专题02 三角形的内角与外角（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以“定理证明-性质应用-综合拓展”为主线，系统构建三角形内角与外角的解题方法体系，强化逻辑推理与模型应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|7类题型，21道典例|辅助线添加（作平行线/延长线）、角度转化（等量代换/外角性质）、折叠轴对称性质、角平分线模型|从内角和定理证明（概念生成）到与平行线/角平分线结合（原理推导），再到折叠/实际应用（如日晷、潜望镜）及内外角综合（拓展延伸）|

专题02 三角形的内角与外角 常考题型·精准突破 题型1 三角形内角和定理的证明（重） 题型2 与平行线有关的三角形内角和问题（重） 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题（高频） 题型4 与三角形折叠中的角度问题（难） 题型5 三角形内角和定理的应用（重） 题型6 三角形的外角的定义与性质（高频） 题型7 三角形内角和与外角和综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1三角形内角和定理的证明 1．（25-26七年级下·广东佛山·期末）学习完七年级下册第86页“三角形内角和定理”后，小华发现：不通过撕、拼的方法，而是在的顶点处，通过尺规作图添加适当辅助线，也可说明 (1)请在图中用尺规作图作出所需辅助线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据所作辅助线，完成下面的证明过程． 如图，在中，过点作直线， 根据_____________________________ 得到_________，_________， 根据平角定义，___________________________， 因此，，即． 【答案】(1)如图所示，直线即为所求 (2)如图，在中，过点作直线， 根据两直线平行，内错角相等， 得到，， 根据平角定义，． 因此，，即 【分析】（1）根据作一个角等于已知角，作出辅助线即可； （2）利用平行线的性质及平角的定义可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）问题解决 问题 三角形内角和为什么等于 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于呢？    思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角呢？ 尝试思考 请过三角形的顶点A添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和等于．要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述．    逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点（不与点、重合）．如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”．    (1)完成“尝试思考”中的操作与描述； 方法一：如图2，延长至点，过点作___________、利用平行线的性质得到即可求解． 方法二：如图3，过点作，利用平行线的性质得到___________． 再利用平角定义和等量代换可得结论：_________．    (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下： (3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4画出图形，写出证明过程）    【答案】(1)． ，内角和为． (2)选择图2，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； 选择图3，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； (3)证明：过点作交于点，过点作交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴ 即内角和为． 【分析】（1）方法一：过点A作，利用平行线的性质得到，即可求解． 方法二：过点A作，利用平行线的性质得到，，再利用平角定义和等量代换可得结论； （2）根据平行线的性质进行证明即可； （3）过点作交于点，过点作交于点，由两直线平行，同位角相等，内错角相等易证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 3．（25-26七年级下·河南郑州·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（依据是：______） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系； 【学以致用】 (3)如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；； (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）由平行线的判定和性质，可得，，等量代换即可得，，这三个角的关系； （3）作，，由平行线的性质可得，，据此计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 即； （3）解：如图，作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 作，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴． ◆题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 4．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 【答案】57 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：57． 5．（25-26七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． 根据题意得，得到，得出，继而得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：平分， ， ∵， ，， 平分， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 故答案为：，． 6．（25-26七年级下·河北廊坊·月考）已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，等量代换得到，由内错角相等，两直线平行即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形内角和定理即可求解； （3）根据两直线平行，同旁内角互补得到，结合角平分线的定义得到，，由此即可求解． 【详解】（1）解：平分， ． ， ， ： （2）解：平分，， ， ， ； （3）证明：由得， ， 平分平分， ， ， ． ◆题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 7．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在△中，点是内部的平分线上一点，连接，点是、平分线的交点，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线，掌握相关知识是解题的关键．先求出的度数，进一步得到的度数，据此得到的度数，最后根据角平分线的定义即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵点是、平分线的交点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵点是内部的平分线上一点， ∴． 故答案为： 8．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，已知中，与，相邻的外角的角平分线交于点D，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了三角形外角的性质与角平分线的定义，解题的关键是利用三角形内角和及外角和的关系，结合角平分线表示出相关角的度数． 先根据三角形外角的性质，用表示出与的外角和；再结合角平分线的定义，求出所在三角形的内角和，进而得出的度数． 【详解】解：在中，， 故 ∴， ∵是外角平分线，， ∴， 故． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． 利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，从而可得，代入数据可得：，根据角平分线定义，得出，，然后利用“8字形”的关系式结合角平分线列式整理即可得解． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：． ◆题型4 与三角形折叠中的角度问题 10．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，、的平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．由折叠的性质可知，，，则，从而得出，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ，， ， ， ， ， ， ， 、的平分线交于点P， ，， ， ， 故答案为：． 11．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，有一张三角形纸片ABC，，，D是AB边上的固定点（）．E为BC上一点，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），使点B落在点F处，EF与三角形ABC的一边平行．此时的度数为 ． 【答案】或或 【分析】此题考查的是翻折变换和平行线的性质，掌握其性质是解决此题的关键． 分三种情况：①当时，②当时，，③当时，，根据折叠性质、平行线的性质即可解决问题． 【详解】解：分三种情况讨论： ①如图①，当时， 由折叠可知，，． ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图②，当，且点F在BC上面时，， ∴； ③如图③，当，且点F在BC下面时，， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的意义，渗透整体思想，掌握三角形的内角和是解决问题的关键． （1）直接利用三角形的内角和求得答案即可； （2）根据三角形的内角和等于求出，再根据翻折变换的性质可得． ，然后利用平角等于列式计算即可得解． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 由题意，得， ． ◆题型5 三角形内角和定理的应用 13．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，将一副分别含，角的直角三角板叠放在一起，角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果，那么为 度． 【答案】100 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据平角的定义，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：100． 14．（25-26八年级上·广西崇左·月考）赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座、晷面、晷针三部分组成，其中底座面与日晷所处地地球半径垂直： 如图2，日晷所处纬度为，若太阳光（平行光）与日晷底座夹角为，则太阳光和该晷面所夹锐角角度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和、对顶角、平行线的性质及垂线的定义，熟练掌握三角形内角和、对顶角、平行线的性质及垂线的定义是解题的关键；设晷面与太阳光交于点A，延长交于E，日晷底座为，点N在的延长线上，由题意易得，，然后根据三角形内角和及对顶角相等可进行求解． 【详解】解：如图2，晷面与太阳光交于点A，延长交于E，日晷底座为，点N在的延长线上， 由题意得：， ∵晷面与赤道平行， ∴， ∵日晷底座与日晷所处地地球半径垂直， ∴， ∴， ∴， ∴， 即太阳光与该晷面所夹锐角角度为， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角，反射角入射角i，这就是光的反射定律．一束光线m射到平面镜上，被反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜所夹的锐角为和． (1)实验证明，，请你用数学知识解释这一结论成立的原因：_____________．利用这个规律人们制作了潜望镜． 图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线沿直线m进入潜望镜，最后沿直线n射出，求证：． (2)显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变． 如图3，一束光线m射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线n和光线m平行，且，则______°，______°． (3)请你猜想：图3中，当两平面镜、的夹角______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜、的两次反射后，与反射光线n平行． 【答案】(1)①等角的余角相等；②见解析 (2)96，90 (3)90，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）①由垂直得到，则，即可由等角的余角相等得到； ②先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得证； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （3）先根据平行线的性质可得，从而可得，据此可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴（等角的余角相等）， 故答案为：等角的余角相等； ②证明：∵， ， ，， ， ，即， ∴． （2）解：由题意得，，， ， ∵， ， ， ， 故答案为：96，90． （3）解：当时，可以使任何入射光线经过平面镜、的两次反射后，与反射光线平行，理由如下： 由题意可知，，， ∵， ， ， ∴， ，即， ， 故答案为：90． ◆题型6 三角形的外角的定义与性质 16．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，点D在线段的延长线上，平分，若，，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质． 由平行线的性质得，由角平分线的定义得，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，，的延长线交于，交于，若，，，则 度． 【答案】/度 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． 根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中，， 即， 解得． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，与是的外角，，，若，则 ．（用含、的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，结合三角形内角和定理可得，再求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵与是的外角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． ◆题型7 三角形内角和与外角和综合问题 19．（25-26八年级上·河北衡水·期中）在中，D是边上的一点，，，． (1)求的度数； (2)若，，试用a、b表示的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，等角对等边，掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）利用外角性质用表示出，由三角形内角和定理得出的度数，由此得出结论． （2）先求出，利用等角对等边求出，即可求出的周长． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为：． 20．（25-26八年级上·江西上饶·月考）如图1，点，分别在射线，上运动（不与点重合），，分别是和的平分线，延长交于点． (1)若，求的度数； (2)如图2，若，过点作交于点，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质和内角和定理，熟练应用三角形外角性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，再根据三角形的外角性质求出的度数； （2）根据角平分线的定义得到，再根据三角形的外角性质求出，根据平行线的性质得到，进而得到． 【详解】（1）解：， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ． （2）， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ， 故与的数量关系为． 21．（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)正确的结论是①，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为定值，①正确，其值是． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·广东佛山·期中）在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算求解． 【详解】解：∵在中， ∴直角三角形两锐角和为，即 又∵ ∴ ． 2．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义得出，最后代入计算即可． 【详解】解：在中，， ， ，， ，， ， ． 3．（25-26七年级下·江西吉安·期末）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线性质和三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：延长交于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·北京·期末）如图所示是地球截面图，其中，分别表示南回归线和北回归线，表示赤道，点表示某市的位置，现已知地球南回归线的纬度是（），该市的纬度是北纬（），而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线的延长线经过地心），则该市冬至正午时，太阳光线与地面水平线的夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与交于点，先计算的度数，再利用三角形内角和定理及平行线的性质求解． 【详解】解：设与交于点， ∵，， ∴， ∵为地面水平线， ∴，即， 在中，， ∵太阳光线平行，即， ∴． 故选：C． 5．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）如图，在三角形纸片中，，，点在上且．若在上找一点，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好与三角形的一边平行，则满足所有平行条件的度数为（     ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】分时和时两种情况，再结合平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和性质，列式计算即可． 【详解】解：当时，如图，则， 由折叠性质得：， ， 则 当时，如图，则， 由折叠性质得：，， ∴ ∵ ∴ 当时，如图，则， ， ∴ 综上，的度数为或或 二、填空题 6．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，，点在的延长线上，，则_____． 【答案】 【分析】利用三角形外角性质直接算出答案． 【详解】解：， ． 7．（25-26七年级下·四川宜宾·期末）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．若和都是“倍角三角形”，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出，由折叠的性质得到，则可推出；当是“倍角三角形”时，只存在或这两种情况，据此根据，求出的度数，进而求出的度数，进一步求出的度数，再验证是否为“倍角三角形”即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴； 在中，， ∴当是“倍角三角形”时，只存在或这两种情况， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴此时不是“倍角三角形”，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时是“倍角三角形”，符合题意； 综上所述，． 8．（25-26七年级下·江西鹰潭·期末）如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为________． 【答案】或或 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，分三种情况根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 当时，如图，延长交于点G， 可知， ∴， ∴； 当时，如图， 可知， ∴； 当时，如图， 可知， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或或． 9．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）定义：有两个内角的差为的三角形叫作“反直角三角形”，在中，，点为直线上一点，若为“反直角三角形”，则的度数为__________． 【答案】或或或 【分析】求出，分三种情况进行解答即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 当点为线段上一点，，设，，则， ∴， 根据定义分情况讨论： ①若，则， ∴，符合题意； ②若，则，不符合点P在线段上的条件，舍去； ③若，则， 代入得到， 解得， ∴，符合题意； ④若，则， 代入得到，解得，不符合题意； 当点在线段的延长线上，即点P在点右侧时，，同理可得，，其中设，，分情况讨论： ①若，则 ∴，符合题意； ②若，则代入得到，解得，， ∴，符合题意； ③其余情况均得到负角度或，不合题意，舍去， 当点在线段的延长线上，即点P在点左侧时，， ∴其余两个内角和为，最大内角为， 若，解得，，不可能存在，其余情况内角差不可能达到，故此情况无符合条件的解， 综上，的度数为或或或． 10．（25-26七年级下·天津河东·期末）如图1光线照射到镜面会产生反射现象，当光线从入射到平面镜上时沿反射出去，其中经过入射点且垂直于反射面的直线称为法线，根据光线反射规律可以得到． （I）若，则________度； （II）如图2，，为两面有一定夹角的平面镜，当光线平行于镜面入射时，在点、、处经过三次平面镜反射后沿射出，若，________度． 【答案】 【分析】（I）利用互余关系求出的度数，即可得出结果； （II）设，根据反射规律，平行线的性质，三角形的内角和定理推出，进行求解即可. 【详解】解：（I）由题意，， ∴， ∴； （II）设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 即. 三、解答题 11．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)证明见解析 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】（1）解：能证明“三角形内角和是”的方法是①②③； （2）解：①∵， ∴，， ∵， ∴， 故①能证明“三角形内角和是”； ②∵， ∴，， ∵， ∴， 故②能证明“三角形内角和是”； ③∵，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 故③能证明“三角形内角和是”； ④∵， ∴， 故④不能证明“三角形内角和是”． 12．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）是锐角三角形，点D在线段上，交于点E，点F 在线段上（点F不与点A，E，B重合），连接，过点F作交射线于点G（点G不与点B重合） (1)如图1，当点F 在线段上时，，求的度数； (2)当点F 在线段上时，请在备用图中探究下列问题： ①直接写出与之间满足的数量关系 ； ②若与的角平分线所在直线相交于点P，请画出符合条件的图形，并尝试求出的度数． 【答案】(1) (2)①或；②或． 【分析】（1）过点F作，交于H，根据三角形内角和定理，平行线的性质求解即可； （2）①分两种情况，画出图形利用平行线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可； ②分两种情况，画出图形，分别根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点F作，交于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①情况1：当点G在线段上时，结论：． 理由：设交于J， ∵， ∴， ∵，， ∴． 情况2：当点G在的延长线上时，， 延长交于K， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②情况1：点G在线段上时，作， ∵， ∴， ∵与的角平分线所在直线相交于点P， ∴，， ∴； 情况2：当点G在的延长线上时，延长，交于点Q， ∵， ∴，， 在中，， ∵与的角平分线所在直线相交于点P， ∴，， ∴， 中，． 综上，的度数为或． 13．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图，是的一个外角，为的平分线，在的内部，与交于点，． (1)判断是否平分，并说明理由； (2)如图2，的平分线交于点，，求的度数． 【答案】(1)解：平分，理由如下： ∵是的一个外角， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵，即， ∴ ∴， ∴平分 (2) 【分析】（1）利用三角形外角和定理可得，，结合为的平分线，，进而证得平分； （2）由平分，平分，可证得，利用三角形内角和定理即可解得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，平分，即， ∵平分，即， 又∵， ∴， 在中，， ∴． 14．（25-26七年级下·山东聊城·期末）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究： (1)如图1，在中，与的平分线交于点，，则______． (2)如图2，的内角，的平分线与的外角，的平分线交于点，其中，求的度数； (3)如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求_________（用表示）； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质，可得，再根据角平分线的定义，可得，即可求解； （3）根据外角的性质和三角形内角和定理，易得，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可得到． 【详解】（1）解：， ， 与的平分线交于点， ，， ， ； （2）解：， ，即， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， ； （3）解：，，， ， 、的平分线交于点， ，， ． 15．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“和谐三角形”．如图①，，点A在边上，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O，B重合） (1)的度数为_______， _________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”． (2)若，试说明：是“和谐三角形”． (3)如图②，点D在的边上，连结，作的平分线交于点E，在上取点F，使，∠．若是“和谐三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)，不是 (2)是的一个外角， ， 又， ， ∵， ， 是“和谐三角形”； (3)或 【分析】（1）根据，得到，求得，得到，所以不是“和谐三角形”； （2）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （3）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据△是“和谐三角形”，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ∴的三个内角度数为 不满足任意一个角的度数是另一个角的度数的4倍， 不是“和谐三角形”； （2）略 （3）解：，， ， ， ， 而， ， ， ， 平分， ， ， 是“和谐三角形”， 或， ∴或 或． 16．（25-26七年级下·山东日照·期末）操作与探究 【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献．书中记载“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法． 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜（即），反射光线、入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角（即）． (1)【观察图形】试判断和的数量关系，并说明理由； (2)【结论应用】如图2，直线，点在直线上，点在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点在直线上．利用（1）中发现的结论，试探究与的位置关系，并说明理由； (3)【深度探究】如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔在点处发出的光束经过镜面反射后与天花板形成的点记为，光束与水平天花板所成的锐角为，支架平面镜与地面的夹角（）．若，求反射光束与天花板所形成的角的度数． 【答案】(1)，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． (2)，理由如下： 由（1）的结论可知，，， ∵， ∴，， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）利用等角的余角相等即可证明； （2）由反射原理可得，，结合可得，因此； （3）延长交于点，由可得，进而得到．由反射原理可得，则，结合三角形内角和定理可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长交于点， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由光的反射原理可得，， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02三角形的内角与外角 内容概览 目常考题型精准突破 题型1三角形内角和定理的证明（重） 题型2与平行线有关的三角形内角和问题（重） 题型3与角平分线有关的三角形内角和问题（高频） 题型4与三角形折叠中的角度问题（难） 题型5三角形内角和定理的应用（重） 题型6三角形的外角的定义与性质（高频） 题型7三角形内角和与外角和综合问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1三角形内角和定理的证明 1. 【答案】(I)如图所示，直线MN即为所求 M (2)如图，在△ABC中，过点A作直线MN∥BC, 根据两直线平行，内错角相等， 得到∠B=∠MAB,∠C=∠NAC 根据平角定义，∠MAB+∠BAC+∠NAC=180° 因此，∠B+∠BAC+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180° 【答案】(I)AE∥BC ∠B=∠1、∠C=∠3，△ABC内角和为180°. 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)选择图2，证明过程如下： AE∥BC ∴.∠B=∠DAE,∠C=∠EAC, 又：∠BAC+∠DAE+∠EAC=180°， ,∠BAC+∠B+∠C=180°， 即△ABC内角和为180°； 选择图3，证明过程如下： :DE∥BC, .∠B=1,∠C=∠3， 又，∠1+∠2+∠3=180°， ∴.∠B+∠BAC+∠C=180°， 即△ABC内角和为180°： (3)证明：过点P作PD∥BC交AC于点D,过点P作PE∥AC交BC于点E, B 图4 ,PE∥AC」 ∴.∠A=∠1，∠3=∠C, .PD∥BC. .∠2=∠B,∠3=∠4， .∠4=∠C .∠1+∠2+∠4=180° .∠A+∠B+∠C=180° 即△ABC内角和为180° 3. 【答案】(I)∠C;两直线平行，内错角相等：∠B;∠C (2)解：∠EAB+∠ECD=∠AEC, 过点E作EH‖AB, 2/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E AB//CD :.EH∥CD(平行于同一直线的两条直线平行)， ∴.∠EAB=∠AEH,∠ECD=∠HEC(两直线平行，内错角相等)， .∠EAB+∠ECD=∠AEH+∠CEH(等量代换) 即LEAB+∠ECD=∠AEC: (3)解：如图，作EN∥AB,则∠BEN=∠ABE, E M-- ● ∠ABE=70° ∴.∠BEW=70° ∠BEF=90° .∠NEF=90°-∠BEN=20°」 作MF∥CD,则∠MFD+∠D=180°， :ABIICD,EN∥AB,MF∥CD, ∴.EN∥MF, ∴.∠EFM=∠NEF=20° .∠DFE=90°+20°=110° ◆题型2与平行线有关的三角形内角和问题 4.57 5. 30 2 6. 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 【详解】(I)解：BF平分∠ABD, ∠ABF=∠1. ∠1=∠3， ∠ABF=∠3， AB∥CD: (2)解：DE平分∠BDC,∠2=25°， .∠BDF=2∠2=50°， :∠BDF+∠1+∠3=180°，∠1=∠3 3=080r-∠BDr)-=65: (3)证明：由()得AB∥CD, .∠ABD+∠BDC=180 4D+号B0c=90。 :BF平分∠ABD,DE平分LBDC, ∠1+∠2=90°， ∴.∠BED=90°， DE⊥BF. ◆题型3与角平分线有关的三角形内角和问题 7.40 8.70°170度 9.40°40度 ◆题型4与三角形折叠中的角度问题 10.109° 11.75°或25°或115 12. 【答案】 【详解】(1)解：∠B=35,∠C=60°， 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A=180°-∠B-∠C=180°-35°-60°=85° (2)解：∠A=70°， .∠ADE+∠AED=180°-70°=110° 由题意，得∠NDE=∠ADE,∠NED=∠AED ∴.∠1+∠2=180°-（∠NDE+∠ADE)+180°-（∠NED+∠AED)=360°-2×110°=140° ◆题型5三角形内角和定理的应用 13.100 14.9.8° 15. 【答案】 【详解】(1)解：①：NO⊥PO, :.∠NOP=∠NOQ=90° .∠i=∠r,∠i+∠1=∠r+∠2=90° .∠1=∠2（等角的余角相等）， 故答案为：等角的余角相等： ②证明：，AB∥CD、 .∠2=∠3 ∠1=∠2，∠3=∠4， ∠1=∠2=∠3=∠4. .180°-∠1-∠2=180°-∠3-∠4，即∠5=∠6， .m∥n (2)解：由题意得，∠1=∠2=48°，∠3=∠4， ∴.∠5=180°-∠1-∠2=84°， .m∥n, .∠6=180°-∠5=96°， ∠3=∠4=x180°-∠6)=42°， .∠ABC=180°-∠2-∠3=180°-48°-42°=90°， 故答案为：96,90. (3)解：当∠ABC=90°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 行，理由如下： 由题意可知，∠1=∠2，∠3=∠4， .m∥n, ∴∠5+∠6=180°， ∠1+∠5+∠2+∠3+∠6+∠4=360°. ∴.∠1+∠2+∠3+∠4=180°， .2∠2+2∠3=180°，即∠2+∠3=90° ∴∠ABC=180°-（∠2+∠3)=90° 故答案为：90， ◆题型6三角形的外角的定义与性质 16.60°160度 17.70°170度 18 180°(n-1)-a n ◆题型7三角形内角和与外角和综合问题 19, 【答案】(1)，∠1=∠2， .∠3=∠4=2∠2， .∠2+∠4+∠BAC=180°， .3∠2+75°=180°， .∠2=35°， .∠1=35° .∠DAC=∠BAC-∠1=75°-35°=40°： (2).∠1=∠2， ∴.AD=BD, ..BC=a,DC=b, .BD=AD=a-b, .∠3=∠4」 .'AC=AD=a-b. 6/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ADC的周长为：a-b+a-b+b=2a-b. 20. 【答案】(1)解：∠0=60°， ∴.∠ABO+∠BA0O=120° AC,BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线， ÷∠BAC=∠OAC=∠BA0,∠ABC=∠OBC=)∠ABO, ∴∠ABC+∠BAC=(∠AB0+∠BAO)=60°， ∴∠ACG=∠ABC+∠BAC=60°， (2)×∠0=72°， .∠AB0+∠BAO=108°， AC,BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线， ∠BaC=∠01C-B40,∠ABC=∠0BC-AB0, ∠ABC+∠B4C=∠AB0+∠B40)=54p, .∠ACG=∠ABC+∠BAC=54°， CF∥OA, ∴.LACF=LCAG, ∴.∠BG0-∠ACF=∠BGO-∠CAG=∠ACG=54°， 故∠BG0与∠ACF的数量关系为∠BGO-∠ACF=54°」 21」 【答案】(I)解：：BA平分∠ABC,CA平分LACD, ∴ABc=4c,2AcD=5AcD, :∠A=∠ACD-∠ABC, 4=4cD3ABc=4cD-∠4c). .∠BAC=70°， :.∠ACD-∠ABC=∠BAC=70°， A=×70=35. 7/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：35°： (2)解：，BF平分∠ABC,CF平分∠DCE, ∴∠FBC=ABc,∠FcE=DcE, F=∠FCE-∠FBc=(DcE-∠ABc). .∠A+∠D=230°， .∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D)=130°， .∠ABC+(180°-∠DCE)=130°， ∴.∠DCE-∠ABC=50°， F=(DCE-∠ABC)=25片 (3)解：正确的结论是①，理由如下： 同山可符A=B4C. :E0平分∠AEC,CQ平分∠ACE, L0EC-AEC.Z0CE-LACE :∠Q=180°-（∠QEC+∠QCE), ∠0=180-（∠AEC+∠ACE), ,∠BAC=∠AEC+∠ACE, 20=1w-B4c. 2A=3B4C, 20+24=10-号BC+号BC-10, .∠Q+∠A的值为定值，①正确，其值是180°. 综合攻坚知能拔高 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.C 2.D 3.D 4.C 5.D 二、填空题 6.45 7.20 8.110°或70°或10° 9.15°或30°或75°或90° 10. 50 48 三、解答题 11. 【答案】(1)解：能证明“三角形内角和是180°”的方法是①②③： (2)解：①，EF∥AB, .∠ECA=∠A,∠FCB=∠B, ,∠ECA+∠ACB+∠FCB=180°， .∠A+∠B+∠ACB=180°， 故①能证明“三角形内角和是180°”： ②·CE∥AB ∴.∠FCE=∠A,∠ECB=∠B、 .·∠FCE+∠ECB+∠ACB=180°， .∠A+∠B+∠ACB=180°. 故②能证明“三角形内角和是180°”： ③：DE∥BC,DF∥AC. ∴.∠ADE=∠B,∠BDF=∠A,∠C=∠AED,∠AED=∠EDF, .∠C=∠EDF .∠ADE+∠EDF+∠BDF=180°， ∴.∠A+∠B+∠C=180°. 故③能证明“三角形内角和是180°”： 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④CD⊥AB, .∠CDB=∠CDA=90° 故④不能证明“三角形内角和是180°”， 12. 【答案】(1)解：过点F作FH∥ED,交AC于H, 4 H G .∠B+∠BFG=100°， .∠BGF=180°-100°=80°， FH ED,ED‖BC, .FHIBC, .∠GFH=∠BGF=80°， .FG⊥FD .∠DFG=90°， ∴.∠DFH=∠DFG-∠GFH=10°， ,FH∥ED, .∠EDF=∠DFH=1O°： (2)解：①情况1：当点G在线段BC上时，结论：∠BGF-∠EDF=90° 理由：设DE交FG于J, A E DE∥BC, .∠BGF=∠FJIE, .∠FIE=LDFJ+∠EDF,∠DFG=∠DFJ=9O°， .∠BGF-∠EDF=90° 10/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 情况2：当点G在CB的延长线上时，∠BGF+∠EDF=90°， K E D G B 延长DE交GF于K, .DE∥BC, .∠BGF=∠DKF, .∠DFK=∠DFG=9O°，∠KDF=∠EDF, .∠DKF+∠KDF=90°， .∠BGF+∠EDF=90°： ②情况1：点G在线段BC上时，作PR∥BC, F R B G DE∥BC, .PRIDE. :∠EDF与∠BGF的角平分线所在直线相交于点P, :∠DPR=∠BDP=)∠EDF,∠RPG=∠BGP=)∠BGF, 2 2 .∠DPG=∠RPG-∠DPR= (∠8GF-∠EDr)=45. 情况2：当点G在CB的延长线上时，延长FD,BC交于点O, D B :DE∥BC, 11/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠EDF=∠Q,∠PKD=∠CGP, 在Rt△GF2中，∠DFG=∠FGB+∠Q=90°， :∠EDF与∠BGF的角平分线所在直线相交于点P, :∠EDP=)∠EDF,∠BGP=)∠BGF, 1 ∠EDP+∠BGP-(EDF+∠BGF）)=4S, APKD中，∠DPG=180°-（∠PKD+∠KDP)=180°-45°=135° 综上，∠DPG的度数为45°或135°. 13. 【答案】(I)解：CD平分∠ACE,理由如下： ,∠ACE是△ABC的一个外角， ∠ACE=∠ABC+∠A, .∠DCE是△BCD的一个外角， ∴.∠DCE=∠CBD+∠D .BD为∠ABC的平分线， 2C8D-48c, “A=2zDn-4 ∠DCE=∠ABC+2 A &∠DCE=)∠ACE, ∴.CD平分∠ACE (②解：由d可知，CD平分∠ACE:即∠ACD4CE, c0Y分∠4CB即∠AC0-4CB, 又：∠ACE+∠ACB=180°， &∠AC0+∠4CD4CE+∠AC8)-x180=90. 在aOCD中，∠D=48, .∠D0C=90°-∠D=90°-48°=42°. 12/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14. 【答案】(1)解：∠A=62°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-62°=118°， ∠ABC与∠ACB的平分线交于点P, PBC-ARC.PCB-ACB. ∠PBc+∠PcB4BC+∠AC)=XIl8=59 :∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)）=180°-59°=121°： (2)解：∠A=58°， ∴.∠ABD=∠A+∠ACB,即∠ABD-∠ACB=58°， :∠ACB的平分线与∠ABD的平分线交于点E, ∠FCB-AC8,∠EBD=ABD, 2 FD-CB-ABD-AC(AD-LACB)2 .∠BEC=∠EBD-∠ECB=29°： (3)解：∠CBM=∠A+∠ACB,∠BCN=∠A+∠ABC,∠A=&, .∠CBM+∠BCN=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+a, :∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q, a0-4c8M,∠BCQ-5BCw, ∠B0c-180-(2C80+∠Bco)=180-2C8M+∠BcW)=180-080+a)-=0-0. 15. 【答案】(I)解：AB⊥OM, .∠OAB=90°， ∴.∠ABO=90°-∠MON=30° ∴.△AB0的三个内角度数为90°，60°，30 不满足任意一个角的度数是另一个角的度数的4倍， .△AOB不是“和谐三角形”； (2):∠ACB是△AOC的一个外角， 13/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACB=LO+∠OAC, 又∠0=60°，∠ACB=84° .∠0AC=24°， .∠AC0=180°-84°=96°， ∠AC0=4∠OAC, .△AOC是“和谐三角形”： (3)解：：∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°， ∠EFC=∠ADC, AD∥EF, .∠DEF=∠ADE, 而∠DEF=∠B, ∴.∠B=∠ADE, .DE∥BC, .∠CDE=∠BCD :DE平分∠ADC, .∠ADE=∠CDE, .∠B=∠BCD △BCD是“和谐三角形”， ·.LBDC=4∠B或∠B=4∠BDC」 :∠BDC+∠BCD+∠B=180° 六4∠B+∠B+∠B=180或4∠B+∠B+∠B=180° ∴∠B=30°或∠B=80°」 16. 【答案】(1)∠1=2，理由如下： .KO11, .∠1+∠3=∠2+∠4=90°， .∠3=∠4， .∠1=∠2. (2)BD川AC,理由如下： 由(I)的结论可知，∠QCA=∠DCB,∠ABC=∠MBD, 14/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..MN PO. ∴，LDCB=∠ABC,∠MBD=∠BDC, .∠QCA=∠DCB=∠ABC=∠MBD=∠BDC :.BDIl AC (3)解：如图，延长AE交MN于点H, w色 p D E H M77zzzzarzz7N 由题意可知，PQ∥MN ∴.∠AHC=∠EAF=30°， .∠DCM=20°」 ∴.∠CEH=180°-∠AHC-∠DCM=130°， ∴.∠AEC=180°-∠CEH=50°， 由光的反射原理可得，∠AEC=∠DEF=50°， .∠AEF=180°-∠AEC-∠DEF=80°， .∠AFE=180°-∠AEF-∠EAF=70° 15/15的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02三角形的内角与外角 内容概览 目常考题型精准突破 题型1三角形内角和定理的证明（重） 题型2与平行线有关的三角形内角和问题（重） 题型3与角平分线有关的三角形内角和问题（高频） 题型4与三角形折叠中的角度问题（难） 题型5三角形内角和定理的应用（重） 题型6三角形的外角的定义与性质（高频） 题型7三角形内角和与外角和综合问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型：精准突破 ◆题型1三角形内角和定理的证明 1.(25-26七年级下广东佛山期末)学习完七年级下册第86页“三角形内角和定理”后，小华发现：不 通过撕、拼的方法，而是在△ABC的顶点A处，通过尺规作图添加适当辅助线，也可说明 ∠A+∠B+∠C=1809 (1)请在图中用尺规作图作出所需辅助线（保留作图痕迹，不写作法）： (2)根据所作辅助线，完成下面的证明过程. 如图，在△ABC中，过点A作直线MN∥BC, 根据 得到∠B=∠ ,∠C=∠ 根据平角定义，∠ +∠BAC+∠ 因此，∠B+∠BAC+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180° 1/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2. (25-26八年级下宁夏银川期末)问题解决 问 三角形内角和为什么等于180° 题 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角， 从而验证猜想：然而实 问 验会存在误差，不符合数学的严谨性.是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和 题 等于180°呢？ 提 出 图1 思 路 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动”、组成一个平角 众 呢？ 的 请过三角形的顶点A添加辅助线.使角“移动”到合适位置.便于说明三角形内角 和等于180°.要求如下： 尝 1.用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线；2.用简短、专业的数学语言对添 试 加辅助线的操作进行描述. 思 考 图2 图3 逻 蟈 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于180°的理由. 说 理 触 类 小华同学通过思考，发现在△ABC边AB上任意取一点P(不与点A、B重合)· 旁 如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”. 通 2/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P B 图4 ()完成“尝试思考”中的操作与描述； 方法一：如图2，延长BA至点D,过点A作 利用平行线的性质得到 ∠B=∠DAE、∠C=∠EAC即可求解. 方法二：如图3，过点A作DE∥BC,利用平行线的性质得到 再利用平角定义和等量代换可得结论： D D 图2 图3 (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图 证明过程如下： (3)写出“触类旁通”中的说理过程.（在图4画出图形，写出证明过程） 图4 3.(25-26七年级下河南郑州期末)【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察 得到三角形内角和为180°，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了. 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，过△ABC的顶点A作BC的平行线ED,请你证明三角形的内角和为l80°， 证明：，BC∥ED, .∠EAB=∠B,∠DAC= (依据是： :∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°（平角的定义） +∠BAC+一=180°（等量代换） 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即三角形的内角和为180° 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能， 【迁移应用】 (2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢.自行车的示意图如图2， 其中ABIICD,请你求∠AEC,∠EAB,∠ECD这三个角的关系； 【学以致用】 (3)如图3是超市购物车，图4是其侧面示意图，已知AB1/CD,FD1CD,测量得知∠ABE=70°， ∠BEF=90°，则∠DFE= ◆题型2与平行线有关的三角形内角和问题 4.(25-26七年级下山东济南期中)如图，四边形ABCD中，点G是BC上一点，过点G作 GE∥AB,GF∥CD,若∠A+∠D=123°，则∠EGF= G 5.(25-26七年级下·重庆秀山期末)如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D,过点D作 DE∥BC交AC于点E,DG平分LBDE交BC于点G,点F为线段CG上一点.若∠DCE=30°，则 ∠EDC= °；若∠DFC=∠DEC,∠A=a,则LGDC=_ D E B 6.(25-26七年级下河北廊坊月考)已知：如图，BF平分∠ABD,DE平分∠BDC交BF于点E,BF交 CD于点F,∠1=∠3 B E 3 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)请说明AB∥CD的理由； (2)若∠2=25°，求∠3的度数： (3)若∠ABD=140°，求证：DE⊥BF. ◆题型3与角平分线有关的三角形内角和问题 7.(25-26八年级上全国假期作业)如图，在△ABC中，点O是△ABC内部∠ABC的平分线上一点，连 接OC,点P是∠BOC、∠OCB平分线的交点，若∠P=100°，则∠ABC的度数为°. 8.(25-26八年级上四川广元期中)如图，己知△ABC中，∠B=40,与∠BAC,∠ACB相邻的外角的 角平分线交于点D,则∠D的度数为 M D -N C 9.(25-26八年级上山东日照期中)如图，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于P点，交叉形成了 多个“和谐8字形”，若∠D=42°，∠B=38°，那么∠P的度数是一 D M ◆题型4与三角形折叠中的角度问题 10.(25-26八年级上山西朔州期中)如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点P,将 △ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠BDP+∠CEP=76°，则∠BPC的度数是一。 5/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(2026七年级下全国专题练习)如图，有一张三角形纸片ABC,∠B=30°，∠C=50°，D是AB边 上的固定点(BD<2B)·E为BC上一点，将纸片沿DB折叠(DE为折痕)，使点B落在点F处，EF 与三角形ABC的一边平行.此时∠BED的度数为 A E 12.(2025八年级上全国·专题练习)如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC,点D,E 分别在边AB,AC上.将△ABC沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合， D B (1)若∠B=35,∠C=60°，求∠A的度数. (2)若∠A=70°，求∠1+∠2的度数. ◆题型5三角形内角和定理的应用 13.(25-26八年级上辽宁朝阳期末)如图，将一副分别含30°，45°角的直角三角板叠放在一起，30°角 的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M,如果∠ADF=115°，那么∠BMD为 度， 14. (25-26八年级上：广西崇左·月考)赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座、晷面、 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 晷针三部分组成，其中底座面与日晷所处地地球半径垂直： 晷针，与地轴平行 平行光、 晷面， 地针，与赤道垂直 与赤道平行 底座， 与所处地地球 赤道 半径垂直 图1 图2 如图2，日晷所处纬度为39.8°，若太阳光（平行光）与日晷底座夹角为60°，则太阳光和该晷面所夹锐 角角度为 15.(24-25七年级下湖北襄阳月考)如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点0并垂直于反射面 的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角，反射角 r=入射角i,这就是光的反射定律.一束光线m射到平面镜PQ上，被P№反射后的光线为n,则入射光线 m、反射光线n与平面镜PQ所夹的锐角为∠I和∠2. m 入射光线W 反射光线 (D B 3 n 6 n 文4 反射面 C 12 0 D 图1 图2 图3 (1)①实验证明，∠1=∠2，请你用数学知识解释这一结论成立的原因： 利用这个规律人 们制作了潜望镜. ②图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜.己知光线沿直线L进入潜望镜， 最后沿直线n射出，求证：m∥n. (2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线n之间的 位置关系会随之改变， 如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射.若被CD反射出的光线 n和光线m平行，且∠1=48°，则∠6=°，∠ABC=. (3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=°时，可以使任何入射光线m经过平面 镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行. 7/15 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型6三角形的外角的定义与性质 16.(25-26七年级上河南周口期末)如图，点D在线段BC的延长线上，CE平分∠ACD,若∠A=60° AB∥CE,则∠B的度数是 E C D 17.(25-26八年级上黑龙江哈尔滨月考)如图，△ABC≌△ADE,BC的延长线交DA于F,交DE于 G,若∠D=25°，∠E=105°，∠DAC=20°，则∠DGB=度 D B 18.（25-26八年级上山西吕梁期中)如图；∠DBC与∠BCB是AABC的外角，∠0BC-=∠D8C, ∠0CB=∠ECB,若∠A=a:则∠0= n (用含m、a的式子表示) D ◆题型7三角形内角和与外角和综合问题 19.(25-26八年级上：河北衡水期中)在△ABC中，D是BC边上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4， ∠BAC=75°. 人34△C (1)求∠DAC的度数： (2)若BC=a,DC=b,试用a、b表示△ADC的周长. 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(25-26八年级上江西上饶月考)如图1，点A,B分别在射线OM,0N上运动（不与点0重合）， AC,BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线，延长BC交OM于点G. M B B G AM G AM 图1 图2 (1)若∠0=60°，求∠ACG的度数： (2)如图2，若∠O=72°，过点C作CF∥OA交AB于点F,求∠BGO与∠ACF的数量关系. 21.(25-26八年级上全国期末)如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的平分线交于A. D B C E D 图1 图2 图3 (①)如图1，若LA=70°，则∠4= (②)如图2，四边形ABCD中，∠ABC的角平分线及外角∠DCE的角平分线相交于点F，若 ∠A+∠D=230°，求∠F的度数.， (3)如图3，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的角平分线交于A,若E为BA延长线上一动点， 连接EC,∠AEC与∠ACE的角平分线交于点Q,当E滑动时有下面两个结论： ①∠Q+∠A的值为定值： ②∠Q-∠A的值为定值： 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值. 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.25-26八年级下广东佛山期中)在R1△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A的度数是() A.56° B.46° C.36° D.26 2.(25-26七年级下河南洛阳期末)如图，在△ABC中，∠A=100°，1=∠2，∠3=∠4.则∠1+∠4的 值为() 1009 A.45° B.60° C.50° D.40° 3.(25-26七年级下江西吉安·期末)空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空 竹的玩法和制作方法.小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图， ABII CD,∠CDE=87°，∠DEB=35°，则∠ABE的度数为() A.58 B.87° C.121° D.122 4.(25-26七年级下·北京期末)如图所示是地球截面图，其中AB,EF分别表示南回归线和北回归线， CD表示赤道，点P表示某市的位置，现己知地球南回归线的纬度是23°（∠BOD=23°），该市的纬度是 北纬37°（∠POD=37°），而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线MB的延长线经过地心O),则该 市冬至正午时，太阳光线与地面水平线PQ的夹角的度数是() D E 北回归线 0 太阳光线 赤道 -------D .0 南回归线！ 地面水平线 B 0 太阳光线 M A.23° B.29° C.30° D.36° 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26七年级下浙江衢州期末)如图，在三角形纸片ABC中，∠B=20°，∠C=60°，点D在AB上 且D<兮4B.若在BC上找一点E,将纸片沿DE折叠，点B落在点F处，EF恰好与三角形ABC的一边 平行，则满足所有平行条件的∠BDE度数为() B一 D A.40°或80° B.50°或130 C.50°或80°或130° D.40°或80°或130° 二、填空题 6.(25-26七年级下重庆期末)如图，在△ABC中，∠A=50°，点D在BC的延长线上，∠ACD=95°，则 LB=°. B 7.(25-26七年级下四川宜宾期末)如果一个三角形的两个内角a与B满足2a+B=90°，那么我们称这 样的三角形为“倍角三角形”.如图，在三角形纸片ABC中，∠A=110°，∠B=∠C,将纸片沿着DE折 叠，使得点C落在AB边上的点F处.若△BEF和△ADF都是“倍角三角形”，则LBEF的度数为 B E 8.(25-26七年级下江西鹰潭期末)如图，在△ABC中，∠A=80°，∠ACB=60°，点D为边BC延长线 上一点，BF平分∠ABC,点E为直线BF上一点.若直线AE垂直于△ABC的一边，则∠AEB的度数为 11/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(25-26七年级下江苏无锡期末)定义：有两个内角的差为90°的三角形叫作“反直角三角形”，在 △ABC中，∠B=∠C=40°，点P为直线BC上一点，若△ABP为“反直角三角形”，则∠PAC的度数为 10.(25-26七年级下·天津河东·期末)如图1光线照射到镜面会产生反射现象，当光线从P0入射到平面 镜上时沿O反射出去，其中经过入射点O且垂直于反射面的直线O称为法线，根据光线反射规律可以 得到∠AOP=∠BO9. D B 图1 图2 (I)若∠NO0=40°，则∠A0P=」 度； (I)如图2，OA,OB为两面有一定夹角的平面镜，当光线PC平行于镜面OB入射时，在点C、D、E 处经过三次平面镜反射后沿E0射出，若∠AE0=36°，∠AOB= 度 三、解答题 11.(25-26八年级下·辽宁沈阳期中)课堂上，为了证明“三角形的内角和是180°”，四名同学给出了如 图所示四种作辅助线的方法. B..- ②延长AC到点 ①过点C作 F,过点C作 EF∥AB CE∥AB ③过AB上一点D ④过点C作 作DE∥BC, CD⊥AB于点D DF∥AC B 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是180°”的方法是 (请填写序号)； (2)在(1)的方法中，请任选其中一种方法进行证明. 12.(25-26七年级下~辽宁大连期末)△ABC是锐角三角形，点D在线段AC上，EDI‖BC交AB于点E, 点F在线段AB上（点F不与点A,E,B重合），连接DF,过点F作FG⊥FD交射线CB于点G(点G 12/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不与点B重合) 图1 备用图1 备用图2 (1)如图1，当点F在线段BE上时，∠B+∠BFG=1O0°，求∠EDF的度数： (2)当点F在线段AE上时，请在备用图中探究下列问题： ①直接写出∠EDF与∠BGF之间满足的数量关系_： ②若LEDF与∠BGF的角平分线所在直线相交于点P,请画出符合条件的图形，并尝试求出∠DPG的度数. 13.(25-26七年级下河北石家庄期末)如图，∠ACE是△ABC的一个外角，BD为∠ABC的平分线，CD 在∠ACE的内部，与BD交于点D,∠A=2∠D 图1 图2 (I)判断CD是否平分∠ACE,并说明理由： (2)如图2，∠ACB的平分线CO交BD于点O,∠D=48°，求∠DOC的度数， 14.(25-26七年级下·山东聊城期末)某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第 三个内角的数量关系”进行了探究： D 图1 图2 图3 ()如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,∠A=62°，则∠BPC= (2)如图2，△ABC的内角，∠ACB的平分线与△ABC的外角，∠ABD的平分线交于点E,其中∠A=58°， 求∠BEC的度数； 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点O,其中∠A=a.求 ∠BQC= (用a表示)； 15.(25-26七年级下·湖南衡阳期末)我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4 倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”.如：三个内角分别为105,60°，15°的三角形是“和谐三角形” 如图①，∠MON=6O°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B,以A为端点作射线AD,交 线段OB于点C(点C不与O,B重合) M D BN ① ② (1)∠ABO的度数为 ,△AOB (填“是”或“不是”)“和谐三角形”· (2)若∠ACB=84°，试说明：△A0C是“和谐三角形”. 3)如图②，点D在△ABC的边AB上，连结DC,作∠ADC的平分线交AC于点E,在DC上取点F,使 ∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B.若△BCD是“和谐三角形”，直接写出∠B的度数. 16.(25-26七年级下·山东日照期末)操作与探究 【知识发现】汉代初期的《准南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献.书中记载“取大镜高悬， 置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法. 法线；K 淮 大镜板 反 南萬 三集第四 射射 角角 34 21 術 mm 水盆 平面镜 图1 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜（即KO⊥1）， 反射光线OB、入射光线A0分别位于法线两侧，反射角等于入射角（即∠3=∠4）， (1)【观察图形】试判断∠1和∠2的数量关系，并说明理由； (②)【结论应用】如图2，直线MNI‖PO,点A在直线MN上，点C在直线PO上，光线AC被P№反射后再 次被MW反射，入射光线AC经过两次反射的光线为BD,其中点B在直线MN上.利用(1)中发现的结 论，试探究BD与AC的位置关系，并说明理由： 14/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M B A 图2 (3)【深度探究】如图3，将支架平面镜CD(可调节角度)放置在水平地面MN上，激光笔在点A处发出 的光束AE经过镜面CD反射后与天花板PQ形成的点记为F,光束AE与水平天花板PQ所成的锐角为30°， 支架平面镜与地面的夹角∠DCM=a(20°≤a≤70°).若a=20°，求反射光束EF与天花板所形成的角 ∠AFE的度数. P F D、E M77777777777777777777777777W 图3 15/15