江苏苏州市某校2025-2026学年高二上学期周测十九数学试题

**基本信息** 聚焦圆锥曲线主题，通过单选、多选、填空及解答题的梯度设计，考查椭圆与双曲线的定义、方程及几何性质，融入卡西尼卵形线等创新情境，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|椭圆焦点位置、双曲线离心率、焦点三角形面积|基础概念辨析，如第1题考查椭圆方程特征| |多选题|2/12|双曲线轨迹方程、卡西尼卵形线性质|结合天文背景（第8题），考查对称与范围| |填空题|3/15|椭圆与直线交点面积、双曲线实轴长、渐近线与圆相切|运算能力，如第11题结合圆的切线求参数| |解答题|3/43|椭圆方程求解、切线与椭圆位置关系、双曲线与直线综合|综合应用，如第12题结合圆的切线与椭圆定值问题|

滚动练习19 一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，点是右支上一点，．若点到直线的距离为，则的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 3．双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且．则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（    ） A．14 B．9 C．4 D．2 5．已知双曲线的左顶点为，直线与双曲线交于点，，若直线与的斜率之积是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限相交于点．若直线的斜率为，的面积为4，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分) 7．已知点，动点满足：，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（　　） A．曲线的方程为 B．曲线与直线没有公共点 C．点到点距离的最小值为 D．过点且倾斜角为的直线与交于两点，则的周长为 8．1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．设定点，，已知曲线为卡西尼卵形线，下列选项判断正确的是（ ） A．原点在曲线的内部； B．曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形； C．曲线上的点的横坐标的取值范围是； D．曲线上存在点，使得 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 9．已知椭圆的左、右顶点分别为．若过点且斜率为的直线与交于另一点，则的面积为 ． 10．若双曲线经过点，两条渐近线方程是，该双曲线的实轴长为 . 11．若双曲线的渐近线与圆相切，则 ． 四、解答题(本题共3小题，共43分) 12．(13分)设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)设圆上的任意一点处的切线交椭圆于点，问： 是否为定值? 若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 13．(15分)已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左顶点作直线与椭圆的另一个交点为，若点是线段AB垂直平分线上一点，且满足，求实数的值. 14. (15分)双曲线方程为：，过点D(2,0)的直线与双曲线两支交于M,N两点， 设 （1） 若b=,当时，求的值 （2）设直线l交y轴于点E，,,证明为定值 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年12月10日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B C D A ABD BCD 1．A 【分析】根据焦点在轴上的椭圆标准方程的特征，可得到关于的不等式，即可求得结果. 【详解】根据题意，方程表示焦点在轴上的椭圆. 则必有，解可得：. 即m的取值范围是. 故选：A. 2．B 【分析】利用双曲线的定义，构造齐次方程，进而可得离心率. 【详解】 如图所示，由已知得，且，， 则 又由双曲线定义可知，即，而， 可得，即，解得（舍）或， 所以离心率， 故选：B. 3．B 【分析】由双曲线的定义结合，解得，又，可求的面积. 【详解】因为双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点， 由，又有，所以． 由，为等腰三角形，则底边上的高， . 故选：B 4．C 【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线方程的特点直接列式计算作答. 【详解】设椭圆半焦距为c，则，而椭圆与双曲线有共同的焦点， 则在双曲线中，，即有，解得， 所以. 故选：C 5．D 【分析】根据已知，令，，，应用斜率的两点式及已知得，进而求离心率. 【详解】由题设，如下图所示，，， 所以，则， 所以双曲线离心率. 故选：D 6．A 【分析】首先判断是直角三角形，利用斜率的几何意义，找到与的数量关系，再结合的面积为，列方程，求出与长度，再由椭圆的定义得，，，最终求出椭圆的方程. 【详解】因为以为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点，所以，即是直角三角形，已知直线的斜率为，即， 在中，设，则， 由勾股定理可得 因为的面积为，根据三角形面积公式，即 解得，，所以 ，所以，，； 根据椭圆的定义：，所以； 又因为，所以； 根据得：； 所以椭圆的方程为. 故选：. 7．ABD 【分析】由双曲线的定义可判断A；由直线是曲线的渐近线可判断B；设，则，利用两点间的距离公式求得距离的最小值即可判断C；设直线方程并代入曲线的方程中，利用弦长公式求出，再由曲线的定义求解周长即可判断D. 【详解】对于A，由， 由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左、右焦点的双曲线的右支， 且，则，，所以， 所以曲线C的方程为，故A正确； 对于B，因为是曲线的一条渐近线，与曲线无公共点，故B正确； 对于C，设，则， 点到点距离，当且仅当时取等号.所以，故不正确； 对于D，因为，所以直线为，设， 由，得， 则， 所以， 因为，， 所以， 所以的周长为.故D正确. 故选：ABD. 8．BCD 【分析】原点的坐标代入的方程，即可判断A；利用对称的概念代入验证可判断B；化简的方程，利用求得横坐标范围，可判断C；由题意，代入曲线方程，利用方程是否有解判断D. 【详解】原点的坐标代入的方程，有， 所以原点在曲线上，故A错误； 代入的方程，得，方程成立， 故曲线关于原点对称， 代入的方程，得，方程成立， 故曲线关于轴对称， 代入的方程，得，方程成立， 故曲线关于轴对称， 综上，曲线关于原点，轴，轴均对称，故B正确； 由，两边平方得， ∴，即， ∴，即， ∴， 所以，得， 化简得，即，解得， ∴曲线上的点的横坐标的取值范围是，故C正确； 若曲线上存在点，使得，即， ∵， ∴， 又，则， 即，即，解得， ∴曲线上存在点，使得，故D正确， 故选：BCD. 9． 【分析】首先根据题意得到直线，与椭圆联立得到，，再求面积即可. 【详解】由题知：，则， ，则，解得， 将代入得到， 所以的面积为. 故答案为： 10．6 【分析】根据题意可设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出，即可得出双曲线的标准方程，从而得双曲线的实轴长． 【详解】由题意可设该双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得， 即双曲线的方程为，化为标准方程为， 故双曲线的，所以双曲线的实轴长为． 故答案为：． 11． 【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可． 【详解】解：双曲线的渐近线为，即， 不妨取，圆，即，所以圆心为，半径， 依题意圆心到渐近线的距离， 解得或（舍去）． 故答案为：． 12．(1) (2)是， 【分析】（1）由题意得，得，再由椭圆右顶点到双曲线渐近线的距离求得，进而得椭圆方程； （2）当切线的斜率不存在时，求出的坐标，计算；当切线的斜率存在时，设方程为，因为与圆相切求得的关系，将切线的方程代入椭圆，结合韦达定理及数量积的坐标运算得计算. 【详解】（1）双曲线的左右顶点分别为， 由题意得：，故， 双曲线渐近线方程为， 故椭圆右顶点到双曲线渐近线距离为， 因为，解得：，故， 所以椭圆方程为. （2）当切线的斜率不存在时，其方程为， 将代入，得， 不妨设，， ，， 所以； 当切线的斜率存在时，设方程为， 因为与圆相切，所以，即， 将代入，得， 所以， 又 ， 综上，. 13．(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆上，把代入椭圆求出，即可得椭圆方程； （2）设直线的方程为，与椭圆联立并利用韦达定理求得的坐标，继而得的中点的坐标.再利用及列式求解即得解. 【详解】（1）∵椭圆， 根据椭圆的对称性，，两点必在椭圆上， 又的横坐标为1，所以椭圆必不过， 则、、在椭圆上， 所以，，解得， ∴椭圆的方程为． （2）由（1）得，设，令是的中点. 由题意知，直线的斜率一定存在，设直线的方程为， 联立，得， 且， ∴，， ， 由，得，，即， 所以，， 由，得，化简得 解得，所以.    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $