175元，李叔叔种植的这批花苗价值多少元？ 【分析】首先根据“三角形的面积＝底×高÷2”求出这块三角形园地的面积；然后根据“总价＝单价×数量”，用每平方米花苗的价格×园地的面积，即可求出这批花苗的总价值。 变式巩固练习 【练4】顺德陈村是全国有名的花卉之乡，为研究优质的花卉新品种，李叔叔在一块三角形园地里做种植试验。已知这块三角形地的底为16米，高为8.5米，每平方米培育的花苗价格175元，李叔叔种植的这批花苗价值多少元？ 【详解】 16×8.5÷2 =136÷2 =68 (平方米) 175×68＝11900（元） 答：李叔叔种植的这批花苗价值11900元。 变式巩固练习 知识点5 探索梯形面积 5 探索梯形面积 1、面积公式的推导过程（转化思想） （1）路径一：倍积法（拼摆法）——最常用 操作：用两个完全一样的梯形，通过旋转和平移，可以拼成一个平行四边形。 关系分析： 底的关系：拼成的平行四边形的底 = 梯形的上底 + 下底。 高的关系：拼成的平行四边形的高 = 梯形的高。 面积的关系：拼成的平行四边形的面积是梯形面积的2倍（即一个梯形的面积是平行四边形面积的一半）。 结论：梯形面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2。 知识点梳理 5 探索梯形面积 （2）路径二：分割法（妙想的方法） 操作： 在梯形内部画一条对角线，将梯形分割成两个三角形。 关系分析： 上方三角形的面积 = 上底 × 高 ÷ 2。 下方三角形的面积 = 下底 × 高 ÷ 2。 两个三角形的高都等于梯形的高。 结论： 梯形面积 = 上底 × 高 ÷ 2 + 下底 × 高 ÷ 2 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2。 知识点梳理 5 探索梯形面积 2、梯形面积公式 基于上述推导，得出通用的计算公式及字母表示。 文字公式：梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 字母公式：如果用S 表示面积，用a 表示上底，用b表示下底，用h 表示高，则公式为： S=(a+b)h÷2 知识点梳理 5 探索梯形面积 3、公式的应用与逆运算 （1）正向应用（求面积） 关键点： 必须找准梯形的上底、下底和对应的高。 易错点： 计算时容易忘记除以2。 （2）逆向应用（求底或高） 已知面积、上底、下底，求高：h=2S÷(a+b) 已知面积、高、其中一个底，求另一个底：a=2S÷h−b （或者先求出上下底之和，再减去已知底） 知识点梳理 5 探索梯形面积 4、拓展应用与生活实例 （1）堆木头问题（等差数列求和的几何解释） 情境： 圆木堆成梯形形状，顶层根数相当于“上底”，底层根数相当于“下底”，层数相当于“高”。 计算方法： 总根数 = (顶层根数 + 底层根数) × 层数 ÷ 2。 意义： 这是梯形面积公式在离散数量计算中的典型应用。 （2）画图与构造 任务： 在方格纸上画出指定尺寸的梯形。 发现： 只要(上底+下底)的和相等，且高相等，梯形的面积就相等，但形状可以不同（例如直角梯形、等腰梯形、普通梯形）。 知识点梳理 【例5】李奶奶在靠墙的一侧用篱笆围成了一个 梯形的鸡舍（如下图），篱笆总长15.5米，梯形 的高是3.5米。这个鸡舍的面积是多少？ 【分析】靠墙的一侧为梯形的腰，所以篱笆总长是梯形上底、下底与另一腰的长度之和，根据题意另一腰是梯形的高，因此用篱笆总长减去高即可得到上底与下底的和； 梯形面积公式S＝（a＋b）h÷2，其中a、b为上底和下底，h为高，将求得的上下底之和与已知的高代入公式计算。 重难点题型精讲 【例5】李奶奶在靠墙的一侧用篱笆围成了一个 梯形的鸡舍（如下图），篱笆总长15.5米，梯形 的高是3.5米。这个鸡舍的面积是多少？ 【详解】（15.5－3.5）×3.5÷2 ＝12×3.5÷2 ＝42÷2 ＝21（平方米） 答：这个鸡舍的面积是21平方米。 重难点题型精讲 【练5】林业站收购了一批物料摆放（如图）：最上 层160根，最下层有180根，相邻两层之间相差一根， 请你用学过的知识算一算，这堆木料一共有多少根？ 【分析】有规律摆放成梯形截面的物料，可以用梯形的面积公式“（上底＋下底）×高÷2”来计算数量，最上层的数量是上底，最下层的数量是下底，层数是高。 【详解】层数： 180－160＋1 ＝20＋1 ＝21（层） 变式巩固练习 【练5】林业站收购了一批物料摆放（如图）：最上 层160根，最下层有180根，相邻两层之间相差一根， 请你用学过的知识算一算，这堆木料一共有多少根？ （160＋180）×21÷2 ＝340×21÷2 ＝7140÷2 ＝3570（根） 答：这堆木料一共有3570根。 变式巩固练习 知识点6 组合图形面积 6 组合图形面积 1、组合图形的定义 概念：由两个或两个以上的基本图形（如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等）组合而成的图形，叫做组合图形。 特点：形状不规则，不能直接套用单一的面积公式计算。 2、计算组合图形面积的两种核心方法 （1）分割法（加法策略） 原理：将复杂的组合图形切割成几个简单的、已学过的基本图形。 操作：在图形内部画辅助线（虚线），将其分为互不重叠的几部分。 计算：分别计算出各部分的面积，最后将它们相加。 知识点梳理 6 组合图形面积 （2）添补法（减法策略） 原理：将组合图形补上一块，使其成为一个大的规则图形（通常是长方形或正方形）。 操作：在图形外部画辅助线，补全缺口。 计算：先算出补全后的大图形面积，再减去补上去的那部分小图形的面积。 3、解题步骤与规范 观察图形： 分析组合图形是由哪些基本图形组成的。 寻找数据： 根据图中给出的已知条件（边长、高等），推导出计算所需但图中未直接标出的隐含数据（例如通过总长减去一段得到另一段长）。 知识点梳理 6 组合图形面积 选择方法： 比较分割法和添补法，选择计算最简便、数据最直接的一种方法。通常分割成的图形越少越好。 列式计算： 分步计算或列综合算式求解，注意单位统一。 4、实际应用与拓展（练一练分析） （1）中队旗面积（分割与添补的灵活转换） 方法一（分割）： 看作两个完全一样的梯形拼接，或者看作一个长方形加上两个小三角形。 方法二（添补）： 看作一个大长方形减去一个三角形（燕尾部分）。 启示： 同一图形可以有多种解法，要择优而用。 （2）剩余面积问题（硬纸板剪角） 题型： 求从一个图形中剪去一部分后剩下的面积。 知识点梳理 6 组合图形面积 思路： 典型的“大面积 - 小面积”模型。原正方形面积 - 4个小正方形面积 = 剩余面积。 （3）重叠问题（正方形叠放） 难点： 理解重叠部分被计算了两次，或者需要扣除。 思路： 求覆盖的总面积时，通常是两个图形面积之和减去重叠部分的面积；或者利用容斥原理思考。 5、总结 本节课的核心在于“转化”。无论是分割还是添补，本质都是将未知的组合图形转化为已知的基本图形。掌握这一思想，不仅能解决面积问题，也为后续学习更复杂的几何知识打下基础。 知识点梳理 【例6】公园里有一块平行四边形的空地，中间有一个 正方形水池（如图），计划在这块地的其余部分（涂色 部分）种植牡丹，每株牡丹占地1.2平方米，一共可以种植多少株牡丹？ 【分析】观察图形可知，涂色部分面积＝平行四边形面积－正方形面积；种植牡丹的数量＝涂色部分面积÷每株牡丹占地面积。平行四边形面积＝底×高，正方形面积＝边长×边长。 【详解】32×20－8×8 ＝640－64 ＝576（平方米） 576÷1.2＝480（株） 答：一共可以种植480株牡丹。 重难点题型精讲 【练6】如图所示为某广场的平面图，整个广场是一个 等腰梯形，中间有一条长150米、宽30米的橡胶骑行道， 空白区域计划种植观赏花卉。种植观赏花卉的面积是多少平方米？ 【分析】种植观赏花卉的面积＝梯形面积－长方形面积，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，长方形面积＝长×宽，据此列式解答。 【详解】（250＋300）×150÷2 ＝550×150÷2 ＝41250（平方米） 150×30＝4500（平方米） 41250－4500＝36750（平方米） 答：种植观赏花卉的面积是36750平方米。 变式巩固练习 知识点7 公顷、平方千米 7 公顷、平方千米 1、认识公顷 定义：边长是100米的正方形，它的面积就是1公顷。 换算关系：1公顷 = 10,000平方米。 生活实例：天安门广场的面积约44公顷；一间教室约50平方米，200间教室的面积大约是1公顷。这有助于学生建立“公顷”这个单位的实际大小概念。 知识点梳理 7 公顷、平方千米 2、认识平方千米 定义： 边长是1000米（即1千米）的正方形，它的面积就是1平方千米。 换算关系： 1平方千米 = 1,000,000平方米 1平方千米 = 100公顷 生活实例： 一个城市的面积、国家的国土面积通常用平方千米作单位。例如，故宫占地面积约72万平方米，即72公顷，远小于1平方千米。 知识点梳理 7 公顷、平方千米 3、面积单位的换算与应用 （1）换算方法 大单位化小单位： 乘以进率。例如，6平方千米 = 6 × 100 = 600公顷。 小单位化大单位： 除以进率。例如，30000平方米 = 30000 ÷ 10000 = 3公顷。 （2）选择合适的单位 较小面积： 如房间、桌面，用平方米 (m²)。 中等面积： 如操场、公园、校园，用公顷。 较大面积： 如城市、省份、国家，用平方千米 (km²)。 知识点梳理 7 公顷、平方千米 4、解决实际问题 （1）估算与验证 通过“到操场上走一走”来感受1公顷的大小，培养空间观念。 通过“东北虎栖息地”案例，判断“7000平方米”是否合理，引导学生结合常识进行逻辑推理。 （2）综合计算 例如，计算学校操场的面积，需要先测量长和宽，再根据单位大小决定用平方米还是公顷表示。 知识点梳理 【例7】“今冬麦盖三层被，来年枕着馒头睡”。张小 明家有一块三角形麦田如下图。如果每公顷麦田可以 收获6吨小麦，那么来年开春这块麦田可以收获多少吨小麦？ 【分析】根据三角形面积＝底×高÷2，计算出麦田面积，再根据1公顷＝10000平方米，统一单位。麦田公顷数×每公顷收获小麦吨数＝这块麦田可以收获的小麦吨数。 【详解】400×300÷2＝60000（平方米） 60000平方米＝6公顷 6×6＝36（吨） 答：来年开春这块麦田可以收获36吨小麦。 重难点题型精讲 【练7】一辆洒水车工作时每分行驶200米，洒水宽度 为10米。这辆洒水车行驶1时，洒水的面积是多少平方 米？合多少公顷？ 【分析】先算出洒水车1小时（也就是60分钟）行驶的长度，该长度和洒水宽度构成的长方形的面积就是洒水面积，最后进行单位的换算即可（从大单位往小单位化，除以进率）。 【详解】1时＝60分 200×60＝12000（米） 12000×10＝120000（平方米） 1公顷＝10000平方米 120000÷10000＝12（公顷） 答：这辆洒水车行驶1时，洒水的面积是120000平方米，合12公顷。 变式巩固练习 知识点8 成长的脚印 8 成长的脚印 1、估算不规则图形面积的核心方法 （1）方法一：数方格法（基础估算） 这是最直观的方法，适用于方格纸背景下的图形。 规则： 满格： 记为1格。 不满格： 通常有两种处理方式。 方式A（粗略）： 大于半格记为1，小于半格记为0（或舍去）。 方式B（常用）： 所有不满格都按半格（0.5）计算。 计算公式： 总面积 ≈ 满格数 + 不满格数÷ 2。 特点： 操作简单，但结果是一个近似值，存在一定误差。 知识点梳理 8 成长的脚印 （2）方法二：转化为基本图形法（整体估算） 操作： 观察不规则图形的整体轮廓，将其看作一个近似的规则图形（如长方形、梯形、三角形等）。 应用： 例如将脚印看作一个梯形，测量出近似的上底、下底和高，利用梯形面积公式计算。 特点： 速度快，适合对形状特征明显的图形进行快速估算，但准确度取决于转化的贴合程度。 （3）方法三：细分方格法（提高精度） 原理： 方格越小，边缘的误差就越小，估算结果越接近真实值。 操作： 将原来的大方格继续平均分成更小的方格（例如分成4份、16份等）。 知识点梳理 8 成长的脚印 案例解析： 教材中展示了将方格细分的过程。当方格边长从1cm变为0.5cm时，数出来的格子总数会增加，计算出的面积会更精确。 启示： 这是微积分思想的萌芽（极限思想），即分割得越细，近似值越趋近于真实值。 2、单位换算与比例关系 在“练一练”的第3题中，通过三个圆的对比，渗透了图形放大缩小与面积变化的关系。 情境分析： 图①：每格边长4cm。 图②：每格边长2cm。 图③：每格边长1cm。 知识点梳理 8 成长的脚印 发现规律： 虽然三个圆在纸面上看起来大小可能不同（或者占据的格数不同），但它们代表的实际物理尺寸是不同的。 如果三个圆在纸面上的直径所占格数相同（例如都占4格），那么： 图①直径 = 4×4=16 cm。 图②直径 = 4×2=8 cm。 图③直径 = 4×1=4 cm。 面积变化规律： 边长扩大几倍，面积会扩大倍数的平方。例如，图①的边长是图③的4倍，其面积则是图③的 42 =16 倍。 知识点梳理 8 成长的脚印 3、解决实际问题中的估算策略 根据需求选择精度： 如果只是大概了解（如买地毯估算用量），可以用“转化法”或“粗略数格法”。 如果需要较准确的数据（如科学记录），应采用“细分方格法”或更精细的数格规则。 知识点梳理 8 成长的脚印 误差分析： 明白估算结果只是一个范围或近似值，允许存在一定的偏差。例如教材中提到脚印面积在7cm2到20cm2之间，这就是一个合理的估计范围。 总结 本课不仅仅是教学生怎么算面积，更重要的是建立“化曲为直”、“化不规则为规则”的数学思想，以及理解“分割越细，精度越高”的极限思想雏形。 知识点梳理 【例8】估测图形的面积，下图涂色部分的面积 大约是( )平方厘米。 【分析】每个小方格的边长是3厘米，则每个小方格的面积是3×3＝9（平方厘米）；用数方格方法估算涂色部分面积，满格算1格，不满格按半格计算；用每个小方格的面积乘总格数，得到涂色部分的大约面积。 【详解】由图可知，涂色部分大约有24个满格，22个不满格。 24＋22÷2＝24＋11＝35（个） 3×3＝9（平方厘米） 9×35＝315（平方厘米） 因此，图中涂色部分的面积大约是315平方厘米。（答案不唯一，合理即可） 315 重难点题型精讲 【练8】中央广播电视总台发布2026年春晚主题“骐骥 驰骋”，饱含马到成功、前程似锦的美好寓意。请你估 一估图中春晚吉祥物的面积大约是( )cm2。（每个小 方格边长是1cm） 【分析】1个小方格的面积为1cm2，将马的尾巴和右边和左边突出的腿填到中间空白处，将“骐骥驰骋”的面积看成长方形，数一数长方形有几个格子就是几cm2。 【详解】 春晚吉祥物的面积大约是12cm2。 12 变式巩固练习 启发思维 快乐学习 $