70.三角函数图像与性质的综合应用（最值、周期、单调区间综合）（提升）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 70.三角函数图像与性质的综合应用（最值、周期、单调区间综合）（提升）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】三角函数的周期性 ￮ 定义表述：对于函数，若存在非零常数，使得对定义域内任意，都有，则称为周期函数，为其一个周期；其中最小的正数周期称为最小正周期。 ￮ 数学符号/表达式：，（为定义域）， ￮ 关键特征： - 正弦、余弦函数最小正周期为，正切函数最小正周期为； - 、（）最小正周期； - （）最小正周期。 ￮ 跨章节关联：适用于周期型函数，关联函数的单调性、最值，可与二次函数的区间最值问题结合考查。 2. 【概念2】三角函数的单调性 ￮ 定义表述：对于函数定义域内的区间，若对任意，，都有（或），则称在上单调递增（或递减），为单调区间。 ￮ 数学符号/表达式：，（递增）；（递减） ￮ 关键特征： - 复合三角函数单调性遵循“同增异减”原则； - 求解单调区间需先考虑定义域，再结合基本三角函数单调区间求解。 ￮ 跨章节关联：适用于所有初等函数，是求解函数最值、比较函数值大小的核心工具。 3. 【概念3】三角函数的最值性 ￮ 定义表述：对于函数定义域，若存在，使得对任意，都有（或），则为最大值（或最小值）。 ￮ 数学符号/表达式：； ￮ 关键特征： - （）最值为； - 闭区间上的三角函数最值需结合单调性、周期性、端点值综合判断。 ￮ 跨章节关联：可与不等式恒成立问题、函数值域问题结合，关联二次函数的顶点最值。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 周期与参数关系 最小正周期，与无关 误认为周期与有关；忽略时需取绝对值 对比：与周期均为 复合三角函数单调区间求解 先求定义域，再将代入基本三角函数单调区间，解不等式得到单调区间 忽略定义域限制；时直接套用公式，未转化为正系数 对比：需先化为再求单调区间 闭区间三角函数最值求解 需结合函数在区间内的单调性、极值点、端点值综合判断 仅根据三角函数最值点求解，忽略区间端点的取值 对比：在上最大值为（），最小值为（） 三角函数奇偶性与的关系 为奇函数；为偶函数 误认为是唯一的奇函数条件；忽略对奇偶性的影响 对比：是奇函数，是偶函数 三、题型分类与例题精析 题型1：型函数性质综合（已知解析式求周期、单调区间、最值） 题型特征：直接给出函数解析式，综合考查周期计算、单调区间求解、闭区间最值，属于基础综合题型。 解题步骤： 1. 确定核心参数：提取的值，明确函数类型； 2. 计算最小正周期：代入对应周期公式求解； 3. 求解单调区间：将代入基本三角函数单调区间，解不等式； 4. 求闭区间最值：确定在区间内的范围，结合三角函数图像求最值。 例题1 已知函数，完成下列问题： (1) 求的最小正周期； (2) 求的单调递增区间； (3) 求在区间上的最大值和最小值。 解析： (1) 由得，根据正弦函数周期公式，得。 (2) 令， 解不等式：， 即， 故的单调递增区间为。 (3) 当时，， 根据正弦函数图像，， 则， ， 故在上的最大值为，最小值为。 答案： (1) 最小正周期为； (2) 单调递增区间为； (3) 最大值为，最小值为。 举一反三1-1 已知函数，求： (1) 的最小正周期； (2) 的单调递减区间； (3) 在上的最值。 解析： (1) ，余弦函数周期公式，得。 (2) 令， 解得， 故单调递减区间为。 (3) 当时，， ， ， 故最大值为，最小值为。 答案： (1) 最小正周期为； (2) 单调递减区间为； (3) 最大值为，最小值为。 举一反三1-2 下列关于函数的说法正确的是（） A. 最小正周期为 B. 最小正周期为 C. 单调递增区间为 D. 单调递增区间为 解析： 正切函数的周期，本题中，故，A错误，B正确； 求单调递增区间：令， 解得，故C正确，D错误。 答案：BC 举一反三1-3 已知函数，求的单调递增区间和在上的最值。 解析： 的单调递增区间等价于的单调递减区间， 令， 解得， 故单调递增区间为； 当时，， ， ， 故最大值为，最小值为。 答案： 单调递增区间为； 最大值为，最小值为。 题型2：含参数的三角函数性质综合（已知性质求参数取值范围） 题型特征：已知函数的周期、单调区间、最值等性质，反求参数的取值或取值范围，属于中档提升题型。 解题步骤： 1. 建立参数与性质的关系：根据三角函数性质公式，写出含参数的表达式； 2. 结合已知条件列方程/不等式：将已知性质转化为关于参数的方程或不等式； 3. 求解参数范围：解不等式或方程，注意参数的隐含条件（如）。 例题2 已知函数的最小正周期，求的取值范围。 解析： 的最小正周期，由题意得， 又，不等式变形为， 解得， 故的取值范围为。 答案： 举一反三2-1 已知函数在区间上单调递减，且最大值为，最小值为，求和的取值范围。 解析： 由最大值为得，故； 当时，， 单调递减且值域为，则， 即，得， 化简得； 又，即， 且， 结合，取，得，验证符合条件， 故，的取值范围为。 答案：， 举一反三2-2 已知函数是偶函数，且在区间上的最小值为，求和的最小值。 解析： 是偶函数，则，又，故； 此时； 当时，， 的最小值为，即，得， 故，解得， 又，当时，取得最小值。 答案：，的最小值为 举一反三2-3 若函数在区间上单调递增，求的取值范围。 解析： 令， 解得， 故的单调递增区间为； 由题意得， 则， 化简得， 故的取值范围为。 答案： 题型3：三角函数性质与不等式/恒成立问题的综合 题型特征：结合三角函数的最值、单调性，求解不等式恒成立、存在性问题，属于拔高综合题型。 解题步骤： 1. 求三角函数的最值：确定函数在给定区间内的最大值和最小值； 2. 转化不等式问题：将恒成立/存在性问题转化为最值不等式； 3. 求解参数范围：解关于参数的不等式，得到最终取值范围。 例题3 已知函数，，若恒成立，求实数的取值范围。 解析： 先化简：； 当时，， ，故； 恒成立等价于，即， 故的取值范围为。 答案： 举一反三3-1 已知函数，，若恒成立，求实数的取值范围。 解析： 化简：； 令，则，； 该二次函数开口向下，对称轴为， 在时取得最大值； 恒成立等价于，故， 即的取值范围为。 答案： 举一反三3-2 已知函数，，若存在使得成立，求实数的取值范围。 解析： 当时，， ，故； 存在使得成立等价于，即， 故的取值范围为。 答案： 举一反三3-3 已知函数，，若恒成立，求实数的取值范围。 解析： 当时，， 正切函数在上单调递增，故； 恒成立等价于，即， 故的取值范围为。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的最小正周期为（） A. B. C. D. 解析：由周期公式，，得。 答案：B 2. 多选题 下列关于函数的说法正确的有（） A. 单调递增区间为 B. 单调递减区间为 C. 最大值为 D. 最小值为 解析：令，解得递增区间，A正确，B错误；余弦函数值域为，故最大值，最小值，C、D正确。 答案：ACD 3. 填空题 函数的最大值为。 解析：，故，，最大值为。 4. 解答题 (1) 求函数在区间上的单调递减区间和最值。 解析：令，解得递减区间；结合，得递减区间；当时，，故最大值，最小值。 答案：单调递减区间为，最大值为，最小值为。 (2) 已知函数，，求的值域。 解析：时，，故，。 答案：值域为。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数的最小正周期为，且在处取得最小值，则的解析式为（） A. B. C. D. 解析：由周期得；由最小值得；时，，取得（无对应选项），或，取得（舍去），调整得，故。 答案：B 2. 多选题 已知函数，则下列说法正确的有（） A. 若是奇函数，则 B. 若是偶函数，则 C. 若，，则的单调递增区间为 D. 若，，则在上的最小值为 解析：奇函数时，得，A正确；偶函数时，得，B正确；时，递增区间令，解得，C正确；时，，最小值为，D正确。 答案：ABCD 3. 填空题 若函数在区间上有且仅有个零点，则的取值范围为。 解析：时，；有且仅有个零点，则，解得。 4. 解答题 (1) 已知函数，，求的最值及对应的值。 解析：时，；当即时，；当即时，。 答案：最大值（对应），最小值（对应）。 (2) 已知函数，求的周期和单调递增区间。 解析：化简；周期；递增区间令，解得。 答案：周期为，单调递增区间为。 （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 已知函数，，若有两个不同的实数根，财的取值范围为（） A. B. C. D. 解析：，时，；有两个不同实根等价于与的图像有两个交点，故。 答案：A 2. 多选题 已知函数，，若的最大值为，则下列说法正确的有（） A. B. 的最小值为 C. 的单调递增区间为 D. 的单调递减区间为 解析：时，，最大值得，A正确；最小值，B错误；递增区间令，结合区间得，C正确；递减区间为，D正确。 答案：ACD 3. 填空题 已知函数，，若恒成立，则实数的最小值为。 解析：化简，最大值为，故，最小值为。 4. 解答题 (1) 已知函数，若在区间上有且仅有个最值点，求的取值范围。 解析：时，；有且仅有个最值点，则，解得。 答案：。 (2) 已知函数，若对任意，都有成立，求实数的取值范围。 解析：化简，最大值为，故。 答案：。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 70.三角函数图像与性质的综合应用（最值、周期、单调区间综合）（提升）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】三角函数的周期性 ￮ 定义表述：对于函数，若存在非零常数，使得对定义域内任意，都有，则称为周期函数，为其一个周期；其中最小的正数周期称为最小正周期。 ￮ 数学符号/表达式：，（为定义域）， ￮ 关键特征： - 正弦、余弦函数最小正周期为，正切函数最小正周期为； - 、（）最小正周期； - （）最小正周期。 ￮ 跨章节关联：适用于周期型函数，关联函数的单调性、最值，可与二次函数的区间最值问题结合考查。 2. 【概念2】三角函数的单调性 ￮ 定义表述：对于函数定义域内的区间，若对任意，，都有（或），则称在上单调递增（或递减），为单调区间。 ￮ 数学符号/表达式：，（递增）；（递减） ￮ 关键特征： - 复合三角函数单调性遵循“同增异减”原则； - 求解单调区间需先考虑定义域，再结合基本三角函数单调区间求解。 ￮ 跨章节关联：适用于所有初等函数，是求解函数最值、比较函数值大小的核心工具。 3. 【概念3】三角函数的最值性 ￮ 定义表述：对于函数定义域，若存在，使得对任意，都有（或），则为最大值（或最小值）。 ￮ 数学符号/表达式：； ￮ 关键特征： - （）最值为； - 闭区间上的三角函数最值需结合单调性、周期性、端点值综合判断。 ￮ 跨章节关联：可与不等式恒成立问题、函数值域问题结合，关联二次函数的顶点最值。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 周期与参数关系 最小正周期，与无关 误认为周期与有关；忽略时需取绝对值 对比：与周期均为 复合三角函数单调区间求解 先求定义域，再将代入基本三角函数单调区间，解不等式得到单调区间 忽略定义域限制；时直接套用公式，未转化为正系数 对比：需先化为再求单调区间 闭区间三角函数最值求解 需结合函数在区间内的单调性、极值点、端点值综合判断 仅根据三角函数最值点求解，忽略区间端点的取值 对比：在上最大值为（），最小值为（） 三角函数奇偶性与的关系 为奇函数；为偶函数 误认为是唯一的奇函数条件；忽略对奇偶性的影响 对比：是奇函数，是偶函数 三、题型分类与例题精析 题型1：型函数性质综合（已知解析式求周期、单调区间、最值） 题型特征：直接给出函数解析式，综合考查周期计算、单调区间求解、闭区间最值，属于基础综合题型。 解题步骤： 1. 确定核心参数：提取的值，明确函数类型； 2. 计算最小正周期：代入对应周期公式求解； 3. 求解单调区间：将代入基本三角函数单调区间，解不等式； 4. 求闭区间最值：确定在区间内的范围，结合三角函数图像求最值。 例题1 已知函数，完成下列问题： (1) 求的最小正周期； (2) 求的单调递增区间； (3) 求在区间上的最大值和最小值。 举一反三1-1 已知函数，求： (1) 的最小正周期； (2) 的单调递减区间； (3) 在上的最值。 举一反三1-2 下列关于函数的说法正确的是（） A. 最小正周期为 B. 最小正周期为 C. 单调递增区间为 D. 单调递增区间为 举一反三1-3 已知函数，求的单调递增区间和在上的最值。 题型2：含参数的三角函数性质综合（已知性质求参数取值范围） 题型特征：已知函数的周期、单调区间、最值等性质，反求参数的取值或取值范围，属于中档提升题型。 解题步骤： 1. 建立参数与性质的关系：根据三角函数性质公式，写出含参数的表达式； 2. 结合已知条件列方程/不等式：将已知性质转化为关于参数的方程或不等式； 3. 求解参数范围：解不等式或方程，注意参数的隐含条件（如）。 例题2 已知函数的最小正周期，求的取值范围。 举一反三2-1 已知函数在区间上单调递减，且最大值为，最小值为，求和的取值范围。 举一反三2-2 已知函数是偶函数，且在区间上的最小值为，求和的最小值。 举一反三2-3 若函数在区间上单调递增，求的取值范围。 题型3：三角函数性质与不等式/恒成立问题的综合 题型特征：结合三角函数的最值、单调性，求解不等式恒成立、存在性问题，属于拔高综合题型。 解题步骤： 1. 求三角函数的最值：确定函数在给定区间内的最大值和最小值； 2. 转化不等式问题：将恒成立/存在性问题转化为最值不等式； 3. 求解参数范围：解关于参数的不等式，得到最终取值范围。 例题3 已知函数，，若恒成立，求实数的取值范围。 解析： 举一反三3-1 已知函数，，若恒成立，求实数的取值范围。 举一反三3-2 已知函数，，若存在使得成立，求实数的取值范围。 举一反三3-3 已知函数，，若恒成立，求实数的取值范围。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的最小正周期为（） A. B. C. D. 2. 多选题 下列关于函数的说法正确的有（） A. 单调递增区间为 B. 单调递减区间为 C. 最大值为 D. 最小值为 3. 填空题 函数的最大值为。 4. 解答题 (1) 求函数在区间上的单调递减区间和最值。 (2) 已知函数，，求的值域。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数的最小正周期为，且在处取得最小值，则的解析式为（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数，则下列说法正确的有（） A. 若是奇函数，则 B. 若是偶函数，则 C. 若，，则的单调递增区间为 D. 若，，则在上的最小值为 3. 填空题 若函数在区间上有且仅有个零点，则的取值范围为。 4. 解答题 (1) 已知函数，，求的最值及对应的值。 （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 已知函数，，若有两个不同的实数根，财的取值范围为（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数，，若的最大值为，则下列说法正确的有（） A. B. 的最小值为 C. 的单调递增区间为 D. 的单调递减区间为 3. 填空题 已知函数，，若恒成立，则实数的最小值为。 4. 解答题 (1) 已知函数，若在区间上有且仅有个最值点，求的取值范围。 (2) 已知函数，若对任意，都有成立，求实数的取值范围。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $