第四单元 用字母表示（一）（单元复习课件）数学北师大版五年级上册（新教材）

该小学数学单元复习课件系统梳理了用字母表示数的核心内容，包括字母表示数量关系、规律及等式性质，通过“青蛙歌”“回声测距”等核心情境串联知识点，构建从具体到抽象的知识网络。 其亮点在于以情境驱动和问题解决为主线，如“青蛙歌”帮助理解字母表示变化量培养抽象能力，“回声测距”建模过程发展推理意识，分层设计的变式练习（如正六边形小棒规律题）兼顾不同学生，助力教师精准复习，提升学生知识应用能力。

单元复习课件 小学数学·五年级上册·北师大版 第四单元 用字母表示（一） 单元知识框架 01 知识点梳理 02 重难点题型精讲 03 变式巩固练习 04 单元知识框架 用字母表示（一） 1.青蛙歌 2.回声测距离 3.用字母表示数量关系 4.用字母表示规律 5.等式中的规律 为什么要用字母表示数？ 用字母表示数量关系（核心重点） 含字母式子的书写规范 字母表示数的应用拓展 总结 核心情境：回声测距模型 用字母表示常见数量关系 跨学科应用：温度转换公式 用字母表示常见的数量关系 用字母表示运算定律和公式 代数式的书写规范（重要考点） 数学思想的渗透：乘法分配律的几何意义 探索图形排列的规律 用字母表示通项公式（归纳法） 常见图形规律的拓展（练一练分析） 数学思想方法总结 等式的性质一：加减规律 等式的性质二：乘除规律 利用等式性质解决简单问题 数学文化与历史背景 单元知识框架 知识点1 青蛙歌 1 青蛙歌 1、为什么要用字母表示数？ 背景：在解决一些具有规律性或不确定性的问题时，用具体的数字无法涵盖所有情况。 作用：字母可以代表任意一个数，也可以代表一个变化的量。使用字母可以将复杂的数量关系简洁、概括地表达出来。 2、用字母表示数量关系（核心重点） （1）倍数关系（乘法模型） 当一个量是另一个量的几倍时，用乘法表示。 公式原型：总量=单个量×数量 （2）和差关系（加减法模型） 当一个量比另一个量多或少固定的数值时，用加减法表示。 公式原型：大数=小数+差或小数=大数−差 知识点梳理 1 青蛙歌 3、含字母式子的书写规范 （1）乘号省略：在含有字母的乘法式子中，乘号“× ”可以记作“•”或省略不写。例如 4×a写作4a 。 （2）数字在前：当数字与字母相乘时，数字通常写在字母前面（如4a 而不是a4 ）。 知识点梳理 1 青蛙歌 4、字母表示数的应用拓展 （1）表示计算公式： 如魔盒问题，输入x ，输出2x ，表示一种函数映射关系。 （2）表示生活规律： 时间规律：n 只手有5n 个手指。 周期规律： 哈雷彗星每76年出现一次，若上次是s年，下次则是s+76年。 几何规律： 摆三角形需要的小棒根数是三角形个数的3倍（3a）。 知识点梳理 1 青蛙歌 5、总结 （1）变：字母代表的数值是可以变化的（如青蛙可以是1只，也可以是100只）。 （2）不变：数量之间的关系是固定的（如腿永远是只数的4倍，妈妈永远比我大26岁）。掌握这一点，就掌握了代数的入门钥匙。 知识点梳理 【例1】下面用字母表示数的简便记法正确的是（ ）。 A．a＋b＝ab B．6÷a＝6a C．a•a＝2a D．a×b×5＝5ab 【分析】根据字母表示数的简化规则解答。 （1）加减法中字母相同且相同字母的指数也相同可合并； （2）数字×字母或字母×字母：数字在前，字母在后，省略乘号； （3）相同字母相乘：写成平方/立方形式； （4）除法中除号不能省略。 重难点题型精讲 【例1】下面用字母表示数的简便记法正确的是（ ）。 A．a＋b＝ab B．6÷a＝6a C．a•a＝2a D．a×b×5＝5ab 【详解】A．a＋b表示a和b相加，根据加法的意义，结果应为a＋b；而ab表示a乘b，两者不相等，A错误。 B．6÷a表示6除以a，即6÷a＝6÷a；6a表示6乘a，两者不相等，B错误。 C．a•a表示a乘a，根据乘法的意义，结果应为a2；2a表示2乘a，即a加a，两者不相等，C错误。 D．a×b×5中，数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，乘号可省略，因此a×b×5＝5ab，D正确。 D 重难点题型精讲 【练1】我们每76年才能见到一次的哈雷彗星，在公元x年出现后，再一次出现将是公元( )年。 【分析】用x加76即可求出再一次出现的时间。 【详解】x＋76＝（x＋76）年 所以再一次出现将是公元（x＋76）年。 x＋76 变式巩固练习 知识点2 回声测距离 2 回声测距离 1. 核心情境：回声测距模型 这是本课最典型的实际应用案例，重点在于理解“往返”运动中路程与时间的关系。 （1）物理背景 声速： 声音在空气中的传播速度约为340米/秒。 回声原理： 声音从发出到碰到障碍物反射回来被人听到，走过的路程是人与障碍物之间距离的2倍（去程 + 回程）。 知识点梳理 2 回声测距离 （2）数学建模（已知时间求距离） 问题： 听到回声用了t秒（教材中为4秒），求人到山的距离。 关键点： 声音走过的总路程 = 声速×总时间。但人到的距离只是单程。 公式推导： 方法一（先算单程时间）：距离=声速×(总时间÷2) 方法二（先算总路程再除以2）：距离=(声速×总时间)÷2 知识点梳理 2 回声测距离 （3）逆向思维（已知距离求时间） 问题：如果距离是s米，求听到回声的时间。 易错点辨析： 教材中展示了学生的错误想法（s÷340），这是因为忽略了回声是“往返”路程。 正确逻辑： 声音实际走过的路程是2s （去s + 回s ）。 公式：时间=总路程÷速度 - 代数表示：t=2s÷340 （或者化简为s÷170 ）。 知识点梳理 2 回声测距离 2、用字母表示常见数量关系 （1）单价、数量与总价 基本关系：总价=单价×数量 逆向应用（求单价）：公式：单价=总价÷数量 （2）速度、时间与路程 基本关系：路程=速度×时间 （3）倍数与差值关系 比多/比少： 姐姐比笑笑高30cm。若笑笑身高h ，则姐姐为h+30 。 倍数： 姚明的身高是妹妹的2倍。若妹妹身高a ，则姚明为2a 。 3、跨学科应用：温度转换公式 公式：华氏温度=摄氏温度×1.8+32 代数表示： 若摄氏温度为C ，华氏温度为F ，则F=1.8C+32 。 知识点梳理 【例2】每千克香菜a元，每千克白菜b元，买0.6千克香菜和2千克白菜共( )元。 【分析】根据总价＝单价×数量，分别列出0.6千克香菜的价格和2千克白菜的价格，再把两个价格相加即可； 【详解】0.6千克香菜的价格：0.6a 2千克白菜的价格：2b 即买0.6千克香菜和2千克白菜共（0.6a＋2b ）元 0.6a＋2b 重难点题型精讲 【练2】一件上衣a元，一条裤子b元，买3件上衣和5条裤子共需要( )元。 【分析】用上衣的数量3件乘一件上衣的价钱a元，即3a元就是买3件上衣需要的钱数，再用裤子的数量5条乘一条裤子的价钱b元，即5b元就是买5条裤子需要的钱数，再将买3件上衣需要的钱数3a元和5条裤子需要的钱数5b元相加即可。 【详解】由分析可知， 一件上衣a元，一条裤子b元，买3件上衣和5条裤子共需要（3a＋5b）元。 3a＋5b 变式巩固练习 知识点3 用字母表示数量关系 3 用字母表示数量关系 1、用字母表示常见的数量关系 （1）行程问题模型 以高铁行驶为例，建立速度、时间、路程三者关系的代数模型： 求路程：s=vt （路程 = 速度×时间） 求速度：v=s÷t （速度= 路程÷时间） 拓展（求时间）： 虽然图中未直接写出，但根据逻辑可推导出t=s÷v 。 （2）价格问题模型（练习中出现） 求总价：总价=单价×数量 （如：买b支笔，单价a元，总价x=ab ） 求剩余量：剩余=总量−支出 （如：有20元，花去a元，剩20−a 元） 知识点梳理 3 用字母表示数量关系 2、用字母表示运算定律和公式 （1）运算定律 加法交换律：a+b=b+a 乘法交换律：a×b=b×a 注： 还有结合律、分配律等均可用此方式表示。 （2）几何图形公式 正方形周长：C=4a （边长为a ） 正方形面积：S=a×a 长方形面积：S=ab （长为a ，宽为b） 知识点梳理 3 用字母表示数量关系 3、代数式的书写规范（重要考点） （1）乘号省略： 数字与字母相乘、字母与字母相乘时，乘号“× ”可以记作“•”或省略不写。 （2）数字在前：当数字与字母相乘省略乘号时，数字必须写在字母前面。 例：a×4 应写作 4a，不能写作a4 。 （3）平方的写法： 当两个相同的字母相乘时，可以写成平方的形式。 例：a×a 写作a2，读作“a的平方”，表示2个a相乘。 辨析：a2 与 2a不同，2a表示 a+a或 2×a。 知识点梳理 3 用字母表示数量关系 4、数学思想的渗透：乘法分配律的几何意义 分着算： 甲的面积 (ac ) + 乙的面积 (bc ) =ac+bc 合着算： 总长 (a+b )× 宽 (c ) = (a+b)c 结论：(a+b)c=ac+bc 。这种“数形结合”的方法有助于学生深刻理解代数公式的来源。 知识点梳理 【例3】r2表示（ ）。 A．r×r B．r×2 C．r＋2 D．r＋r 【分析】r2表示r的平方，即2个r相乘，r×r，据此解答。 【详解】r2表示r×r。 故答案为：A A 重难点题型精讲 【练3】中国传统建筑中，窗棂图案常蕴含几何之美。一个正方形窗棂的边长是a分米，它的周长是( )分米，面积是( )平方分米。 【分析】正方形的周长＝边长×4 正方形的面积＝边长×边长 【详解】周长：a×4＝4a（分米） 面积：a×a＝a2（平方分米） 4a a2 变式巩固练习 知识点4 用字母表示规律 4 用字母表示规律 1、探索图形排列的规律 （1）观察方法 数形结合： 将图形的形状变化转化为数字序列。 多角度分析： 同一个规律可以从不同角度理解。 （2）列表找规律 利用表格整理数据，使规律更清晰。 横轴/纵轴对应： 一列表示“图案序号”（n），一列表示“三角形个数”。 发现关系： 通过对比两行数据，发现“三角形个数”总是“图案序号”的3倍。 知识点梳理 4 用字母表示规律 2、用字母表示通项公式（归纳法） （1）建立模型，具体到抽象： 第1个：1×3 第2个：2×3 第3个：3×3 …… 第n个：n×3 书写规范： 根据代数式书写习惯，n×3 通常简写为3n 。这里的n代表任意的自然数（图案的序号）。 （2）预测与验证 应用公式： 利用得出的公式3n ，可以直接计算任意序号对应的数量，无需逐个去数。 知识点梳理 4 用字母表示规律 3、常见图形规律的拓展（练一练分析） （1）“大门”模型（线性增长） 观察： 第1个用5个正方形，第2个用8个正方形。 规律分析： 每次增加3个正方形（上面加1个，两边各加1个，或者理解为每多一个门框多3块）。 公式推导：基础数是2（最上面横梁），每多一个门加3。 或者看作首项是5，公差是3的等差数列。 通项公式：3n+2 （n为门的个数）。 （2）“长方形”模型（面积/乘积规律） 观察： 第1个是1×2 ，第2个是2×2 ，第3个是3×2 。 规律分析： 高度固定为2，宽度随序号n 增加。 公式推导： 小正方形总数 = 长× 宽 = 2×n=2n 。 知识点梳理 4 用字母表示规律 4、数学思想方法总结 （1）归纳推理： 从有限的几个特例（第1、2、3个）出发，推导出适用于所有情况的一般性结论（第n 个）。 （2）符号化思想：体会到用字母n 表示数的优越性——它可以代表无限多个具体的数，简洁地表达了变量之间的函数关系。 知识点梳理 【例4】如下图，一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样下去，13张桌子并起来可以坐( )人；如果一共有42人，需要像这样并( )张桌子才能坐下。 【分析】观察图形可知：一张桌子坐6人，6＝4×1＋2； 两张桌子并起来坐10人，10＝4×2＋2； 三张桌子并起来坐14人，14＝4×3＋2； …… 规律：几张桌子并成一排，可以坐的人数为：4×桌子张数＋2； 据此规律解答。 重难点题型精讲 【例4】如下图，一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样下去，13张桌子并起来可以坐( )人；如果一共有42人，需要像这样并( )张桌子才能坐下。 【详解】13张桌子可以坐的人数为：4×13＋2＝52＋2＝54（人）； 一共有42人，那么42先减去左右两侧的2人，再用余下的人数除以4，列式为：（42－2）÷4＝40÷4＝10（张）。 54 10 重难点题型精讲 【练4】 仔细观察欢欢摆出的图形，摆一个正六边形要6根小棒，摆2个正六边形要11根小棒，按照这样的方式继续摆，摆4个正六边形要( )根小棒，216根小棒能摆( )个正六边形。 【分析】第一个图形有1个正六边形需要6根小棒，第二个图形有2个正六边形需要6＋5＝11根小棒，第三个图形有3个正六边形需要6＋5＋5＝16根小棒……每增加一个正六边形，小棒的数量就增加了5根，据此计算出摆4个正六边形需要的小棒数量； 由上述内容可知：摆n个正六边形，则需要6＋5（n－1）根小棒，也就是5n＋1根小棒。现在有101根小棒，也就是5n＋1＝216，求出n即可。 变式巩固练习 【练4】 仔细观察欢欢摆出的图形，摆一个正六边形要6根小棒，摆2个正六边形要11根小棒，按照这样的方式继续摆，摆4个正六边形要( )根小棒，216根小棒能摆( )个正六边形。 【详解】由分析可知，摆4个正六边形需要小棒数量： 6＋5＋5＋5＝11＋5＋5＝16＋5＝21（根） 假设摆n个六边形，需要216根小棒，可得： 6＋5（n－1）＝5n＋1＝216 n＝（216－1）÷5 ＝215÷5 ＝43（个） 21 43 变式巩固练习 知识点5 等式中的规律 5 等式中的规律 1、等式的性质一：加减规律 （1）加法性质 现象：天平原本平衡，如果在左右两边同时加上相同质量的物体，天平依然保持平衡。 数学表达： 如果a=b ，那么a+c=b+c 。 结论：等式两边都加上同一个数，等式仍然成立。 （2）减法性质 现象：天平原本平衡，如果在左右两边同时拿走相同质量的物体，天平依然保持平衡。 数学表达：如果a=b ，那么a−c=b−c 。 结论：等式两边都减去同一个数，等式仍然成立。 知识点梳理 5 等式中的规律 2、等式的性质二：乘除规律 （1）乘法性质 现象：天平左边有1个x 克物体，右边有20克砝码（x=20 ）。如果左边变成2个x ，右边变成2个20克，天平依然平衡。 数学表达：10×2=20→10×2×2=20×2 。 结论：等式两边都乘同一个数，等式仍然成立。 （2）除法性质 现象：天平左边有2个x 克物体，右边有40克砝码（2x=40 ）。如果两边都平均分成2份，取其中一份（即各除以2），天平依然平衡。 关键限制：教材特别强调了“除以同一个不为0的数”。因为0不能作除数，这是数学运算的铁律。 结论：等式两边都除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 知识点梳理 5 等式中的规律 3、利用等式性质解决简单问题 观察与推理 情境：天平左边是1个鸡蛋（设为x ）+ 50g砝码，右边是100g + 20g + 10g 砝码。 过程： 先算出右边的总质量：50+20+10=80 （g）。此时等式为：x+50=80 。 为了求出x ，根据“等式两边都减去同一个数，等式成立”的性质，两边同时减去50g。 计算：80−50=30 （g）。 结果：鸡蛋的质量是30克。 知识点梳理 5 等式中的规律 4、数学文化与历史背景 教材最后的“你知道吗”栏目介绍了未知数表示法的历史演变，拓展了学生的视野： 古希腊： 丢番图在《算术》中首次使用希腊字母表示未知数。 中国古代： 宋元时期的“天元术”（李冶《测圆海镜》）用“天元”表示未知数。 现代通用： 1637年，笛卡儿在《几何学》中首次提倡用字母表末尾的字母x，y，z 表示未知数，这一习惯沿用至今。 知识点梳理 【例5】已知a＝3b，x÷2＝y，根据等式的性质在括号里填上合适的数。 a＋3＝3b＋( ) 2a＝( )×b ( )×y＝3x 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式的性质2：等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立。 【详解】已知a＝3b，等式左边加上3，为了使等式仍然成立，等式右边也需要加3，即a＋3＝3b＋3； 已知a＝3b，等式左边乘2，为了使等式仍然成立，等式右边也需要乘2，即2a＝3b×2＝6b； 已知x÷2＝y，根据被除数÷除数＝商，则被除数＝除数×商，则2y＝x，等式右边乘3，为了使等式仍然成立，等式左边也需要乘3，即2y×3＝3x，则6y＝3x 3 6 6 重难点题型精讲 【练5】已知A＋B＝13，B＋C＝26，A＋C＝39，那么A＋B＋C＝( )。 【分析】把三个已知等式左右两边分别相加，得到2倍的A＋B＋C，再除以2即可求出A＋B＋C的值。 【详解】将三个等式左右两边分别相加，得到： （A＋B）＋（B＋C）＋（A＋C）＝13＋26＋39 A＋B＋B＋C＋A＋C＝13＋26＋39 2A＋2B＋2C＝78 2（A＋B＋C）＝78 2（A＋B＋C）÷2＝78÷2 A＋B＋C＝39 39 变式巩固练习 启发思维 快乐学习 $