江苏苏州市某校2025-2026学年高二上学期周测十数学试题

**基本信息** 以解析几何为核心，融合阿波罗尼斯圆等历史文化素材与动态轨迹问题，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与几何直观，适配周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|5/25|直线距离、圆的位置关系、阿波罗尼斯圆|第5题以古希腊数学文化为背景，考查轨迹方程构建| |多选题|2/10|直线定点、方向向量、轨迹范围|第6题结合直线交点轨迹，渗透数形结合思想| |填空题|2/10|直线分平面、中点轨迹|第9题通过线段滑动考查轨迹方程，体现动态几何| |解答题|3/55|直线方程、对称问题、圆的切线轨迹|第12题构建双圆切线模型，综合考查坐标法与数学建模|

滚动练习10 一、单选题(每小题5分，共25分) 1．直线上有一点P，它到点和的距离之和最小，则点P坐标为 A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．过，两点的所有直线的方程 D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 3．已知圆，则原点在（    ） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 4．已知圆C关于x轴对称，经过点(0，1)，且被y轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为（    ） A．x2＋2＝ B．x2＋2＝ C．2＋y2＝ D．2＋y2＝ 5．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．B． C． D． 二、多选题(每小题5分，共10分) 6．已知直线，直线，且与相交于点，则下列结论正确的是（    ） A．过定点过定点 B．点的轨迹方程为 C．点到点和点距离之和的最大值为 D．设，则的最大值为 7．以下四个命题中正确的是（    ） A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为 B．向量是直线的一个方向向量 C．直线与直线之间的距离是 D．直线的倾斜角的范围是 三、填空题(每小题5分，共10分) 8．平面上三条直线，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数的取值组成的集合 . 9．已知线段AB的两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，，M为线段AB的中点，则点M的轨迹方程为 ． 四、解答题(55分) 10．（18分）已知直线过点. (1)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程； (2)已知的一个顶点为A，AB边上的中线CM所在的直线方程为，AC边上的高BH所在的直线方程为.求BC所在直线的方程. 11．（18分）已知直线和点. (1)在直线上求一点，使的值最小； (2)直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程. (3)已知的顶点，直线为边中线所在的直线方程，的角平分线所在直线方程为，求直线的方程； 12．（19分）如图所示，圆与圆的半径都是1，，过动点分别作圆、圆的切线（为切点），使得，试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年10月28日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B B B C B BD BD 1．B 【详解】试题分析：点A（-3，1）关于直线y=-2的对称点A′（-3，-5），若直线y=-2上有一点P，它到点A（-3，1）和点B（5，-1）的距离之和最小，则P点为直线A′B与直线y=-2的交点，∵直线A′B的方程为：x-2y-7=0 故P点坐标为（3，-2） 考点：两条直线的交点坐标 2．B 【分析】由直线垂直的条件判断选项A；由直线斜率计算倾斜角判断选项B；由直线两点式方程的适用范围判断选项C；由直线在x轴和y轴上截距相等的类型判断选项D. 【详解】A．当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故A错误； B．直线的斜率，则，即，则，故B正确； C．当或时直线方程为或，此时直线方程不成立，故C错误； D．若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故D错误． 故选：B 3．B 【分析】将圆的方程化为标准方程，代入原点可判断. 【详解】将圆的方程化成标准方程， 因为，所以，即原点在圆外. 故选：B. 4．C 【解析】利用圆C关于x轴对称，可设圆的方程为(x±a)2＋y2＝r2(a>0)，根据弧长之比可得∠OCA＝60°，由此求出a＝|OC|＝，根据勾股定理求出，从而可得圆C的方程. 【详解】因为圆C关于x轴对称，所以圆心在轴上， 所以可设圆C的方程为(x±a)2＋y2＝r2(a>0)，所以圆C与y轴的交点关于轴对称， 所以圆C与y轴交点为A(0，1)，B(0，－1)， 由弧长之比为2∶1，易知∠OCA＝∠ACB＝×120°＝60°， 则tan60°＝，所以a＝|OC|＝， 所以圆心坐标为，r2＝|AC|2＝12＋. 所以圆的方程为2＋y2＝. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：将弧长之比化为∠OCA＝60°是本题的解题关键. 5．B 【分析】直接设，根据两点间距离公式代入运算整理． 【详解】∵，即 设，则，整理得 故选：B． 6．BD 【分析】由直线方程确定定点坐标，根据直线平行的判定易得，即可确定的轨迹为圆并写出轨迹方程，结合基本不等式、圆的性质判断各项正误. 【详解】由，即过定点，，即过定点，A错； 由，即，所以的轨迹是以为直径的圆， 所以圆心为，半径为，即轨迹方程为，B对； 如下图，设，则，故， 当且仅当时等号成立，故到点和点距离之和的最大值为，C错； 由图知：当直线与圆相切时，最大，此时， 所以且最大，D对.    故选：BD 7．BD 【分析】根据直线截距式及其适用条件可判断A选项，根直线方向向量的概念可判断B选项；根据平行线间距离公式可判断C选项；根据斜率与倾斜角的关系可判断D选项. 【详解】A选项：当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设方程为，则，解得，所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或，故A选项错误； B选项：由方向向量的定义知正确； C选项：直线，即为， 故直线与直线之间的距离为，故C选项错误； D选项：直线的斜率， 所以倾斜角的范围是，故D选项正确； 故选：BD. 8． 【分析】三条直线将平面划分为六部分，则直线过另外两条直线的交点或这条直线与另外两条直线中的一条平行，由此求出的值. 【详解】若是三条直线两两相交，且交点不重合， 则这三条直线把平面分成7部分， 如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立， ①过另外两条直线的交点， 由和的交点是, 解得 ； ②这条直线与另外两条直线中的一条平行，此时或 , 综上，的取值集合是，故答案为. 【点睛】本题考查了直线方程与直线的位置关系应用问题,意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于基础题. 9． 【解析】因为M是AB的中点，所以，所以M的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，可得答案. 【详解】当（或）中有一个在原点处时，则. 当均不在原点处时，三点构成以O为直角顶点的直角三角形. 由M为线段AB的中点，则 所以，则M的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，其方程为： 故答案为： 10．(1)或 (2) 【分析】（1）分直线在两坐标轴上的截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将代入得到直线方程； （2）根据垂直得到直线的方程为，将代入，求出直线的方程，联立直线CM和直线的方程求出，再设，则，在直线，在，从而得到方程组，求出，得到，利用两点式求出直线方程. 【详解】（1）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线的方程为，， 将代入得，，解得， 故直线的方程为， 当截距不为0时，设直线的方程为， 将代入得，解得， 故直线的方程为， 所以直线的方程为或； （2）因为⊥，高BH所在的直线方程为， 所以设直线的方程为， 将代入得，，解得， 故直线的方程为， 联立与得， 故， 设，则， 在直线上，故①， 又在上，故②， 联立①②得，，故， BC所在直线的方程为，即. 11．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）全称点关于直线的对称点，可知点即直线与直线交点； （2）直线与直线的位置关系有两种，讨论求方程； （3）由中线求出点坐标，由角平分线求出点A的对称点，由、求直线方程. 【详解】（1）设点关于直线的对称点为， 根据对称点的性质，直线MM'与直线垂直，且MM'的中点在直线上， 直线的斜率为，因为两直线垂直斜率之积为，所以①， 又因为MM'的中点在直线上，所以②， 联立①②，解得，，所以， 连接M'N，与直线的交点即为所求的点，此时，根据两点之间线段最短，的值最小， 已知，，根据两点式可得直线M'N的方程为，即， 联立直线M'N与直线的方程，解得，， 所以点的坐标为； （2）点和到直线距离相等，分两种情况： ①直线.因为直线斜率为3，故方程为，即. ②直线过中点.中点为，又直线经过点，所以直线方程为. 综上，直线的方程为或. （3）设（因在角平分线上），则中点. 中线过，代入得， 解得，故. 设关于的对称点则，解得， 所以，由角平分线性质知在上. 因为，所以直线方程为， 整理得. 12．（或）. 【分析】建立直角坐标系，设P点坐标，根据几何关系列方程，化简即可得到结果. 【详解】以的中点为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设点. 由已知，得. 因为两圆的半径均为1，所以， 则，即， 所以点的轨迹方程为（或）. 【点睛】本题主要考查了与圆相关的动点轨迹方程，考查学生计算能力和转化能力，熟练运用数形结合的思想是本题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $