精品解析：四川省南充市高坪中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学 试题

南充市高坪中学高2023级高一（下）第二次月考 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题共58分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 8 B. C. 2 D. 2. 已知复数满足则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知圆锥的母线长为6，底面半径为2，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知的三边长分别为1，，，则它的最大内角的度数是（ ） A. 90° B. 135° C. 120° D. 150° 5. 下图为抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点A处测得其顶点P的仰角为45°、点B处测得其顶点P的仰角为30°，若米，且，则解放碑的高度为（ ） A. 米 B. 55米 C. 米 D. 米 6. 求值：（ ） A. 1 B. C. D. 7. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为4，则下列说法正确的是（ ） A. 勒洛四面体最大的截面是正三角形 B. 勒洛四面体的体积是 C. 勒洛四面体内切球的半径是 D. 若是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为2 8. 已知函数的定义域为，且，若关于的方程有4个不同实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组向量中，可以用来表示向量的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，则（ ） A. 若，则将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称 B. 若，函数在上有最小值，无最大值，且，则 C. 若，函数在上恰有2个零点，则 D. 若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，则向量在方向上的投影向量的模长为__________. 13. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示.若此正八面体的棱长为4，则它的内切球的表面积为__________. 14. 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则面积的取值范围为______. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量 （1）若求； （2）若求 16. 设复数． （1）在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； （2）若是纯虚数，求. 17. 如图：某公园改建一个三角形池塘，，（百米），（百米），现准备养一批观赏鱼供游客观赏． （1）若在 内部取一点P，建造APC连廊供游客观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）； （2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建行连廊，使得 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏．如图②，当为正三角形时，求的面积的最小值． 18. 已知正方体中，，点分别是线段的中点. （1）求证直线平面； （2）求三棱锥的高； （3）求证直线三线共点. 19. 已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． （1）若，求函数的“平衡”数对； （2）若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； （3）若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充市高坪中学高2023级高一（下）第二次月考 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题共58分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 8 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； 【详解】解：因为，且，所以，解得． 故选：B 2. 已知复数满足则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算求出，然后由复数的几何意义和共轭复数概念可得. 【详解】由得， 所以，对应点为，在第一象限. 故选：A 3. 已知圆锥的母线长为6，底面半径为2，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆锥的表面积等于底面积加侧面面积计算可得. 【详解】由圆锥的表面积等于底面积加侧面面积可得 . 故选：C 4. 已知的三边长分别为1，，，则它的最大内角的度数是（ ） A. 90° B. 135° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理即可算出答案. 【详解】因为的三边长分别为1，，， 所以边长为的边所对的角最大，其余弦值为 所以最大内角的度数是 故选：B 【点睛】本题考查的是利用余弦定理解三角形，较简单. 5. 下图为抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点A处测得其顶点P的仰角为45°、点B处测得其顶点P的仰角为30°，若米，且，则解放碑的高度为（ ） A. 米 B. 55米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设，由直角三角形中三角函数定义可得，再在中利用余弦定理可解. 【详解】设，由已知，，，， 则，又， 在中：，则 解得或（舍去），所以解放碑的高度为米. 故选：A. 6. 求值：（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化切为弦将转化为，然后根据二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式以及诱导公式进行化简求值. 【详解】原式 ， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于弦切互化以及三角恒等变换公式的运用，一方面需要利用以及辅助角公式将分子化为一个整体，另一方面需要利用二倍角的正余弦公式将分母化为一个整体. 7. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为4，则下列说法正确的是（ ） A. 勒洛四面体最大的截面是正三角形 B. 勒洛四面体的体积是 C. 勒洛四面体内切球的半径是 D. 若是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为2 【答案】C 【解析】 【分析】A.由对称性可知，其最大截面为勒洛三角形；B.求正四面体的体积，其值恰为；C.数形结合，内切球的半径是球半径与正四面体的外接球半径之差；D.利用对称性找出最大值处的两点，再数形结合计算. 【详解】A.由对称性可知，勒洛四面体的最大截面是经过正四面体的任意三个顶点的平面截勒洛四面体而得，如图所示，故A选项错误； B.为的中心，是正四面体的外接球球心，连接， 设正四面体的外接球半径为, 在中，， 在中，，得， 则正四面体的外接球的体积是，而勒洛四面体得体积小于其外接球的体积，故B错误； C.也为勒洛四面体的中心，连接，并延长交勒洛四面体的曲面于点， 则为其内切球的半径.因，，则，故C正确； D. 分别为正四面体的棱的中点，连接并延长交勒洛四面体的曲面于点，则为最大值. ，同理， 则为等腰三角形的高，则， 为等腰三角形的高，， 由对称性可知，，则， 故D选项错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查学生的空间想象能力，故而本题的关键在于能够利用数形结合解题，而解本题的关键更在于利用其对称性. 8. 已知函数的定义域为，且，若关于的方程有4个不同实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式得，讨论其符号求范围，进而写出解析式并画出草图，数形结合得、，即可得答案. 【详解】由， 若，则，可得， 所以, 若，则，可得， 所以， 所以，其函数图象如下图， 要使有4个不同实根，则， 由图知：，故，且， 所以的范围为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换研究正弦型函数性质，并画出的图象为关键. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组向量中，可以用来表示向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】判断向量是否共线，以及是否与向量共线即可得答案. 【详解】对于A，因为，所以不共线，可以表示向量，A正确； 对于B，因为，所以共线，又向量与不共线，B错误； 对于C，因为，可以表示向量，C正确； 对于D，因为，所以不共线，可以表示向量，D正确； 故选：ACD． 10. 已知复数，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举例说明判断AD；利用复数运算及共轭复数、复数模的意义计算判断BC. 【详解】对于A，取，，而，A错误； 对于B，设， ，由， 得，，B正确； 对于C，由及，设，， ，解得， 则，C正确； 对于D，取，，而，D错误. 故选：BC 11. 已知函数，则（ ） A. 若，则将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称 B. 若，函数在上有最小值，无最大值，且，则 C. 若，函数在上恰有2个零点，则 D. 若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角函数图象的平移变换即可判断A；由正弦函数的对称性和周期性求解的值，即可判断B；由正弦函数的性质，结合整体法，即可判断C；由正弦函数的单调性以及对称性与周期的关系，即可求解D. 【详解】对于A，若，则， 则将函数的图象向右平移个单位， 可得，其图象关于轴对称，故A正确； 对于B，若，则， 因为函数在上有最小值，无最大值，且， 所以时，有最小值，， ，， 在区间上有最小值，无最大值， ，即，令，得，故B错误； 对于C，，则， 要使函数在上恰有2个零点， 则，解得，故C正确； 对于D，由于在上单调递减，故， 又直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心， 所以，所以， 故，又，故， 故当时，取最大值，D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，则向量在方向上的投影向量的模长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式可得投影向量，即可根据模长公式求解. 【详解】, 则向量在方向上的投影向量为, 故投影向量的模长为， 故答案为：. 13. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示.若此正八面体的棱长为4，则它的内切球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正八面体的特征可知内切球的球心为，进而根据等体积法即可求解半径. 【详解】设正八面体内切球半径R，给正八面体标出字母如图所示， 连接和交于点， 因为，，所以，， 又和交于点，平面，所以平面ABCD， 所以为正八面体的中心，所以到八个面的距离相等， 距离即为内切球半径，设内切球与平面EBC切于点H， 所以平面，所以即为正八面体内切球半径，所以， 因为正八面体的棱长为4， 所以，，， 所以，， 因为，，所以， 即，所以正八面体内切球的表面积为：． 故答案为： 14. 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则面积的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由利用三角函数恒等变换公式结合已知条件可求得，然后画出图形，由于为锐角三角形，从而可C在线段上，且不包含，，进而可求出面积的取值范围 【详解】由题，即，， 因为锐角，故，. 故由，，画图，如图所示，，. 因为锐角，故C在线段上，且不包含，， 又，，， 故，即， 故， 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量 （1）若求； （2）若求 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示求出x，然后求出的坐标，由向量模的坐标表示可得； （2）利用向量平行的坐标表示求出x，再由向量线性坐标运算和数量积的坐标表示可得. 【小问1详解】 因为，所以， 因为所以，解得， 则，所以. 【小问2详解】 若则， 则， 所以 16. 设复数． （1）在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； （2）若是纯虚数，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数是实数，求，再根据复数的乘法运算公式，即可求解； （2）首先利用复数除法运算公式化简复数，再根据复数的特征，即可求解，最后代入模的计算公式. 【小问1详解】 由，得， 而由已知是实数， 于是，解得， 所以； 【小问2详解】 依题意，是纯虚数， 因此，解得， 所以，. 17. 如图：某公园改建一个三角形池塘，，（百米），（百米），现准备养一批观赏鱼供游客观赏． （1）若在 内部取一点P，建造APC连廊供游客观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）； （2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建行连廊，使得 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏．如图②，当为正三角形时，求的面积的最小值． 【答案】（1）百米 （2）(百米) 【解析】 【分析】（1）由余弦定理即可求得，在 中，确定，由余弦定理求得，即可求得答案； （2）设正三角形DEF的边长a，，（）则可表示，，从而可由正弦定理表示出，结合三角函数的性质求得其最小值，即可求得答案. 【小问1详解】 ∵点P是等腰三角形PBC的顶点，且，， ∴且由余弦定理可得：， 解得， 又∵∴, ∵在 中，，,∴, 在△ACP中，由余弦定理得, 解得，； ∴， ∴连廊的长为百米． 【小问2详解】 设正三角形DEF的边长a，，（） 则，， 设, 可得，， ∴， 在 中，由正弦定理得：， 即，即, 化简得：， ∴（其中，θ为锐角，且） ∴. 18. 已知正方体中，，点分别是线段的中点. （1）求证直线平面； （2）求三棱锥的高； （3）求证直线三线共点. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位线以及平行线的传递性，即可利用线面平行的判定求解， （2）利用等体积法即可求解， （3）根据三角形中位线的性质即可求解. 【小问1详解】 连接, 由于分别是线段的中点，所以， 又正方体中，,故,平面,平面, 故直线平面 【小问2详解】 设三棱锥的高为， 由可得, 所以 【小问3详解】 由于且，故直线相交，设交于， 则, 同理可得直线 相交于点,则， 故与重合，故直线三线相交于点， 故直线三线交于一点. 19. 已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． （1）若，求函数的“平衡”数对； （2）若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； （3）若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 【答案】（1） （2）是 （3） 【解析】 【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可； (2) 时,判断是否存在使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可； (3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【小问1详解】 根据题意可知,对于任意实数,, 即,即对于任意实数恒成立, 只有,,故函数的“平衡”数对为, 【小问2详解】 若,则, , 要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有, 此时,,故存在,所以是“可平衡”函数. 【小问3详解】 假设存在实数，对于定义域内的任意均有 则 均为函数的“平衡”数对， ，函数单调递增， 即的取范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $