13.3 三角形的内角与外角新课预习2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以三角形内角和与外角性质为核心，通过多方法证明、折叠与实际情境问题，系统构建"概念推导-性质应用-综合迁移"的逻辑体系，培养几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-5、填空9-12|内角和定理直接应用、外角性质转化|从内角和180°推导外角等于不相邻内角和，形成概念-性质链条| |综合证明|单选6、解答15/18|辅助线作法（平行线、连线）、多证法对比|通过不同辅助线构建平角或同旁内角，深化定理证明逻辑| |实际情境|单选8、填空13|折叠对称转化、模型角度计算|将折叠、躺椅调节等实际问题抽象为三角形角度关系，体现应用意识|

13.3 三角形的内角与外角 新课预习2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则（    ）． A． B． C． D． 2．下列条件中，能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在五角星ABCDE中，（    ） A． B． C． D． 4．下列命题中，是真命题的是（   ） A．若，则 B．两直线平行，同旁内角相等 C．直角三角形的两锐角互余 D．若，则 5．如图，在中，，把沿边上的高所在的直线翻折，点落在边的延长线上的点处，如果，则的度数为(    ) A． B． C． D． 6．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 7．如图，在中，是和的平分线的交点．若，则（   ） A． B． C． D． 8．如图是某种可调节躺椅的示意图，与的交点为，按规定，，时才合格．而且为了舒适，可以根据需求调整大小，调整时，，保持不变．嘉琪躺在躺椅上时，测得，，关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：该躺椅合格； 结论Ⅱ：若的度数减少，的度数会增加． A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 二、填空题 9．如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则___________°． 10．如图，直角三角形卡纸，将纸片沿折叠，若，则的度数为___________ 11．如图，的度数为______． 12．如图，，，为三角形的内角，求：_______． 13．中，是锐角，与的平分线交于点D，过A作交的延长线于点E．当是直角三角形，且与中有一个锐角相等时，的度数是________． 三、解答题 14．在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数． 15．用两种方法证明“三角形的内角和等于”. 已知：，，是的三个内角.求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 16．如图，，平分，平分，．求的度数． 17．综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数； (2)【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数； (3)【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系． 18．用三种不同的方法求图中五角星形的度数． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C C A C D C 1．【答案】B 【知识点】两直线平行同位角相等、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，，根据三角形内角和定理计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ，， ， 故选： B． 2．【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，也考查了直角三角形的定义． 根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断． 【详解】解：A、，而， 则，所以A选项错误； B、，而， 则，不能确定为直角三角形，所以B选项错误； C、，而，则，所以C选项错误； D、，而， 则，所以D选项正确． 故选：D． 3．【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【详解】解：如图，， ∵， ∴. 4．【答案】C 【知识点】两直线平行同旁内角互补、等式的性质2、直角三角形的两个锐角互余、判断命题真假 【分析】本题考查判断命题的真假，根据等式的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，原命题为假命题，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，原命题为假命题，不符合题意； C、直角三角形的两锐角互余，原命题为真命题，符合题意； D、若，则，原命题为假命题，不符合题意； 故选：C． 5．【答案】A 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】根据题意画出图形，如图所示，由折叠可得，再由三角形内角和定理可得，从而根据求出答案． 【详解】解：把沿边上的高所在的直线翻折后如图所示， 由折叠可知， 则由三角形内角和定理可得， 又， ∴． 6．【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 7．【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查角平分线的定义及三角形的内角和，熟练掌握角平分线的定义及三角形的内角和是解题的关键．根据题意易得，，然后根据三角形内角和可求解． 【详解】解： 是和的平分线的交点， ，， ， ， ，， ， ， 故选：D． 8．【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键． 根据三角形内角和定理和三角形外角的性质逐项判断即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ，， ， 按规定，，， ， 该躺椅不合格， 故结论Ⅰ不正确； ， ， 若的度数减少，的度数也会减少， 故结论Ⅱ不正确； 综上，结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 故选：C ． 9．【答案】57 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：57． 10．【答案】/38度 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了三角形折叠问题和三角形内角和，解题关键是根据折叠得出角相等，利用三角形内角和求解．由题意得，由折叠得，那么，故，进而推断出，从而求得． 【详解】解：由题意得：， 由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．【答案】/100度 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查的是三角形的外角的定义和性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和求解即可． 【详解】解： 故答案为： 12．【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形内角和定理的证明 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 13．【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查直角三角形的性质，画出图形并熟练运用角平分线的定义是本题的关键．根据题意，画出°和两种三角形，利用角平分线的定义表示出相关角的数量关系，设，每个图形分两种情况讨论，根据三角形外角的性质表示出，列方程求出x的值，即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当时， 设，则， 与的平分线交于点D， ，， ①当时， ， ； ②当时， ，， ， ， ； 如图2所示，当时， 设，则， 与的平分线交于点D， ，， ， ， ， ， ； 综上，或． 故答案为：或． 14．【答案】 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了图形的对折，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 根据折叠的性质，找到相等的角，然后利用平角的定义计算即可； 【详解】解：由题意知：， ， ， ． 15．【答案】证法1：；； 证法2：如图，过点作，     ， ，，     ，     . 【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 证法1中，利用两直线平行，内错角相等，同旁内角互补求证；证法2中，利用两直线平行内错角相等，构造一个平角求证． 【详解】证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 证法2：略 16．【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 如图，连接，首先根据三角形内角和定理求出，然后结合平行线的性质得到，然后利用角平分线的概念得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分，平分， ∴， ∴ ∴ ∴． 17．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，又根据，可得，由此可求得； （2）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，由三角形内角和定理求得，再根据，利用直角三角形两锐角互余，即可求得； （3）同理，根据三角形内角和定理和平分，得到，，再结合，利用直角三角形两锐角互余，即可求得． 【详解】（1）解：在中，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． （2）解：在中，， ， 平分.， ， 在中，， ， ， ， ． （3）解：在中，， 平分， ， 在中 ， ， . 18．【答案】见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质； 解法一：如图①，证明，．结合，即可得到答案； 解法二：如图②，作射线，同理可得：，结合，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； 解法三：如图③，连接，证明，结合，进一步可得答案． 【详解】解法一：如图①， ，分别是，的外角， ，． 在中，， ． 即．   解法二：如图②，作射线， 同理可得：， ∵， ∴， 又， ．   解法三：如图③，连接， 在中，， 在中，， ， ． 在中，， ， ， 即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $