专题16 平行线的证明 暑假预习讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题16 平行线的证明 暑假预习讲义 ✺知识框架 核心定理：平行线的判定（由角证线）、平行线的性质（由线推角） 角度推论：三角形内角和定理、三角形外角推论 答题规范：几何证明的书写格式与推理准则 ✺学习目标 1.初步建立几何推理意识。 2.了解平行线的判定与性质，能区分二者逻辑上的不同。 3.理解三角形内角和定理及其外角推论，会进行简单角度计算。 4.了解几何证明的书写要求，知道推理需要步步有据。 ✺题型归纳 题型1.同位角相等两直线平行 题型2.内错角相等两直线平行 题型3.同旁内角互补两直线平行 题型4.在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 题型5.平行公理的应用 题型6.平行公理推论的应用 题型7.两直线平行同位角相等 题型8.两直线平行内错角相等 题型9.两直线平行同旁内角互补 题型10.根据平行线判定与性质证明 题型11、巩固测试 ✺知识清单 知识点一、平行线的判定（由角定线） 核心逻辑：利用角的数量关系，证明两条直线平行。 判定公理（基本事实）：同位角相等，两直线平行。 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。如下图： ∵∠1=∠2，∴a∥b（同位角相等，两直线平行） 判定定理：内错角相等，两直线平行。 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。如下图： ∵∠1=∠2，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定定理：同旁内角互补，两直线平行。 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。如下图： ∵∠2+∠4=180°，∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行) 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论（平行线的传递性） 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。 ∵a∥c，c∥b，∴a∥b（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行）。 知识点二、平行线的性质（由线推角） 核心逻辑：已知两直线平行，推导角的数量关系。 性质定理1：两直线平行，同位角相等。 性质定理2：两直线平行，内错角相等。 性质定理3：两直线平行，同旁内角互补。 重点区分：判定是由角证线；性质是由线推角，二者因果关系相反，不可混用。 知识点三、三角形内角和与外角定理 1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 2.三角形外角定义及性质 定义：如上图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD,像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角. 性质：◆三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。∠ACD=∠A+∠B ◆三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。（三角形内角和定理的推论） ◆三角形的一个外角与它相邻的内角互补.（依据：邻补角的定义） 知识点四、几何证明标准规范 格式规范：采用 “已知 — 求证 — 证明” 的书写格式，步骤完整清晰。 逻辑规范：每一步推理都要有依据（定义、公理、定理），不能跳步，不能主观臆断。 依据原则：观察、测量、实验只能用来猜想，不能作为证明的依据。 知识点五、易错提示 1.不要混淆平行线判定和性质：证平行用判定；已知平行求角度用性质。 2.三角形外角的推论只针对不相邻的内角，外角和相邻内角互为补角。 3.几何证明不能凭图形直观下结论，每一步推理都要有理有据。 ✺题型精讲 题型1.同位角相等两直线平行 1．如图①所示的是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性．如图②，现将其中的一组背景图线条与直线，抽象出来，下列条件能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理，结合图形对各选项进行分析即可． 【详解】 A、与是直线，被第三条直线所截形成的同位角，则当时，，故A选项符合题意； B、与是对顶角，不能判定，故B选项不符合题意； C、与分别是两条不同截线与直线，形成的角，不能判定，故C选项不符合题意； D、与分别是两条不同截线与直线，形成的角，不能判定，故D选项不符合题意． 2．木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线就可以再找出两条平行线，如图所示，，这是依据_____的道理．由此得出推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【答案】同位角相等，两直线平行 【详解】略 3．如图，四边形中，，平分交于E，平分交于F． (1)若，则____°， °； (2)与平行吗？试说明理由； 【答案】(1)120°，30° (2)．理由如下： ∵， ∴， ∵平分交于F， ∵平分， ∴， ∴． 【分析】（1）根据四边形的内角和，即可求出的度数，根据角平分线的定义，即可求出的度数； （2）根据四边形的内角和，得出，结合角平分线的定义和三角形的内角和，得出，结合角平分线的定义和平行线的判定，即可解答． 【详解】（1）解： ∵，， ∴， ∵平分交于F， ∴， 综上：，； （2） 略 题型2.内错角相等两直线平行 1．如图，直线被直线所截，点B在直线上，连接，下列条件能判定的是（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行） 故D选项符合题意， 其他选项都不能判定． 2．小亮在探究平行线的作法时，发现可以利用两个相同的直角三角尺画平行线，如图是小亮画平行线a，b的作法，则小亮这样画的依据是___________________________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【详解】解：根据题意可知，小亮画平行线a，b的作法的依据是内错角相等，两直线平行． 3．如图，点、、在同一条直线上，点、、均在直线上方，连接、、、、，已知平分，平分，．求证：． 【答案】证明：∵点A、B、C在同一条直线上， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 【分析】根据角平分线的定义以及，可得，再由，可得，即可求证． 【详解】略 题型3.同旁内角互补两直线平行 1．“桔槔”是《天工开物》中记载的古代提水工具，如图是简易装置图，若，，，则下列正确的是（     ） A． B． C．D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴与不平行． ∴与不平行． 观察四个选项，只有选项B符合题意． 2．老师让同学们验证教室里黑板的上，下边缘是否平行．小明画出了如图所示的线段，并用量角器测量，的度数，解决这个问题所应用的数学依据是_____． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【详解】解：若，则教室里黑板的上，下边缘平行． 解决这个问题所应用的数学依据是同旁内角互补，两直线平行． 3．如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点O反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，根据图2，回答下列问题： (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 【答案】(1) (2)证明：由题意，， ∴，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据题意，根据平角定义即可求解； （2）同（1）可求，，利用同旁内角互补两直线平行即可证明． 【详解】（1）解：根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， 得． （平角的定义）， ； （3） 证明：略． 题型4.在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 1．已知直线，，为同一平面内的三条直线，如果且，那么直线与的位置关系是（   ） A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．互相平行或相交 【答案】A 【分析】根据 “同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的结论即可求解． 【详解】∵ ，， 是同一平面内的三条直线，且满足和， ， 因此直线m与n的位置关系是互相平行． 2．如图，直线，．若，则的大小为_____度． 【答案】113 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，平角等知识点，可证明直线，由平行线的性质求出的度数，再由平角的定义即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，∵直线，， ∴直线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．综合实践 折纸中的数学 【问题背景】 折叠垂直平分线 折角平分线 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学 【提出问题】 【问题解决】 如图，能折出过点P且与边平行的折痕吗？ 折平行线的方法步骤说明：第一次过点P折叠使点B落在边上的点，折痕为，第二次过点P折叠使点N落在射线上的点，展开压平得到折痕，则 (1)结合图1至图3的操作，说明：； (2)在图2中，若，求∠C的度数 【答案】(1)解：根据折叠性质： 第一次折叠后，， 第二次折叠后，， ∴； (2) 【分析】（1）由第一次折叠得，第二次折叠得，根据平行线的判定证明即可； （2）根据折叠的性质和平行线的性质，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 题型5.平行公理的应用 1．如图，小云在手工课上用丝线绣了一个“2”，， ，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作，得出，根据平行线的性质推出，求出，进一步可得答案． 【详解】解：过点C作， ， ， ， ， ， ， . 2．如图：，且，则的度数是__________． 【答案】/42度 【分析】如图，过m和n的交点作直线，由平行线的性质求出，然后由垂直的定义得到，求出，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过m和n的交点作直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．【问题背景】 如图，已知，点C是直线，之间的一点，连接，． 【初步探究】 (1)如图1，过点C作，若，，求的度数； (2)【延伸扩展】 如图2，过点C作，，的平分线交于点P，过点P作．若． ①求的度数； ②如图3，，点G为射线上的点，过点G作交延长线于点F，连接．若，求的度数． 【答案】(1) (2)①；②当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 【分析】（1）过点C作，则有，然后得到，然后计算解题； （2）①过点C作，过点P作，求出，，，根据角平分线的定义结合平行线的性质求出 ，由计算即可得到结论； ②由①可得，，然后分点F在点P的左侧和点F在点P的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①过点C作，过点P作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的角平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴； ②由①得，，， ∵， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点F在点P的左侧时，如图，则， ∴， ∴； 当点F在点P的右侧时，如图， 则， ∴， ∴． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 题型6.平行公理推论的应用 1．水平尺是用来判断物体某条边是否水平的工具．如图，当水平尺的气泡位于中央，说明水平尺与水平线平行．李师傅在挂画时将水平尺放置在画框的上沿，上沿与水平尺平行；他调整画框直至气泡位于中央，判定此时画框就是水平摆放的．以上操作，依据的数学原理是（） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】根据题意梳理出直线间的平行关系：由气泡居中得水平尺与水平线平行，由放置方式得画框上沿与水平尺平行，利用平行线的传递性即可得出结论． 【详解】解：∵当水平尺的气泡位于中央时，水平尺与水平线l平行， ∴， ∵画框上沿与水平尺平行， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． 2．年月日，全球首次人形机器人半程马拉松比赛在北京举行．此次比赛意义重大．如图，这是某款机器人跑步的姿态，图为其平面示意图，其中，，．若，，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】先求出，延长至，过作，则有，所以，，，通过角度和差可得，，又，则，最后通过角度和差即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， 如图，延长至，过作， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．已知直线，且、和、分别交于和两点，如图，点在上．设，，，探究、、之间的关系，下面给出推导过程请你填写完整． 证明：过点作， （已作）， _________（   ）， ，（已知）， （   ）， _________（   ）， ， （   ）． 【答案】 ；两直线平行，内错角相等；平行公理的推论；；两直线平行，内错角相等；等量代换． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，过点作，可得，，即得，进而由即可求证，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】略 题型7.两直线平行同位角相等 1．如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；因此此题可根据“两直线平行，同位角相等”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选B． 2．如图，已知，，则________度，_______度． 【答案】 120 60 【分析】本题主要考查平行线的性质及邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；因此此题可根据平行线的性质得到的度数，然后根据邻补角可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为120；60． 3．如图，已知点在同一直线上，．求证： 【答案】 证明：∵点在同一直线上，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．证明，即可证明． 【详解】略 题型8.两直线平行内错角相等 1．如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 2． 如图，，，则与的数量关系是_____． 【答案】相等 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴与的数量关系是相等． 故答案为：相等． 3．已知：如图，E、F 是上的两点，，，；求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明，得出即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴． 题型9.两直线平行同旁内角互补 1．“榫卯”是采用凹凸部分相结合的一种连接方式．如图是某种“榫”构件的截面图，其中，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． 故选：C． 2．如图，四边形中，，点E是上一点，且，，若，，则的长度为________． 【答案】13 【分析】本题主要考查了平行线的性质和勾股定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得出，据此得出三角形是直角三角形，结合和的长进行计算即可． 【详解】解：， 、 在中， 故答案为：13． 3．补全过程：如图，，如果，求． 解：因为，， 所以（________）， （________）， 所以． 【答案】对顶角相等；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据对顶角相等，以及平行线的性质即可作答． 【详解】解：因为，， 所以（对顶角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）， 所以． 故答案为：对顶角相等；两直线平行，同旁内角互补． 题型10.根据平行线判定与性质证明 1．如图，，c与a相交，b与d相交，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题关键．根据平行线的性质和判定逐一进行分析判断即可． 【详解】解：A．若，则， ∵， ∴， ∴，故该选项正确，不符合题意； B．∵， ∴， 若， 则， ∴，故该选项正确，不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故该说法正确，不符合题意； D．由C得，只有时，，故该说法错误，符合题意． 故选：D． 2．在下题括号内填上推理的依据．   已知：如图，点B，A，E在一条直线上，． 求证：． 证明：∵，( ) ∴．( ) ∴．( ) 【答案】 已知 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． 直接根据“同位角相等，两直线平行”，“两直线平行，内错角相等”作答即可． 【详解】解：∵，（已知） ∴．（同位角相等，两直线平行） ∴．（两直线平行，内错角相等） 故答案为：已知，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等． 3．已知，如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】先用证明，从而得到，继而得证． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ✺巩固测试 一、单选题 1．如图，已知：，求证：．淇淇的证明过程为：“，，，∴．”他的证明中判断平行的依据为（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】C 【详解】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可． 解：和是直线和被第三条线所截形成的同位角，且淇淇是利用了得到平行的， ∴他的证明中判断平行的依据是“同位角相等，两直线平行”． 故选：C． 2．如图，已知直线a，b被直线c所截，，若要使，则的度数应等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】解：与是内错角，且， 要使，则， 故选：A． 3．下列命题中，真命题是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角相等 C．若，则 D．垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】A 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及对顶角性质、平行线性质与判定、平方的非负性等知识点，根据对顶角的性质可判断A；根据平行线的性质可判断B；根据平方的非负性可判断C；根据平行线的判定定理可判断D． 【详解】解：A、对顶角相等，原命题是真命题，符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，不一定相等，原命题是假命题，不符合题意； C、若，则，不一定有，原命题是假命题，不符合题意； D、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题，不符合题意； 故选：A． 4．下列命题中，是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．同旁内角相等，两直线平行 D．既是分数也是无理数 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题真假，对顶角相等，垂线的定义理解，同旁内角互补两直线平行，无理数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据对顶角定义、垂直公理、平行线判定定理、有理数与无理数的概念，对四个命题逐一判断，再作出选择． 【详解】解：相等的角不一定是对顶角， 故相等的角是对顶角是假命题， 故A不符合； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 这是垂直的基本公理， 它是真命题， 故B符合； ∵平行线的判定定理是同旁内角互补，两直线平行，而非同旁内角相等， ∴同旁内角相等，两直线平行是假命题， 故C不符合； ∵分数属于有理数，而是无理数，不是分数， ∴既是分数也是无理数是假命题， 故D不符合， 故选：B． 二、填空题 5．如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成与，若，则的度数为_____． 【答案】/20度 【分析】本题考查平行的性质，垂直的定义，掌握相关定理是解题的关键． 由得到，求出，然后由得到． 【详解】解：如图，过点E作 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 6．如图，已知直线，若，则的度数是______． 【答案】/50度 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行于同一条直线的两条直线平行，可得，根据两直线平行，同位角相等，可得． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 7．如图，直线，直线与直线a、b分别相交．若，则___________． 【答案】 【分析】先利用两直线平行，同位角相等，再根据对顶角相等即可解答． 【详解】解：如图， ，， ， ． 8．如图，在中，，，，，点E为上一点，交于点F，当时，图中阴影部分的面积为______． 【答案】54 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积计算方法等知识点，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．先证明，则，由勾股定理求出，再利用割补法即可得到阴影部分面积． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴图中阴影部分面积． 故答案为：54． 三、解答题 9．如图，点、在线段上，，，，求证：． 【答案】 解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【分析】先根据平行线的性质得出，进而根据可得出，最后根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】略 10．如图，三角形中，D是上一点，E是上一点，点F，G在上，，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1) 证明∶∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据平行线的判定及性质进行证明即可； （2）根据平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，从而根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴． 11．如图，点在线段上，点在线段上，如果，，求证．请完善以下推理过程： 解：（已知）， ① （对顶角相等）， （等式的传递性）， （ ② ）， （两直线平行，同旁内角互补） （已知）， ③ （等量代换）， （ ④ ）． 【答案】；同位角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查的是对顶角的性质、平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．根据对顶角的性质可得，利用等量代换可得，再根据平行线的判定可得，再利用平行线的性质可得，再根据，利用等量代换可得，从而证明． 【详解】解：（已知）， （对顶角相等）， （等式的传递性）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；同位角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行． 12．如图，在三角形中，点，在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，， (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）先由可得，即，进而得到，由此即可解答； （2）先由平行线的性质得到，再证明，进而求得，再利用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：，理由略； （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．如下图，在三角形ABC中，，点E在BC上，过点E作． (1)试探究CD与EF的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1) 解：∵，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行进行解答即可； （2）先根据平行线的性质得出，根据，得出，证明，根据平行线的性质即可得出． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． 14．如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行公理，平行线的性质，平角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．作，因为，所以，由平行线的性质可知，即，由三角板的度数可求，则的度数可求． 【详解】解∶作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由三角板的度数可知，， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 平行线的证明 暑假预习讲义 ✺知识框架 核心定理：平行线的判定（由角证线）、平行线的性质（由线推角） 角度推论：三角形内角和定理、三角形外角推论 答题规范：几何证明的书写格式与推理准则 ✺学习目标 1.初步建立几何推理意识。 2.了解平行线的判定与性质，能区分二者逻辑上的不同。 3.理解三角形内角和定理及其外角推论，会进行简单角度计算。 4.了解几何证明的书写要求，知道推理需要步步有据。 ✺题型归纳 题型1.同位角相等两直线平行 题型2.内错角相等两直线平行 题型3.同旁内角互补两直线平行 题型4.在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 题型5.平行公理的应用 题型6.平行公理推论的应用 题型7.两直线平行同位角相等 题型8.两直线平行内错角相等 题型9.两直线平行同旁内角互补 题型10.根据平行线判定与性质证明 题型11、巩固测试 ✺知识清单 知识点一、平行线的判定（由角定线） 核心逻辑：利用角的数量关系，证明两条直线平行。 判定公理（基本事实）：同位角相等，两直线平行。 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。如下图： ∵∠1=∠2，∴a∥b（同位角相等，两直线平行） 判定定理：内错角相等，两直线平行。 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。如下图： ∵∠1=∠2，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定定理：同旁内角互补，两直线平行。 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。如下图： ∵∠2+∠4=180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行) 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论（平行线的传递性） 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。 ∵a∥c，c∥b，∴a∥b（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行）。 知识点二、平行线的性质（由线推角） 核心逻辑：已知两直线平行，推导角的数量关系。 性质定理1：两直线平行，同位角相等。 性质定理2：两直线平行，内错角相等。 性质定理3：两直线平行，同旁内角互补。 重点区分：判定是由角证线；性质是由线推角，二者因果关系相反，不可混用。 知识点三、三角形内角和与外角定理 1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 2.三角形外角定义及性质 定义：如上图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD,像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角. 性质：◆三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。∠ACD=∠A+∠B ◆三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。（三角形内角和定理的推论） ◆三角形的一个外角与它相邻的内角互补.（依据：邻补角的定义） 知识点四、几何证明标准规范 格式规范：采用 “已知 — 求证 — 证明” 的书写格式，步骤完整清晰。 逻辑规范：每一步推理都要有依据（定义、公理、定理），不能跳步，不能主观臆断。 依据原则：观察、测量、实验只能用来猜想，不能作为证明的依据。 知识点五、易错提示 1.不要混淆平行线判定和性质：证平行用判定；已知平行求角度用性质。 2.三角形外角的推论只针对不相邻的内角，外角和相邻内角互为补角。 3.几何证明不能凭图形直观下结论，每一步推理都要有理有据。 ✺题型精讲 题型1.同位角相等两直线平行 1．如图①所示的是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性．如图②，现将其中的一组背景图线条与直线，抽象出来，下列条件能判定的是（     ） A． B． C． D． 2．木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线就可以再找出两条平行线，如图所示，，这是依据_____的道理．由此得出推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 3．如图，四边形中，，平分交于E，平分交于F． (1)若，则____°， °； (2)与平行吗？试说明理由； 题型2.内错角相等两直线平行 1．如图，直线被直线所截，点B在直线上，连接，下列条件能判定的是（     ） A．B． C． D． 2．小亮在探究平行线的作法时，发现可以利用两个相同的直角三角尺画平行线，如图是小亮画平行线a，b的作法，则小亮这样画的依据是___________________________． 3．如图，点、、在同一条直线上，点、、均在直线上方，连接、、、、，已知平分，平分，．求证：． 题型3.同旁内角互补两直线平行 1．“桔槔”是《天工开物》中记载的古代提水工具，如图是简易装置图，若，，，则下列正确的是（     ） A． B． C．D． 2．老师让同学们验证教室里黑板的上，下边缘是否平行．小明画出了如图所示的线段，并用量角器测量，的度数，解决这个问题所应用的数学依据是_____． 3．如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点O反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，根据图2，回答下列问题： (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 题型4.在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 1．已知直线，，为同一平面内的三条直线，如果且，那么直线与的位置关系是（   ） A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．互相平行或相交 2．如图，直线，．若，则的大小为_____度． 3．综合实践 折纸中的数学 【问题背景】 折叠垂直平分线 折角平分线 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学 【提出问题】 【问题解决】 如图，能折出过点P且与边平行的折痕吗？ 折平行线的方法步骤说明：第一次过点P折叠使点B落在边上的点，折痕为，第二次过点P折叠使点N落在射线上的点，展开压平得到折痕，则 (1)结合图1至图3的操作，说明：； (2)在图2中，若，求∠C的度数 题型5.平行公理的应用 1．如图，小云在手工课上用丝线绣了一个“2”，， ，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图：，且，则的度数是__________． 3．【问题背景】 如图，已知，点C是直线，之间的一点，连接，． 【初步探究】 (1)如图1，过点C作，若，，求的度数； (2)【延伸扩展】 如图2，过点C作，，的平分线交于点P，过点P作．若． ①求的度数； ②如图3，，点G为射线上的点，过点G作交延长线于点F，连接．若，求的度数． 题型6.平行公理推论的应用 1．水平尺是用来判断物体某条边是否水平的工具．如图，当水平尺的气泡位于中央，说明水平尺与水平线平行．李师傅在挂画时将水平尺放置在画框的上沿，上沿与水平尺平行；他调整画框直至气泡位于中央，判定此时画框就是水平摆放的．以上操作，依据的数学原理是（） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 2．年月日，全球首次人形机器人半程马拉松比赛在北京举行．此次比赛意义重大．如图，这是某款机器人跑步的姿态，图为其平面示意图，其中，，．若，，则的度数为________． 3．已知直线，且、和、分别交于和两点，如图，点在上．设，，，探究、、之间的关系，下面给出推导过程请你填写完整． 证明：过点作， （已作）， _________（   ）， ，（已知）， （   ）， _________（   ）， ， （   ）． 题型7.两直线平行同位角相等 1．如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，则________度，_______度． 3．如图，已知点在同一直线上，．求证： 题型8.两直线平行内错角相等 1．如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 2． 如图，，，则与的数量关系是_____． 3．已知：如图，E、F 是上的两点，，，；求证：． 题型9.两直线平行同旁内角互补 1．“榫卯”是采用凹凸部分相结合的一种连接方式．如图是某种“榫”构件的截面图，其中，，则为（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形中，，点E是上一点，且，，若，，则的长度为________． 3．补全过程：如图，，如果，求． 解：因为，， 所以（________）， （________）， 所以． 题型10.根据平行线判定与性质证明 1．如图，，c与a相交，b与d相交，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 2．在下题括号内填上推理的依据．   已知：如图，点B，A，E在一条直线上，． 求证：． 证明：∵，( ) ∴．( ) ∴．( ) 3．已知，如图，，，求证：． ✺巩固测试 一、单选题 1．如图，已知：，求证：．淇淇的证明过程为：“，，，∴．”他的证明中判断平行的依据为（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 2．如图，已知直线a，b被直线c所截，，若要使，则的度数应等于（   ） A． B． C． D． 3．下列命题中，真命题是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角相等 C．若，则 D．垂直于同一条直线的两条直线平行 4．下列命题中，是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．同旁内角相等，两直线平行 D．既是分数也是无理数 二、填空题 5．如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成与，若，则的度数为_____． 6．如图，已知直线，若，则的度数是______． 7．如图，直线，直线与直线a、b分别相交．若，则___________． 8．如图，在中，，，，，点E为上一点，交于点F，当时，图中阴影部分的面积为______． 三、解答题 9．如图，点、在线段上，，，，求证：． 10．如图，三角形中，D是上一点，E是上一点，点F，G在上，，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 11．如图，点在线段上，点在线段上，如果，，求证．请完善以下推理过程： 解：（已知）， ① （对顶角相等）， （等式的传递性）， （ ② ）， （两直线平行，同旁内角互补） （已知）， ③ （等量代换）， （ ④ ）． 12．如图，在三角形中，点，在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，， (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 13．如下图，在三角形ABC中，，点E在BC上，过点E作． (1)试探究CD与EF的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 14．如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $