2.1 等式性质与不等式性质限时训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦等式与不等式性质，分层设计基础辨析、情境应用、综合探究三阶训练，通过不同年级真题实现从概念理解到推理应用的巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一性质辨析|高一高二期末单选，强化运算能力| |中档|性质综合应用|含实际情境（篮球足球选购）及多选题，培养推理意识| |提升|范围计算与证明|解答题（如取值范围探究），发展模型意识|

2.1 等式性质与不等式性质限时训练 1．（25-26高二下·全国·期末）已知，下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·北京·期末）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 4．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·福建泉州·期中）体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 7．（2026高一·全国·专题练习）如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·甘肃兰州·期末）（多选）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·辽宁大连·期末）（多选）已知a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）（多选）已知实数，，，满足：，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·湖北十堰·自主招生）小张同学看一本800页的数学书，看了200页后，为早日完成，后来每天比原计划增加40页，结果共用32天完成这一任务，请问小张原计划每天完成__________页. 12．（25-26高一下·全国·期末）已知实数满足，，则的取值范围为______． 13．（25-26高一上·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为______． 14．（25-26高三·全国·一轮复习）（1）设，为实数，比较与的值的大小． （2）已知，，，求证：. 15．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 等式性质与不等式性质限时训练 1．（25-26高二下·全国·期末）已知，下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ ，根据不等式性质，不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变， ∴ ， 不等式两边加同一个常数，不等号方向不变， ∴ ，因此A错误； ∵ 不等式两边减同一个常数，不等号方向不变， ∴ ，因此B正确； ∵ 不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变， ∴ ，因此C正确； 不等式两边减，得，因此D正确． 2．（25-26高二下·北京·期末）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质，结合的条件逐一验证各选项的恒成立性. 【详解】选项A.已知，则， 已知，则. 因此，故A错误. 选项B.已知，则. 因为，则，故B正确. 选项C.由，所以，进而，故C错误. 选项D.取，左边，右边，，不等式不成立，故D错误. 3．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 4．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，依次分析即可判断. 【详解】对于A，，则，则有，A正确； 对于B，，则，则有，B正确； 对于C，，，则有，C错误； 对于D，，，则有，D正确； 故选：C 5．（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 6．（25-26高一上·福建泉州·期中）体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式组，解出符合题意的组合即可. 【详解】设购买的篮球个数为，足球个数为，且， 根据题意可得， 解得符合题意的有序实数对可以是， 共5种不同的购买方式. 故选：D 7．（2026高一·全国·专题练习）如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，则. 对于选项A：因为，，所以，故A正确； 对于选项B：因为，则，且，所以，故B正确； 对于选项C：例如满足，但，故C不一定成立； 对于选项D：因为，则，且，所以，故D正确. 8．（25-26高二下·甘肃兰州·期末）（多选）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由，，得，则，故A正确； 对于B，由，，得，则，故B正确； 对于C，由，，得，则，故C错误； 对于D，由，，得，，则，故D正确. 9．（25-26高二下·辽宁大连·期末）（多选）已知a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】本题考查不等式的基本性质与幂函数单调性的应用，需结合性质或反例逐项判断命题正误。 【详解】选项A：举反例，取，，满足，但，因此A错误； 选项B：因为，且，所以，即，因此B正确； 选项C：函数在上单调递增，若，则必有，也可作差验证：，因此C正确； 选项D：由得，两边同乘负数时不等号方向改变，得，举反例：，，因此D错误. 10．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）（多选）已知实数，，，满足：，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式的基本性质即可得 【详解】选项A ，已知，（由得），根据同向不等式的可加性： ，因此恒成立，A正确； 选项B ，已知，两边同时除以正数，不等号方向不变：，化简得，即恒成立，B正确； 选项C ，举反例：取，满足，此时，，，C错误； 选项D ，作差比较： ， 分析符号：，（，故），分母为正； ，，分子，因此差为正，即恒成立，D正确. 11．（25-26高一上·湖北十堰·自主招生）小张同学看一本800页的数学书，看了200页后，为早日完成，后来每天比原计划增加40页，结果共用32天完成这一任务，请问小张原计划每天完成__________页. 【答案】10 【分析】设原计划每天完成x页，由题意，列出方程，化简计算，即可得答案. 【详解】设原计划每天完成x页，由题意得， 整理得，解得或（舍）. 所以小张原计划每天完成10页. 故答案为：10 12．（25-26高一下·全国·期末）已知实数满足，，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】先通过设为和的线性组合，再结合不等式的性质，求解取值范围即可. 【详解】设， 所以，解得，所以， 因为 所以， 相加得， 即. 故答案为： 13．（25-26高一上·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为______． 【答案】 【分析】利用作差法可得出、的大小关系. 【详解】因为，，所以 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故答案为：. 14．（25-26高三·全国·一轮复习）（1）设，为实数，比较与的值的大小． （2）已知，，，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用不等式的性质比较大小. 【详解】（1）因为， 所以. （2）证明：因为，，所以， 所以，又，所以. 15．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过待定系数法将表示为与的线性组合，分别求出各部分范围后相加； （2）由已知求出的取值范围，再与的范围相乘得到结果； （3）将表示为与的线性组合，求出范围后再相加. 【详解】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $