2.1.2有理数的减法 导学案 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦有理数的减法法则、加减混合运算及数轴上两点间距离的算式表示。通过北京气温温差情景导入，从小学减法与加法的逆运算关系切入，引导学生探究转化过程，搭建从具体到抽象的学习支架。 导学案以问题探究为主线，结合实例与变式训练，联系生活实际培养数学运算能力。通过数轴距离探究发展几何直观与推理意识，达标检测题分层设计，融入幻圆、行程等问题，提升应用意识与创新意识，助力学生用数学语言表达现实世界。

姓名: 学科: 日期: 2.1.2有理数的减法 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：3课时 日期：2026年6月30日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1.经历问题探究，理解与掌握有理数的减法法则，并能运用其解决相关的实际问题.（几何直观、数学运算、数形结合思想·重点） 2.经历实例分析，理解与掌握有理数的加减混合运算，并能运用其解决相关的实际问题.（数学运算·重难点） 3.经历问题探究，理解与掌握数轴上两点间距离的算式表示（差的绝对值），并能运用其解决相关的实际问题.（数学运算、直观想象▪难点） 【学习过程】 1、 有理数的减法 （1） 情景问题 北京某一天的气温是,请列式表示这一天的温差(最高气温减去最低气温)，并思考所列式子如何计算？ 探究： 由题意可得北京这一天的温差为 这是一个正数与负数的减法运算，在小学,我们学习减法时,知道减法是加法的逆运算.在把减法推广到有理数范围内时,为使减法运算具有一致性,规定有理数的减法与加法之间仍然具有上述关系.即 这样,计算,就是要求一个数,使得它与-3相加得3. ∵ ∴这个数应该是,即 另一方面,我们知道 由①②,据等式基本事实得 （2） 思考 从③式能看出减相当于加哪个数吗?把分别换成,用上面的方法考虑 这些数减的结果与它们加的结果相同吗?换几个数再试一试. 计算 从中又有什么新发现? 探究： ∵ ∴ 又∵ ∴ 同理可得 可以发现，有理数的减法可以转化为加法来进行. （3） 有理数的减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数. 用数学语言表述为 【温馨提示】在进行有理数的减法运算的时候，应该注意两个变化： 一变：减号（－）变加号（＋）； 二变：减数变成它的相反数. （4） 实例运用 例1 计算： （1） ； （2）； （3） ; （4）； （5） 解： （1） 原式； （2） 原式； （3） 原式； （4） 原式； （5） 原式. 例2．我市某天的最高气温是，最低气温是，这一天的温差是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，根据温差的定义，温差等于最高气温减去最低气温，利用有理数减法法则计算即可． 【详解】 温差最高气温最低气温，最高气温为，最低气温为, 温差为 ，故选D． （5） 变式训练 变式1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 变式2.如图，某工程队测得点的海拔为，点的海拔为，则点与点之间的高度差为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】有理数减法的实际应用 【详解】解：点与点之间的高度差为：， 2、 有理数的加减混合运算 （1） 实例分析 例3 计算. 分析：这个算式中既有加法，也有减法，可以先根据有理数减法法则，把减法转化为加法，即把这个算式改写为 再进行有理数的加法运算. 解： （2） 有理数的加减混合运算法则 由上实例可知 引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算，例如 （3） 扩展——省略加减混合算式中的括号和加号 算式是这四个数的和，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，把它写为 这个算式可以读作“负20、正3、正5、负7的和”，或读作“负20加3加5减7”. 例5的运算过程也可以简单地写为 （4） 实例运用 例4.计算 解： 原式 （5） 变式训练 变式3．计算： (1)； (2)． 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，相反数，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算法则，相反数的定义． （1）先去括号，再把减法化为加法，最后运算加法，即可作答． （2）把小数化为分数，再根据加法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式4．解答题： (1)． (2)． (3)． (4)． 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】（1）先去括号将减法转化为加法，再利用加法结合律把正数与正数、负数与负数分别结合，简化计算； （2）先计算绝对值，再将小数化为分数，利用加法结合律把同分母分数结合，快速计算； （3）利用加法交换律和结合律，将互为相反数的项、同分母的项分别结合，通过抵消或合并简化运算； （4）先去括号转化为加法，再利用加法结合律把同分母的项分别结合，或通分后计算，简化运算过程． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 三、数轴上两点间的距离 （1） 问题探究 在数轴上，点分别表示数.对于下列各组数： （1）观察点在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗？ （2）利用有理数的运算，你能用含有的算式表示上述各组点之间的距离吗？ 一般地，你能发现点之间的距离与数之间的关系吗？ 探究： 由题意可做如下数轴， 由数轴可知： （1）当时，线段，且之间的距离可用算式表示为 （2）当时，线段，且之间的距离可用算式表示为 （3）当时，线段，且之间的距离可用算式表示为 （4）当时，线段，且之间的距离可用算式表示为 （二）数轴上两点间的距离 由上探究可得， 一般地，如果在数轴上点分别表示数，且,那么点之间的距离为较大数减去较小数得到的差，用数学语言表述为 ,其中 【扩展】如果在数轴上点分别表示数，但不知道谁大谁小，则点之间的距离为数差的绝对值，用数学语言表示为 如下图所示： 例如，当时，则之间的距离可用算式表示为 或 （三）实例运用 例5．如图，数轴上的点M，N分别表示数，1． (1)求点M，N之间的距离； (2)数x对应此数轴上的点A，若点A，N之间的距离为2，求x的值． 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算、用数轴上的点表示有理数、有理数加法运算 【详解】（1）解：由数轴可知：点M，N之间的距离为； （2）解：∵点A，N之间的距离为2，且点N表示的数为1， ∴点A表示的数为或， 即x的值或3． （4） 变式训练 变式5．已知数轴上点A、点B所表示的数分别为a，b (1)若，，A、B两点的距离为____________，点A、点B的中点C表示的数为____________． (2)到点A为3个单位长度的数可表示为____________． (3)A、B两点间的距离为____________． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、用数轴上的点表示有理数、有理数的减法运算 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，有理数的加法，减法运算，绝对值的含义. （1）直接利用数轴上两点之间的距离公式计算A、B两点的距离即可，再由加上A、B两点的距离的一半可得点A、点B的中点C表示的数. （2）根据到点A为3个单位长度的数有两个，再进一步表示即可. （3）直接利用数轴上两点之间的距离公式计算A、B两点的距离即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴A、B两点的距离为：，点A、点B的中点C表示的数为：． （2）解：到点A为3个单位长度的数可表示为：或. （3）解：A、B两点间的距离为：. 四、达标检测 1．与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】有理数的加减混合运算 【详解】解：． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】先去括号化简原式，再按顺序计算得到结果即可． 【详解】解：原式 ． 3．如图，数轴上点表示的数为2，将点向左移动5个单位长度得到点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】有理数的减法运算、数轴上点的平移（动点问题） 【详解】解：依题意，点表示的数是． 4．在综合实践课中，同学们探究得出，某地日出、日落时刻关于正午时刻对称．若该地日出时刻为，日落时刻为，则当天太阳高度达到最大值的时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.76 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】由题意得，太阳高度达到最大值的时刻为正午时刻，且日出与日落关于正午对称，因此正午时刻是日出和日落时刻的平均值，计算即可得到结果． 【详解】解：∵日出、日落时刻关于正午对称，太阳高度最大值出现在正午， ∴正午时刻为日出时刻与日落时刻的平均值， ∵，， ∴当天太阳高度达到最大值的时间为． 5．某地今年1月1日至4日每天的最高气温与最低气温如下表： 日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 最高气温 最低气温 其中温差最大的是（     ） A．1月1日 B．1月2日 C．1月3日 D．1月4日 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】有理数大小比较的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】温差为最高气温与最低气温的差，先根据有理数减法计算出每天的温差，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 温差最高气温最低气温， 分别计算每天的温差： 1月1日：， 1月2日：， 1月3日：， 1月4日：， ∵， ∴温差最大的是1月1日． 6．同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，如图所示，现在将，，，，，，，填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为(   ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查有理数的加减法，知道横竖以及两圈的和都是2是解题的关键．设小圈上的数为，大圈上的数为，根据题意得出两个圈的和都是2，横、纵的和也是2，然后利用有理数的加减法计算a，b，然后代入求解即可． 【详解】设小圈上的数为，大圈上的数为， ， 横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， 两个圈的和是，横、竖的和也是， 则，得， ，得， ，， 当时，，则， 当时，，则， 故选：A． 7．如图所示，直线上有一点，从该点出发沿着顺时针方向延伸形成回形通道． 其通道的宽和的长均为单位1，回形线与直线分别交于点，，，，若从点到点的回形线为第1圈（即，总长为7），从点到点的回形线为第2圈，以此类推，点到达经过的路程为（　　）    A．114 B．115 C．116 D．117 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索、有理数减法的实际应用 【分析】此题考查了图形的变化类，根据周长公式求出各圈的长，归纳总结得出规律是解题的关键； 根据题意结合图形，可从简到繁，先从第1圈开始，逐圈分析，推出通用公式，再代入计算． 【详解】观察图形发现： 第1圈的长是； 第2圈的长是； 第3圈的长是； 则第n圈的长是． 从点到点的回形线为第1圈 从点到达，到达了第5圈， 当，原式， 当，原式， 从点到达经过的路程为：， 故选：B． 8．电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于，处，，则P站台用类似电影的方法可称为“____________________站台”． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查两点间的距离，分点在点的左侧和右侧，求出点表示的数即可． 【详解】解：∵A、B站台分别位于，处， ∴， ∵， ∴当点在点的左侧时：， ∴， ∴点表示的数为：； 当点在点的右侧时：， ∴， ∴点表示的数为：； 故P站台用类似电影的方法可称为或站台； 故答案为：或． 9．计算的结果为（   ） A．1013 B． C．2025 D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式两个一组结合后，相加即可得到结果． 【详解】解：原式=， , , . 故选：A. 10．计算：________． 【答案】13 【难度】0.95 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的减法运算 【详解】解：． 11．如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为___________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】有理数的减法运算、绝对值的几何意义 【分析】根据已知及要求，1~10的十个数字应大小间隔相排，如10，1，9，2，8，3，7，4，6，5且相邻两个格子(具有公共边)两个数之差的绝对值之和最大． 【详解】解：如图所示： 最大值 ． 故此最大值为50． 12．爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将1，，，7这四个数填入了圆圈，则图中的值为______． 【答案】7 【难度】0.4 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查有理数的加减，能够正确求得横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为是解答本题的关键． 求得横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为，求得的值，即可得到的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意可得，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为 ， ，， 和的值为和或和， 当，时，， 当，时，， 故图中的值为 故答案为：． 13．机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是______． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出，表示的数分别为和，根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)19 (2)1 (3) (4) (5) (6)35 【难度】0.94 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算． （1）去括号，把减法转化成加法计算即可． （2）去括号，把减法转化成加法计算即可． （3）直接进行运算即可． （4）直接进行运算即可． （5）直接进行运算即可． （6）去括号，把减法转化成加法计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 15．计算： (1)； (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.85 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加法运算 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ． 16．小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)小李在集合点的南边，距集合点1千米 (2) (3)能，理由见解析 【难度】0.75 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用、正负数的实际应用、求一个数的绝对值 【分析】（1）将题中所记录的数据相加求和即可得出答案； （2）分别求出这6次行驶距离集合点的路程，比较即可； （3）分别求出这6个数的绝对值，相加求和，然后与12进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解： （千米）， 答：小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的南边，距集合点1千米； （2）第一次距离集合点（千米）， 第二次距离集合点（千米）， 第三次距离集合点（千米）， 第四次距离集合点（千米）， 第五次距离集合点（千米）， 第六次距离集合点（千米）， 因为， 所以小李距集合点最远为2千米， 故答案为：2； （3）能，理由： （千米）千米， 所以在中间不充电的情况下，他能完成上面的行程． 17．某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【答案】(1)收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米 (2)该检修小组这一天行驶的总路程为千米 【难度】0.85 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、绝对值的其他应用、有理数加减混合运算的应用 【详解】（1）解：（千米）， 答：收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米； （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为千米． 18．某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：． (1)最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 【答案】(1)最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米； (2)共用了8分钟． 【难度】0.65 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【详解】（1）解： ， （米）， ∴最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米； （2）解： （米）， （分钟）， ∴共用了8分钟． 19．【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为______； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究：的最小值是______； （4）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等． 【拓展应用】 （5）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 【答案】（1），3；（2）或0；（3）5；（4）；（5）28 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上点的平移（动点问题）、数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，绝对值的意义； （1）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离，即可求解； （2）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离为，即可求解； （3）表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和，当时，有最小值； （4）当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，据此结合数轴即可求解； （5）先求得的长，进而根据相遇问题可得秒后相遇，进而求得点的路程，即可得出点表示的数 【详解】（1）解：表示与的差的绝对值，可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：，； （2）解：，可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离为， 则或， 故答案为：或； （3）解：表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和， 当时，的最小值是， 故答案为：； （4）解：和可看成数轴上表示数的点与表示的点和表示的点的距离， 又与的值相等， 如图所示：当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，此时，               （5）解：，之间的距离为， 依题意有：秒，即秒后相遇， 即相同时间点运动路程为：（个单位）， 则从数向右运动个单位到数， 故点对应的数是． 20．先阅读材料，再解决问题 【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可以理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 解答问题： （1）数轴上表示和2两点之间的距离是_____；类似地，数轴上表示数和的两点之间的距离等于．如果表示数和－1的两点之间的距离是3，那么的值为_____； （2）若，，且数，在数轴上表示的点分别是点，点，则，两点间的最大距离是_____，最小距离是_____； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是_____； 【应用】 （4）小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作1，小明学校记作，求距离和的最小值． 【答案】（1）5；2或；（2）13；1；（3）9；（4）4 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、有理数的加减运算，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和2两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式，分2种情况即可求出的值； （2）首先根据绝对值的性质分别求出的值，再根据数轴上两点之间的距离公式，分4种情况求出点A和点B之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离即可； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知表示数的点在数轴上表示数和4的点之间，找到之间的所有整数并求和即可； （4）根据题意可知，表示数的点在数轴上表示数1和的点之间时，距离和取得最小值，再利用数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】解：（1）， ∴数轴上表示和2两点之间的距离是5； ∵数a和的两点之间的距离是3， ∴， ∴或， ∴a的值为2或； 故答案为：5；2或； （2）∵，， ∴，， ∴或，或， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； ∴A，B两点间的最大距离是13，最小距离是1， 故答案为：13；1； （3）表示的是数轴上表示数的点到表示数的点之间的距离， 表示的是数轴上表示数的点到表示数4的点之间的距离， ∴表示到数和4的点之间的距离之和等于5的点， 由数轴可得，表示数的点在数轴上表示数和4的点之间， ∴符合条件的整数点x为，0，1，2，3，4， ∴这些点表示的数的和是； 故答案为：9； （4）表示的是数轴上表示数的点到表示数1的点之间的距离， 表示的是数轴上表示数的点到表示数的点之间的距离， 表示数的点到数1和的点之间的距离之和， 由数轴可得，表示数的点在数轴上表示数1和的点之间时，距离和取得最小值，最小值为， ∴距离和的最小值为4． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 2.1.2有理数的减法 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：3课时 日期：2026年6月30日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1.经历问题探究，理解与掌握有理数的减法法则，并能运用其解决相关的实际问题.（几何直观、数学运算、数形结合思想·重点） 2.经历实例分析，理解与掌握有理数的加减混合运算，并能运用其解决相关的实际问题.（数学运算·重难点） 3.经历问题探究，理解与掌握数轴上两点间距离的算式表示（差的绝对值），并能运用其解决相关的实际问题.（数学运算、直观想象▪难点） 【学习过程】 1、 有理数的减法 （1） 情景问题 北京某一天的气温是,请列式表示这一天的温差(最高气温减去最低气温)，并思考所列式子如何计算？ 探究： 由题意可得北京这一天的温差为 这是一个 与 的减法运算，在小学,我们学习减法时,知道减法是加法的 运算.在把减法推广到有理数范围内时,为使减法运算具有一致性,规定有理数的减法与加法之间仍然具有上述关系.即 这样,计算,就是要求一个数,使得它与-3相加得3. ∵ ∴这个数应该是 ,即 另一方面,我们知道 由①②,据等式基本事实得 （2） 思考 从③式能看出减相当于加哪个数吗?把分别换成,用上面的方法考虑 这些数减的结果与它们加的结果相同吗?换几个数再试一试. 计算 从中又有什么新发现? 探究： ∵ ∴ 又∵ ∴ 同理可得 可以发现，有理数的减法可以转化为加法来进行. （3） 有理数的减法法则 减去一个数，等于加这个数的 . 用数学语言表述为 【温馨提示】在进行有理数的减法运算的时候，应该注意两个变化： 一变：减号（－）变 （ ）； 二变：减数变成它的 . （4） 实例运用 例1 计算： （1） ； （2）； （3） ; （4）； （5） 例2．我市某天的最高气温是，最低气温是，这一天的温差是（     ） A． B． C． D． （5） 变式训练 变式1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 变式2.如图，某工程队测得点的海拔为，点的海拔为，则点与点之间的高度差为（     ） A． B． C． D． 2、 有理数的加减混合运算 （1） 实例分析 例3 计算. 分析：这个算式中既有加法，也有减法，可以先根据有理数减法法则，把减法转化为 ，即把这个算式改写为 再进行有理数的加法运算. 解： （二）有理数的加减混合运算法则 由上实例可知 引入相反数后，加减混合运算可以统一为 运算，用数学语言表述为 （2） 扩展——省略加减混合算式中的括号和加号 算式是这四个数的和，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，把它写为 这个算式可以读作“ 的和”，或读作“ ”. 例5的运算过程也可以简单地写为 （3） 实例运用 例4.计算 （4） 变式训练 变式3．计算： (1)； (2)． 变式4．解答题： (1)． (2)． (3)． (4)． 三、数轴上两点间的距离 （1） 问题探究 在数轴上，点分别表示数.对于下列各组数： （1）观察点在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗？ （2）利用有理数的运算，你能用含有的算式表示上述各组点之间的距离吗？ 一般地，你能发现点之间的距离与数之间的关系吗？ 探究： 由题意可做如下数轴， 由数轴可知： （1）当时，线段，且之间的距离可用算式表示为 （2）当时，线段，且之间的距离可用算式表示为 （3）当时，线段，且之间的距离可用算式表示为 （4）当时，线段，且之间的距离可用算式表示为 （二）数轴上两点间的距离 由上探究可得， 一般地，如果在数轴上点分别表示数，且,那么点之间的距离为较大数减去较小数得到的 ，用数学语言表述为 ,其中 【扩展】如果在数轴上点分别表示数，但不知道谁大谁小，则点之间的距离为数差的 ，用数学语言表示为 如下图所示： 例如，当时，则之间的距离可用算式表示为 或 （三）实例运用 例5．如图，数轴上的点M，N分别表示数，1． (1)求点M，N之间的距离； (2)数x对应此数轴上的点A，若点A，N之间的距离为2，求x的值． 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算、用数轴上的点表示有理数、有理数加法运算 【详解】（1）解：由数轴可知：点M，N之间的距离为 （2）解：∵点A，N之间的距离为2，且点N表示的数为1， ∴点A表示的数为 或 ， 即的值为 或 ． （4） 变式训练 变式5．已知数轴上点A、点B所表示的数分别为a，b (1)若，，A、B两点的距离为____________，点A、点B的中点C表示的数为____________． (2)到点A为3个单位长度的数可表示为____________． (3)A、B两点间的距离为____________． 四、达标检测 1．与相等的是（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．如图，数轴上点表示的数为2，将点向左移动5个单位长度得到点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 4．在综合实践课中，同学们探究得出，某地日出、日落时刻关于正午时刻对称．若该地日出时刻为，日落时刻为，则当天太阳高度达到最大值的时间为（     ） A． B． C． D． 5．某地今年1月1日至4日每天的最高气温与最低气温如下表： 日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 最高气温 最低气温 其中温差最大的是（     ） A．1月1日 B．1月2日 C．1月3日 D．1月4日 6．同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，如图所示，现在将，，，，，，，填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为(   ) A．或 B．或 C．或 D．或 7．如图所示，直线上有一点，从该点出发沿着顺时针方向延伸形成回形通道． 其通道的宽和的长均为单位1，回形线与直线分别交于点，，，，若从点到点的回形线为第1圈（即，总长为7），从点到点的回形线为第2圈，以此类推，点到达经过的路程为（　　）    A．114 B．115 C．116 D．117 8．电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于，处，，则P站台用类似电影的方法可称为“____________________站台”． 9．计算的结果为（   ） A．1013 B． C．2025 D． 10．计算：________． 11．如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为___________． 12．爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将1，，，7这四个数填入了圆圈，则图中的值为______． 13．机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是______． 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 15．计算： (1)； (2)； (3) (4)； 16．小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 17．某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 18．某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：． (1)最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 19．【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为______； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究：的最小值是______； （4）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等． 【拓展应用】 （5）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 20．先阅读材料，再解决问题 【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可以理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 解答问题： （1）数轴上表示和2两点之间的距离是_____；类似地，数轴上表示数和的两点之间的距离等于．如果表示数和－1的两点之间的距离是3，那么的值为_____； （2）若，，且数，在数轴上表示的点分别是点，点，则，两点间的最大距离是_____，最小距离是_____； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是_____； 【应用】 （4）小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作1，小明学校记作，求距离和的最小值． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $