2.1.2 有理数的减法-导学案 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦有理数的减法，从加法逆运算导入，通过“两变一不变”法则将减法转化为加法，搭建从加法到减法的学习支架，帮助学生理解减法与加法的内在联系。 资料注重联系生活实际，如天气预报温度、盈亏计算等培养数学眼光，通过典型例题及变式题训练运算能力与推理意识，代数和的两种读法强化数学语言表达，分层习题助力学生逐步掌握，提升应用意识。

2.1.2 有理数的减法 分层作业 【基础练习】 一、选择题 1. 计算  的结果是（ ） A. -5 B. -1 C. 1 D. 5 2. 计算  的结果是（ ） A. 2 B. -2 C. 8 D. -8 3. 下列运算正确的是（ ） A.  B.  C.  D.  4. 计算  转化为加法运算正确的是（ ） A.  B.  C.  D.  5. 计算  的结果是（ ） A. -5 B. 0 C. 5 D. 1 6. 比  小  的数是（ ） A. -8 B. 2 C. -2 D. 8 7. 某地一天最高气温是 ，最低气温是 ，则这一天的温差（最高气温减最低气温）是（ ） A.   B.   C.   D.  8. 计算  的结果是（ ） A.   B.   C.   D.  二、填空题 9. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的________。 10. 计算： ________。 11. 计算： ________。 12. 数轴上点  表示 ，点  表示 ，则点  到点  的距离是________。 三、解答题 13. 计算下列各题： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 14. 实际应用： 某矿井下  点的海拔高度为  米， 点在海平面以上  米。 (1) 求  点的海拔高度； 【能力提升】 一、选择题 1. 已知 ，则下列各式成立的是（ ） A.   B.   C.   D.  2. 计算  的结果是（ ） A.   B.   C.   D.  3. 若 ，，且 ，则  的值为（ ） A. -1 或 -5 B. 1 或 -5 C. -1 或 5 D. 1 或 5 4. 已知  两数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A.   B.   C.   D.  5. 若  的相反数是 ，，则  的值为（ ） A. -2 或 -8 B. 2 或 -8 C. -2 或 8 D. 2 或 8 6. 下列结论：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若  异号，则 ；④若 ，则 。其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 定义运算：，则  的值是（ ） A. -6 B. 0 C. 2 D. -2 8. 已知 ，且 ，则  的值为（ ） A. 1 或 -5 B. -1 或 5 C. 1 或 5 D. -1 或 -5 二、填空题 9. 已知 ，则  ________。 10. 若  是最大的负整数， 是最小的正整数， 是绝对值最小的数，则  ________。 11. 数轴上表示数  和  的两点之间的距离为 4，且 ，则  ________。 12. 找规律填数：，按照这个规律，第6个数是 ________。（提示：观察各项与序号的关系或前后项差值变化） 三、解答题 13. 计算与化简： (1) ； (2) ； (3) 已知 ， 的相反数是 ，求  的值。 14. 某水果箱上标明的质量标准是“”，即表示质量在  到  之间为合格。 (1) 现有两箱水果，甲箱质量为 ，乙箱质量为 。请用减法计算甲箱比乙箱重多少千克？ (2) 在(1)的条件下，若规定超出标准质量记为正，不足记为负。求甲箱相对标准质量的偏差减去乙箱相对标准质量的偏差等于多少？（即求甲的偏差  乙的偏差） (3) 若一箱水果质量为 ，另一箱为 （ 均在合格范围内），求这两箱水果质量之差的最大值。 (2)第一天按每千克10元的价格卖出了这批水果的一半，第二天为了吸引顾客，把第一天卖水 果的价格打九折后作为新的价格卖完了剩下的水果，请计算一下这批水果一共卖了多少钱？ 参考答案 【基础练习】 一、选择题 1. A （解析：。） 2. C （解析：。减去一个负数，等于加上这个负数的相反数（正数）。） 3. A （解析：，正确。 B项 ； C项 ； D项 。） 4. A （解析：减去  等于加上 。即 。） 5. C （解析：。） 6. A （解析：比  小 ，即 。） 7. B （解析：。） 8. C （解析：。） 二、填空题 9. 相反数 10. -5 （解析：。） 11. 6 （解析：。） 12. 5 （解析：距离 = ，或者直接数格子。） 三、解答题 13. 解： (1) 。 (2) 。 (3) 。 (4) 。 14.解： (1) 因为  点在海平面以上  米，所以  点的海拔高度为  米（或  米）。 (2)  点比  点低的高度  点高度  点高度 （米）。 答： 点比  点低  米。 【能力提升】 一、选择题 1. B （解析：移项得，或两边同乘得。） 2. B 3. A （解析：由得，得。因为，所以只能是。 当时，； 当时，。 故值为或。） 4. B （解析：由图知且。 A项：负数减正数得负，，错误； B项：正数减负数得正，，正确； C项：异号相加，取绝对值大的符号，，故 ，错误； D项：，故 ，错误。） 5. C 6. B （解析：①错，若 ，则 ，； ②对，不等式两边移项变号； ③错，异号两数相减，结果符号与较大数的符号相同，不确定； ④对。正确的是②④，共2个。） 7. B （解析：依题意，。） 8. A （解析：把  代入，。  或 。  或 。） 二、填空题 9. 5 （解析：。。） 10. -2 （解析：。。） 11. 4 或 -4 （解析：，故 。若求 ，则  或 。此处求 ，填  或 。） 12. -16 （解析：规律为后一项减前一项的差分别是： 或者看符号是正负交替。 方法二：第1项1，第2项-2，第3项4，第4项-7，第5项11。 符号：，第6项为负。 数值：。差值依次增加1, 2, 3, 4。 。 下一个数是 。 符号为负，故为 。） 三、解答题 13. 解： (1) 原式  。 (2) 原式  。 (3) 由题意得，的相反数是，故。 当 时，； 当 时，。 答： 的值为或。 14.解： (1) 甲箱比乙箱重：（千克）。 (2) 甲箱相对标准的偏差：。 乙箱相对标准的偏差：。 偏差之差：。 (3) 合格范围内，质量最大为 ，最小为 。 最大差值 （千克）。 答：这两箱水果质量之差的最大值是  千克。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.2 有理数的减法 【学习目标】 1.掌握有理数减法的定义、法则以及运算技巧, 认识减法与加法的内在联系; 2.联系生活, 掌握有理数减法在生活中的应用; 3.熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题. 【知识梳理】 知识点一、有理数的减法 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，如：(-5)+x＝7，求x，减法是加法的逆运算． 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算． （2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成： ①性质符号；②数字就是数的绝对值． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即：． 注意：(1) 将减法转化为加法过程中，应注意“两变一不变”: “两变”是指运算符号“－”号变成“＋”号，同时减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数和减数的位置不变. 如： (2)两个有理数相减, 差是一个有理数. 知识点二、有理数加减混合运算 1.有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法,如:(-8)-(-7)+(-2)-(+1)可以转化为(-8)+(+7)+(-2)+(-1), 转化为加法后的式子是几个正数或负数的和, 像这种把加减统一写成加法的式子叫做有理数的代数和. (2) 适当应用加法交换律、加法结合律进行计算，使运算简化. 如：(-8)-(-7)+(-2)-(+1) =(-8)+(+7)+(-2)+(-1) =7+[(-8) +(-2)+(-1)] =7+(-11) =-4 2.省略加号的代数和 将有理数的加减混合运算统一写成加法运算时, 在代数和式里可以把加号及加数的括号省略不写, 以简化书写形式.如上面(-8)-(-7)+(-2)-(+1)可以写成-8+7-2-1. 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负8、正7、负2、负1的和； (2)按运算来读：负8减7减2 减1. 【典型例题】 类型一、有理数的减法运算 1. 计算：(1) (-12)-(-5)； (2) (+2)-(-25) (3) 5-(+14） (4) (-32)-(+5) (5) 13-(-6) (6) (-72)-19 解析：(1)(-12)-(-5)＝(-12)+5＝=-7； (2) (+2)-(-25)=(=2)+25=27; (3) 5-(+14)=5+(-14)=-9; (4)(-32)-(+5)＝(-32)+(-5)=-37; (5)13-(-6)＝13+6=19； (6)(-72)-19＝(-72)+(-9)=-81． 故答案:(1) -7; (2) 27; (3) -9; (4) -37; (5) 19; (6) -81. 举一反三： 【变式1】 下列说法正确的是( ) A.零减去一个数，仍得这个数 B.负数减去负数，结果是负数 C.正数减去负数，结果是正数 D.被减数一定大于差 解析: A.零减去一个数，得到这个数的相反数，不符合题意； B.负数减去负数，结果不一定是负数，不符合题意； C.正数减去负数，结果是正数，符合题意； D.被减数不一定大于差，不符合题意. 故答案:C． 【变式2】(1)23+(-14)-35-(-10) (2) 解析:(1)原式=23-14-35+10 =23+10-35-14 =-2-14 =-16 (2)原式= = =3+3 =6 【变式3】(1) (2) 解析:(1)原式= = =10+(-21)+3 =-8 (2)原式= = = =3+5+4 =12 类型二、有理数减法的应用 1. 如图所示是某地12月28日的天气预报, 关于温度的信息正确的是( ) 12月28日(周五) 多云转晴 -10-10℃ 西南风2级 空气良 A.下降-10℃ B.下降10℃ C.最低零下10℃ D.最低零下-10℃ 故答案:C． 举一反三： 【变式1】食品店一周内各天的盈亏情况（盈利为正, 亏损为负, 单位;元）:如下:132, -12, -100, 127, -97, 137, 98. 则该店这一周的盈亏情况是( ) A.亏损 B.盈利 C.不盈不亏 D.以上都不对 解析: 根据题目中盈余为正，亏损为负，可以将一周中的盈余相加，看最后的结果，如果是正数，则盈余，如果是负数，则表示亏损. 由题意，得： 132+（-12）+（-100）+127+（-97）+（-137）+98=11（元）. ∴这一周的盈余为11元. 故答案: A． 【变式2】小夏同学通过捡卖废品既保护了环境又积攒了零钱下表是他某个月的部分收支情况(单位:元): 日期 收入(+)或支出(-) 结余 注释 2日 3.5 8.5 卖废品 3日 -4.5 4.0 买圆珠笔、铅笔芯 4日 -1.2 买科普书, 同学代付 但由于保存不当, “4日”的收入或支出被墨水涂污了, 请你算出”4日”的收入或支出以及“1日”的结余分别是( ) A.5.2, 5 B.-5.2, 5 C.-5, -5 D.-5.2, -5 解析:有理数的加减法在实际生活中的应用，解题的关键在于理解收入、支出和结余之间的关系，即“上一日结余 + 本日收入(或-本日支出）=本日结余”. 计算“4日”的收入或支出： 已知3日结余为4.0元，4日结余为-1.2元. ∴“4日”的收入或支出=-1.2-4=-5.2 计算“1日”的结余; 已知2日收入3.5元，2日结余为8.5元. ∴“1日”的结余=8.5-3.5=5 故答案:B． 【变式3】七(4)班开展了“环保知识”抢答比赛活动, 一共分了五个小组,规定答对一题加50分, 答错一题扣10分, 活动结束时记分员公布了各小组的得分情况如下： 小组 1组 2组 3组 4组 5组 得分/分 300 150 -100 350 -50 (1)第一名超出第二名多少分? (2)第一名超出第五名多少分儿? 解析:(1) ∵第一名是4组得分是350分, 第二名是组得分是300分. ∴第一名超出第二名:350-300=50(分) (2) ∵第一名是4组得分是350分, 第二名是组得分是-100分. ∴第一名超出第五名: 350-(-100)=450(分) 类型三、有理数的加减混合运算以及在实际中的应用 举一反三： 1. (1)-20-(-18)+(-14)+13 (2)(+0.56)+(-0.9)+O.44-8.1 解析:(1)原式=-20+18-14+13 =（-20-14）+（18+13） =-34+31 =-3 (2)原式=5.6-0.9+0.44-8.1 =（0.56+0.44）+（-8.1-0.9） =1+(-9) =-8 【变式1】(1) (2) 解析: (1) 原式= = = =1+(-4) =-3 (2)原式= = = =3+4 =7 【变式2】数学活动课上，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b，有a☆b=a－b+1，请你根据新运算，计算（2☆3）☆2的值是 ． 解析: 由题可得：（2☆3）☆2 =（2-3+1）☆2 =0☆2 =0-2+1 =-1 故答案: -1． 【变式3】若|a|=2,|b|=3,|c|=6,|a+b|=-(a+b),|b+c|=b+c,计算a+b+c的值. 解析: ∵|a| =2,|b|=3,|c|=6 ∴a=±2, b=±3, c=±6 又∵|a+b|=-(a+b), |b+c|=b+c ∴a+b≤0, b+c≥0 ∴a=±2, b=-3, c=6 ∴当a=2,b=-3,c=6时, a+b-c=2+(-3)-6=-7; 当a=-2,b=-3,c=6时a+b-c=-2+(-3)-6=-11. 综上: a+b-c的值为-7或-11. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.2 有理数的减法 【学习目标】 1.掌握有理数减法的定义、法则以及运算技巧, 认识减法与加法的内在联系; 2.联系生活, 掌握有理数减法在生活中的应用; 3.熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题. 【知识梳理】 知识点一、有理数的减法 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，如：(-5)+x＝7，求x，减法是加法的逆运算． 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算． （2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成： ①性质符号；②数字就是数的绝对值． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即：． 注意：(1) 将减法转化为加法过程中，应注意“两变一不变”: “两变”是指运算符号“－”号变成“＋”号，同时减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数和减数的位置不变. 如： (2)两个有理数相减, 差是一个有理数. 知识点二、有理数加减混合运算 1.有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法,如:(-8)-(-7)+(-2)-(+1)可以转化为(-8)+(+7)+(-2)+(-1), 转化为加法后的式子是几个正数或负数的和, 像这种把加减统一写成加法的式子叫做有理数的代数和. (2) 适当应用加法交换律、加法结合律进行计算，使运算简化. 如：(-8)-(-7)+(-2)-(+1) =(-8)+(+7)+(-2)+(-1) =7+[(-8) +(-2)+(-1)] =7+(-11) =-4 2.省略加号的代数和 将有理数的加减混合运算统一写成加法运算时, 在代数和式里可以把加号及加数的括号省略不写, 以简化书写形式.如上面(-8)-(-7)+(-2)-(+1)可以写成-8+7-2-1. 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负8、正7、负2、负1的和； (2)按运算来读：负8减7减2 减1. 【典型例题】 类型一、有理数的减法运算 1. 计算：(1) (-12)-(-5)； (2) (+2)-(-25) (3) 5-(+14） (4) (-32)-(+5) (5) 13-(-6) (6) (-72)-19 举一反三： 【变式1】 下列说法正确的是( ) A.零减去一个数，仍得这个数 B.负数减去负数，结果是负数 C.正数减去负数，结果是正数 D.被减数一定大于差 【变式2】(1)23+(-14)-35-(-10) (2) 【变式3】(1) (2) 类型二、有理数减法的应用 1. 如图所示是某地12月28日的天气预报, 关于温度的信息正确的是( ) 12月28日(周五) 多云转晴 -10-10℃ 西南风2级 空气良 A.下降-10℃ B.下降10℃ C.最低零下10℃ D.最低零下-10℃ 举一反三： 【变式1】食品店一周内各天的盈亏情况（盈利为正, 亏损为负, 单位;元）:如下:132, -12, -100, 127, -97, 137, 98. 则该店这一周的盈亏情况是( ) A.亏损 B.盈利 C.不盈不亏 D.以上都不对 【变式2】小夏同学通过捡卖废品既保护了环境又积攒了零钱下表是他某个月的部分收支情况(单位:元): 日期 收入(+)或支出(-) 结余 注释 2日 3.5 8.5 卖废品 3日 -4.5 4.0 买圆珠笔、铅笔芯 4日 -1.2 买科普书, 同学代付 但由于保存不当, “4日”的收入或支出被墨水涂污了, 请你算出”4日”的收入或支出以及“1日”的结余分别是( ) A.5.2, 5 B.-5.2, 5 C.-5, -5 D.-5.2, -5 【变式3】七(4)班开展了“环保知识”抢答比赛活动, 一共分了五个小组,规定答对一题加50分, 答错一题扣10分, 活动结束时记分员公布了各小组的得分情况如下： 小组 1组 2组 3组 4组 5组 得分/分 300 150 -100 350 -50 (1) 第一名超出第二名多少分? (2) 第一名超出第五名多少分儿? 类型三、有理数的加减混合运算以及在实际中的应用 举一反三： 1. (1)-20-(-18)+(-14)+13 (2)(+0.56)+(-0.9)+O.44-8.1 【变式1】(1) (2) 【变式2】数学活动课上，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b，有a☆b=a－b+1，请你根据新运算，计算（2☆3）☆2的值是 ． 【变式3】若|a|=2,|b|=3,|c|=6,|a+b|=-(a+b),|b+c|=b+c,计算a+b+c的值. 学科网（北京）股份有限公司 $