2.2 基本不等式限时训练02-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 围绕基本不等式，通过基础概念理解、条件应用到综合证明与实际建模的三阶分层设计，适配新授课巩固需求，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一概念与简单应用|结合几何背景（题1无字证明），强化直观理解| |进阶层|复杂条件与辨析|设置多变量（题4）、参数（题6）及多选辨析（题8-9），提升应用灵活性| |综合层|证明推理与实际建模|融入构造证明（题14）和纸盒容积优化（题15），发展数学建模与创新意识|

2.2 基本不等式限时训练02 1．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 2．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，解得，同理可得， 由，可得，又，可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 3．（25-26高二下·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】因为，故， 又因为，，因此有， 因此，当且仅当时等号成立， 设，所以，解得或， 由和，解得， 因此当时，的最小值为6. 4．（25-26高一上·江苏扬州·期中）若正实数x，y，z满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】由条件可得，可以得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由条件可得， 所以，所以，所以， 所以，所以， 当且仅当，且，即，，等号成立. 故选：B. 5．（25-26高二下·福建南平·期末）若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合基本不等式及“”的代换，两次利用基本不等式可得最值. 【详解】已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为. 6．（25-26高二下·安徽合肥·期末）“，”是假命题，则实数的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先利用命题的否定将命题变为真命题，再分离参数后结合均值不等式求的最大值． 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题， 由，得， 令， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取最小值为， 所以的最大值为． 7．（25-26高一上·河北保定·期中）下列结论正确的是（    ） A．若则 B．函数的最小值是 C．的最小值是2 D．若，则 【答案】D 【分析】利用作差法判断A，利用基本不等式判断B，根据对勾函数的性质判断C，根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A：若，则，所以，故A错误； 对于B：因为，所以, 当且仅当，即时，原式取最大值是,故B错误; 对于C：令，则， 因为在上单调递增， 所以当时取得最小值是， 所以的最小值是，当且仅当时取到，故C错误； 对于D：因为，可得， 所以，故D正确. 故选：D 8．（25-26高二下·山东威海·期末）（多选）已知，，，则（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为6 【答案】BCD 【详解】对于A，由， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故A错误； 对于B，， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故B正确； 对于C， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故C正确； 对于D， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6，故D正确. 9．（25-26高二下·山东泰安·期末）（多选）下列选项正确的是（   ） A．若正实数，满足，则 B．若，则的最小值为3 C．若正实数，满足，则的最大值为 D．若正数，满足，且，则，均为定值 【答案】ACD 【分析】使用基本不等式求解. 【详解】由得，当且仅当时取等号，选项A正确； 令，，则，当且仅当， 即时取等号，因为，故的最小值不是3，选项B错误； 由，得，则， 当时，取最大值为，选项C正确； 因为正数，满足，则， 当且仅当，即①时取等号， 因为，所以，即， 又因为，所以②， 由①②得，，即，均为定值，选项D正确. 10．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）（多选）记为，两数中较大的数，已知，，当，变化时，的值可能为（    ） A．12 B．16 C．20 D．26 【答案】BCD 【分析】根据题意得到，再双换元利用基本不等式求最值，验证取等情况，最终得，选择对应选项即可. 【详解】因为，所以，，所以. 令得， 由，，得，，则. 因为，，当且仅当，时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 又，，同时成立，所以，则, 且，时，. 故选：BCD. 11．（25-26高三上·北京·阶段检测）若，则函数的最小值为______，此时______. 【答案】 【分析】由题设，化并应用基本不等式求其最小值，并确定取值条件即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 12．（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【详解】正实数，满足， 则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 13．（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】先结合题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出的最小值为，最后得到，求解参数范围即可. 【详解】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 14．（25-26高一上·上海闵行·期中）平均值不等式在求解最大值或最小值的过程中应用广泛，如：时，．当不能直接应用平均值不等式时，我们还可以通过构造来实现． (1)当时，求的最小值，并指出此时的值； (2)已知，且，求的最小值，并指出此时的值； (3)已知，求函数的最小值，并指出此时的值． 【答案】(1)当时，取得最小值3； (2)当时，的最小值是4； (3)当时，的最小值为. 【分析】（1）利用配凑得出，结合基本不等式即可得到最小值； （2）根据题意对所求式子乘，在结合基本不等式即可得到最小值； （3）先配凑出，再将其与所求式子相乘，然后结合基本不等式即可. 【详解】（1）因为， 所以， ， 根据基本不等式，因为， 所以，当且仅当，即时取等号， 因此，当时，取得最小值3； （2）因为, 所以， 根据基本不等式，因为，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 由且，解得， 因此，当时，的最小值是4； （3）因为， 所以，， 因为， ， 根据基本不等式，因为，， 所以，当且仅当，即或（舍）时取等号， 所以， 因此，当时，的最小值为. 15．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)米 【分析】（1）用基本不等式，整理化简可得答案； （2）令，将看成整体再次用基本不等式，整理化简可证； （3）先设出长方体的长、宽、高，表示出体积，再套用（2）中已证明的不等式即可求出最值. 【详解】（1）证明：因为，，当且仅当，时等号成立, 所以当且仅当，时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. （2）解：由于，当且仅当时等号成立， 令, 得， 即，故. 所以，当且仅当时等号成立. （3）解：做成的长方体的底面是一个边长为的正方形，高为. 所以. 由（2）中已证的不等式，可知， 当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立. 所以，因此， 综上所述，当米，长方体盒子的容积取到最大值立方米. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式限时训练02 1．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 2．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（25-26高二下·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 4．（25-26高一上·江苏扬州·期中）若正实数x，y，z满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 5．（25-26高二下·福建南平·期末）若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·安徽合肥·期末）“，”是假命题，则实数的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（25-26高一上·河北保定·期中）下列结论正确的是（    ） A．若则 B．函数的最小值是 C．的最小值是2 D．若，则 8．（25-26高二下·山东威海·期末）（多选）已知，，，则（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为6 9．（25-26高二下·山东泰安·期末）（多选）下列选项正确的是（   ） A．若正实数，满足，则 B．若，则的最小值为3 C．若正实数，满足，则的最大值为 D．若正数，满足，且，则，均为定值 10．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）（多选）记为，两数中较大的数，已知，，当，变化时，的值可能为（    ） A．12 B．16 C．20 D．26 11．（25-26高三上·北京·阶段检测）若，则函数的最小值为______，此时______. 12．（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________． 13．（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 14．（25-26高一上·上海闵行·期中）平均值不等式在求解最大值或最小值的过程中应用广泛，如：时，．当不能直接应用平均值不等式时，我们还可以通过构造来实现． (1)当时，求的最小值，并指出此时的值； (2)已知，且，求的最小值，并指出此时的值； (3)已知，求函数的最小值，并指出此时的值． 15．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $