13.3 三角形的内角与外角课前预习2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以三角形内角和定理为核心，通过证明方法辨析、性质综合应用及跨情境拓展，构建“定理推导-性质迁移-实际应用”的逻辑体系，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础证明与判断|单选1-4、解答14|辅助线构造（平行线/延长线）、内角和定理推导|从公理推论出发，通过拼接/辅助线转化角，建立证明逻辑| |性质应用与计算|单选5-7、填空9-11、解答15-16|外角性质、角平分线与内角和结合、折叠对称对应角|内角和与外角性质联动，结合平行线/直角三角形进行角度转化| |综合拓展与跨情境|单选8、填空12-13、解答17-18|跨学科建模（光反射/凸透镜）、多条件角度关系推导|将内角和定理迁移至物理情境，通过多线/多角关系培养推理意识|

13.3 三角形的内角与外角 课前预习2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 3．如图，在中，，是的角平分线且，相交于点O，，求的度数（    ） A． B． C． D． 4．下列条件中，能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，，直线a平移后得到直线b，则的度数比的度数大（    ） A． B． C． D． 6．如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．中，各角的度数有下列关系：，则一定是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 8．在探究“进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系”为主题的项目式学习中，创新小组将两块平面镜竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为，在同一平面内，用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，入射光线与反射光线形成的夹角为，如图所示，根据光的反射原理可知，，则与的数量关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的值为______． 10．如图1，点分别在长方形纸片的边上，与所夹的锐角，将纸片沿折叠得到图2，点落到点处；点在边上，沿进行第二次折叠得到图3，点的对称点恰好落在上，则与的夹角的度数为_______． 11．把一块三角板和直尺如图所示放置，，则______．    12．如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了_________． 13．如图，三角形ABC中，D是AB上一点，F是BC上一点，E，H是AC上的点，EF的延长线交AB的延长线于点G，连接DE，DH，DE∥BC．若∠CEF＝∠CHD，∠EFC＝∠ADH，∠CEF：∠EFC＝5：2，∠C＝47°，则∠ADE的度数为__． 三、解答题 14．我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 15．在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数． 16．如图，在中，是边上的高，平分交边于E，，．求的度数． 17．如图，，分别平分，，它们交于点，求证：． 18．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D D C B C D 1．【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 2．【答案】B 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算． 【详解】解：∵，是的角平分线， ， ． ， ． 4．【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，也考查了直角三角形的定义． 根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断． 【详解】解：A、，而， 则，所以A选项错误； B、，而， 则，不能确定为直角三角形，所以B选项错误； C、，而，则，所以C选项错误； D、，而， 则，所以D选项正确． 故选：D． 5．【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、利用平移的性质求解 【分析】由对顶角相等可得，由平移的性质可得，从而得出，由三角形外角的定义及性质可得，即可得出结果． 【详解】解：如图： 由对顶角相等可得， ∵直线a平移后得到直线b， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．【答案】B 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得，，， ∴，， ， ∴ ， ∴． 7．【答案】C 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】设，利用三角形内角和定理求出三个内角的度数，即可判断三角形类型． 【详解】解：设， ， ，， ， 解得：， ，最大角为钝角， 是钝角三角形． 8．【答案】D 【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平面镜反射定律的应用，掌握平面镜反射定律中反射角等于入射角是解题的关键． 根据平面镜的反射定律及三角形内角和定理验证即可． 【详解】解：，， ∴， 同理：， ∴， ，， ， 即， ， 故选：D． 9．【答案】/65度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角、邻补角，三角形外角的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，根据对顶角相等求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．【答案】/40度 【知识点】三角形折叠中的角度问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键． 过点 作 ，则，，由折叠得，，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，过点 作， ∴，由折叠得 ， 由折叠可得， ， ∴ ， 故答案为：． 11．【答案】/度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，能求出的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等． 根据三角形的外角的性质证得：，再根据平行线的性质得到即可得到结论． 【详解】解：， 直尺的两对边平行， ， 故答案为：．    12．【答案】三角形内角和等于180° 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答． 【详解】解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向， ∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数， ∴旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C， ∵笔尖方向变为点B到点A的方向， ∴旋转角度之和为180°， ∴这种变化说明三角形内角和等于180°． 故答案为：三角形内角和等于180°． 【点睛】本题考查了平角的性质，三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键． 13．【答案】76° 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和解答即可． 【详解】解：∵∠CEF＝∠CHD， ∴DH∥GE， ∴∠ADH＝∠G， ∵∠EFC＝∠ADH， ∵∠BFG＝∠EFC， ∴∠G＝∠BFG， ∴∠ABC＝∠G+∠BFG＝2∠EFC， ∵∠CEF：∠EFC＝5：2，∠C＝47°， ∴∠EFC＝38°， ∴∠ABC＝76°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC＝76°， 故答案为：76°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键． 14．【答案】(1) (2)三角形内角和为； (3) 延长，过点C作，如图所示： ∴， ∵， ∴． 【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】题目主要考查证明三角形内角和定理及平行线的性质，理解题意是解题关键． （1）根据图形直接写出结果即可； （2）根据（1）写出猜想即可； （3）根据题意，延长，过点C作，然后利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：通过、、的拼接，发现； （2）猜想：三角形内角和为； （3）略 15．【答案】 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了图形的对折，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 根据折叠的性质，找到相等的角，然后利用平角的定义计算即可； 【详解】解：由题意知：， ， ， ． 16．【答案】的度数为． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义，由平分交边于，得，再根据三角形内角和定理得，又，则，最后由直角三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵平分交边于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 17．【答案】见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】延长交于点，设，，利用三角形外角的性质求出，可得，同理求出，进而可得结论． 【详解】证明：如图，延长交于点， 设，， ∴， ， 同理可得， ， ． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角的和差计算，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键． 18．【答案】(1) (2) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形内角和、角平分线与高的性质，运用角度转化思想，关键是利用内角和及角平分线定义推导角度，易错点为角平分线分割角度时的比例错误； （1）先求，再由角平分线和高的性质推导； （2）先求，再由三角形内角和求． 【详解】（1）解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， （2）， ， 、是角平分线， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $